PAGEPAGE1第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)學問整合1．平面的基本性質(zhì)公理1：假如一條直線上的eq\o(□,\s\up3(01))兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線就在此平面內(nèi)．公理2：經(jīng)過eq\o(□,\s\up3(02))不在同始終線上的三點，有且只有一個平面．公理3：假如不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有eq\o(□,\s\up3(03))且只有一條過eq\o(□,\s\up3(04))該點的公共直線．2．用集合語言描述點、線、面間的關(guān)系(1)點與平面的位置關(guān)系：點A在平面α內(nèi)記作eq\o(□,\s\up3(05))A∈α，點A不在平面α內(nèi)記作eq\o(□,\s\up3(06))A?α.(2)點與線的位置關(guān)系點A在直線l上記作eq\o(□,\s\up3(07))A∈l，點A不在直線l上，記作eq\o(□,\s\up3(08))A?l.(3)線面的位置關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)記作eq\o(□,\s\up3(09))l?α，直線l不在平面α內(nèi)記作eq\o(□,\s\up3(10))l?α.(4)平面α與平面β相交于直線a，記作eq\o(□,\s\up3(11))α∩β＝a.(5)直線l與平面α相交于點A，記作eq\o(□,\s\up3(12))l∩α＝A.(6)直線a與直線b相交于點A，記作eq\o(□,\s\up3(13))a∩b＝A.3．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(14))平行.,\o(□,\s\up3(15))相交.)),異面直線：不同在\o(□,\s\up3(16))任何一個平面內(nèi)的兩條直線.))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的eq\o(□,\s\up3(17))銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\o(□,\s\up3(18))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1．公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．2．異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．1．(2024·銀川模擬)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，則下列結(jié)論肯定正確的是()A．m⊥n B．m∥nC．m與n相交 D．m與n異面答案A解析若β⊥α，m⊥α，則直線m與平面β的位置關(guān)系有兩種：m?β或m∥β.當m?β時，又n⊥β，所以m⊥n；當m∥β時，又n⊥β，所以m⊥n.故選A.2．(2024·福州質(zhì)檢)已知命題p：a，b為異面直線，命題q：直線a，b不相交，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若直線a，b不相交，則a，b平行或異面，所以p是q的充分不必要條件，故選A.3．設(shè)A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是()A．若AC與BD共面，則AD與BC共面B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC答案D解析A，B，C，D構(gòu)成的四邊形可能為平面四邊形，也可能為空間四邊形，D不成立．4．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c肯定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行答案C解析由題意易知，c與a，b都可相交，也可只與其中一條相交，故A，B均錯誤；若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，依據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面沖突，D錯誤．故選C.5．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b肯定是異面直線．上述命題中錯誤的是________(寫出全部錯誤命題的序號)．答案②③④解析由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯誤；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯誤；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故④錯誤．故填②③④.6．(2024·河南南陽模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，O為CD上的動點，VP－OAB恒為定值，且△PDC是正三角形，則直線PD與直線AB所成角的大小是________．答案60°解析因為VP－OAB為定值，所以S△ABO為定值，即O到線AB的距離為定值．因為O為CD上的動點，所以CD∥AB.所以∠PDC即為異面直線PD與AB所成角．因為△PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD與AB所成角為60°.核心考向突破考向一平面基本性質(zhì)的應用例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA證明(1)如圖所示，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA觸類旁通共面、共線、共點問題的證明方法(1)證明點或線共面，①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將全部條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2證明點共線，①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②干脆證明這些點都在同一條特定的直線上.3證明線共點，先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.提示：點共線、線共點等都是應用公理3，證明點為兩平面的公共點，即證明點在交線上.即時訓練1.如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P.求證：P，A，C三點共線．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)由(1)知EF綊eq\f(1,2)BD，GH綊eq\f(2,3)BD.∴四邊形FEGH為梯形，∴GE與HF交于一點，設(shè)EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線．考向二空間兩條直線的位置關(guān)系角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))兩條直線位置關(guān)系的判定例2(1)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論肯定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4即不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當取l4為B1C1時，l1∥l4，當取l4為BB1時，l1⊥l(2)(2024·貴州六盤水模擬)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不行能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行答案D解析∵α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，m?α，n?α，A∈m，A∈α，∴n在平面α內(nèi)，m與平面α相交，A是m和平面α的交點，∴m和n異面或相交(垂直是相交的特別狀況)，肯定不平行．故選D.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))異面直線的判定例3(2024·許昌模擬)如下圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直線HG與MN必相交．觸類旁通空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法即時訓練2.(2024·太原期末)已知平面α和直線l，則α內(nèi)至少有一條直線與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．異面答案C解析直線l與平面α斜交時，在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線，∴A錯誤；l?α時，在平面α內(nèi)不存在與l異面的直線，∴D錯誤；l∥α時，在平面α內(nèi)不存在與l相交的直線，∴B錯誤．無論哪種情形在平面α內(nèi)都有多數(shù)條直線與l垂直．故選C.3．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認為正確的結(jié)論序號都填上)．答案③④解析因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯；取DD1中點E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯；因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確；同理④考向三異面直線所成的角例4(1)如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案D解析連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1或其補角即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，則A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).故選D.(2)正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(2)，則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是________．答案60°解析如圖所示，連接A1B，可知A1B∥E1D，∴∠A1BC1是異面直線E1D和BC1所成的角．連接A1C1，可求得A1C1＝C1B＝BA1＝eq\r(3)，∴∠A1BC1＝60°.觸類旁通用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．eq\a\vs4\al(2二證：證明作出的角是異面直線所成的角.)3三求：解三角形，求出作出的角.假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.即時訓練4.如圖，在三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG.∵E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)AC，EG＝eq\f(1,2)BD.∴∠EFG為EF與AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG為等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF與AC所成的角為45°.故選B.5．在三棱錐S－ACB中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r(29)，則SC與AB所成角的余弦值為________．答案eq\f(\r(17),17)解析如圖所示，取BC的中點E，分別在平面ABC內(nèi)作DE∥AB，在平面SBC內(nèi)作EF∥SC，則異面直線SC與AB所成的角為∠FED，過F作FG⊥AB，連接DG，則△DFG為直角三角形．由題知AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r(29)可得DE＝eq\f(\r(17),2)，EF＝2，DF＝eq\f(5,2)，在△DEF中，由余弦定理可得cos∠FED＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(\r(17),17).(2024·全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(3),3)答案C解析將直三棱柱ABC－A1B1C補形為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos6