PAGEPAGE1其次節隨機抽樣2024考綱考題考情1．簡潔隨機抽樣(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡潔隨機抽樣。(2)最常用的簡潔隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法。2．系統抽樣的步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本。(1)先將總體的N個個體編號。(2)確定分段間隔k，對編號進行分段，當eq\f(N,n)是整數時，取k＝eq\f(N,n)。(3)在第1段用簡潔隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)。(4)依據肯定的規則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲得整個樣本。3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后依據肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。(2)分層抽樣的應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣。1．隨機數法編號要求：應保證各號數的位數相同，而抽簽法則無限制。2．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的。3．系統抽樣是等距抽樣，入樣個體的編號相差eq\f(N,n)的整數倍。4．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數為該層的個體數乘以抽樣比。一、走進教材1．(必修3P100A組T1改編)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析。在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體 B．個體C．樣本的容量 D．從總體中抽取的一個樣本解析由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中1名居民的閱讀時間是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200。故選A。答案A2．(必修3P64A組T6改編)在一次嬉戲中，獲獎者可以得到5件不同的獎品，這些獎品要從由1～50編號的50種不同獎品中隨機抽取確定，用系統抽樣的方法為某位獲獎者確定5件獎品的編號可以為()A．5,15,25,35,45 B．1,3,5,7,9C．11,22,33,44,50 D．12,15,19,23,28解析采納系統抽樣的等距抽樣法，抽樣間距為eq\f(50,5)＝10，隨機抽取第1個獎品號，設為a(1≤a≤10)，則其他獎品號分別為10＋a,20＋a,30＋a,40＋a，所以可知A正確。答案A3．(必修3P64A組T5改編)一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本。已知B層中每個個體被抽到的概率都為eq\f(1,12)，則總體中的個體數為()A．40 B．60C．80 D．120解析因為用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本。由B層中每個個體被抽到的概率都為eq\f(1,12)，知道在抽樣過程中每個個體被抽到的概率是eq\f(1,12)，所以總體中的個體數為10÷eq\f(1,12)＝120。故選D。答案D二、走近高考4．(2024·全國卷Ⅲ)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異。為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣，則最合適的抽樣方法是________。解析由題意，不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異，故實行分層抽樣法。答案分層抽樣三、走出誤區微提示：①隨機數表法的規則不熟出錯；②系統抽樣中先剔除部分個體，再分段；③分層抽樣每層抽取的抽樣比是相同的。5．總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成。利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字起先由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為()A．08 B．07C．02 D．01解析從隨機數表第1行的第5列和第6列數字起先由左到右依次選取兩個數字中小于20的編號依次為08,02,14,07,01，所以第5個個體的編號為01。故選D。答案D6．某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應在這三個年齡段分別抽取人數為()A．33,34,33 B．25,56,19C．30,40,30 D．30,50,20解析因為125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人數分別為25人，56人，19人。故選B。答案B7．某學校為了解高一年級1203名學生對某項教改試驗的看法，準備從中抽取一個容量為40的樣本，若采納系統抽樣，則分段間隔為________。解析因為1203除以40不是整數，所以需隨機剔除3個個體，從而每一段有30個個體，則分段間隔為30。答案30考點一簡潔隨機抽樣【例1】(1)下列抽取樣本的方式屬于簡潔隨機抽樣的個數為()①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本；②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質量檢驗。在抽樣操作時，從中隨意拿出一個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里；③從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢查；④某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參與學校組織的籃球賽。A．0 B．1C．2 D．3(2)假設要考察某公司生產的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數表抽取樣本時，先將800袋牛奶按000,001，…，799進行編號，假如從隨機數表第8行第7列的數起先向右讀，請你依次寫出最先檢測的5袋牛奶的編號________。(下面摘取了隨機數表第7行至第9行)解析(1)①不是簡潔隨機抽樣。因為被抽取樣本的總體的個體數是無限的，而不是有限的。②不是簡潔隨機抽樣。因為它是放回抽樣。③不是簡潔隨機抽樣。因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取。④不是簡潔隨機抽樣。因為指定個子最高的5名同學是56名中特指的，不具有隨機性，不是等可能的抽樣。故選A。(2)找到第8行第7列的數起先向右讀，第一個符合條件的是785；其次個數916>799，舍去；第三個數955>799，舍去；第四個數567符合題意，這樣再依次讀出結果為199,507,175。答案(1)A(2)785,567,199,507,175抽簽法與隨機數表法的適用狀況1．抽簽法適用于總體中個體數較少的狀況，隨機數表法適用于總體中個體數較多的狀況。2．一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否便利；二是號簽是否易攪勻。一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法。【變式訓練】(1)下面的抽樣方法是簡潔隨機抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，稱其重量是否合格C．某學校分別從行政人員、老師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學校機構改革的看法D．用抽簽法從10件產品中選取3件進行質量檢驗(2)我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石解析(1)A，B不是簡潔隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C不是簡潔隨機抽樣，因為總體中的個體有明顯的層次；D是簡潔隨機抽樣。故選D。(2)設這批米內夾谷x石，則由題意知，eq\f(28,254)＝eq\f(x,1534)，即x＝eq\f(28,254)×1534≈169。故選B。答案(1)D(2)B考點二系統抽樣【例2】(1)為了解1000名學生的學習狀況，采納系統抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()A．50 B．40C．25 D．20(2)將高一(九)班參與社會實踐編號為1,2,3，…，48的48名學生，采納系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知5號，29號，41號學生在樣本中，則樣本中還有一名學生的編號是________。解析(1)由系統抽樣的定義知，分段間隔為eq\f(1000,40)＝25。故選C。(2)依據系統抽樣的概念，所抽取的4個樣本的編號應成等差數列，因為在這組數中的間距為41－29＝12，所以所求的編號為5＋12＝17。答案(1)C(2)17用系統抽樣法抽取樣本，當eq\f(N,n)不為整數時，取k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))，即先從總體中用簡潔隨機抽樣的方法剔除(N－nk)個個體，且剔除多余的個體不影響抽樣的公允性。【變式訓練】某學校采納系統抽樣的方法，從該校高一年級全體800名學生中抽50名學生做視力檢查。現將800名學生從1到800進行編號。已知從33～48這16個數中抽到的數是39，則在第1小組1～16中隨機抽到的數是()A．5 B．7C．11 D．13解析把800名學生分成50組，每組16人，各小組抽到的數構成一個公差為16的等差數列，39在第3組。所以第1組抽到的數為39－32＝7。故選B。答案B考點三分層抽樣【例3】(1)(2024·河南名校聯考)《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢，欲以錢數多少衰出之，問各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢，乙帶了350錢，丙帶了180錢，三人一起出關，共須要交關稅100錢，依照錢的多少按比例出錢”，則丙應出________錢(所得結果四舍五入，保留整數)。(2)某學校三個愛好小組的學生人數分布如下表(每名同學只參與一個小組)(單位：人)。籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，按小組分層抽樣的方法，從參與這三個愛好小組的學生中抽取30人，結果籃球組被抽出12人，則a的值為________。解析(1)依據錢的多少按比例出錢，所以丙應當出錢為eq\f(180,560＋350＋180)×100＝eq\f(18000,1090)≈17。(2)由分層抽樣得eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30。答案(1)17(2)301．分層抽樣中分多少層，如何分層要視詳細狀況而定，總的原則是：層內樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊。2．進行分層抽樣的相關計算時，常用到的兩個關系(1)eq\f(樣本容量n,總體的個體數N)＝eq\f(該層抽取的個體數,該層的個體數)。(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比。【變式訓練】(1)某校老年、中年和青年老師的人數見下表，采納分層抽樣的方法調查老師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年老師有320人，則該樣本中的老年老師人數為()類別人數老年老師900中年老師1800青年老師1600合計4300A.90 B．100C．180 D．300(2)甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4800件，采納分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測。若樣本中有50件產品由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為________件。解析(1)設該樣本中的老年老師人數為x，由題意及分層抽樣的特點得eq\f(x,900)＝eq\f(320,1600)，故x＝180。故選C。(2)由題設，抽樣比為eq\f(80,4800)＝eq\f(1,60)。設甲設備生產的產品為x件，則eq\f(x,60)＝50，所以x＝3000。故乙設備生產的產品總數為4800－3000＝1800。答案(1)C(2)1800eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協作例2運用)某校高三(2)班現有64名學生，隨機編號為0,1,2，…，63，依編號依次平均分成8組，組號依次為1,2,3，…，8。現用系統抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第1組中隨機抽取的號碼為5，則在第6組中抽取的號碼為________。解析由題知分組間隔為eq\f(64,8)＝8，又第1組中抽取的號碼為5