PAGEPAGE12第四章平面對量第1講平面對量的概念及線性運算[考綱解讀]1.了解向量的實際背景，理解平面對量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示．2.駕馭向量加法、減法的運算，理解其幾何意義．(重點)3.駕馭向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義，了解向量線性運算的性質及其幾何意義．(難點)[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講一般不干脆考查．預料2024年高考中，平面對量的線性運算是考查的熱點，常以客觀題的形式呈現，屬中、低檔試題.1．向量的有關概念2．向量的線性運算3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一的一個實數λ，使得eq\o(□,\s\up5(01))b＝λa.1．概念辨析(1)在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，則eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))．()(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(3)向量eq\o(AB,\s\up16(→))與向量eq\o(CD,\s\up16(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．()(4)當兩個非零向量a，b共線時，肯定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)下列命題正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若|a|>|b|，則a>bC．若a＝b，則a∥b D．若|a|＝0，則a＝0答案C解析A錯誤，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B錯誤，向量不能比較大小；C正確，若a＝b，則a與b方向相同，故a∥b；D錯誤，若|a|＝0，則a＝0.(2)如圖，設P，Q兩點把線段AB三等分，則下列向量表達式錯誤的是()A.eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→)) B.eq\o(AQ,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))C.eq\o(BP,\s\up16(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→)) D.eq\o(AQ,\s\up16(→))＝eq\o(BP,\s\up16(→))答案D解析由題意得，eq\o(AQ,\s\up16(→))＝－eq\o(BP,\s\up16(→))，故D錯誤．(3)設a，b是不共線的兩個向量，已知eq\o(BA,\s\up16(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝4a－4b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝－a＋2b，則()A．A，B，D三點共線 B．A，C，D三點共線C．A，B，C三點共線 D．B，C，D三點共線答案B解析因為eq\o(BA,\s\up16(→))＝a＋2b，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＝－a－2b，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－a－2b)＋(4a－4b)＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3eq\o(CD,\s\up16(→)).所以eq\o(AC,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))，所以A，C，D三點共線．(4)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up16(→))＝________，eq\o(BC,\s\up16(→))＝________(用a，b表示)．答案b－a－a－b解析因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))＝－eq\o(OA,\s\up16(→))＝－a，所以eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝－a－b.題型eq\a\vs4\al(一)平面對量的基本概念1．設a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個數是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種狀況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3.2．下列敘述錯誤的是________(填序號)．①若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同；③向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa；④eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝0；⑤若λa＝λb，則a＝b.答案①②③④⑤解析對于①，當a＋b＝0時，其方向隨意，它與a，b的方向都不相同．對于②，當a，b之一為零向量時結論不成立．對于③，當a＝0且b＝0時，λ有多數個值；當a＝0但b≠0時，λ不存在．對于④，由于兩個向量之和仍是一個向量，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝0.對于⑤，當λ＝0時，無論a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時不肯定有a＝b.故①②③④⑤均錯誤．有關平面對量概念的六個留意點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數圖象的移動混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量，－eq\f(a,|a|)是與a反方向的單位向量．(5)兩個向量不能比較大小，只可以推斷它們是否相等，但它們的模可以比較大小．(6)表示兩平行向量的有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．1．給出下列說法：①若A，B，C，D是不共線的四個點，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(BA,\s\up16(→))相等；④若a＝b，b＝c，則a＝c.其中正確說法的序號是()A．①④B．③④C．②③D．①②答案A解析①④正確；②錯誤，因為a，b的方向不肯定相同；③錯誤，eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\o(BA,\s\up16(→)).2．給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，肯定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；③若λa＝0(λ為實數)，則λ必為零；④已知λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線．其中正確命題的序號為________．答案②解析①錯誤，例如△ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(CB,\s\up16(→))有公共終點，但不是共線向量；②正確；③錯誤，若λa＝0(λ為實數)，則λ＝0或a＝0；④錯誤，當λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，但a與b不肯定共線．題型eq\a\vs4\al(二)向量的線性運算1．下列四個結論：①eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＝0；③eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up16(→))＋eq\o(QP,\s\up16(→))＋eq\o(MN,\s\up16(→))－eq\o(MP,\s\up16(→))＝0.其中肯定正確的結論個數是()A．1B．2C．3D．4答案C解析①正確；②錯誤，eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))≠0；③正確，eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＋(eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))＝eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，④正確，eq\o(NQ,\s\up16(→))＋eq\o(QP,\s\up16(→))＋eq\o(MN,\s\up16(→))－eq\o(MP,\s\up16(→))＝(eq\o(NQ,\s\up16(→))＋eq\o(QP,\s\up16(→)))＋(eq\o(MN,\s\up16(→))－eq\o(MP,\s\up16(→)))＝eq\o(NP,\s\up16(→))＋eq\o(PN,\s\up16(→))＝0.2．(2024·全國卷Ⅱ)設非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，則()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故選A.解法二：利用向量加法的平行四邊形法則．在?ABCD中，設eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝|eq\o(DB,\s\up16(→))|，從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故選A.3．(2024·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up16(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up16(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up16(→))答案A解析依據向量的運算法則，可得eq\o(EB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，故選A.條件探究1把舉例說明3的條件改為“點D在BC邊上且CD＝2DB，點E在AD邊上，且AD＝3AE”，試用eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))表示eq\o(CE,\s\up16(→)).解由平面對量的三角形法則及向量共線的性質可得eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up16(→))))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up16(→))－\o(AB,\s\up16(→))))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up16(→)).條件探究2把舉例說明3的條件改為“D為AB的中點，點E滿意2eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＝0”，試用eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))表示eq\o(AE,\s\up16(→)).解因為D為AB的中點，所以eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→)).又因為2eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＝0，所以2(eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＋(eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝0，所以3eq\o(AE,\s\up16(→))＝2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))－\o(CD,\s\up16(→))))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up16(→)).1．平面對量的線性運算技巧(1)不含圖形的狀況：可干脆運用相應運算法則求解．(2)含圖形的狀況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解．2．向量線性運算的兩個常用結論(1)在△ABC中，D是BC的中點，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))，如舉例說明3.(2)O為△ABC的重心的充要條件是eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝0.1．已知O，A，B，C為同一平面內的四個點，若2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝0，則向量eq\o(OC,\s\up16(→))等于()A.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→)) B．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))C．2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)) D．－eq\o(OA,\s\up16(→))＋2eq\o(OB,\s\up16(→))答案C解析因為eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))，所以2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝2(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－2eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝0，所以eq\o(OC,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))，故選C.2．如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝()A．a－eq\f(1,2)bB.eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)bD.eq\f(1,2)a＋b答案D解析連接CD，OC，由題意得∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，所以CD∥AB，CD＝AC，易證△AOC為等邊三角形，所以AC＝eq\f(1,2)AB，所以eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a＋b.題型eq\a\vs4\al(三)共線向量定理的應用角度1證明向量共線或三點共線1．已知平面內一點P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))，則點P與△ABC的位置關系是()A．點P在線段AB上B．點P在線段BC上C．點P在線段AC上D．點P在△ABC外部答案C解析因為eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))－eq\o(PA,\s\up16(→))，所以eq\o(PC,\s\up16(→))＝－2eq\o(PA,\s\up16(→))，所以A，P，C三點共線，且P是線段AC的三等分點(靠近A)．角度2由向量共線求參數的值2．(2024·貴州適應性測試)已知向量e1與e2不共線，且向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1＋me2，eq\o(AC,\s\up16(→))＝ne1＋e2，若A，B，C三點共線，則實數m，n滿意的條件是()A．mn＝1 B．mn＝－1C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1答案A解析因為A，B，C三點共線，所以肯定存在一個確定的實數λ，使得eq\o(AB,\s\up16(→))＝λeq\o(AC,\s\up16(→))，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ，,m＝λ，))所以mn＝1.求解向量共線問題的留意事項(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，留意待定系數法和方程思想的運用．如舉例說明2.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應留意向量共線與三點共線的區分與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)直線的向量式參數方程，A，P，B三點共線?eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O為平面內任一點，t∈R)．(5)eq\o(OA,\s\u