PAGE8-第七節拋物線[考綱傳真]1.駕馭拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡潔幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數形結合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡潔應用．1．拋物線的概念平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點坐標O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下eq\o([常用結論])與拋物線有關的結論(1)拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．(2)y2＝ax(a≠0)的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準線方程為x＝－eq\f(a,4).(3)設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.②弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)．③以弦AB為直徑的圓與準線相切．④通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦．[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡肯定是拋物線． ()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準線方程是x＝－eq\f(a,4). ()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形． ()(4)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線肯定相切． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準線方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2A[∵y＝eq\f(1,4)x2，∴x2＝4y，∴準線方程為y＝－1.]3．(教材改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A.eq\f(17,16)B.eq\f(15,16) C.eq\f(7,8) D．0B[M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－eq\f(1,16)，設M(x，y)，則y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).]4．(教材改編)過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，假如x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9B．8 C．7 D．6B[拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.依據題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]5．(教材改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經過點P(－2，－4)，則該拋物線的標準方程為________．y2＝－8x或x2＝－y[設拋物線方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.]拋物線的定義與應用【例1】設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．4[如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.][拓展探究](1)若將本例中的B點坐標改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．(2)若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值．[解](1)由題意可知點B(3,4)在拋物線的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F兩點間的距離，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，即|PB|＋|PF|的最小值為2eq\r(5).(2)由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)．點P到y軸的距離d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d2＋|PF|的最小值為eq\f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)，所以d1＋d2的最小值為3eq\r(2)－1.[規律方法]與拋物線有關的最值問題，一般狀況下都與拋物線的定義有關.“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決與過拋物線焦點的弦有關問題的重要途徑.(1)已知P是拋物線y2＝4x上的一個動點，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個動點，N(1,0)是一個定點，則|PQ|＋|PN|的最小值為()A．3B．4 C．5 D.eq\r(2)＋1(2)動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________.(1)A(2)y2＝4x[(1)由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合．過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.(2)設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，依據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x.]拋物線的標準方程與幾何性質【例2】(1)點M(5,3)到拋物線y＝ax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是()A．x2＝eq\f(1,12)y B．x2＝eq\f(1,12)y或x2＝－eq\f(1,36)yC．x2＝－eq\f(1,36)y D．x2＝12y或x2＝－36y(2)(2024·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點到準線的距離為()A．2B．4 C．6 D．8(3)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝3x(1)D(2)B(3)D[(1)將y＝ax2化為x2＝eq\f(1,a)y.當a>0時，準線y＝－eq\f(1,4a)，則3＋eq\f(1,4a)＝6，∴a＝eq\f(1,12).當a<0時，準線y＝－eq\f(1,4a)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,4a)))＝6，∴a＝－eq\f(1,36).∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36y.(2)設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴不妨設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，∴p＝4(負值舍去)．∴C的焦點到準線的距離為4.(3)分別過點A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3，所以|AC|＝2|AA1|＝6，所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，所以F為線段AC的中點．故點F到準線的距離為p＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(3,2)，故拋物線的方程為y2＝3x.][規律方法]1.求拋物線的標準方程的方法(1)求拋物線的標準方程常用待定系數法，因為未知數只有p，所以只需一個條件確定p值即可．(2)因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．2．確定及應用拋物線性質的技巧(1)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線等性質時，關鍵是將拋物線方程化為標準方程．(2)要結合圖形分析，敏捷運用平面幾何的性質以圖助解直線與拋物線的位置關系?考法1直線與拋物線的交點問題【例3】(2024·全國卷Ⅰ)設A，B為曲線C：y＝eq\f(x2,4)上兩點，A與B的橫坐標之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．[解](1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2).設M(x3，y3)，由題設知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．設直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.將y＝x＋m代入y＝eq\f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.當Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時，x1,2＝2±2eq\r(m＋1).從而|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝4eq\r(2m＋1).由題設知|AB|＝2|MN|，即4eq\r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直線AB的方程為y＝x＋7.?考法2與拋物線弦長或中點有關的問題【例4】已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點．(1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線的方程；(2)設M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N.證明：直線AN與拋物線相切．[解](1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故拋物線C的方程為x2＝2y.(2)設直線AB的方程為y＝kx＋eq\f(p,2)，由eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py))得x2－2kpx－p2＝0，∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),2p))).∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，k2p＋\f(p,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，－\f(p,2))).∴kAN＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－kp)＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－\f(x1＋x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)＋p2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)－x1x2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(x1,p).又x2＝2py，∴y′＝eq\f(x,p).∴拋物線x2＝2py在點A處的切線斜率k＝eq\f(x1,p).∴直線AN與拋物線相切．[規律方法]解決直線與拋物線位置關系問題的常用方法1直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系.2有關直線與拋物線的弦長問題，要留意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可干脆運用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不過焦點，則必需用一般弦長公式.3涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采納“設而不求”“整體代入”等解法.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積.[解](1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x.(2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x＝y＋m，))得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),64)＝m2.由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝eq\f(1,2)·|FM|·|y1－y2|＝3eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝24eq\r(5).1．(2024·全國卷Ⅰ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點，則eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＝()A．5B．6 C．7 D．8D[法一：過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))不妨設M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up12(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up12(→))＝(3,4)，所以eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＝8.故選D.法二：過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＞0，y2＞0，依據根與系數的關系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up12(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up12(→))＝(x2－1，y2)，所以eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4eq\r(x1x2)＝4－5＋1＋8＝8.故選D.]2．(2024·全國卷Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝()A.eq\f(1,2)B．1 C.eq\f(3,2) D．2D[∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，∴P(1,2)．將點P(1,2)的坐標代入y＝eq\f(k,x)(k＞0)得k＝2.故選D.]3．(2024·全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________.2[法一：由題意知拋物線的焦點為(1,0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去x得y2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)y＋1))，即y2－eq\f(4,k)y－4＝0，則y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得eq\o(MA,\s\up12(→))·eq\o(MB,\s\up12(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)