武安一中2024-2025學年第一學期10月期中考試

信J一數學

一、單選題（每小題5分）

1.下列圖象中，不能表示函數的是（）

【解析】

【分析】函數的定義要求定義域中任意一個自變量，都存在唯一確定的函數值值與之對應.

【詳解】C選項的函數圖像中存在與e（O,+s）,對應兩個不同的函數值，故不是函數圖像.

故選：C

2.下列表示正確的個數是（）

2x+y=10

(1)0^0；(2)0c{l,2}；(3)\(x,y)<={3,4}；⑷若則/口3=/；(5)

3x-y=5

{0}e{0,1,2}.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據集合的概念、元素與集合的關系、集合間的基本關系進行判斷.

【詳解】空集中不含任何元素，故（1）正確；空集是任何集合的子集，故（2）正確;

2x+y=10x=32x+y=10

由＜得《一所以<('4)<={(3,4)},故(3)錯誤;

3x-y=5b=43x-y=5

若4uB,即集合A是集合3的子集，則2口8=2,故（4）正確;

兩個集合間的關系不能用e符號，故（5）錯誤.

故選：C.

3.已知實數a,b,c滿足。<6<0<c,則下列不等式中成立的是()

1,12a+baab,

A.aH—>bT—B.----------<—C.-------<--------D.ac>be

baa+2bbb-ca-c

【答案】B

【解析】

【分析】由不等式的性質可得A錯誤，D錯誤；作差之后通分化簡可得B正確；舉反例令a=-2,b=-\,

c=l可得C錯誤；

【詳解】對于A,因為a<b<0,所以工〉工，所以4+工<6+,，故A錯誤;

abba

2a+ba(a+26-a(a+26)人Q2

對于B,因為a<b<0,所以------<0,故B正確;

Q+2bb(a+2b)b(a+2b?

b\a上〈二，故C錯誤;

對于C,當Q=-2,b=-l,c=l時,=1,

a-c3b-ca-cb-c

對于D,因為。<方，。>0,所以ac<be,故D錯誤.

故選：B.

4.“其身正，不令而行；其身不正，雖令不從”出自《論語?子路》.意思是：當政者本身言行端正，不用發號

施令，大家自然起身效法，政令將會暢行無阻；如果當政者本身言行不正，雖下命令，大家也不會服從遵

守.根據上述材料，“身正”是“令行”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】結合題意判斷“身正”和“令行”之間的邏輯關系，即得答案.

【詳解】由題意：其身正，不令而行，即身正n令行，故“身正”是“令行”的充分條件；

又其身不正，雖令不從，即令行n身正，所以“身正”是“令行”的必要條件，

綜合知“身正”是“令行”的充要條件，

故選：C.

5.已知非負實數x,?滿足x+y=l,則，-+J—的最小值為（）

2x1+7

A."2&B.3+2亞C.4D.-

243

【答案】B

【解析】

111

【分析】根據已知條件可得一(2x+2y+2)=l,禾U用“1”乘以丁+；一構建基本不等式，再根據不等式

42x1+y

性質即可求解.

【詳解】因為x+y=l,所以2x+2y+2=4,則工(2x+2v+2)=1,

4-

1(11、y+1+2x'

=—(2x+2y+2)--+=-3+

所以—i-----二4

2x1+y411+y7x1+y),

根據不等式性質可知?+言之2尸弓=2日

當且僅當丁=言時等號成立，即x=2(、歷-1)/=3-2萬滿足條件,

11(J+12x)、3+2近

2xl+y4(x1+yJ4

所以丁1+；一1的最小值為3‘++22、歷.

2x\+y4

故選：B

6.若存在xe1,3,使不等式/—以+1之0成立，則實數。取值范圍是()

5

A.-2<a<2B.a<-

2

C.a<’—10D.-2c<a<JO—

33

【答案】C

【解析】

【分析】令/(x)=/—辦+1,將問題等價轉化為7max(x)20，xeI，3,然后討論了(x)的最大值，從

而求出。的取值范圍.

【詳解】令/(x)=x2-?x+l,對稱軸方程為x=p

若存在xw—3,使不等式—QX+1>o成立,

等價于/(Mmax?OEer3，

當a<，+3=7時，即時，f（x）=/（3）=10-3tz>0,解得

2max3

因為（一叫自口（-8,岑］=（一叫號］,所以ae（-8，與］；

當?〉：時，即a〉g時,小心=/出=：一臺0,解得a，,

75

因為（5,+8）n（—8,萬］=0,所以QG0;

因為（一叫號］U0=（-8,弓］,所以。€（-8,

故選:C.

7.已知集合/=｛加|2〈加W6｝,5=刨，一2<〃<2/｝（7>-2）.若V加e/,三〃e3,使得加〈〃成立,

則實數/的取值范圍是（）

A./>1B.t>3C.t>4D.r>8

【答案】B

【解析】

【分析】V加e4,3n^B,使得機〈〃成立，只需（加）<（〃）max，解之即可.

【詳解】因為/>—2,所以7—2<27,則8W0.

VmeA,3n^B,使得加<〃成立，

所以只需（加）max<（〃）max，

所以6<2z,所以,>3.

故選：B

8.已知/(%)=-3）x+7"+2,x<1在（_*+s）上滿足，（苞）一/（/）<0,則實數a的取值范圍為

-ax+x,x>1xx-x2

)

A.(0,3)B.P3cQD.?3

【答案】B

【解析】

【分析】根據題中條件，先判斷函數/(X)單調遞減，再由分段函數解析式，列出不等式組求解，即可得出

結果.

［詳解］因為=—3」+7a+2,X<1在上滿足/(*)-

-ax+x,x>1xx-x2

所以/(x)在(—8,+8)上單調遞減，

需滿足以下三個條件：

(1)y=(Q—3)x+7Q+2在(―8,1)上單調遞減，只需Q—3<0；

(2)y=一辦2+、在［1,+8)上單調遞減，此時顯然QWO,函數y=-a/+x的對稱軸為X=」-,所以

2a

只需1-VI且Q>0；

2a

(3)在x=l處，第一段的函數值要大于等于第二段的函數值，即。—3+7Q+22—。+1；

a—3<0

—<11

因此由《2。，解得一Va<3,

2

a>0n

a—3+7a+22—a+1

即實數。的取值范圍為1,3j.

故選：B

二、多選題(每小題6分)

9.已知a,"c滿足c<a<8,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是()

A.ac(a-c)<0B,c(b-a］<0

C.cb1>ab1D.ab>ac

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項，判斷出a—c>0,由不等式性質得到A正確；B選項，先得到c<O,a>O,結合b—a>0

得到B正確；C選項，求出A?〉。，由不等式性質得到C錯誤；D選項，作差法比較出ab>ac.

【詳解】A選項，因為c<a,所以a—c>0,又ac<0,故ac(a-c)<0,A正確;

B選項，因為c<a,ac<0,所以c<O,a〉O,

又a〈b,故6-。>0,所以c(b—a)<0,B正確；

C選項，因為b〉a〉O,所以A?〉。，

。<。兩邊同乘以/〉0，得仍2<仍2,c錯誤；

D選項，因為a>O,Z?>c,所以ab-ac>a(b-c)>0,故a/)>ac,D正確.

故選：ABD

10.下列命題為假命題的是()

A."Vx<l,<1"的否定是“*21,x2>T'

B.“a〉!”是<2”的充分不必要條件

2a

C.“a=0”是“ab=0”的充分不必要條件

D."x21且y21”是“x2+/>2”的必要不充分條件

【答案】AD

【解析】

【分析】由含有一個量詞的命題的否定判斷選項A；由不等式性質結合充分條件必要條件的定義判斷選項

B,D,充分條件必要條件的定義判斷選項C.

【詳解】對A,全稱量詞命題的否定是特稱命題，/<1，，的否定是“七<1,選項為假

命題；

對B,a〉1可以得出工<2,“a〉!”是<2”的充分條件，

2a2a

當a=—1符合1<2得出“。〉!”是“工<2”的不必要條件，

a22a

所以“a〉!”是“-<2”的充分不必要條件，B選項正確；

2a

對C,。=0可以得出。6=0,“。=0”是“。6=0”的充分條件，

當b=0符合仍=0得出awO,“a=0”是“ab=O”的不必要條件，

所以“a=0”是“ab=0”的充分不必要條件，C選項正確；

對D,且>1,/>1,得"x?l且是“一+/之2”的充分條件

x=2,y=0符合一+/>2，但是x21且V21不成立，"x21且y?1"是“爐+/>2”的不必要條件

22

則“x21且yN1”是“x+y>2”的充分不必要條件，D選項為假命題.

故選：AD.

/、[x+2,x<-l/、

11.已知函數/(x)={2,°，則下列關于函數/(X)的結論正確的是()

A./(/(-1))=1B.若/(x)=3,貝Ux的值是百

c.的解集為(7,1)D./(x)的值域為(-8,4)

【答案】ABD

【解析】

【分析】將x=—1代入f(x)=x+2,得/(—1)=1,將x=l代入/(x)=x2,可知A正確；分別在xW-1

和-1<x<2的情況下，根據解析式構造不等式和方程可判斷BC正誤；分別在x4-1和-1<x<2的情況

下，結合一次函數和二次函數的值域求法可知D正確.

/、x+2.x<-1/、

【詳解】對于A,因為/(x)=2,°,則/(—1)=—1+2=1,

x,-1<x<2

所以/(/(—1))=/。)=仔=1，故A正確；

對于B,當xV-1時，/(x)=x+2=3,解得：x=1(舍)；

當—l<x<2時，/(X)=X2=3,解得：x=-也(舍)或%=百；

???/(x)=3的解為》=百，故B正確；

對于C,當尤V-1時，/(x)=x+2<-l,解得：%<-3；

當一l<x<2時，f(x)=x2<1,解得：—1<X<1；

???/(x)<l的解集為(―8,—3)U(—1』)，故C錯誤；

對于D,當xV-1時，/(x)=x+2<-l+2=l；

當一l<x<2時，/(x)=x2e[0,4)；

\/(X)的值域為(7,4),故D正確.

故選：ABD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題(每小題5分)

12.已知/={1,2},8={126,7,8},且ACjB,滿足這樣的集合C的個數.

【答案】7

【解析】

【分析】根據子集和真子集概念的理解，從元素由少到多的順序將集合C逐個列舉即得.

【詳解】由題意，集合。可以取：口2,6},{1,2,7},{1,2,8},{1,2,6,7},{1,2,6,8},{1,2,7,8},{1,2,6,7,8}共

7個.

故答案為：7.

13.單板滑雪是北京冬奧會比賽項目之一，如圖，若AD=48m,某運動員自起跳點3起跳后的運動軌跡

（虛線部分）可近似看作一元二次函數圖象，運動員豎直高度〉（單位：m）與距離起跳點的水平距離x（單

13

位：m）近似滿足函數關系式y=-詢％2+^工+48（%>0）,則運動員豎直高度不低于48m時，水平距

離最多為m.

本豎直高度y/m

出發點…、

48m

D-

【答案】97.5

【解析】

【分析】由題意直接代入V248后解一元二次不等式即可;

【詳解】由題意可得，J>48,

即-----X2+-X+48>48,

1304

195

解得0<xV——,

2

因此，運動員水平距離最多為97.5m.

故答案為：97.5.

14.已知函數/（力=［可表示不大于x的最大整數，如［兀］=3,［―2.5］=—3則不等式（［x］+2）.［x］<0的

解集為______.

【答案】{》卜2<》<1}

【解析】

【分析】首先求解［x］的范圍，再根據函數/（x）=［x］的定義，即可求解.

【詳解】不等式(印+2)(引《0,得—2?[x]V0,

所以-2￡x<l,所以不等式的解集為{耳—24》<1}.

故答案為：{x卜2<X<1}

四、解答題

15.設全集0=乩集合/={x|l<xW5},集合5={x|T-2aKx<a—2}

(1)若a=4,求ZuB,4cB；

(2)若=求實數。的取值范圍.

【答案】(1)A[}B={x\\<x<2},A<JB={X\-9<X<5}

(2)[7,+oo)

【解析】

【分析】(1)由交集、并集運算即可求解；

(2)由AqB,列出不等式求解即可.

【小問1詳解】

當Q=4時，B={%|-9<x<2},

APlB={x|l<x<5}n{x|-9<x<2}={x|l<x<2},

AUB={x11<x<5}U{x|-9<x<2}={x|-9<x<5}.

【小問2詳解】

因為=4,所以4=8,

又<A={x\l<x<5}^0,.*.5^0,

a-2>-l-2a

BPJ-l-2a<l,

a-2>5

解得a27,

故實數。的取值范圍為[7,+8).

16.(1)已知/(4+1)=X+2A,求/(x)的解析式；

(2)已知函數g(x)=-x+2,VxeR,用加(x)表示/(x)、g(x)中的較小者，記為

m(x)=min(/(x),g(x)),求m(x)的解析式.

【答案】(1)/(x)=x-l(x>l)；(2)加(x)=<2

x,-2<x<1

【解析】

【分析】(1)令/=4+l，貝心之1,可得出4=1—1，x=(r-l)2,由此可得出/(/)的表達式，由此

可得出函數/(X)的解析式；

(2)分別解不等式/(x)<g(x)、f(x)>g(x),結合加(x)=min{/(x),g(x)}可得出函數加(x)的解

析式.

【詳解】(1)設/=6+1，則則6=f—1，所以，x=(t-l)2,

所以，/(/)=(/-1)2+2(/-1)=/2-1,其中的1,

則

(2)由/(x)<g(x),即/<—x+2，即Y+x—2<0，解得一2<x<l,

由/(x)Ng(x),即/2-》+2，即J+x—220，解得x4一2或x?l,

-x+2,x<-l^x>2

所以,m(x)=<

x2,-l<x<2

17.某住宅小區為了使居民有一個優雅、舒適的生活環境，計劃建一座八邊形的休閑場所.如圖，它的主體

造型平面圖是由兩個相同的矩形4BCD和ENG//構成的面積為100平方米的十字形地域.計劃在正方形

上建一座花壇，造價為每平方米。元；在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪彩色水磨石地坪，

造價為每平方米105元；再在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪，造價為每平方米40元.

(1)設2。長為x米，總造價為S元，求S關于x的函數解析式；

(2)若市面上花壇造價每平方米1000到3000元不等，該小區投入到該休閑場所的資金最多29500元，問

花壇造價最多投入每平方米多少元?

【答案】(1)5=(a-100)x2+^^+9500(0<x<10)；

X

(2)2100

【解析】

【分析】(1)利用幾何圖形的特征計算圖形面積即可；

(2)利用(1)的結論結合基本不等式可知9500429500,解不等式即可.

【小問1詳解】

由題意可得，正方形"AP0的面積為爐，陰影部分面積為100—

所以"匕三，且/M>0,則0<x<10,

4x

finn_2V

則5=4x2+105x(100—X2)+40X2X

I4x,

=(a-100)/+12^2+95oo(0<%<i0)；

X

【小問2詳解】

由(1)可知，S=(a-100)x2++9500>2^(a-100)x2x^^+9500

=20075(0-100)+9500(xe(0,10),ae[l000,3000]),

當且僅當(aTOO)/=50000時，即犬='。胃時,等號成立,

由于投入到該休閑場所的資金最多29500元，

所以20075("100)+9500<29500

解得aW2100,當a=2100時，x=石符合題意，

所以花壇造價最多投入每平方米2100元.

18.已知函數/(力=(?2+1)*-(加一1)1+加-1.

(1)當加<0時，解關于X的不等式/(x)?3x+加-2；

(2)若存在xe[0,2],使得不等式/(x)W12+2x成立，求實數加的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)

【解析】

【分析】（1）先把二次不等式化為（加+1）1-（加+2）x+120,然后分類討論解不等式即可；

Y+]

（2）參變分離，把能成立問題轉化為二------的最大值問題，換元后利用基本不等式求解即可.

X—X+1

【小問1詳解】

(m+l)x2-(m+2)x+l>0,所以(x-l)[(加+l)x—l]>0,

若加+1=0,即加=—1,上式可化為：x-l<0,解得x?l；

若加+1＜0,即加＜—1,上式可化為：（x—l）[x———]＜0,解得」一WxWl；

若加+1＞0,即一1＜加＜0,上式可化為：]＞0,

m+1

因為一1＜加＜0,所以0〈加+1＜1,所以一-一＞1,

m+1

所以：或—-一.

m+1

綜上可知：當加＜-1時，原不等式的解集為

m+1

當加二-1時，原不等式的解集為

當-1（加＜0時，原不等式的解集為（-8,1]U[二一,+8）.

m+1

【小問2詳解】

不等式/(x)W+2%,gp(m+l)x2-+x2+2%,

所以加(x2—%+1)4x+1,

Y+]

因為——x+i〉。恒成立，所以：m<-------.

X—X+1

YI1YI1

問題轉化為：存在xe[0,2],使得加V———成立，所以加—-)max,

X—X+1X—X+1

,.t_1

設g(x)=2"+/令/=x+le[l,3],則g⑹=/一1+3二1工1,

x~—x+l7—3+一

t

因為，+3?2j/x3=2G(當且僅當，=3,即/=百時取等號)，

tVtt

x+1<1_2班

所以g(x)=+1,當且僅當》=由-1時取等號.

x2—x+12-\/3—33

所以綜上可知：加的取值范圍為（一00,45+1].

【點睛】求參數的取值范圍問題，分離參數是常用的一種方法.通常把參數表示出來，而后轉化為恒成立或

存在性問題，通過求函數的值域或范圍來求解.

19.已知6克糖水中有“克糖3〉。〉0）,往糖水中加入加克糖（加＞0）,（假設全部溶解）糖水更甜了.

(1)請將這個事實表示為一個不等式，并證明這個不等式;

工皿,、弘/4、人2一〃20192020y20192017-1

(2)利用(1)的結論比較M=------------,N=-----------的大小;

2023202420232021

XVz

(3)證明命題：設x>0,y>0,z>0,證明：1<——+二一+——<2.

x+yy+zz+x

aa+m

【答案】（1）-＜--，（冽＞0）,證明見解析

bb+m

(2)M>N

（3）證明見解析

【解析】

aa+m

【分析】（1）根據題意，得到不等式------，（加＞0）,結合作差比較法，即可得證;

bb+m

2019202020192017+3

(2)根據題意，化簡M=NUONUNU二NS/十D,利用上述結論，即可求解;

2023202420232021+3

xx+zyy+xzz+v

(3)由（1）中的結論，得到-----<----------，^―<,<———,證得

x+yx+y+zy+zy+z+xz+xz+x+y

Xz-