勾股定理(6個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類題型突破)

01思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理知識(shí)點(diǎn)04勾股數(shù)

知識(shí)點(diǎn)02勾股定理證明勾股定理知識(shí)點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)03勾股定理逆定理知識(shí)點(diǎn)06平面展開(kāi)圖-最短路徑問(wèn)題

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.V

如圖：直角三角形N2C的兩直角邊長(zhǎng)分別為“b,斜邊長(zhǎng)為c,那么直角邊。7^

a2+b2=c2.c------1,一

直角邊

注意：(1)勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+b^-2ab.

運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；

3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段

知識(shí)點(diǎn)02勾股定理證明

（1）鄒元治證法（內(nèi)弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中，力用38=3+與2=1+4'（如，所以/+*=△

（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中“力-cD=c2=（8-a）2+4x；a口所以02=/+必

（3）總統(tǒng)證法：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

國(guó)“=婦第2=2乂興+吳，所以M+/U

知識(shí)點(diǎn)03勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)。，b,c,滿足/+〃=。2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如C）.

（2）驗(yàn)證。2與/+〃是否具有相等關(guān)系.若/=/+〃，則△/5C是NC=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,則△NBC不是直角三角形.

注意:當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)/+〃〉02時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中。為

三角形的最大邊.

知識(shí)點(diǎn)04勾股數(shù)

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)

知識(shí)點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在

具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第

三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.

知識(shí)點(diǎn)06平面展開(kāi)圖-最短路徑問(wèn)題

幾何體中最短路徑基本模型如下：

2

圓柱階梯問(wèn)題長(zhǎng)方體

基本思路：將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線,構(gòu)造直角三角形，利用

勾股定理求解

03題型歸納

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長(zhǎng)

例題：（23-24八年級(jí)上?福建泉州?期末）一直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則斜邊的長(zhǎng)是.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?吉林松原?期中）如圖，原來(lái)從/村到2村，需要沿路/f8（ZC=90°）繞過(guò)兩

地間的一片湖，在/、8間建好橋后，就可直接從/村到8村.若NC=5km,8C=12km,那么建好橋后從月

村到B村比原來(lái)減少的路程為km.

2.（23-24八年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?期中）在直角“8C中，AB=8,AC=6,則3c的長(zhǎng)為

3.（23-24七年級(jí)下?安徽馬鞍山?期中）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為9和12,則這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為—.

題型二以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積

例題：（23-24八年級(jí)下?湖南湘西?期中）如圖所示，如果正方形/的面積為625,正方形8的面積為400,

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?黑龍江大慶?期中）如圖，正方形4瓦C的邊長(zhǎng)分別為直角三角形的三邊長(zhǎng)，若正方形48

3

的邊長(zhǎng)分別為4和8,則正方形C的面積為

2.（23-24八年級(jí)下?黑龍江大慶?期中）如圖，在中，ZC=90°,分別以42、BC、/C為直徑作

半圓，圖中陰影部分圖形稱為“希波克拉底月牙”.當(dāng)N8=13,BC=5時(shí)，則陰影部分的面積為一.

3.（2024?四川成都?二模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方

形4B、。的面積依次為5、13、30,則正方形C的面積為.

題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問(wèn)題

例題：（23-24八年級(jí)下?湖北武漢?期中）在如圖的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,4B、C三點(diǎn)均在正方

形格點(diǎn)上，則點(diǎn)A到直線BC的距離是.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)4B,C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)

上，8，48于點(diǎn)。.則的長(zhǎng)為.

4

A

D

C

2.（23-24八年級(jí)下?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)

A,B,C都在格點(diǎn)上，求8C邊上的高長(zhǎng)=.

3.（23-24七年級(jí)上?山東泰安?期末）如圖所示，03c的頂點(diǎn)/、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,

BD1AC于點(diǎn)D,則BD的長(zhǎng)為.

題型四勾股數(shù)的判斷

例題：（23-24八年級(jí)下?廣東湛江?階段練習(xí)）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.1,2,3

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名

的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

2.（23-24八年級(jí)下?廣西來(lái)賓?期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.13,14,15B.4,5,6C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41

3.（23-24八年級(jí)下?江西新余?期中）下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）

35

A.9,40,41B.5,6,7C.2,-D百，"，石

5

題型五判斷能否構(gòu)成直角三角形

例題：（23-24八年級(jí)下?安徽淮北?期中）在“BC中，NA,ZB,/C的對(duì)邊分別是a,b,c.下列條件

不能說(shuō)明是直角三角形的是（）

A.Z.A=ZC-Z5B.a:6:c=5:12:13

C.（b+c）（b-c）=a2D.a=3+k,b=4+k,c=5+k（k>0）

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?四川成都?期中）滿足下列條件的。8C,其中是直角三角形的為（）

A.ZA:Z5:ZC=34:5B.AB：BC：NC=3：4：5

C.AB=\,BC=4,AC=5D.N/=30。，ZB=75°

2.（23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中）下列條件中，不能判斷"8C為直角三角形的是（）

A.a2=2>b2=3,c2=5B.a:6:c=5:12:13

C.NA+NB=NCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

3.（23-24八年級(jí)下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）“8C中，乙4、NB、/C的對(duì)邊分別為“、b、c,下列條

件中，不能判定“8C是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.（a+6）（a-6）="

C.ZA+ZB=ZCD.a:b:c=l:百：2

題型六在網(wǎng)格中判斷直角三角形

例題：（23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中）如圖，“BC在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖中，頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）

A.BC=5B.“3C的面積為5

D點(diǎn)A到3C的距離為；

C.44=90。

2

鞏固訓(xùn)練

1.（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在四個(gè)均由十六個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有一個(gè)三角

形，那么這四個(gè)三角形中，不是直角三角形的是（）

6

A.

2.(23-24八年級(jí)下?遼寧鞍山?期中)如圖,在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

(1)求。8C的周長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)P為直線AC上任意一點(diǎn)，則線段BP的最小值為.

3.(23-24八年級(jí)下?廣東珠海?期中)如圖，四邊形Z3CD的四個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)

⑴求四邊形N8CD的面積；

(2)判斷線段2C和CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

題型七利用勾股定理的逆定理求解

例題：(23-24八年級(jí)下?江西吉安?階段練習(xí))在四邊形Z8CD中，已知/8=/。=8,乙4=60。，BC=IO,

CD=6.

(1)連接瓦〉試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)求/4DC的度數(shù).

鞏固訓(xùn)練

7

1.(23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中)如圖，在中，AD1BC,垂足為。,AD=9,40=12,CD=16.

⑴求/C的長(zhǎng)；

(2)判斷A/8C的形狀，并說(shuō)明理由.

2.(23-24八年級(jí)下?重慶長(zhǎng)壽?期中)如圖,在四邊形N5CD中，已知/5=90。，AACB=30°,AB=3,

AD=10,CZ>=8.

(1)求線段2c的長(zhǎng)；

(2)求證：ANCD是直角三角形.

3.(23-24八年級(jí)下?湖北黃石?期中)如圖，四邊形23CD中，zB=90°,NC為對(duì)角線，DEIAC^E,

AB=8,BC=6,CD=2底,AD=25.

(1)確定NNDC的度數(shù);

(2)求線段DE的長(zhǎng).

題型八勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用

例題：(23-24八年級(jí)下?廣東湛江?階段練習(xí))如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)

取水點(diǎn)A,B,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取

水點(diǎn)〃(A,H,3)在同一條直線上)，并新修一條路CH,測(cè)得C8=L5千米，S=1.2千米，HB=0.9

8

千米.問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊最近的路？請(qǐng)說(shuō)明理由.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?陜西西安?期中）如圖，陽(yáng)光中學(xué)有一塊四邊形的空地/BCD,為了綠化環(huán)境，學(xué)校計(jì)

劃在空地上種植草皮.經(jīng)測(cè)量乙4=90。，AB=9m,DA=\2m,BC=8m,CD=17m,若每平方米草皮需要

100元，種植這塊草皮需要投入多少資金？（其他費(fèi)用不計(jì)）

D

,Jo

AB

2.（23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中）如圖，在筆直的公路42旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停

靠站/的距離為/C=15km,與公路上另一停靠站3的距離為BC=20km,停靠站/,3之間的距離為

/8=25km,為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路42上的。處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到C處，且C0JL/8.

⑴求證：乙4cB=90°；

（2）求修建的公路CD的長(zhǎng).

3.（23-24八年級(jí)下?河北衡水?階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地/BCD,48=15m,CD=8m,

AD=\^m.從點(diǎn)/修了一條垂直8C的小路4E（垂足為E）,￡恰好是8C的中點(diǎn)，且/E=12m.

9

(1)求邊的長(zhǎng)；

(2)連接/C,判斷△4DC的形狀;

(3)求這塊空地的面積.

題型九應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速與受影響問(wèn)題

例題：(23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中)某段公路限速是27m/s.“流動(dòng)測(cè)速小組”的小王在距離此公路400m

的/處觀察，發(fā)現(xiàn)有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，可疑汽車從C處行駛10s后到達(dá)

B處,測(cè)得NB=500m,若AC/BC.求出速度并判斷可疑汽車是否超速？

1.(23-24八年級(jí)下?廣西玉林?期中)某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過(guò)

75km/h,如圖，一輛小汽車在該筆直路段/上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面的車速檢測(cè)儀A的正前方

30m的點(diǎn)C處，2s后小汽車行駛到點(diǎn)3處，測(cè)得此時(shí)小汽車與車速檢測(cè)儀A間的距離為50m,

ZACB=90°.

7Z

車速檢測(cè)儀

⑴求8c的長(zhǎng).

(2)這輛小汽車超速了嗎？并說(shuō)明理由.

2.(2024?湖南永州?模擬預(yù)測(cè))如圖某貨船以20海里/h的速度將一批重要的物資由A處運(yùn)往正西方向的8處,

經(jīng)16〃的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí)，接到氣象部門的通知，一臺(tái)風(fēng)中心、以40海里4的速度

由A處向北偏西60。方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里以內(nèi)的圓形區(qū)域會(huì)受到影響.(6al.73)問(wèn)：

10

北

(1)5處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如果B處受到臺(tái)風(fēng)影響，那么求出影響的時(shí)間.

3.(23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中)6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞

力.如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向48由/向8移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線28上的兩點(diǎn)

/、3的距離分別為NC=300km,BC=400km,又48=500km,經(jīng)測(cè)量，距離臺(tái)風(fēng)中心260km及以內(nèi)的

地區(qū)會(huì)受到影響.

⑴海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎?為什么？

(2)若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為20千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)?

題型十應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問(wèn)題

例題：(23-24八年級(jí)下?廣東珠海?期中)如圖，在筆直的鐵路上/、8兩點(diǎn)相距7km,C,。為兩村莊，

。/=31?11,。8=41<111,。/_148于/,C8_L48于反現(xiàn)要在上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E,使得C,。兩村到E站

的距離相等，求/￡的長(zhǎng).

AEB

D\