第26講互斥事件和獨立事件目標導航目標導航課程標準課標解讀1.結合實例，會用頻率估計概率。2.隨機事件的獨立性：結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義。結合古典概型，利用獨立性計算概率。1.通過事件之間的運算，理解互斥事件和對立事件的概念.2.在具體情境中，了解兩個事件相互獨立的概念；能利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題。3.理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系；能初步利用概率知識解釋現(xiàn)實生活中的概率問題；了解隨機模擬的含義，會利用隨機模擬估計概率。知識精講知識精講知識點01互斥事件和對立事件1.互斥事件的定義對于事件A和事件B，若AB=?，即事件A與B不可能發(fā)生。這時，我們稱A，B為。2.對立事件的定義對于事件A和事件C，若AC=?，并且A+C=Ω，即互斥事件A，C中必有發(fā)生。這時，我們稱A，C為，記作或。【微點撥】若兩個事件對立，則這兩個事件是互斥事件；反之，若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件未必是對立事件。對立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是對立事件，則事件A與事件B互斥，而且A∪B是必然事件。3.概率的加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的，即P(A+B)=。(2)互斥事件可以推廣到n個事件的情形(n∈N，n>2)：如果事件中任何兩個事件都是互斥事件，那么稱事件兩兩互斥。如果事件，兩兩互斥，那么。4.隨機事件的概率的其他常用性質（1）（2）當A?B時，；（3）當A，B不互斥時，。【微點撥】(1)概率的加法公式的應用前提是“事件A與事件B互斥”，否則不可用.對立事件的概率公式使用的前提必須是對立事件，否則不能使用。(2)當一個事件的概率不易直接求出，但其對立事件的概率易求時，可運用對立事件的概率公式，即可使用間接法求概率。【即學即練1】如圖，隨機事件A，B互斥，記分別為事件A，B的對立事件，那么（）A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件C．與一定互斥 D．與一定不互斥知識點02相互獨立事件1.相互獨立事件的定義一般地，如果事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，那么稱A，B為事件。事件A，B相互獨立。2.性質：如果事件A與事件B相互獨立，那么A與B，A與B，與也相互。3.獨立事件可以推廣到n個事件的情形(n∈N，n>2)。一般地，如果事件相互獨立，那么4.相互獨立事件與互斥事件的概率計算已知兩個事件A，B，它們的概率為P(A)，P(B)，將A，B中至少有一個發(fā)生記為事件A+B，都發(fā)生記為事件AB，都不發(fā)生記為事件恰有一個發(fā)生記為事件，至多有一個發(fā)生記為事件。概率A，B互斥A，B相互獨立P(A+B)P(AB)0P(A)+P(B)1【即學即練2】已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人的錄取結果相互之間沒有影響，則他們三人中至少有一人被錄取的概率為（

）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法01互斥事件概率的加法公式【典例1】進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會?經(jīng)濟?生態(tài)等多方面的效益，是關乎生態(tài)文明建設全局的大事.為了普及垃圾分類知識,某學校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為，乙同學答對每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結果互不影響.已知每題甲、乙兩位同學中恰有一人答對的概率為.(1)求的值及每題甲、乙兩位同學同時答對的概率；(2)試求兩人答對的題數(shù)之和為3的概率.考法02獨立事件的乘法公式【典例2】11分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．已知甲乙兩位同學進行11分制乒乓球比賽，雙方10：10平后，甲先發(fā)球?假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．(1)求事件“兩人又打了2個球比賽結束”的概率：(2)求事件“兩人又打了4個球比賽結束且甲獲勝”的概率．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．下列說法正確的是（）A．互斥事件與對立事件含義相同B．互斥事件一定是對立事件C．對立事件一定是互斥事件D．對立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件2．下列各組事件中，是對立事件的是（

）A．一名射手在一次射擊中，命中環(huán)數(shù)大于6與命中環(huán)數(shù)小于8B．統(tǒng)計一個班的數(shù)學成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分C．擲一枚骰子，向上點數(shù)為奇數(shù)與向上點數(shù)為偶數(shù)D．某人連續(xù)投籃三次，恰有兩次命中與至多命中一次3．采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計算機給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結果，經(jīng)隨機模擬產生了20組隨機數(shù):75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為（

）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.754．已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（

）．A． B． C． D．5．某單位入職面試中有三道題目，有三次答題機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止.若求職者小王答對每道題目的概率都是，則他最終通過面試的概率為（

）A． B． C． D．6．從m名男生和n名女生中任選3人去參加演講比賽，所選3人中至少有1名女生的概率為，那么所選3人都是男生的概率為______.7．若，為互斥事件，，，則______.8．若事件A、B是對立事件，則______.9．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知從中取出粒都是黑子的概率是，從中取出粒都是白子的概率是，則從中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.10．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得．1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，其余均為不中獎．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為，，，求：(1)事件，，的概率；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．題組B能力提升練1．若甲?乙?丙在10分鐘之內獨立復原魔方的概率分別為，則甲?乙?丙至多有一人在10分鐘之內獨立復原魔方的概率為（

）A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.352．袋內分別有紅?白?黑球個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．恰有一個白球；一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；紅?黑球各一個3．已知事件A與事件B是互斥事件，則（

）A． B．C． D．4．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有1個黑球與都是黑球 B．至少有1個黑球與至少有1個紅球C．至少有1個黑球與都是紅球 D．恰有1個黑球與恰有2個黑球5．現(xiàn)有7名世界杯志愿者，其中，，通曉日語，，通曉韓語，，通曉葡萄牙語，從中選出通曉日語、韓語、葡萄牙語志愿者各一名組成一個小組，則，不全被選中的概率為______．6．甲、乙、丙三名同學將參加2023年高考，根據(jù)高三年級半年來的各次測試數(shù)據(jù)顯示，甲、乙、丙三人數(shù)學能考135分以上的概率分別為，和.設三人是否考135分以上相互獨立，則這三人在2023年高考中至少有兩人數(shù)學考135分以上的概率為_____________.7．某小組有3名男生和2名女生，從中任選出2名同學去參加演講比賽，有下列4對事件：①至少有1名男生和至少有1名女生，②恰有1名男生和恰有2名男生，③至少有1名男生和全是男生，④至少有1名男生和全是女生，其中為互斥事件的序號是__．8．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，黑球或黃球的概率是，綠球或黃球的概率也是.求從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少？9．在一個不透明的盒子里裝有大小、質地完全相同的球12個，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中任取1個球.記事件A為“取出的球為紅球”，事件B為“取出的球為黑球”，事件C為“取出的球為白球”，事件D為“取出的球為綠球”.求:(1)“取出的球為紅球或黑球”的概率;(2)“取出的球為紅球或黑球或白球”的概率.10．某校團委舉辦“喜迎二十大，奮進新征程”知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.題組C培優(yōu)拔尖練1．從一批產品（既有正品也有次品）中隨機抽取三件產品，設事件A=“三件產品全不是次品”，事件B=“三件產品全是次品”，事件C=“三件產品有次品，但不全是次品”，則下列結論中不正確的是（

）A．A與C互斥 B．B與C互斥C．A、B、C兩兩互斥 D．A與B對立2．已知，，，則事件與的關系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨立 D．與既互斥又獨立3．（多選題）下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（

）A．某學生在上學的路上要經(jīng)過個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第個路口首次遇到紅燈的概率為B．已知集合，，集合中任取一個元素，則該元素是集合中的元素的概率為C．甲袋中有個白球，個紅球，乙袋中有個白球，個紅球，從每個袋子中各任取一個球，則取到同色球的概率為D．設兩個獨立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是4．（多選題）設為兩個互斥的事件，且，則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．5．2022北京冬奧會期間，吉祥物冰墩墩成為“頂流”，吸引了許多人購買，使一“墩”難求.甲?乙?丙3人為了能購買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購買，若甲?乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，丙購買到冰墩墩的概率為，則甲，乙?丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為___________.6．甲?乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲?乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，則“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為___________.7．為了紀念2017年在德國波恩舉行的聯(lián)合國氣候大會，某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎問答比賽》活動．某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環(huán)保知識的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是．若各家庭回答是否正確互不影響．(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率．8．為普及消防安全知識，某學校組織相關知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(3)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.9．某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三人通過初賽，進入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結束后，勝利者和丙進行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進行下一局比賽，直到一人累計獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結束.假設每局比賽雙方獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨立.(1)求比賽進行四局結束的概率；(2)求甲獲得比賽勝利的概率.10．第56屆世界乒乓球團體錦標賽于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽