第25講隨機事件的概率目標導航目標導航課程標準課標解讀1.結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率。2.通過實例，理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則。1、通過閱讀課本，查閱資料，并能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數量的區別與聯系.2、認真閱讀課本，在讀書過程中學會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯系與區別.3、.在認真學習的基礎上，理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關的概念．學會向量的表示方法.知識精講知識精講知識點01隨機事件的概率1.概率的定義一般地，對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率會在某個常數附近擺動并趨于，我們可以用這個常數來刻畫隨機事件A發生的可能性大小，并把這個常數稱為隨機事件A的，記作。2.概率的基本性質(1)對任意的事件A，都有。(2)對于必然事件Ω和不可能事件空集，顯然，。3.頻率的穩定性若隨機事件A在n次試驗中發生了m次，則當試驗次數n很大時，可以用事件A發生的頻率來估計事件A的概率，即。【微點撥】頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值，隨著試驗次數的增加，頻率會逐漸穩定于概率。【即學即練1】下列說法不正確的是（

）A．必然事件是一定條件下必定發生的事件B．不可能事件是一定條件下必然不會發生的事件C．隨機事件是在一定條件下可能發生也可能不發生的事件D．事件A發生的概率一定滿足知識點02古典概型1.等可能基本事件：在一次試驗中，每個基本事件發生的可能性都相同，這時也稱這些基本事件為基本事件。2.古典概型的定義考察一些試驗，具有以下兩個特點：(1)樣本空間Ω只含有有限個樣本點；(2)每個基本事件的發生都是的。我們將滿足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為。3.古典概型的概率公式在古典概型中，如果樣本空間(其中，n為樣本點的個數)，那么每一個基本事件發生的概率都是。如果事件A由其中m個等可能基本事件組合而成，即A中包含m個樣本點，那么事件A發生的概率為。【即學即練2】某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如下表（沒有罰球）：投籃次數投中兩分球的次數投中三分球的次數1005518記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中不正確的是（

）A．P(A)=0.55 B．P(B)=0.18 C．P(C)=0.27 D．P(B＋C)=0.55能力拓展能力拓展考法計算古典概型的概率【典例1】某次高三年級模擬考試中，數學試卷有一道滿分10分的選做題，學生可以從A，B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學生參加了本次考試，為了了解該校學生解答該選做題的得分情況，為下一步教學作參考依據，計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本.現采用分層抽樣，按照學生選擇A題目或B題目將成績分為兩層.已知該校高三學生有540人選做A題目，有360人選做B題目，選取的樣本中，A題目的成績平均數為5，方差為2，B題目的成績平均數為5.5，方差為0.25.(1)用樣本估計該校這900名考生選做題得分的平均數與方差；(2)本選做題閱卷分值都為整數，且選取的樣本中，A題目成績的中位數和B題目成績的中位數都是5.5.從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數據做進一步調查，求取到的兩個成績來自不同題目的概率.【典例2】全國愛衛辦組織開展“地級市創衛工作”滿意度調查工作,2023年2月14日24日在網上進行問卷調查,該調查是國家衛生城市評審的重要依據,居民可根據自身實際感受,對所在市創衛工作作出客觀、公正的評價.現隨機抽取了100名居民的問卷進行評分統計,評分的頻率分布直方圖如圖所示,數據分組依次為:(1)求的值以及這100名居民問卷評分的中位數；(2)若根據各組的頻率的比例采用分層隨機抽樣的方法,從評分在[65,70)和[70,75)內的居民中共抽取6人,查閱他們的答卷情況,再從這6人中選取2人進行專項調查,求這2人中恰有1人的評分在內的概率.分層提分分層提分題組A基礎過關練1．從含有三件正品和一件次品的產品中任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是（

）A． B． C． D．2．如圖所示的《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國古畫，該圖中小孩有撲棗的爬、扶、撿、頂四個動作，現有兩個孩童分別隨機選擇其中的一個動作進行模仿，則兩個孩童選擇模仿的動作相同的概率為（

）A． B． C． D．3．下列事件中是隨機事件的是（

）A．所有四邊形的內角和為180°B．通常加熱到100℃，水沸騰C．袋中有2個黃球，3個綠球，共5個球，隨機摸出一個球是紅球D．拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上4．“是實數，”這一事件是（

）A．必然事件 B．不確定事件C．不可能事件 D．隨機事件5．某工廠生產的產品的合格率是99.99%，這說明（

）A．該廠生產的10000件產品中不合格的產品一定有1件B．該廠生產的10000件產品中合格的產品一定有9999件C．該廠生產的10000件產品中沒有不合格的產品D．該廠生產的產品合格的可能性是99.99%6．哥德巴赫猜想的部分內容如下：任一大于2的偶數可以表示為兩個素數（素數是在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數）之和，如18＝7+11.在不超過16的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于16的概率是_______.7．某人拋圖釘250次，其中釘尖向上有70次，釘尖向上的經驗概率是______.8．在一個不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有50個，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗后發現其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩定在30%和40%，則口袋中白色球的個數可能是__________個．9．在10個學生中，男生有個，現從10個學生中任選6人去參加某項活動.①至少有一個女生;②5個男生，1個女生;③3個男生，3個女生.當為何值時，使得①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機事件?10．有1號、2號、3號三個信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完為止，其中A信恰好投入1號或2號信箱的概率是多少？題組B能力提升練1．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多種類，在我國的云南及周邊各省都有分布，春暖花開的時候是放蜂的大好時機，養蜂人甲在某地區放養了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，養蜂人乙在同一地區放養了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中學生物小組在上述地區捕獲了1只黑小蜜蜂，假設每箱中蜜蜂的數量相同，那么，該生物小組的同學認為這只黑小蜜蜂是養蜂人放養的比較合理（

）A．甲 B．乙C．甲和乙 D．不能確定2．某商場對某一商品搞活動，已知該商品每個的進價為3元，售價為8元，每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售，該商場統計了近10天這種商品的銷售量，如圖所示.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率為（

）A． B．C． D．3．現有6個大小相同?質地均勻的小球，球上標有數字1，3，3，4，5，6.從這6個小球中隨機取出兩個球，如果已經知道取出的球中有數字3.則所取出的兩個小球上數字都是3的概率為（

）A． B． C． D．4．一種電路控制器在出廠時，每4件一等品裝成一箱．工人裝箱時，不小心將2件二等品和2件一等品裝入了一箱，為了找出該箱中的二等品，需要對該箱中的產品逐件進行測試．假設檢測員不知道該箱產品中二等品的具體數量，則測試的第2件產品是二等品的概率為（

）A． B． C． D．5．一個盒子中有若干白色圍棋子，為了估計其中圍棋子的數目，小明將100顆黑色的圍棋子放入其中，充分攪拌后隨機抽出了20顆，數得其中有5顆黑色的圍棋子，根據這些信息可以估計白色圍棋子的數目約為（

）A．200顆 B．300顆 C．400顆 D．500顆6．若，則方程有實根的概率為________．7．某種福利彩票的中獎概率為0.1％，若某人買這種彩票999次，均未中獎，則此人第1000次買這種彩票中獎的概率為__________．8．已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋棗味?3袋原味，若小明從中任取兩袋，則取到棗味牛奶的概率為__________.9．某中學從甲、乙兩個班中各選出15名學生參加知識競賽，將他們的成績（滿分100分）進行統計分析，繪制成如圖所示的莖葉圖.設成績在88分以上（含88分）的學生為優秀學生，現從甲、乙兩班的優秀學生中各取1人，記甲班選取的學生成績不低于乙班選取得學生成績記為事件，則事件發生的概率___________.10．2022年秋季學期，全國各省（區、市）已全面實施新課程新教材.為了加快新課程新教材的實施，促進教考有效銜接，某市教育部門組織該市全體新高一教師在暑假期間進行相關學科培訓，培訓后舉行測試（滿分100分）.現從該市參加測試的數學老師中抽取了120名老師并統計他們的測試分數，將成績分成六組：第一組，第二組，…，第六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值以及這120人中測試成績在的人數；(2)若要從第四、五、六組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔當分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率.題組C培優拔尖練1．在6月6日第27個全國“愛眼日”即將到來之際，教育部印發《關于做好教育系統2022年全國“愛眼日”宣傳教育工作通知》，呼吁青年學生愛護眼睛，保護視力．眾所周知，長時間玩手機可能影響視力．據調查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學生每天玩手機超過2h，這些人的近視率約為50%．現從每天玩手機不超過2h的學生中任意調查一名學生，則該名學生近視的概率為（

）A． B． C． D．2．獨立地重復一個隨機試驗次，設隨機事件發生的頻率為，隨機事件發生的概率為，有如下兩個判斷：①如果是單元素集，則；②集合不可能只含有兩個元素，其中（

）A．①正確，②正確 B．①錯誤，②正確C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②錯誤3．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝，若雙方均不知道對方馬的出場順序，則田忌獲勝的概率為（

）A． B．C． D．4．七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動人民的發明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學用邊長為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形．若該同學從5個三角形中任取出2個，則這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和的概率是（

）A． B． C． D．5．下述關于頻率與概率的說法中，錯誤的是（

）A．設有一大批產品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品B．做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現正面，因此，拋一枚硬幣出現正面的概率是C．隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率D．利用隨機事件發生的頻率估計隨機事件的概率，如果隨機試驗的次數超過10000，那么所估計出的概率一定很準確6．某高中有學生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經計算得到男生身高樣本均值為170，方差為17；女生身高樣本均值為160，方差為30.下列說法中正確的是（

）A．男生樣本容量為30B．每個女生被抽入到樣本的概率均為C．所有樣本的均值為166D．所有樣本的方差為46.27．已知函數，集合，現從中任意取出若干個元素組成函數的定義域，則函數的值域為的概率為________．8．若和是定義在同一區間上的兩個函數，對任意，都有，則稱和是“親密函數”，設，，若，，則和是“親密函數”的概率為________．9．某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試，現從中隨機抽取40名學生的測試成績，整理數據并按分數段，，，，，進行分組，假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖（如下）．(1)體育成績大于或等于70分的學生常被稱為“體育良好”．已知該校高一年級有1000名學生，試估計高一全年級中“體育良好”的學生人數；(2)為分析學生平時的體育活動情況，現從體有成績在和的樣本學生中隨機抽取2人，求在抽取的2名學生中，恰有1人體育成績在的概率；(3)假設甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在，，