微點(diǎn)突破-追及相遇問(wèn)題

【目標(biāo)要求】1.掌握處理追及相遇問(wèn)題的方法和技巧。2.會(huì)在圖像中分析追及相遇問(wèn)題。3.熟

練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像解決追及相遇的綜合問(wèn)題。

考點(diǎn)一追及相遇問(wèn)題

追及相遇問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是分析兩物體在相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置。追及相遇問(wèn)題

的基本物理模型：以甲追乙為例。

1.二者距離變化與速度大小的關(guān)系

(1)無(wú)論/甲增大、減小或不變，只要“產(chǎn)/乙，甲、乙間的距離就不斷增大。

(2)若/甲=/乙，甲、乙間的距離保持不變。

(3)無(wú)論/甲增大、減小或不變，只要“6/乙，甲追上乙前，甲、乙間的距離就不斷減小。

2.分析思路

可概括為“一個(gè)臨界條件”“兩個(gè)等量關(guān)系”。

(1)一個(gè)臨界條件：速度相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，

也是分析、判斷問(wèn)題的切入點(diǎn)；

(2)兩個(gè)等量關(guān)系：時(shí)間等量關(guān)系和位移等量關(guān)系。通過(guò)畫草圖找出兩物體的位移關(guān)系是解題

的突破口。

3.常見(jiàn)追及情景

(1)初速度小者追初速度大者：當(dāng)二者速度相等時(shí)，二者距離最大。

(2)初速度大者追初速度小者(避碰問(wèn)題)：二者速度相等是判斷是否追上的臨界條件，若此時(shí)

追不上，二者之間有最小值。

物體B追趕物體A：開(kāi)始時(shí)，兩個(gè)物體相距猶，當(dāng)m=%時(shí)，若XB>XA+XO，則能追上；若

XB=XA+XO,則恰好追上；若XB<XA+XO，則不能追上。

特別提醒：若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停

止運(yùn)動(dòng)。

【例1】(2023,廣東汕頭市質(zhì)檢)某一長(zhǎng)直的賽道上，一輛賽車前方200m處有一安全車正以

10m/s的速度勻速前進(jìn)，這時(shí)賽車從靜止出發(fā)以2m/s2的加速度追趕。求：

(1)賽車出發(fā)3s末的瞬時(shí)速度大小；

⑵賽車追上安全車所需的時(shí)間及追上時(shí)的速度大小;

⑶追上之前兩車的最大距離。

答案(1)6m/s(2)20s40m/s(3)225m

解析(1)賽車出發(fā)3s末的瞬時(shí)速度大小為

H=Q"I=2X3m/s=6m/so

⑵設(shè)經(jīng)亥時(shí)間追上安全車，由位移關(guān)系得

W2+2OOm=~ait21,解得揚(yáng)=20s

2

此時(shí)賽車的速度片012=2X20m/s=40m/s

(3)方法一物理分析法

當(dāng)兩車速度相等時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)

由4=4也得兩車速度相等時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間

t3=—=^S=5S,追上之前兩車最遠(yuǎn)相距

a\2

As=%/3+200m--6Z1/32

2

2

=(10X5+200-1x2X5)m=225mo

方法二二次函數(shù)法

As=X/+200—10^+200—Z2

2

—h—10

當(dāng)，=---=-------^=5s時(shí)，As有極值，相距最遠(yuǎn)，將/=5s代入解得Asmax=225m。

2a2X(-1)

方法三圖像法

從圖像可知，當(dāng)賽車速度等于安全車速度時(shí)，即4=。"=10m/s,得，=5S時(shí)相距最遠(yuǎn)，Asmax

%.

=I4)t——,+200m=225m。

2

拓展若當(dāng)賽車剛追上安全車時(shí)，賽車手立即剎車，使賽車以4m/s2的加速度做勻減速直線

運(yùn)動(dòng)，則兩車再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間第二次相遇？(設(shè)賽車可以從安全車旁經(jīng)過(guò)而不相碰，用物理分

析法和圖像法兩種方法解題)

答案20s

解析方法一,：物理分析法

假設(shè)再經(jīng)〃時(shí)間兩車第二次相遇(兩車一直在運(yùn)動(dòng))，由位移關(guān)系得(44—1?2^42=W4

解得〃=15s

\z40

賽車停下來(lái)的時(shí)間t'==—s=10s

。24

所以〃=15s不符合實(shí)際，兩車第二次相遇時(shí)賽車已停止運(yùn)動(dòng)

一砂

設(shè)再經(jīng)時(shí)間為兩車第二次相遇，應(yīng)滿足——=/玄，解得，5=20S。

2a2

方法二：圖像法

賽車和安全車的廣￡圖像如圖。由圖知/=1OS,賽車停下時(shí)，安全車的位移小于賽車的位移,

由段)，5=——,得，5=20S。

2a2

【例2】(2023?湖南長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)檢測(cè))現(xiàn)有A、B兩列火車在同一軌道上同向勻速行駛，A

車在前，其速度以=10m/s,B車速度%=40m/s。因大霧能見(jiàn)度低，B車在距A車d=

900m時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有A車，此時(shí)B車立即剎車，但B車要減速2000m才能夠停止。

(1)B車剎車后減速運(yùn)動(dòng)的加速度多大？

(2)B車剎車力=20s后，兩車距離多少？

(3)B車剎車，2=30s后，A車開(kāi)始勻加速，則至少以多大加速度QA加速前進(jìn)才能避免事故？

答案(1)0.4m/s?(2)380m(3)0.5m/s2

解析(1)設(shè)B車減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為42,

則有0——2〃加1

l/h2402

解得。2=——=-----------m/s2=0.4m/s2

2xi2X2000

(2)設(shè)B車從剎車到停止的時(shí)間為，，

則YKs=ioos

B車剎車九=20s運(yùn)動(dòng)的位移為

xi=怎介―1。202=720m

2

B車剎車九=20s,A車運(yùn)動(dòng)的位移大小

X2=%九=10X20m=200m

B車剎車九=20s后，兩車的距離Ax=d+i2一修=900m+200m—720m=380m

(3)B車剎車/2=30s后，B車運(yùn)動(dòng)的速度

%'=0一。2勿=40m/s—0.4X30m/s=28m/s

B車運(yùn)動(dòng)的位移

工3=%打―1。2勿2=1020m

2

A車運(yùn)動(dòng)的位移X4=^2=300m

A、B兩車的距離為/=d+x4-%3=180m

為保證兩車恰好不相撞，則B車追上A車時(shí)兩車速度恰好相等

設(shè)B車減速，秒時(shí)兩車的速度相同，有

修'—at=x=M+-a^t2

2A2

2

XB=t~~a2tXB—XA=d'

29

2r

(%/-l^)-2a2d

解付QA=---------------------------=0.5m/s2

Id,o

■總結(jié)提升一

解答追及相遇問(wèn)題的三種方法

抓住“兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，建立物

物理分析法體運(yùn)動(dòng)情景圖，分析兩物體的速度大小關(guān)系，利用速度相等時(shí)兩物體的

位置關(guān)系，判斷能否追上、二者相距最近或最遠(yuǎn)

設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間看，二者間的距離AX=XB+XO—XA,假設(shè)追上，Ax=0,方程

函數(shù)方程判

中八="一4這，A<0,追不上；A=0,恰好追上，一解；A>0,兩解或發(fā)

斷法

生了相撞；或利用函數(shù)極值求解二者距離最大值或最小值

將兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的速度一時(shí)間關(guān)系或位移一時(shí)間關(guān)系畫在同一圖像中，

圖像法

然后利用圖像分析求解相關(guān)問(wèn)題

考點(diǎn)二圖像中的追及相遇問(wèn)題

1.X—,圖像、上，圖像中的追及相遇問(wèn)題:

（1）利用圖像中斜率、面積、交點(diǎn)的含義進(jìn)行定性分析或定量計(jì)算。

（2）有時(shí)將運(yùn)動(dòng)圖像還原成物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況更便于理解。

2.利用圖像分析追及相遇問(wèn)題：在有些追及相遇情景中可根據(jù)兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作

出巾f圖像，再通過(guò)圖像分析計(jì)算得出結(jié)果，這樣更直觀、簡(jiǎn)捷。

3.若為x—t圖像，注意交點(diǎn)的意義，圖像相交即代表兩物體相遇；若為a—t圖像，可轉(zhuǎn)化

為f圖像進(jìn)行分析。

【例3】（多選）（2024?廣東省四校聯(lián)考）兩車在不同的行車道上同向行駛，f=0時(shí)刻，乙車在甲

車前方25m。兩車速度一時(shí)間（片-力圖像分別為圖中直線甲和直線乙，交點(diǎn)坐標(biāo)圖中已標(biāo)出，

則（）

tw/Cm-s-1）甲/

10t/s

A.乙車的加速度是0.6m/s2

B.第5s末兩車相距40m

C.相遇前，甲、乙兩車的最大距離是55m

D.25s末時(shí)甲車追上乙車

答案BD

6—4

解析y-t圖像中圖線的斜率即為物體運(yùn)動(dòng)的加速度，所以乙車的加速度為a乙=----m/s2

10

=0.2m/s2,故A錯(cuò)誤；由題圖可得第5s末時(shí)，兩車的速度分別為，甲=紂2m/s=3m/s,

2

4+6

/乙=----m/s=5m/s,廣，圖像中圖線與/軸所圍成圖形的面積表示物體運(yùn)動(dòng)的位移，所以

一2

0+34+5

由x=-------7,可得0?5s內(nèi)兩車運(yùn)動(dòng)的位移分別為x甲=----X5m=7.5m,x乙=----X5m

222

=22.5m,所以第5s末兩車相距Ax=x乙一x甲+xo=4Om,故B正確；當(dāng)兩車速度相等時(shí)，

兩車相距最遠(yuǎn)，由題圖可知，第10s末時(shí)，兩車速度相等，之間的距離最大。0?10s內(nèi)兩

車運(yùn)動(dòng)的位移分別為x甲/=°七10m=30m,x」—4+6^m=50m,所以第10s末

22

兩車相距Ax'=x」—x甲'+%o=45m,故C錯(cuò)誤；由題圖可得甲車的加速度為a甲=

6］。。m/s2=0.6m/s2,設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間，甲車追上乙車，則x甲"一x乙"=xo,x甲"=；Q甲/2=0.3巴

XJ=依+匕/2=4/+0.］產(chǎn)，聯(lián)立解得/=25S,所以25s末時(shí)甲車追上乙車，D正確。

2

［例4］（2024?山東德州市月考）物理興趣小組的同學(xué)用兩個(gè)相同的遙控小車沿直線進(jìn)行追逐

比賽，兩小車分別安裝不同的傳感器并連接到計(jì)算機(jī)中，A小車安裝加速度傳感器，B小車

安裝速度傳感器，兩車初始時(shí)刻速度大小均為4=30m/s,A車在前、B車在后，兩車相距

100m,其傳感器讀數(shù)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖所示，規(guī)定初始運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颉Ｏ铝?/p>

說(shuō)法正確的是（）

A./=3s時(shí)兩車間距離為25m

B.3?9s內(nèi)，A車的加速度大于B車的加速度

C.兩車最近距離為10m

D.0?9s內(nèi)兩車相遇一次

答案C

解析在0?3s內(nèi)A車做勻減速運(yùn)動(dòng)，A車減速到零所需時(shí)間以=匕=3s,故在/=3s時(shí)

6ZA1

A車減速到零，A車前進(jìn)的位移為XA="￡A=45m,B車前進(jìn)的位移為沖=WA=90m,t=

2

3s時(shí)兩車間距離為Ax=d+xA—XB=55UI,故A錯(cuò)誤；由題圖可知在3?9s內(nèi)A車的加速度

為QA2=5m/s2,在巾，圖像中，圖像的斜率表示加速度，則QB=—=_5m/s2,故A、B兩

△t

車的加速度大小相等，故B錯(cuò)誤；，=3s后，A車開(kāi)始由靜止做勻加速運(yùn)動(dòng)，B車開(kāi)始做勻

減速運(yùn)動(dòng)，3?9s的過(guò)程中，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間，兩者速度相同，則，共=4A2%=解得，=3S,

，立%）+，正

l/*=15m/s,A車在t=3s內(nèi)前進(jìn)的位移為Xi=--Z=22.5m,B車前進(jìn)的位移為X2=-------------t

22

=67.5m,故此時(shí)兩車相距的最小距離為Axmin=Ax+xi—X2=10m,此后A車的速度大于B

車的速度，兩者間的距離開(kāi)始增大，故不可能相遇，故C正確，D錯(cuò)誤。

跟蹤訓(xùn)練

1.（2023?重慶市第八中學(xué)檢測(cè)）一運(yùn)動(dòng)員將靜止的足球沿邊線向前踢出，足球獲得12m/s的初

速度，同時(shí)該運(yùn)動(dòng)員沿邊線向前追趕足球，速度/隨時(shí)間/的變化規(guī)律如圖所示。已知足球

停下時(shí)該運(yùn)動(dòng)員剛好追上足球，則足球的加速度大小與運(yùn)動(dòng)員加速階段的加速度大小之比為

答案B

解析設(shè)運(yùn)動(dòng)員加速時(shí)間為人，追上時(shí)兩者位移相等，即廣，圖像與/軸所圍面積相等，有

12

1

-X12X/2=-X8XZI+8X(^2-M,解得力=2九，則加速度之比以=立=又=?,故選B。

22a282t24

2.(多選)如圖甲所示，A車和B車在同一平直公路的兩個(gè)平行車道上行駛，該路段限速

54km/ho當(dāng)兩車車頭平齊時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，兩車運(yùn)動(dòng)的位移一時(shí)間圖像如圖乙所示，0?5s時(shí)間

內(nèi)，A車的圖線是拋物線的一部分，B車的圖線是直線，在兩車不違章的情況下，下列說(shuō)法

正確的是()

甲

A.A車運(yùn)動(dòng)的加速度大小為1m/s2

B.f=3.5s時(shí)，兩車的速度相同

C.A車追上B車的最短時(shí)間為7.2s

D.兩車相遇兩次

答案BC

解析由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知x=奴+與修，由題圖乙可知當(dāng)/=2s時(shí)x=10m,當(dāng)尸

2

5s時(shí)x=40m,解得k&=3m/s,a=2m/s2,故A錯(cuò)誤；由題圖乙可知B車勻速運(yùn)動(dòng)的速度

l^=—m/s=10m/s,由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得以=14)+。/=0,解得/=3.5s,故B正確；

4

A車加速到%ax=54km/h=15m/s后做勻速運(yùn)動(dòng)，追上B車的時(shí)間最短，由k；nax=

2

可知A車的加速時(shí)間t0=6s,A車追上B車滿足143?=Wo+|a/o+I6iax(f—?o),解得1=7.2s,

此后A車速度大于B車，不會(huì)再相遇，故C正確，D錯(cuò)誤。

3.(2024?云南曲靖市檢測(cè))5G自動(dòng)駕駛是基于5G通信技術(shù)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)聯(lián)式全域感知、協(xié)同決策

與智慧云控，相當(dāng)于有了“千里眼”的感知能力，同時(shí)，5G網(wǎng)絡(luò)超低延時(shí)的特性，讓“汽車

大腦”可以實(shí)時(shí)接收指令，極大提高了汽車運(yùn)行的安全性。A、B兩輛5G自動(dòng)駕駛測(cè)試車，

在同一直線上向右勻速運(yùn)動(dòng)，B車在A車前，A車的速度大小匕=8m/s,B車的速度大小

H=20m/s,如圖所示。當(dāng)A、B兩車相距xo=2Om時(shí)，B車因前方突發(fā)情況緊急剎車，已

知?jiǎng)x車過(guò)程的運(yùn)動(dòng)可視為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小。=2m/s2,從此時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求：

(1)A車追上B車之前，兩者相距的最遠(yuǎn)距離Ax；

(2)A車追上B車所用的時(shí)間to

答案⑴56m(2)15s

解析(1)當(dāng)兩車速度相等時(shí)，兩車的距離最大，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間6兩車速度相等，則有％=%

—at\

得t\=6s

在t\時(shí)間內(nèi)A車位移為修=%九=48m

B車位移為工2=儂一，。九2=84m

2

則此最遠(yuǎn)的距離為AX=%2+M)—X1=56m

⑵設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間伍B車停下來(lái)，則有0=/一辦2

得t2=10S

此過(guò)程中A車和B車的位移分別為

x\=H?2=80m

X2'=—atg=100m

2

此時(shí)X2'+XO>X1'

說(shuō)明A車還沒(méi)追上B車，設(shè)再經(jīng)過(guò)時(shí)間，3才追上，則有+X0—X1'="3得/3=5S,所

以A車追上B車所用的時(shí)間為^=^+^3=15So

4.(2024?黑龍江哈爾濱市第三中學(xué)檢測(cè))如圖所示為車輛行駛過(guò)程中常見(jiàn)的變道超車情形。圖

中A車車長(zhǎng)ZA=4m,B車車長(zhǎng)ZB=6m,兩車車頭相距￡=26m時(shí)，B車正以他=10m/s

的速度勻速行駛，A車正以以=15m/s的速度借道超車，此時(shí)A車司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方不遠(yuǎn)處有一

輛汽車C正好迎面駛來(lái)，其速度為此=8m/s