專題09函數(shù)的圖像函數(shù)的零點（八大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01畫函數(shù)的變換圖像

?題型02識別函數(shù)的圖像

?題型03函數(shù)圖像變換的應(yīng)用

?題型04求函數(shù)的零點及個數(shù)

?題型05二分法求函數(shù)的零點

?題型06根據(jù)函數(shù)的零點求參數(shù)

?題型07函數(shù)零點的其他應(yīng)用

?題型08補函數(shù)的應(yīng)用（一）：幾類不同增長的函數(shù)模型、函數(shù)的實際應(yīng)用

?題型01畫函數(shù)的變換圖像

1.（2024高三?全國?專題練習）作出下列函數(shù)的圖象：

x3

（i）y=n；

（3）y=|log2x-l|；

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【分析】⑴去絕對值化簡成分段函數(shù)，畫出圖象即可.

⑵原式變形為y=i+—,先作出y=巳的圖象，再結(jié)合圖象變換，即可得出結(jié)論.

X-1尤

⑶先作出y=bg*的圖象，結(jié)合圖象變換，即可得出結(jié)論.

x2,x>0

【解析】(1)首先要化簡解析式，y=

-x2,x>0

利用二次函數(shù)的圖象作出其圖象，如圖①所示.

(2)原式變形為y=1+—3,先作出y=±3的圖象，再將其圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位,

x-1'x

即得如圖②所示.

⑶先作出y=IOg2X的圖象，再將其圖象向下平移一個單位，保留無軸上方的部分，將X軸下方的圖象翻折到

X軸上方來，即得y=|log2X-1|的圖象，如圖③所示.

【點睛】本題主要考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法，關(guān)鍵是化為分段函數(shù)或利用圖象變換來畫圖，屬于中檔

題.

?題型02識別函數(shù)的圖像

2

2.（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）函數(shù)＞=；—的圖象為（）

【分析】利用特殊點法與圖象平移即可得解.

22

【解析】因為＞—，所以當x=0時，）^=--=2,故排除ABC,

1-x1-x

222

又y—=——7的圖象可由函數(shù)丁=—-的圖象向右平移一個單位得到，則D正確.

1-xx-1x

故選：D.

1

3.（2024?湖北?模擬預(yù)測）函數(shù)〃同=^_^_11?2的圖象大致為（）

【分析】根據(jù)尤＜。時/（X）的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

1_

￡ex-ex-21n(-x),x<0

［解析］/(x)=e'-e;-lnx2=.

i

ex-ex-21rix,x>0

因為當％v0時,y=ex,y=-e^,y=-21n(-x)都為增函數(shù)，

所以，ke'-l_21n（r）在（一8,0）上單調(diào)遞增，故B,C錯誤;

1

又因為=已_》-e*-Indw,

所以不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點對稱，故D錯誤.

故選：A

4.（2024.寧夏固原.一模）已知函數(shù)“X）的部分圖像如圖所示，則〃尤）的解析式可能為（）

A."小事B.小）=莖

U/4）號

【答案】A

【分析】利用“X）在（1,+8）上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/（x）在（L+8）上的單調(diào)性排除D,

從而得解.

【解析】對于B,當x＞l時，/（x）=-———,易知/-小＞0,3-4x＜0,

3-4.x

則/（x）＜0,不滿足圖象，故B錯誤；

對于C，/■）=箝，定義域為~，-{|山一曲唱+8）,

e-xxx+e-x

又+ee=則“X）的圖象關(guān)于〉軸對稱，故c錯誤;

XX|

對于D,當m時，“＞所=口=1+口，

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，/（無）在（1,+8）上單調(diào)遞減，故D錯誤；

檢驗選項A,/（》）=3?.滿足圖中性質(zhì),故A正確.

4|x|-3

故選：A.

?題型03函數(shù)圖像變換的應(yīng)用

5.（2024?四川南充二模）已知函數(shù)〃x）=；,則函數(shù)丁=/（工一1）+1的圖象（）

A.關(guān)于點（U）對稱B.關(guān)于點（-U）對稱

C.關(guān)于點（-1,0）對稱D.關(guān)于點。,0）對稱

【答案】A

【分析】

首先判斷函數(shù)〃力=；為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.

【解析】函數(shù)/（X）=?的定義域為{X|XH0},又=V=

所以〃x）=9為奇函數(shù)，則函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于原點（0,。）對稱，

又y=/（x-1）+1的圖象是由〃x）=：的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，

所以函數(shù)y=/（x-l）+l的圖象關(guān)于點（U）對稱.

故選：A

6.（22-23高二上?河南?階段練習）直線2依+勿-2=0（°>0力>0）過函數(shù)〃尤）=了+」：+1圖象的對稱中心,

X-1

則？4+;1的最小值為（）

ab

A.9B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】先利用函數(shù)圖象平移與奇函數(shù)的性質(zhì)求得/'（x）的對稱中心，從而得到a+b=l,再利用基本不等

式"1"的妙用即可得解.

【解析】函數(shù)/（x）=尤+<+l=x-l+工+2的圖象，

x-1x-1

可由y=x+工的圖象向右平移1個單位，再向上2個單位得到，

X

又丫=*+，的定義域為（-8,0）u（0,+co）,-彳+=-=一。：+1],

所以y=x+：是奇函數(shù)，則其對稱中心為（0,0）,

故/（X）的對稱中心為（1,2）,所以2a+2Z?—2=。，即〃+b=l,

41/_4ba、口,l4ba

所以—i—=（a+b）\—i—=5H---1—>5+2./-----=9n,

ab\abJab\ab

當且僅當4竺b=af,即a=26=2］時，等號成立，

ab3

41

所以？+；的最小值為9.

ab

故選：A.

7.(2022高三?全國?專題練習)已知二次函數(shù)/■(*)的圖象的頂點坐標是(2,2),且截x軸所得線段的長度是

4,將函數(shù)/(X)的圖象向右平移2個單位長度，得到拋物線丁=g(x),則拋物線丁=g(x)與y軸的交點是()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

【答案】B

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法求得f(x),再利用平移的特征求得g(x),從而得解.

【解析】因為二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點為(2,2),

故〃力的對稱軸為直線x=2,

又的圖象截X軸所得線段的長度是4,

所以f(x)的圖象與x軸的交點坐標為(0,0)和(4,0),

設(shè)〃x)=a(x-2)2+2(分0),將點(0,0)代入得a(-2『+2=0,解得。=一；，

19

所以=龍一2)-+2,

因為g(x)的圖象為的圖象右移2個單位得到的，

1919

所以g(無)=/(x_2)=_/(x_2_2)+2=_/(無一4)一+2,

1?

令x=0,貝伊=g(o)=_/(o_4)-+2=_6,

所以g(x)與y軸交點生標為(0,-6).

故選：B.

8.(23-24高一上?河南南陽,期末)已知函數(shù)的定義域為。,+8),且滿足/(3'+l)=x,xeR,將

的圖象先向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.

⑴分別求“X)與g(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)/7(尤)=上3了+叫位)，若無)在區(qū)間［1,君］上有零點，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1"(龍)=log3(xT)(x>l),g(x)=log3x+l(%>0)

9,

(2)--,-1

o

【分析】(1)利用換元法求得〃尤)的解析式，根據(jù)圖象變換的知識求得g(x)的解析式.

(2)先求得〃(力的解析式，然后利用換元法，根據(jù)根據(jù)函數(shù)的零點與方程的解、分離參數(shù)法、對鉤函數(shù)的

性質(zhì)求得加的取值范圍.

【解析】(1)令3，+l=f,xeR,則te(l,+co),x=log3(/-l),

所以/⑺=log3(?-1),則=log3(x-l)(x>l).

由題意可得，g(x)=/(x+l)+l=log3(x+l-l)+l=log3x+l(x>0).

2

(2)/?(A:)=(log3x+iy+/n(log3x+1)=(log3尤+1)~+m(21og3A:+1).

令w=log3X,當括］時，ne0,1)

函數(shù)M無)有零點等價于關(guān)于〃的方程(〃+1)2+〃Z(2〃+1)=。在o］上有解.

JJ—I

令2〃+1=〃，貝n=

+

所以5+1)2“2+2u+1

m=-----------=---------------=——u-\----F2

2n+lu4u4(u

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，

函數(shù)加=-^［"+7+2)在［1,2］上單調(diào)遞減，

當〃=2時，該函數(shù)取得最小值，即機mi“=-!、12+：+2］=-：

當"=1時，該函數(shù)取得最大值，即mmax=-：x(l+：+2］=-l,

I-9'

因此，實數(shù)機的取值范圍為-g，T.

6

【點睛】利用換元法求函數(shù)的解析式，要注意函數(shù)的定義域在求解過程中的變化.求解函數(shù)的零點問題，可

轉(zhuǎn)化為方程的根來進行研究.如果零點問題含有參數(shù)，則可以考慮分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為值域問題

來進行求解.

?題型04求函數(shù)的零點及個數(shù)

9.（2023高三?全國?專題練習）已知指數(shù)函數(shù)為〃x）=4￡，則函數(shù)y=〃x）-21的零點為（）

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，解指數(shù)方程即可作答.

【解析】函數(shù)〃x）=4',由〃x）—2^=0,即4'_2'=0,整理得2乂2<2）=0,解得x=l,

所以函數(shù)y=〃x）-2川的零點為1.

故選：C

10.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）函數(shù)〃%）=1-坨（3工+2）的零點為（）

A.log38B.2C.log37D.log25

【答案】A

【分析】根據(jù)零點的定義即可求解.

鼬H令”尤）=l—lg（3*+2）=o,得3，+2=10,則X=log38.

故選：A

11.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)/（x）=2%+%—2的零點個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】

解析：f（x）=2xln2+1>0,所以/（%）在R上單調(diào)遞增，f（0）=—1,f（1）=1,故函數(shù)的零點個數(shù)

為1.故選B.

丫2?丫_2v<

?一一’二零點個數(shù)為（）

｛-1+lnx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)零點的定義計算即可.

【解析】由〃%）=0得：

：V0,或尤>0,

[%2+x-2=0[-l+lnx=0,

解得了=-2或%=6.

因此函數(shù)〃x）共有2個零點.

故選：B.

13.（2024?廣東湛江?二模）已知函數(shù)〃%）=|2'-1卜4,g（x）=x2-4|.x|+2-a,則（）

A.當g（x）有2個零點時,〃尤）只有1個零點

B.當g（x）有3個零點時，〃x）有2個零點

C.當〃尤）有2個零點時，g（x）有2個零點

D.當“X）有2個零點時，g（元）有4個零點

【答案】D

【分析】作出函數(shù)ynx2-川x|+2圖象，兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象與y=。的圖象

的公共點的個數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.

【解析】兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與>的圖象的公共點的個數(shù)，

作出y=|2l[,丁=/-4兇+2的大致圖象，如圖所示.

由圖可知，當g（x）有2個零點時，無零點或只有1個零點；

當g（x）有3個零點時，/（X）只有1個零點；

當〃x）有2個零點時，g（元）有4個零點.

故選：D

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)〃"=2而3+0“￡<0<3的圖像關(guān)于點信01中心對稱,將函數(shù)"%）

的圖像向右平移;個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖像，則函數(shù)g（x）在區(qū)間卜兀,對內(nèi)的零點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角函數(shù)圖像的平移變換

【解析】?.?函數(shù)"X）的圖像關(guān)于點匕,0）中心對稱，.?./D=2sin（年+\=0,回g+e=E?eZ,

又一］＜0,則/（x）=2sin（2x+g）.

將函數(shù)〃尤）的圖像向右平移：個單位長度得到函數(shù)g⑺=2sin卜-北的圖像，

令2x-］=E,AeZ,得無=￡+"，笈eZ,EI函數(shù)g（x）在區(qū)間［一兀,無］內(nèi)的零點有尤=-?,》=-三,》==,無=§,

3626363

共4個.

故選：D.

?題型05二分法求函數(shù)的零點

15.（2023高三?全國?專題練習）用二分法求函數(shù)〃尤）=111（%+1）+尤-1在區(qū)間（0,1）上的零點，要求精確度

為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于長度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄敲唇?jīng)過”（weN*）次操作后,

區(qū)間長度變?yōu)間,若要求精確度為0。1時則g＜。。1,解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).

【解析】因為開區(qū)間（。,1）的長度等于1,每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

所以經(jīng)過〃（〃eN*）次操作后，區(qū)間長度變?yōu)間,

令77＜0.01,解得"27,且weN*,

故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.

故選：C.

16.（2019高三?全國?專題練習）以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)零點的存在定理及二分法分析各選項的函數(shù)圖象，即可得到答案.

【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)”X）在區(qū)間句上的圖象連續(xù)不斷，且即函數(shù)的零點

是變號零點，才能將區(qū)間（。力）一分為二，逐步得到零點的近似值.

對各選項的函數(shù)圖象分析可知，A,B,D都符合條件，

而選項C不符合，因為圖象經(jīng)過零點時函數(shù)值的符號沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點.

故選：C.

?題型06根據(jù)函數(shù)的零點求參數(shù)

17.（23-24高三上?浙江紹興?期末）已知命題P：函數(shù)/（x）=2V+x-a在（1,2］內(nèi)有零點，則命題P成立的

一個必要不充分條件是（）

A.3<?<18B.3<a<18C.〃<18D.a>3

【答案】D

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理列式求出。的取值范圍，結(jié)合必要不充分條件的意義判

斷即得.

【解析】函數(shù)/（x）=2尤3+彳_。在R上單調(diào)遞增，由函數(shù)/（》）=2/+彳_。在（1,2］內(nèi)有零點,

f/（l）=3-a<0

得［二、c，解得3<a<18,即命題P成立的充要條件是3<aW18,

顯然3<a418成立，不等式3Va<18、3<a<18、a<18都不一定成立，

而3<aW18成立，不等式a23恒成立，反之，當時，3<aV18不一定成立，

所以命題P成立的一個必要不充分條件是。23.

故選：D

18.（2023高三?全國?專題練習）函數(shù)/。）="2"-履-2在區(qū)間（1,2）內(nèi)有零點，則實數(shù)4的取值范圍

是.

【答案】（0,3）

【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為，=左與g(x)=2,-工尤€(1,2)的圖象有交點，再由g(x)在(1,2)上遞增，

X

可求得結(jié)果.

2

【解析】令/(x)=。，則『2'-履一2=0,即左=2"-一，

x

2

即'=上與g(x)=2「一，xe(1,2)的圖象有交點,

x

因為y=2工和y=在(1,2)上遞增，所以g(尤)=2-'在(1,2)上遞增，

所以g(D<g(x)<g(2),即0<g(尤)<3,

所以0<女<3,

即實數(shù)A的取值范圍是(0,3),

故答案為：(。,3)

19.(22-23高三?全國■課后作業(yè))已知函數(shù)〃x)=20-3”—x的零點七e(匕左+1),keZ,貝!］左=.

【答案】2

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理判斷零點的范圍，即可得答案.

【解析】因為函數(shù)>=3-*為R上單調(diào)減函數(shù)，

故函數(shù)”x)=20.3T-x為R上單調(diào)減函數(shù)，

70?on

又/⑵=20.3-2_2=g-2=->0,/(3)=20-3^-3=--3<0,

故=20-3一'-x在(2,3)上有唯一零點，

結(jié)合題意可知左=2,

故答案為：2

20.(22-23高三?全國?對口高考)方程/+辦一2=0在區(qū)間口,5］上有解，則實數(shù)。的取值范圍為

-23-

【答案】-4

【分析】根據(jù)/(x)=Y+依―2在區(qū)間［1,5］端點的正負列式求解即可.

【解析】考查/(x)=d+Q-2,因為〃0)=-2<0,且〃尤)開口向上，

故/(X)在區(qū)間口,5］上最多有一個零點，結(jié)合零點存在性定理可得，若方程/+6-2=0在區(qū)間口，5］上有解,

〃i）vo[12+O-2<023

解得

則/（5）>0即I|52?+5iz-2>0—,1

23

故答案為：-二」

21.(2024?全國?模擬預(yù)測)若不等式/'(力>。或,(x)<0只有一個整數(shù)解，則稱不等式為單元集不等式.已

知不等式a(x+l)2-|log2尤1+1>0為單元集不等式，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】

【分析】不等式轉(zhuǎn)化為Ilog?尤l<a(x+l)2+l,引入函數(shù)"x)=|log2x|,g(x)=a(x+iy+l,分類討論作出

函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

【解析】根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為滿足口。82尤1<。(*+1)2+1的整數(shù)尤的個數(shù)為1.

令〃x)=|log2,,g(x)=a(x+l)2+l,

當a>0時，作出函數(shù)_f(x)=|log2X和g(x)=a(x+l)—l的圖象，如圖所示，

數(shù)形結(jié)合得，〃x)<g(x)的解集中整數(shù)的個數(shù)有無數(shù)多個，不符合題意；

當a=0時，g(x)=l,所以llogRvl,解得:<尤<2,只有一個整數(shù)解x=l,

所以。=0符合題意；

當.<0時，作出函數(shù)/G)=|log2,和g(x)=a(x+l)-l的圖象，如圖所示，

4。+1>01

即12+1'結(jié)合可得「

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是，；,0.

故答案為：(~,0］.

4

【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，一般方法：

(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)解決；

(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，數(shù)形結(jié)合解決問題；

(3)參變分離法，結(jié)合函數(shù)最值或范圍解決.

?題型07函數(shù)零點的其他應(yīng)用

22.(23-24高二上?山東威海?期末)已知函數(shù)y=/(尤)的圖象是連續(xù)不斷的，且了⑺的兩個相鄰的零點是1,

2,則“現(xiàn)?1,2),“通)>0"是"Vxe(l,2),/(無)>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由充分必要條件的判斷方法求解即可.

【解析】解：由題意知，/(1)=/(2)=0,對任意x?l,2)J(x)田0,

而函數(shù)y="尤)的圖象是連續(xù)不斷的，

由*?1,2),f(xo)>O,可得Vxe(l,2),f(x)>0,充分性成立，

反之Vxe(l,2),/(%)>0,顯然可推出去(1,2),/Uo)>O,必要性成立，

故"/e(1,2),〃勺)>。"是"心?1,2),/(無)>0"的充要條件，

故選：C

23.(2020.江西贛州.模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(x)=e，+o(x-1)+6在區(qū)間［0,1］上存在零點，則/+/的最小值

為()

A.eB.yC.7D.3e

【答案】B

【分析】設(shè)/為了⑺在［0,1］上的零點，可得/+如-1)+6=0,轉(zhuǎn)化為點(“⑷在直線l)x+y+e'=0上,

2?2f

根據(jù)/+〃的幾何意義，可得〃2+、之令g?)=/八2「利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，

”1)2+1(I)?+1

即可得答案.

【解析】設(shè)f為，(X)在［0,1］上的零點，則e'+a(r-l)+b=o,

所以(f-l)a+6+d=0,即點(。,〃)在直線Q-l)x+y+e'=0,

又/+k表示點(”,沖到原點距離的平方，

則E,U7r即〃+冷》

e”Ze?，(產(chǎn)+2-2t)-e2〈2r-2)_2e2<(f2-3f+3)

令g?)=可得g'?)=

d)2+l'(z2+2-2r)2(?2+2-2/)2

因為/'>0,〃-3/+3>0,

所以，⑺>0,

可得g⑺在［。,1］上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當r=。是，g。)*=g(0)=g，

所以即力+^的最小值為

故選：B

【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)/+〃的幾何意義，將方程問題轉(zhuǎn)化為求距離問題，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

求解，分析、計算難度大，屬難題.

24.(2023,湖北武漢?模擬預(yù)測)已知%是函數(shù)〃了)=一一+111%的一個零點，若占,

1—X

則()

A./(Aj)<0,/(x2)<0B./(^)>0,/(x2)>0

C./(Aj)>0,/(x2)<0D./(^)<0,/(x,)>0

【答案】D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合判定函數(shù)值大小即可.

【解析】令〃x)=一一+lnx=0.從而有l(wèi)nx=一二，此方程的解即為函數(shù)的零點.

在同一坐標系中作出函數(shù)y=ln無與y=」匚的圖象，如圖所示.

x-1

由圖象易知，」7>ln石，從而出王故In尤1+——<0,即〃不)<0.

玉一1石-1］_玉

同理

故選：D

25.（23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?階段練習）已知三個函數(shù)〃x）=d+x-3,g（x）=22x+x-2,

人（九）=lnx+x—5的零點依次為。，b,c,則b,。的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理得出結(jié)果.

【解析】因為y=d,y=22*在R上為增函數(shù)，y=lnx在（0,+8）上為增函數(shù),

所以由題知函數(shù)〃尤），g（x）,〃（力在各自定義域上都為增函數(shù)，又=/（2）=7>0,0fle（l,2）;

g（0）=-l<0,g（l）=3>0,0&e（O,l）；

/?（3）=ln3-2<0,//（4）=ln4-l>0,0ce（3,4）,

^\c>a>b.

故選：D.

llgx\-a,0<x<3

26.（20-21高三上?遼寧大連?階段練習）已知函數(shù)/（》）=<［旭（6-刈-<6（其中皿若"X）的四

4

個零點從小到大依次為％，%2，彳3，%，則的值是（）

1=1

A.16B.13C.12D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)零點的定義，通過轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.

|lgx|,0<x<3

【解析】令/（%）=。=>“=

|lg（6—x）|,3<x<6f

設(shè)g（/A、優(yōu)f|lg（Lx|,0<）|x,3<…36,圖象如下圖所示:

4

x=6

y=g（.x）

y^=a

向

OX11X235X4x

所以有0<X1<1<X2<3<X3<5<X4<6,

且一lg玉=lgx2=-lg（6-X3）=lg（6-x4）=?,

因此可得%=10,工2=1°二七=6-1。二%4=6—10",

4

所以Z%=icr+io"+6-i（r+6-10'=12,

1=1

故選：C

?題型08補函數(shù)的應(yīng)用（一）：幾類不同增長的函數(shù)模型、函數(shù)的實際應(yīng)用

27.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測）從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量。

（單位：L）與速度v（單位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（）

A.2=0.5'+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=klogav+b

【答案】C

【分析】作出散點圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.

【解析】作出散點圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為［0,120］；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位

增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點.

A選項：函數(shù)。=0.5”+。在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯誤；

B選項：函數(shù)。=6+6的單位增長率恒定不變，故B錯誤；

C選項：。=。寸+從？+。滿足上述三點，故C正確；

D選項：函數(shù)。=%logj，+b在v=0處無意義，D錯誤.

故選：c

~O20406080100120140160x

28.（23-24高三上?福建泉州?期末）函數(shù)/（X）的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）

B.f^x）=kxex+b

C.f（x）=k\x\+b

D./（x）=k^x-Y）1+b

【答案】A

【分析】由函數(shù)F（尤）的數(shù)據(jù)即可得出答案.

【解析】由函數(shù)〃尤）的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)/（—2）=/（2）,/（-1）=/⑴,

偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除B,D；

當天＞0時，由函數(shù)尤）的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)，（x）增長越來越快，可排除C.

故選：A.

29.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習）小明在調(diào)查某班小學生每月的人均零花錢時，得到了下列一組

數(shù)據(jù)：

%/月份23456

y/元1.402.565.311121.30

1V

請從模型y=/，模型y=］中選擇一個合適的函數(shù)模型，并預(yù)測小學生零花錢首次超過300元的月份為（）

（參考數(shù)據(jù)：1g3。0.477,1g2?0.301）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】利用給出函數(shù)的表格法確定自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，選擇出好的模型之后利用解不等式求出

自變量的范圍.

【解析】根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，畫出散點圖，并畫出函數(shù)y=?1及＞=（2尤■的圖象.

g圖象上或附近，因此用y后這一函數(shù)模型.

當93。。時，2、＞9。0,貝情”1唯9。。=量=三薩/814.

由14x412且xeN,》最小值為10.

故選：C.

30.（2024?北京朝陽?二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中夕是

空氣密度，S是該飛行器的迎風面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決

于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P=當P，S不變，v比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則尸比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使尸不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

【答案】C

【分析】由題意可得尸=：1pCSy3,C=兩2P，結(jié)合選項，依次判斷即可.

112P

【解析】由題意，f=-pCSv2,P=fv,所以c=—,

A：當。,5,C不變，v比原來提高10%時，

貝！]<=《pCSil+10%）3v3=1pC5（l.l）3v3=1.33-|pCSv1,

所以尸比原來提高超過30%,故A錯誤；

B：由選項A的分析知，^=1.33.|pCSv3,

所以尸比原來提高不超過40%,故B錯誤；

2P2P2P

C：當P，S,尸不變，"比原來提高1。％時，6=仃/=而升=。.75?數(shù)，

所以C比原來降低不超過30%,故C正確；

D：由選項C的分析知，C比原來降低不超過30%,故D錯誤.

故選：C

31.（2024?全國?模擬預(yù)測）2024年中國載人航天工程將統(tǒng)籌推進空間站應(yīng)用與發(fā)展和載人月球探測兩大任

務(wù)，其中，中國空間站應(yīng)用與發(fā)展階段各項工作正按計劃穩(wěn)步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半

徑的立方成正比，當空間站運行周期增加1倍時，其圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：In2?0.693,

e0-462~1,587）（）

A.1.587B.1.442

C.0.587D.0.442（）

【答案】C

【分析】利用指數(shù)和對數(shù)的運算求解即可.

【解析】空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，

設(shè)小主,

當空間站運行周期增加1倍時，設(shè)此時半徑為凡，

則（2T『=綱3,

兩式相比得：4，即ln4=ln[&]

⑺WR3

故&=e。用2=1,587,

R

故圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是1.587-1=0.587.

故選：C.

inz

32.（23-24高三下?陜西?階段練習）某種生物群的數(shù)量。與時間f的關(guān)系近似的符合：。⑺=指P（其中e

為自然對eg2.71828...）,給出下列四個結(jié)論，根據(jù)上述關(guān)系，其中錯誤的結(jié)論是（）

A.該生物群的數(shù)量不超過10

B.該生物群的數(shù)量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小

C.該生物群的數(shù)量的增長速度與種群數(shù)量成正比

D.該生物群的數(shù)量的增長速度最大的時間務(wù)e（2,3）

【答案】C

【分析】對解析式上下同時除以e',結(jié)合反比例函數(shù)模型可判斷A正確；對=求導(dǎo)，Q'⑺即為

該生物種群數(shù)量的增長速度與時間的關(guān)系式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)特征和對勾函數(shù)模型可判斷C錯，BD正確

【解析】因為e，>0,。（"=萼=10x—<10,故該生物種群的數(shù)量不會超過10,故A正確；

v7S+9e?+9

1010⑺-90ef—90

由Q1）=野，求導(dǎo)得-f1Q81,顯然該生物種群數(shù)量的增長速度與種群數(shù)量不成正

e+9十？）e+ld+--

e

比，故c錯誤；

因為e'+2為對勾函數(shù)模型，故d+”馮廉日小，

eeVe

當且僅當e，=9,即，=ln9時取到等號，

當te（0,ln9）時生物群的數(shù)量的增長速度隨時間的增加而增加，當/e（山9,+8）時生物群的數(shù)量的增長速度

隨時間的增加減小，即該生物群的數(shù)量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小；

且當f°=ln9e（2,3）時，。'⑺最大，故BD正確.

故選：C.

33.（23-24高三下?甘肅?階段練習）北京時間2023年12月18日23時59分，甘肅省臨夏州積石山縣發(fā)生

里氏6.2級地震，震源深度10公里.面對突發(fā)災(zāi)情，社會各界和愛心人士發(fā)揚"一方有難、八方支援"的中

華民族團結(jié)互助、無私奉獻的大愛精神，幫助災(zāi)區(qū)群眾渡過難關(guān).震級是以地震儀測定的每次地震活動釋

放的能量多少來確定的，我國目前使用的震級標準，是國際上通用的里氏分級表，共分9個等級.能量E

與里氏震級M的對應(yīng)關(guān)系為lgE=4.8+L5M,試估計里氏震級每上升兩級，能量是原來的（）

A.100倍B.512倍C.1000倍D.1012倍

【答案】C

【分析】借助能量E與里氏震級M的對應(yīng)關(guān)系計算即可得.

【解析】由lgE=4.8+L5M,設(shè)lgE0=4.8+L5（Af+2）,

貝！JlgEo-lgE=4.8+L5（M+2）-4.8-1.5M=3,

即1g殳=3,*=1（）3=1000.

EE

故選：C.

34.（2024?江蘇?一模）德國天文學家約翰尼斯?開普勒根據(jù)丹麥天文學家第谷?布拉赫等人的觀測資料和星表,

通過本人的觀測和分析后,于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律一一繞以太陽為焦點的

2汽。

橢圓軌道運行的所有行星,其橢圓軌道的長半軸長。與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：T=-^=.?2,其中M為

太陽質(zhì)量，G為引力常量.己知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【分析】根據(jù)已知的公式，由周期的倍數(shù)關(guān)系求出長半軸長的倍數(shù)關(guān)系即可.

【解析】設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為工，長半軸長為%,火星的公轉(zhuǎn)周期為“，長半軸長為外,

2萬3

鬣①

則，工=8碼且4GM

3

兀

2*②

4GM

3

@得.4（幺"=8,

a

②T22

所以，￡=4,即：4=4%.

故選：B.

35.（23-24高三上?寧夏銀川?階段練習）“開車不喝酒，喝酒不開車.”，飲酒駕駛和醉酒駕駛都是根據(jù)駕駛

人員血液、呼氣酒精含量來確定，經(jīng)過反復(fù)試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值/'（X）

40sin71x+13,0<x<2

隨著時間x（小時）的變化規(guī)律，可以用函數(shù)模型J來擬合，則該人喝一瓶

90.e^°-5x+14,x>2

啤酒至少經(jīng)過多少小時后才可以駕車？（）（參考數(shù)據(jù)：In15?2.71,ln30?3.40）

駕駛行為類別酒精含量值（mg/100mL）

飲酒駕駛>20,<80

醉酒駕駛>80

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】可結(jié)合分段函數(shù)建立不等式90e—°"+i4<2（）,利用指數(shù)不等式的求解即可.

【解析】對于/。）=40$畝1》）+13,

7T2元

由0Wx<2,則函數(shù)/⑴先增后減，

當工€（/2）時，/（x）=204+13>20,

所以，該人喝一瓶啤酒后的2個小時內(nèi)，其血液酒精含量可能大于20,

n>2

則駕車只能在2個小時之后，令][9n0>「2“+14<20,隊

e-0.5n<

解得〃>21nl5u2x2.71=5.42,

??,/isN,,，〃的最小值為6,故至少經(jīng)過6小時才可以駕車.

故選：B.

36.（2024?陜西咸陽,模擬預(yù)測）某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的

變化遵循蘭徹斯特模型:天分別為紅、藍兩方的

初始兵力，，為戰(zhàn)斗時間；X。），y?）分別為紅、藍兩方f時刻的兵力；正實數(shù)。，b分別為紅方對藍方、藍

方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；cosbx=E±±;和sinW=￡士分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定:

22

當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為T.則下

列結(jié)論不正確的是（）

A.若且a=b,則⑺(owYT)

則T="

B.若X0>%且〃=

a

X。b

C.若寸>￡'則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利

>J-,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利

D.若」

Va

【答案】C

【分析】對于A根據(jù)已知條件利用作差法比較大小即可得出x?)-y(r)=e”Xo-K)＞。，對于B,利用A

e^at-e八一at

中結(jié)論可得藍方兵力先為。，即濘乂。=0解得7；對于C和D,若要紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝

2

利，分別解出紅、藍兩方兵力為。時所用時間4、芍，比較大小即可.

=Xcosh(成)-Ysinh(叫

【解析】對于A,若X。＞乂且。=6,則Qo

)(%)=%cosh(成)一XQsinh(a。'

e^at+.e-ate^at-e^—at

尤(，)=

22

即-,所以x(r)_y(t)=e"(X°_E),

eat+Qat曖一e"

Yo~X。

22

由x°>4可得x(r)_y(r)=eW(x0_x)>0,即A正確;

對于B,當々=〃時根據(jù)人中的結(jié)論可知可。＞y(。，所以藍方兵力先為0,