重難點專題21三角函數(shù)壓軸小題十五大題型匯總

題型1新文化問題....................................................................1

題型2新定義問題....................................................................6

題型3黃金分割相關(guān)問題.............................................................9

題型4扇形相關(guān)問題................................................................13

題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問題.......................................................20

題型6三角函數(shù)性質(zhì)問題............................................................26

題型7識圖問題.....................................................................35

題型8湊角求值問題................................................................43

題型9最值相關(guān)問題................................................................47

題型103相關(guān)問題.................................................................53

題型11⑴相關(guān)問題..................................................................58

題型12實際應用問題...............................................................61

題型13恒成立問題.................................................................68

題型14零點相關(guān)問題...............................................................74

題型15與數(shù)列相關(guān)問題.............................................................80

題型1新文化問題

【例題1】(2023秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開學考試)我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所

謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.

假設(shè)二維空間中有兩個點4(肛％),BQ2,及)，O為坐標原點，余弦相似度為向量雨，而夾

角的余弦值,記作cos(4B),余弦距離為1-cos(A,B).已知P(cosa,sina),Q(cos/7,si呼),R

(cosa,-sina),若P,Q的余弦距離為tana?tan。=則Q,R的余弦距離為()

A.-2RD--3CJ-4D-7

【答案】A

【分析】由題設(shè)得訶=(cosa,sina),OQ=(cosS，sin￡),旗=(cosa,-sina),利用向量夾角公

式求得cos(P,Q)=cos(a-￡),cos(Q,R)=-cos(a+/?),根據(jù)新定義及正余弦齊次運算可求

目標函數(shù)值.

【詳解】由題意得。P=(cos%sina),0Q=(cosB，sin0)QR=(cosa,—sina),

2

則cos(P,Q)==cosacos^+sincrsinjS=

\OP\\OQ\

sinasin/3

又tanatan0=1

cosacosp71

/.coscrcos/?=7sinasinS,

17

/.sinasin/?=—,cosacos^=

1-cos(Q,R)=l-cosgc°s^singsin/?=1

2

故選：A.

【變式1-1】1.（2023?全國?高三專題練習）法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一

個幾何定理："以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形

的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點"如圖，在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a力

,c,且10（sin等『=7-COS2A以AB,BC,4C為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依

次為。1,。2，。3.則角力=.

【答案】960°

【分析】根據(jù)三角恒等變化可得2cos24+5COS4-3=0,進而可得COS4=即可求解,

【詳解】10(5吊等)2=7-324,則5(1_COS(B+C))=7-COS24,

故5(1+cos4)=8-2cos2從，所以2cos24+5COS4-3=0,

可得COSA=1(負值舍),由4G(0,n),所以A=i.

故答案為：?

【變式1-1】2.（2023?全國?鎮(zhèn)海中學校聯(lián)考模擬預測）天文學家、數(shù)學家梅文鼎，為清代

"歷算第一名家"和"開山之祖"，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓

證明正弦定理的方法.如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時的構(gòu)圖中，。為銳角三角形4BC外

【答案】D

【分析】由已知得2/OBC=T[-2ZBXC,再根據(jù)誘導公式和二倍角的余弦公式求解即可.

【詳解】已知NBOC=2NB4C,因為。B=OC,所以NOBC=NOCB,

因為NOBC+/.OCB+NBOC=H,

所以2408c+/.BOC=n,所以2/OBC=n-Z.BOC=n-2/.BAC,

因為sin/Bac=苧，

所以cos2z_OBC=cos（jx—2Z.BAC）=—cos2/-BAC

2

=2sinzS4C-1=2x俘7_i=_1

故選：D.

【變式1-1】3.（2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習）古希臘畢達哥拉斯學派在公元

前6世紀研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618,這一數(shù)值也可

....__、i_,.acosl8o

以表小為。=2cos72。，則女不=.

【答案】|/0.5

【分析】利用三角恒等變換化簡即可求解.

「、子的】acosl8。_2cos72°?cosl8。_2sinl80?cosl80_sin360__1

［評解J-V2-2cos72°-V2-2（l-2sin236°）-2sin36°-2'

故答案為：I.

【變式1-1】4.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）數(shù)學里有一種證明方法叫做

Proofwithoutwords,也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的

數(shù)學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時被認為比嚴格的數(shù)學證明更為優(yōu)雅與有條

理.如下圖，點c為半圓。上一點，垂足為記貝!］由tan/BCH=瞿可

Ln

以直接證明的三角函數(shù)公式是（）

A.tan；=-^-B.tan；=-f^-

21—cos^2l+cos^

1-COS。c.1+cos。

Urta%=F^D.ta%=多廠

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角形中的定義寫出sinacos。，用9表示出NBC”，然后分析可得.

【詳解】由已知NC0B=9,則NCB。ABCH=

又ta*=等，sin。=霏，cosB=穿，BH+0H=0B=0C,

ZCnUCUC

因此甯=墟=翳—皿

oc

故選：c.

【變式1-1］5.（2023?江蘇南京?南京航空航天大學附屬高級中學校考模擬預測）我國古代

數(shù)學家僧一行應用"九服號影算法”在《大衍歷》中建立了暑影長I與太陽天頂距。

（0。<8<90。）的對應數(shù)表，這是世界數(shù)學史上最早的一整正切函數(shù)表.根據(jù)三角學知識可

知，暑影長度I等于表高h與太陽天頂距。正切值的乘積，即Z=htan8,對同一"表高"兩

次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為a、p,若第一次的“號影長"是"表高"的3

倍，且tan(a—S)則第二次“號影長"是"表高"的()倍.

A.1B.|C.|D.\

【答案】A

【分析】由題意可得tana=3,tan(a-0)=，再根據(jù)tan/?=tan[a-(a-￡)]結(jié)合兩角差

的正切公式即可得解.

【詳解】由題意可得tana=3,tan(a-/?)=

所以tan6=tan[a—(a—￡)]=卷需需琴=熹=】，

即第二次的"號影長"是"表高"的1倍.

故選：A.

【變式1-1】6.(2022秋?安徽合肥?高三校考期中)數(shù)學必修二101頁介紹了海倫-秦九韶

公式：我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊

長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高

的數(shù)學水平，其求法是："以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大

斜幕減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積若把以上這段文字寫成公式，即5=

J強2c2_(七)],其中&b、c分別為△ABC內(nèi)角4艮c的對邊.若宗等=熹,

b=2,則△ABC面積S的最大值為()

A.V3B.V5C.2D.V2

【答案】A

【分析】將已知等式結(jié)合tanC=黑進行化簡，得至UsinC=V3(sinBcosC+cosSsinC)=V3

sin(B+C)=V^sinA,并利用正弦定理可得c=板斯代入"三斜求積"公式S=

出,2c2_(四污]并將a?看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得解.

【詳解】1—KCOSB_1

V3sinB-tanC'

每inB

???tanC

l-V3cosBJ

又tanC=當

E二I”y/3sinBsinf

所以1-6COSB=就'

所以V^sinBcosC=sinC(l—gcosB),

所以gsin8cosc=sinC—V3sinCcosBz

所以sinC=V3(sin^cosC+cosBsinC)=V3sin(^+C)=V5sinA,

由正弦定理得c=V3a,

b=2,

△ABC的面積S=科a2c2—=加a4_(2a2—2灼,

=—a4+8a2—4),

將。2看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當(^=4即a=2時，△ABC的面積S有最大值

為

故選：A.

題型2新定義問題

【例題2】(2023?湖南長沙?長沙市實驗中學校考二模)正割(Secant)及余割

(Cosecant)這兩個概念是由伊朗數(shù)學家、天文學家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩

個符號是荷蘭數(shù)學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中,

定義正割seca=高，余割csca=熹.則函數(shù)f(x)=*+a的值域為()

A.[-1,1]B.[-V2.V2]

C.[—2,2]D.[—y/2,—1)U(—1,1)U

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義及輔助角公式化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

【詳解】/(%)=±+點=COSK+sinx=V2sin(x+勺，其中sinx中O,cosx豐0,

所以-V2<f(x)<V2,且/(x)丹1,

即f⑶的值域為［—V2,-1)U(-1,1)U(1,V2］.

故選：D.

【變式2-1】1.(多選)(2023?安徽安慶?安慶一中校考模擬預測)正割(Secant)及余割

(Cosecant)這兩個概念是由伊朗數(shù)學家、天文學家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩個

符號是荷蘭數(shù)學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定

1111

義正割seca=—,余割csca=/京.已知函數(shù)/"(%)=京+玄，給出下列說法正確的是

()

A.f(x)的定義域為｛x|x豐k-nkez｝；

B.f(x)的最小正周期為2n；

C.f(久)的值域為［-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2］；

D./(x)圖象的對稱軸為直線久=-7+kn(kGz).

【答案】BC

【分析】由輔助角公式化一，再根據(jù)cosxH0,sinx40,即可求出函數(shù)的定義域，即可判斷

A;根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可判斷B;根據(jù)正弦函數(shù)的值域結(jié)合函數(shù)的定義域即可判斷C;

根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可判斷D.

【詳解】/(%)=白+點=cosx+sinx=Vising+?,

由cos%H0,sinxH0,得％W^(fc上Z)，

即f(x)的定義域為卜卜力一,keZ］,故A錯誤；

久久)的定義域關(guān)于原點對稱,

故/（X）的最小正周期與函數(shù)y=V^sin（%+勺的最小正周期一致，均為2TT,故B正確；

當x=0,卻考時，y=V2sin（%+9的值分別為1,1,一1,一1,

而函數(shù)y=魚sin（%+乎的值域為[一岳回

再結(jié)合周期性可知，/⑶的值域為[-V2,-1）u（-1,1）u（1,V2],故C正確；

令%+￡=5+kn（kez）,彳導x=￡+ez）,

即打乃圖象的對稱軸為直線無=￡+fcn（fcez）,故D錯誤.

故選：BC.

【變式2-1]2.（2023?全國?高三專題練習）一般地，存在一個a次多項式〃（久），使得cosnx

22

=TnCcosx）,這些多項式7n（久）稱為切比雪夫多項式.由cos2x=2cosx-1,知72。）=2x

-1,通過運算，可以得到COS3X的切比雪夫多項式73（W=—,結(jié)合上述知識計算COS

36°=.

【答案】4x3—3”竽

【分析】方法一：把3支變?yōu)?“+X,然后利用兩角和余弦公式及二倍角公式化簡即可得到

73（%）=4/—3x;結(jié)合%（%）=4/—3%及cosl08。=—cos72。，建立cos36。的方程求解即

可.

【詳解】[方;去——]:cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx—sin2xsinx

=(2cos2%—l)cosx—2sinxcosxsinx=4cos3x—3cos%,

/.73(%)=4x3—3%;

設(shè)cos36°=x,/cosl08°=—cos720,

32

:Ax—3x=—(2x—l)z即(％+1)(4/—2%—1)=0z

.?.%=-1（舍去）或%=苧或久=平（舍去）,

.-.cos36°=巨四

4

故答案為：?3—3X；空

［方法二］:cos3a=4cos3a—3cosa,

,.sin36°=sin(90°—54°)=cos54°,

3

/.2sinl80cosl8°=4cos18°—3cosl8°z

2

.cosl8°H0,.*.2sinl8°=4cos18°—3Z

22

2sinl8°=4(l-sin18°)-3r4sin18°+2sinl8°-1=0,

解得sinl8。=匚嚴或sinl8。=嗨四＜0（舍去）,

.?.疝18。=與1,,36。=1-2疝218。=竽.

故答案為：鈕3—3x;竽.

題型3黃金分割相關(guān)問題

【例題3】（2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預測）黃金分割點是指將一條線段分為兩部分，使得

較長部分與整體線段的長的比值為亨的點.利用線段上的兩個黃金分割點可以作出正五角

星，如圖所示，已知C,D為AB的兩個黃金分割點，研究發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：第=等=器=

亨.若等腰ACDE的頂角=則cose=（）

A.怨B,害C.誓D.噌

【答案】B

【分析】設(shè)AB=血，根據(jù)已知可求出BC=得m,CD=（通-2）恒取CD中點為匕在Rt△

EFC中，求得siW=與l,然后根據(jù)二倍角的余弦公式，計算，即可得出答案.

【詳解】設(shè)力B=m,由已知可得AC=BD=

則8c^AB-AC-m-

所以，CD-BD-BC=(V5-2)m.

如圖，取CD中點為F,連接EF,貝忸FlCD.

在《△EFC中，有CF=MD=§4,CE=BC=^-m,ACEF=

rni|sin￡一竺一亨--匹=1

則si4—仁石一上巡山-

24

所以，cose=1-2sin21=1—2x(41)2=空.

故選：B.

【變式3-1】1.（2023?江西?校聯(lián)考二模）被譽為"中國現(xiàn)代數(shù)學之父”的著名數(shù)學家華羅

庚先生于1946年9月應普林斯頓大學邀請去美國講學,之后又被美國伊利諾依大學聘為終

身教授.新中國成立的消息使華羅庚興奮不已，他放棄了在美國的優(yōu)厚待遇，克服重重困難,

終于回到祖國懷抱，投身到我國數(shù)學科學研究事業(yè)中去.這種赤子情懷，使許多年輕人受到

感染、受到激勵，其中他倡導的"0.618優(yōu)選法"在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應

用，0.618就是黃金分割比1=號的近似值，黃金分割比還可以表示成2sinl8。，則

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】D

【分析】利用三角恒等變形及誘導公式化簡可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得t=2sinl80,

T4T2_2sinl8W4-4sin218°_2sinl8°+2cosl8°_2sin36°_2sin36°_?

cos2270-sin227°-cos227°-sin227°-cos54°-cos54°-sin36°-,

故選：D.

【變式3-1】2.（2023?全國?高三專題練習）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研

究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割均為0.618,這一數(shù)值也可以表示為4=2

sinl80,則償u=（）

A.1B.1C.孝D.空

【答案】B

【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)求解.

【詳解】解：因為4=2sinl8。，

cr-p?V3sinl2°+/l_V^~sinl20+2sinl8°

所以~cosl20--cosl2°，

_V^sinl20+2sin（30。-12。）

-cosl20'

_V^sinl20+cosl2。一后inl2。

-cosl20'

=￡^=1

cosl20'

故選：B

【變式3-1]3.（2023?全國?高三專題練習）黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中.在

三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認為是最美的三角形,

它是兩底角為72。的等腰三角形.達?芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個畫面里形成了一

個黃金三角形.如圖，在黃金三角形力BC中，益=亨，根據(jù)這些信息，可得sin540=

（）

A2V5-lg返+1

?4°4

C店+4D店+3

?8°8

B

【答案】B

【分析】由題意cos72。=與1,結(jié)合二倍角余弦公式、平方關(guān)系求得cos36。=號1,再根

據(jù)誘導公式即可求sin54。.

【詳解】由題設(shè)，可得cos72°=1—2sin236°=cos236°+sin236°=1,

所以COS236。=等,又cos36。6(日歲,

所以cos36°=cos(90°-54°)=sin54°=號i.

故選：B

【變式3-1]4.(2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模)隨著智能手機的普及，手機攝影越

來越得到人們的喜爰，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用"黃金分割構(gòu)圖法”可以讓

照片感覺更自然.更舒適，"黃金九宮格"是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫豎各

分三部分，以比例1：0.618:1為分隔，4個交叉點即為黃金分割點.如圖，分別用4BCD

表示黃金分割點若照片長、寬比例為4:3,設(shè)=a,則告等-tana=()

DC

AB

1B

A.8-Ic.一套口.看

【答案】D

【分析】由題意得到tana=總結(jié)合二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求出答案.

一c0.6180.618BC3

【詳解】4

由施忌?（導BC=3X1+0.618+114B=4x1+0.618+1,故tana=詬=『

ULI、11+COS

2a2cos2a.1-tana=-4-3=-7

所以sin2a—tana=2sinacosa-tana=—i

故選：D

題型4扇形相關(guān)問題

【例題4]（2023秋?貴州?高三統(tǒng)考開學考試）已知"水滴"的表面是一個由圓錐的側(cè)面和

部分球面（常稱為"球冠"）所圍成的幾何體.如圖所示，將"水滴"的軸截面看成由線段

AB,AC和優(yōu)弧BC所圍成的平面圖形，其中點B,C所在直線與水平面平行，AB和AC與

圓弧相切.已知"水滴"的"豎直高度"與"水平寬度"（"水平寬度”指的是平行于水平

面的直線截軸截面所得線段的長度的最大值）的比值為￡則sinzB4C=（）

【答案】D

【分析】設(shè)圓心為O,連接OA,OB,OC,設(shè)球冠的半徑為R,根據(jù)幾何性質(zhì)可得。力=：

R,從而可得sinNBA。，根據(jù)平方公式與二倍角公式即可得sin/BAC的值.

【詳解】設(shè)優(yōu)弧BC所在圓的圓心為O,半徑為R,連接OA,OB,OC,如圖所示.

A

易知"水滴"的"豎直高度"為。4+R,"水平寬度”為2R,

由題意知鬻=解得。4=孤

因為AB與圓弧相切于點B,所以。B1AB.

riDRQ

在Rt^ABO中,sin^BAO=^=p=|,

又NBA。e（0,^）,所以COSNBAO=又一sin2NB4。=

由對稱，敞口，^BAO=ACAO,貝!UB4C=2乙BAO,

所以sinNBAC=2sinNB4OcosNB4。=2x|x|=||.

故選：D.

【變式4-1】1.（多選）（2023?全國?高三專題練習）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，

其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜爰.古人曾有詩贊日："開合清風紙半張,

隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形COD,

其中“。。=手，。。=3。4=3,動點P在而上（含端點），連接0P交扇形04B的弧麗于

點Q,=xOC+yOD,則下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.若y=2x,則而?麗=一|7^B.x+ye[|,|]

C.PA-PB>^D.AB-JQ>-2

【答案】BC

【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點的坐標，設(shè)Q(cos6,sin。),。€[o,副可得P(3cos0,3

sin。)，由麗=花？+丫而，結(jié)合題中條件可判斷A,B,表示出相關(guān)向量的坐標，利用數(shù)

量積的運算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C,D.

【詳解】如圖，作。E1OC,分別以O(shè)C,OE為x,y軸建立平面直角坐標系，

則4(1,0),C(3,0)鳳-怨),。(-1,苧)，

設(shè)Q(cose,sin。),。G[o,寺],則P(3cosO,3sinO),

由。Q=xOC+y。。可得cos。=3%—|y,sin0=,且x>0,y>0,

若y=2x,則cos。=3x—|y=0,sin0=1,所以而=(0,3),而=(一孚),

所以赤?市=竽，故A錯誤；

r+n21,1.

由丫=3^smd'*=3COS0n+忘sin。n，

所以％+y=-4=sin0+|cos0+-A=sin0=—sin0+：cos6

3V333V333

=t(T$也。+1cos。=|sin(e+?

因為oe[o,縱所以。+凱恒卻，所以疝,+皆需]],

所以％+yet，|],故B正確；

由于PZ=(1—3cos0,—3sin6),PB=(—；—3cos0^—3sin。)，

故尸Z-PB=(1—3cos4—3sin6)?(—g—3cos仇3sin0)

*3sin0+9,而8+凱忸部所以sin(0+骷朋,

所以方.麗=9-3sin（e+92?-3=/,故C正確，荏?而=（―|#?（—2cos0

,—2sin0）=—V3sin0+3cos6

=-2V3sin（0_^）,由于8e［o,爭］,故e_聶［_或同，

故一3W-2V3sin（0-j）<3,故D錯誤；

故選：BC

【變式4-1］2.（2023春?廣東深圳?高三校考階段練習）以乙4cB的頂點C為圓心作圓交角

的兩邊于A,B兩點；取線段4B三等分點O,D;以B為焦點，A,D為頂點作雙曲線，與

圓弧交于點E,連接CE,貝此力CB=3NBCE.若圖中CE交4B于點P,SAP=6PB,貝［|cosN

ACP=.

【答案】

【分析】根據(jù)正弦定理及二倍角的正弦公式，得NBCE的余弦值，再由二倍角的余弦公式即

可求出cos乙4cp.

【詳解】設(shè)NBCE=a,則N4CB=34BCE=3a,AACP=2a.

在△依「中，由正弦定理，得篇=占；

在ABCP中，由正弦定理，得黑=焉而

又因為CN=CB,L.APC+Z.BPC=TI,

所以一生一=一生一所以一尸一=空-

rn

「八八sinzjlPCsin乙BPC'八sin2asina'

oAPsin2a

即n而==2cosa-

又因為5而=6而，所以或=2cosa=今故cosa=5.

97

所以cosz■力CP=cos2a=2cos2a—l=2x——1=——

故答案為：一高

【變式4-1】3.(2023?河南焦作?統(tǒng)考模擬預測)如圖，已知P,Q分別為乙40B兩邊上的點,

^AOB=f,PQ=3,過點P,Q作圓弧，R為所的中點，且NPQR=￡則線段OR長度的最大

【答案】3+2V3

【分析】設(shè)"Q。=9,在△OPQ中由正弦定理可得。P=6sin6,在由余弦定理求出

PR、QR,在AORP中由余弦定理表示出OR?,再結(jié)合三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)

求出0R2的最大值，即可得解.

【詳解】解：設(shè)4PQO=8,貝［|0＜。＜等，在△OPQ中，由正弦定理知焉=焉而=A

=6,

所以。P=6sin9,因為R為所的中點，所以“PR=NPQR=￡,

則PR=QR,在△RPQ中由余弦定理PQ2=PR2+QR2_2pR?QRcosAPRQ,

解得PR=QR=y/3,

在△ORP中，乙OPR=乙OPQ+Z.QPR=^—e+￡=n—e,

由余弦定理可得°R2=OP2+PR2-20P-PReos乙OPR=36sin20+3-2V3x6sinJXcos

(n-0)

=18(1-cos20)+3+6V3sin20=12怎in(20-y)+21

所以當8=空時，OR?取得最大值21+12V3,

即。R的得最大值3+2V3.

故答案為：3+2V3

【變式4-1】4.（2022?全國?高三專題練習）為創(chuàng)建全國文明城市，上饒市政府決定對某小

區(qū)內(nèi)一個近似半圓形場地進行改造，場地如圖，以。為圓心，半徑為一個單位，現(xiàn)規(guī)劃出

以下三塊場地，在扇形AOC區(qū)域鋪設(shè)草坪，△OCD區(qū)域種花，△OBD區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，

若乙4OC=NCOD,且使這三塊場地面積之和最大，則cos乙4。。=.

【分析】設(shè)出乙4。。=。，表達出三塊場地的面積和S=軟+頡皿+9128,通過求導研究

其單調(diào)性，求出最大值所對應的乙4。。的余弦值.

【詳解】設(shè)=貝”C0D=e,根據(jù)題意易知ee（o,。

：0D=OB,△為等月要三角形，貝！=Z.OBD

5lj:Z.AOD=DDB+乙。8。,

:./-COD=Z.ODB=Z.OBD=6

:.0C||DB

.?則三塊場地的面積和為S=知+1sin0+jsinCn-28)=*+1sin0+|sin20,06(0,?

則S=[+|cos^+cos20=2cos2。+|cos0—9e（0,?

令S=0,COS0=窄1或cose=二察（舍）

oo

設(shè)（P為cose=今二所對應的角，

''y=cos。在。?o,以上單調(diào)遞減，

e（0,S）時，S單調(diào)遞增.

時，S單調(diào)遞減.

二當cose=等時，面積最大.

故答案為：當」.

O

【變式4-1】5.(2022?湖北?恩施市第一中學校聯(lián)考模擬預測)共和國勛章，是中華人民共

和國最高榮譽勛章，授予在中國特色社會主義建設(shè)和保衛(wèi)國家中作出巨大貢獻、建立卓越功

勛的杰出人士.2020年8月11日，國家主席習近平簽署主席令，授予鐘南山“共和國勛章”.

某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個人，制作的榮譽勛章的掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，0為圖中

兩個同心圓的圓心，三角形ABC中，AB=AC,大圓半徑。4=2,小圓半徑。8=。。=1,

記S為三角形OAB與三角形OAC的面積之和.設(shè)陰影部分的面積為S,當S，-S取得最大值

時cosNBOC=.

掛電結(jié)構(gòu)示意圖

【答案】2-V5

【分析】設(shè)NBOC=e(0,兀)，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式得到S=萬-/也

a,S，=2si或，構(gòu)造函數(shù)/'(a)=S'-S=2sig/+|sina,ae(O,TT),利用導數(shù)求函數(shù)的單

調(diào)性與最值即可得到答案.

【詳解】過點O作。D1BC于點D,則點D為BC的中點，又力B=4C,，A,O,D三點

共線，

(X

設(shè)乙BOC=a,aE(O,TT),Z.AOB=Z-AOC=TI

11a11Ctcc

22

則S=TX(XX1--xlxsina=---sina,S'=2x-xlx2xsin(；T—7)=2sinTz

從而S'—S=2sin^—5+gsina,

aa]oc11aa

令/(a)=2sin---+-sina,aG(Ojr),/'(a)=cos---+-cosa=cos2-+cos--1,

由r(a)=0,解得：(：(^=雪1或《^=卒(舍去)，

記cos。=與4c(0^)

???/⑷在(0,8)上單調(diào)遞增，在(仇鄉(xiāng)上單調(diào)遞減，故當cos￡=與時，/⑷取得最大值，此

時cosa=2cos2^—1=2x—1=2—V5.

故答案為：2—V5

【點睛】方法點睛：本題考查利用導數(shù)求三角函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)的值域時，常用的

方法：

(1)將函數(shù)化簡整理為"%)=4sin(3x+0),再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；

(2)利用導數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.

(3)關(guān)于三角函數(shù)的二次型，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求值域.

題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問題

【例題5】(2023秋?江蘇南京?高三統(tǒng)考階段練習)已知aWQn),且3tana=10cos2a,則

cosa可能為()

AR_Vs(-VWDV5

u

A.10D-5J10-5

【答案】B

【分析】由3tana=10cos2a得3tana=10x隹需，化簡后可求出tana,再利用同角三角函

數(shù)的關(guān)系可求出COSa.

【詳解】由3tana=10cos2a,得3tana=10(cos2a-sin2a),

所以3tana=10x，cos2^-sin2^

cos2?+sin2az

所以3tana=1°x鬼，

整理得3tar)3a+10tan2a+3tana-10=0,

(tana+2)(3tan2a+4tana-5)=0,

所以tana+2=0或3tan2a+4tana-5=0,

所以tana=-2或tana=^E,

①當tana=-2時，器=2兀)，

因為siMa+cos2a=1,所以5cos2a=1,

所以COSa=±g,

因為aW(?),所以cosa=-g,

②當ta皿丁時，器=呼,回0,J

因為siMa+cos2a=1,所以(^|^cosa)2+cos2a=1,

由于a《o,9,所以解得COSa=口三，

\，2，勺32-4V19

③小當小+t”an-a-二-2-V一l9n時-4.,-sin?_-2-Vl9\

因為siMa+cos2a=1,所以3個“cosap+cos2a=1,

由于ae自兀)，所以解得cosa=-后需，

綜上,3-亨，或COSA石條，或3。=-后焉，

故選：B

【變式5-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知0<a<6<2兀，函數(shù)f(x)=5sin

(%—力，若/'(a)=/(0)=1,則cos(0—a)=()

A里D_里C—3

-D.

252555

【答案】B

【分析】由已知條件,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得？<a<y,y<^<^,從而利用cosQ?-a)

=cos[(s_g_(a_g]即可求解.

【詳解】解：令f(x)=5sin(x-j=0,0<%<2TT,則x=(或無=笈

令/'(x)=5sin(x一看)=5,。<x<2兀，貝！]尤=y,

又0<a<￡<2兀，/(a)=/(/?)=1,

所端<。<*，sin(a-^=|,sin(/?-^=|,

因為0<a-(<5\<S-、<兀，

所以cos(a―力=等,cos(￡—0=-等

所以cos(jg—a)-cos(S_：)_(a—=cos(0—巡)cos(a—：)+sin(￡—：)sin(a—

=_辿乂2+1*[=_空

55T5525'

故選：B.

【變式5-1】2.(2023?全國?高三專題練習)已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的

7__

邊分別是a,b,C,且4>B,若sinC=2cos4sinB+元，則tanB的取值范圍為.

【答案】(評)

【分析】由題可得tan(4-B),將tanB用含tand的式子表示，然后根據(jù)角4的范圍，求tanB

的取值范圍.

7

【詳解】.sinC=2cos>lsinB+―,

77

...sin(4+B)=sirh4cos8+cos/sinB=2cosZsinB+―,即sin(4—^)=—z

047

,又4>B,且48都為銳角,故cos(4—8)=元，tan(/—B)=%,

因為銳角三角形48C,所以tanA>0,tan8>0,tanC>0,

7

LLi\i,tanM—S)+tan5—4-tanB

所以tan”=tan[(A-B)+B]=匚鬲屋訴而=匚聲i>°

774

所以1-—?tanS>0,所以tanB<―,

又因為tanC=—tan(4+B)=tanA.tanB_{>°

7

一—…—FtanB

所以tanZ?tanB-1=-----tanB—1>0

1——,tano

24

所以IZta/B+7tanB—12>0,解得tanB>域tanB<—去舍去)

故;<tanB<今

故答案為：G，粉

【變式5-1】3.(2023秋?黑龍江七臺河?高三勃利縣高級中學校考階段練習)在“BC中,

已知sin&sinBsin(C-0)=Asin2C,其中tan。=|(0<0<5若高+高+高為定值，則

實數(shù)4=.

【答案】

【分析】由仁高+高+高=扁黑標+黑，再根據(jù)已知將問題轉(zhuǎn)化為等式恒成

立，即可求參數(shù)九

1,1,2cos?lcosB2cosCsinC+2cosC__2cosCJ_

【詳解】--------1----------1--------=---------1----------1---------+=

tanAtanBtanCsin/sinBsinCsirvlsinBsinCsirvlsinBsinCsinCsinC

2cosc12A/51V5cosC2cosc

sinCA5A5sinCsinC

.,.2V5sinC—VScosC+102cosC=5k2sinC恒成立，則k=4,%=焉.

故答案為：音

【變式5-1】4.(2023?全國?高三專題練習)在直角坐標系中，△4BC的頂點4(cosa,sina

),8(cos0,sin0),C(竽,2偽,且△ABC的重心G的坐標為(竽，偽,cos(a—0)=.

【答案】|

【分析】由重心的坐標與三個頂點坐標的關(guān)系有G(巴上咄笠,亞空爐退)，結(jié)合已知列

3J

方程組，得｛“Sa+cos'=管，兩式平方相加，即可求c°s(a—￡).

sma+sinp=72

【詳解】由題意知：G(cosa+8S。+竽,sina+s蜉+2與,

cosa+cos0+竽_2>.D2V3

-3"——即｛“"a+cosB=~

sina+s?+2V^_魚'sin(z+sin6=&'

/.(cosa+cos/?)2=cos2a+2cosacos/?+cos2jB=

(sina+sin/?)2=sin2a+2sinasinS+sin2^=2,

將兩式相加，得：2+2(cosacos^+sinasin/?)=

2

/.cos(cr—/?)=cosacosjff+sinosing=-

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角形的重心坐標與頂點坐標關(guān)系，結(jié)合已知條件列方程組，利

用同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差余弦公式求函數(shù)值

【變式5-1】5.（2022?全國?高三專題練習）已知點G是△4BC的重心，目G41GC,若

—+—=1則tanB的值為

tanZtanC'

【答案】,

【分析】由G41GC得到a?元=0,結(jié)合G是△ABC的重心，得到5〃=42+?2,結(jié)合余

弦定理和正弦定理，求得tanB的值.

【詳解】依題意G41GC,所以而-GC=0,所以（而-BG）-（BC-BG）=0?,

因為G是三角形48c的中心，所以BG=+BC）②,

把②代入①并化簡得5冠-AC=BC-BC+AB-ABI

即5Z?2=a2+c2,

由余弦定理得小+c2=b2+2accosB,

所以4b2=2accosB,

由正弦定理得Zsi/B=sinAsinCcosB③,

已知意+熹=L

所^^+學=sirk4cosc+cos4sinCsinQl+C)_sinB

sin/sinCsin^sinCsinAsinC

所以sinB=sinAsinC④，

由③④得2sinB=cosB,所以tanB=

故答案為：|

【點睛】本小題主要考查向量線性運算、數(shù)量積的運算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，

考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及三角恒等變換，屬于難題.

【變式5-1】6.(2021秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校考期中)在

△4BC中，已知sin4sinBsin(C-0)=Asin2C,其中tan。=|(其中0<8<5)，若高+熹

+高為定值，則實數(shù)4的值是()

A.嚼B.夸C.舊D庠

【答案】A

【分析】sin4sinBsin(C-e)=4sin2C,化簡彳星島sin"盍cosC)=^舞，再由高+

++高為定值，化簡得到3sinC-cosC=2V102gsinC—cost?)恒成立，列出方程組，即

可求解.

【詳解】由tan。=|,(0<^<7),可得sin。=盍，cos。=看，

因為sinAsinBsin。一。)=Asin2