第13講空間向量與距離、探究性問題（2大考點+強化訓練）

［考情分析］1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點到直線以及點到平面的距離，屬于中等

難度2以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關系或空間角存在的條件，計算量較大，一般以

解答題的形式考查，難度中等偏上.

知識導圖

。考點一：空間距離

★空間向量與距離、探究性問題

?考點二：空間巾的探究性問題

考點分類講解

考點一：空間距離

⑴點到直線的距離

直線/的單位方向向量為"，A是直線/上的任一點，尸為直線/外一點，設成="，則點P到直線/的距離

（a-w）2.

⑵點到平面的距離

平面a的法向量為"，A是平面a內任一點，尸為平面a夕I—■點，則點尸到平面a的距離為

考向1點到直線的距離

【例1】（2024?全國?模擬預測）已知在空間直角坐標系中，直線/經過A（3,3,3）,*0,6,0）兩點，則點

尸（0Q6）到直線/的距離是（）

A.672B.2A/3C.2mD.3亞

【變式1】（23-24高三上?北京昌平?期末）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A4CA中，E為線段

AF

上的點，且黑=3,點尸在線段RE上，則點尸到直線距離的最小值為（）

A0RV3r3

225

【變式2】（23-24高三上?山東荷澤?階段練習）已知點A（2,l,l）,若點8（1,0,。）和點C（l,l,l）在直線/上，則

點A到直線/的距離為.

【變式3】（23-24高三上?山東青島?期中）《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱

稱為塑堵，在塑堵ABC-44G中，若"=^="=2,若尸為線段BA中點，則點尸到直線4C的距離

為（）

A.V2B.顯C.3D.正

222

考向2點到平面的距離

規律方法（1）求點到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點到平面的距離公式，二是利用等體積法.

（2）求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行.求直線到平面的距離可轉化成直線上任一點到平面的距

離.

[例2]2.（2023?湖北省襄陽市第四中學模擬）已知斜三棱柱ABC—的各棱長都為4,NAiAB=60。，點

4在下底面ABC上的投影為的中點Q

（1）在棱（含端點）上是否存在一點。使4DLAG?若存在，求出8。的長；若不存在，請說明理由;

⑵求點4到平面BCCiBi的距離.

【變式1】（23-24高三下?北京?開學考試）在正四棱錐尸-ABCD中，AB=2,與平面ABCD所成角為

三,則點D到平面P3C的距離為（）

4

AV6R2網4指n4

3333

【變式2】（2024?廣西?模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-Ag中，E為線段的中點,

產為線段陽的中點.直線式到平面ABE的距離為（）.

?屈1

AD.-----CD.-

-T513

【變式3】（2024高三?全國?專題練習）如圖所示，在正三棱柱ABC-A與G中，所有棱長均為1,則點見到

平面ABG的距離為

考點二：空間中的探究性問題

與空間向量有關的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關系；另一類是探究線面角或兩平面的夾

南滿足特定要求時的存在性問題.處理原則：先建立空間直角坐標系，引入參數（有些是題中已給出），設出

關鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數是否滿足要求，從而作出判斷.

規律方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法

(1)通常假設問題中的數學對象存在或結論成立，再在這個前提下進行推理，如果能推出與條件吻合的數據

或事實，說明假設成立，并可進一步證明，否則假設不成立.

(2)探索線段上是否存在滿足條件的點時，一定注意三點共線的條件的應用.

【例3】(2023?咸陽模擬)如圖，三棱柱ABC—AbBiG的側面BSGC是邊長為1的正方形，平面BBiCiCX

平面44H，AB=4,/42歸=60。，G是46的中點.

(1)求證：平面GBCJ_平面BBCC；

(2)在線段BC上是否存在一點P,使得二面角P—GBi-B的平面角為30°?若存在，求BP的長；若不存在,

請說明理由.

【變式1】(2024?四川成都?模擬預測)在四棱錐尸-ABC。中，已知AB〃CDABLAD,BC1PA,

AB=2AD=2CD=2,PA=遙，PC=2,E是線段PB上的點.

⑴求證：PC,底面ABCD；

(2)是否存在點E使得出與平面E4C所成角的余弦值為好？若存在，求出黑的值；若不存在，請說明理

由.

【變式2】(2024?全國?一模)如圖，棱柱ABCD-AqCQi的所有棱長都等于2,MZABC=Z4,AC=60°,

平面AA.C.C±平面ABCD.

⑴求平面DAA,與平面CM所成角的余弦值；

(2)在棱CG所在直線上是否存在點P,使得期//平面%G.若存在，求出點P的位置；若不存在，說明

理由.

【變式3](2024?貴州黔東南?二模)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABC。為菱形，￡見上平面

ABCD,DE〃BF,AD^DE=2,BF=1,ZBAD=6O°.

(1)證明：平面E4C_L平面BDEF；

⑵試問線段8上是否存在一點尸，使得平面皿與平面屏P夾角的余弦值為受？若存在，請判斷點尸

的位置；若不存在，請說明理由.

強化訓練

一、單選題

1.（2023?貴州六盤水?模擬預測）平面a的一個法向量為“=（1,2,2）,人（1,0,0）為a內的一點，則點

P（3,l,l）到平面a的距離為（）

A.1B.2C.3D.7TT

2.（2023高三?全國?專題練習）“類比推理"簡稱"類比"，是一種重要的邏輯推理方法，也是研究問題、發

現新結論的重要方法.下面通過"類比”所得到的結論中不正確的是（）

A.設。為平面內任一點，則A,B,C三點共線當且僅當存在a,%滿足a+b=l,使得

OC^aOA+bOB.類比到空間得：設A，B,C不共線，則A,B,C,。四點共面當且僅當存在實數

a,b,c滿足。+〃+c=l,^OD=aOA+bOB+cOC

B.已知平面內點夕（飛,幾）到直線—+冷+c=o的距離為d」方;：二a.類比到空間得：空間中

點P（x°,%,z°）到平面4+珍+Cz+。=0的距離為d=與/

C.設平面內不過坐標原點的直線與x軸和y軸的交點分別為（a,0）,（0力），則直線的（截距式）方程

為才卡=1.類比到空間得：空間中不過坐標原點的平面與x軸、y軸和z軸的交點分別為（a,0,0）,

（03,0）,（0,0,c）,則平面的（截距式）方程為二+；+三=1

D.設平面內一直線與x軸和y軸所成的角分別為a,夕，則有cos,a+cos?6=1.類比到空間得：設

空間中一直線與x軸、y軸和z軸所成的角分別為a,P,Y,則有cos?a+cos?P+cos?7=2

3.（23-24高三上?上海奉賢?期中）如圖，己知四棱錐P-ABC。的底面ABC。是直角梯形，AD//BC,

AD=4,ZABC=90,PA_L平面ABCD,PA=AB=BC=2,下列說法正確的是（）

A.PB與8所成的角是30

B.平面PCD與平面PB4所成的銳二面角余弦值是逅

3

C.P8與平面PCD所成的角的正弦值是遮

6

D.〃是線段尸C上動點，N為AD中點，則點尸到平面比WN距離最大值為速

3

4.（2023?江蘇徐州?模擬預測）在空間直角坐標系中，直線/的方程為》=y-l=z,空間一點尸（1,1,1）,則點

尸到直線/的距離為（）

A.—B.1C.BD.也

233

5.（23-24高三上?北京海淀?階段練習）如圖，在正方體ABCD-AgGR中，￡為棱8G的中點.動點尸沿

著棱DC從點。向點C移動，對于下列三個結論：

①存在點P,使得PA=PE；

②△「從￡的面積越來越小；

③四面體4尸3田的體積不變.

6.（2023?全國?模擬預測）如圖，已知正方體ABCD-A且GQ的棱長為2,棱A2，CG的中點分別是

E,尸，點G是底面ABCD內任意一點（包括邊界），則三棱錐G-耳所的體積的取值范圍是（）

7.（2023?河南?模擬預測）在空間直角坐標系中，已知

Al/aaqiembaLLZbzXTOnbW/os）,則當點A到平面BCD的距離最小時，直線AE與平

面BCD所成角的正弦值為（）

A2屈RA/144岳4

217357

8.（2023?全國?模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體ABCO-44c■中，尸為棱的中點，Q為正方

形2耳CC內一動點（含邊界），則下列說法中不乏砸的是（）

A.若2。〃平面則動點Q的軌跡是一條線段

B.存在。點，使得“。上平面

C.當且僅當。點落在棱CC|上某點處時，三棱錐。-4尸。的體積最大

D.若RQ=g,那么。點的軌跡長度為亨乃

二、多選題

1.（23-24高三上?河北保定?期末）如圖，在棱長為2的正方體鉆8-4耳￡。中，E,尸分別是棱片用

的中點，則下列說法正確的是（）

A.4522四點共面

B.DF±BE

2

C.直線"與旗所成角的余弦值為：

D.點E到直線A尸的距離為1

2.（2024?江西上饒?一模）如圖，棱長為1的正方體ABCD-AAG。中，E,尸分別為。2，B片的中

點，則（）

A.直線FG與底面ABC。所成的角為30。B.4到直線FG的距離為粵

C.尸C"/平面4月￡D.%_1平面A耳石

3.（2024?福建福州?模擬預測）在長方體A3CO-ASGA中，AB=2,朋=AD=1,石為A5的中點，則

()

A.\BLB{CB.4。//平面EgC

C.點。到直線A8的距離為竽D.點。到平面EBC的距離為出

三、填空題

1.（23-24高三上?安徽?階段練習）已知直線/經過A（-LT0）,3（l,-L2）兩點，則點尸（TL2）到直線/的距

離為.

2.（2024?福建廈門?一模）已知平面。的一個法向量為〃=（1,0,1）,且點A（l,2,3）在a內，則點8（1,11）到a

的距離為.

3.（23-24高三上?北京房山?期末）如圖，在棱長為。的正方體ABC。-A4G2中，點尸是線段8。上的動

點.給出下列結論：

@AP±BDI；

②AP〃平面A。。；

IT7T

③直線AP與直線AA所成角的范圍是;

④點P到平面4CQ的距離是乎a.

其中所有正確結論的序號是.

1.(23-24高三上,天津?期末)如圖，已知平面ABCD,AD//BC,AD1CD,A4t〃叩，

CQ//DDt,AAi=CC1=BC=l,AD=DC=DQ=2.

⑴求證：CD"/平面ABC1；

(2)求平面AlADDi與平面ABC1的夾角的余弦值;

⑶求點C到直線的距離.

2.（2024?山西運城?一模）如圖，在矩形紙片A3CZ）中，AB=4,BC=2,沿AC將△ADC折起，使點O

到達點尸的位置，點尸在平面ABC的射影H落在邊上.

⑴求的長度；

（2）若M是邊PC上的一個動點，是否存在點M,使得平面與平面P8C的夾角余弦值為正？若存

在，求CM的長度；若不存在，說明理由.

3.（2024?廣東梅州?一模）已知三棱柱ABC-A^iG中，AB=AC^2,NBAC=120。，且BC=2BB1,

NCBB|=60。，側面8CG4,底面ABC,。是8C的中點.

B

⑴求證：平面平面4A。；

⑵在棱AA上是否存在點Q,使得BQ與平面ACGA的所成角為60。.如果存在，請求出言；如果不存

在，請說明理由.

4.（23-24高三下?浙江寧波?階段練習）已知四棱錐尸-ASCD的底面ABCO是直角梯形，AD/IBC,

ABJ.BC,AB=y/3,BC=2AD=2,E為8的中點，PBLAE.

P

⑴證明：平面尸平面ABCD；

⑵若PB=PD,尸C與平面ABCD所成的角為JT.過點8作平面PCD的垂線，垂足為N,求點N到平面

ABCD的距離.

5.（23-24高三上?北京昌平,期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面PDCL平面ABC。，AD±DC,

ABDC,AB=^DC,PD=AD=l,〃為棱PC的中點.

⑴證明：aw國平面上4D；

⑵若PC=5AB=1,

（i）求二面角尸-DM-3的余弦值；

（H）在線段9上是否存在點°,使得點。到平面出切的距離是乎？若存在,求出詈的值；若不存

在，說明理由.

第13講空間向量與距離、探究性問題(2大考點+強化訓練)

［考情分析］1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點到直線以及點到平面的距離，屬于中等

難度2以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關系或空間角存在的條件，計算量較大，一般以

解答題的形式考查，難度中等偏上.

知識導圖

_________________________L-----O考點一，空間距離

★空間向量與距離、探究性問題

------------------------------------------------------------------------------------

ill考點分類講解

考點一：空間距離

⑴點到直線的距離

直線/的單位方向向量為"，A是直線/上的任一點，尸為直線/外一點，設標="，則點尸到直線/的距離

d=y/a2—(a-u)2.

(2)點到平面的距離

平面a的法向量為"，A是平面a內任一點，尸為平面a夕I■點，則點尸到平面a的距離為6/=兇：：”.

考向1點到直線的距離

【例1】(2024?全國?模擬預測)已知在空間直角坐標系中，直線/經過4(3,3,3),網0,6刀)兩點，則點

尸(0Q6)到直線/的距離是()

A.672B.2A/3C.276D.3行

【答案】C

【分析】由題意先求出直線的方向向量e=AB=(-3,3,-3),然后依次求得cos,,死,sin,訓，則尸到

直線的距離為d=|AP卜求解即可.

【詳解】由題意可知直線/的方向向量為：e=AB=(-3,3,-3),

eAP9-9-9_1

又AP=(-3,-3,3),則cos(e,A尸片

|e||AP|-727x727-

2A/2

sin(e,AP

點尸(0,0,6)到直線/的距離為：^=|AP|sin(e,AP)=79+9+9x=2A/6.

故選：C.

【變式1】（23-24高三上?北京昌平,期末）如圖，在棱長為1的正方體A8CD-A耳GA中，E為線段

上的點，且-=3,點尸在線段RE上，則點P到直線AZ）距離的最小值為（)

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標系，借助空間向量求出點P到直線AD距離的函數關系，再求其最小值作答.

【詳解】由題意以。為原點，D4,OCDA所在直線分別為％yz軸建立如圖所示的空間直角坐標系：

所以。（0,0,0）,A0,0,0）,R（0,0,1）,￡卜,jo

不妨設〃尸=九2￡=41，:一1），2?0，1］，

(O,O,l)=U,|2,l-2L

而ZM=(1,O,O),

II^P-DA

所以點P到直線AD的投影數量的絕對值為dRP|?cosDRDA\=L,

1?0A

所以點尸到直線AD距離

h=W"2=52+>2+。一'2-1=J||*-22+l=Jflf)+321-

等號成立當且僅當2=當，即點尸到直線AD距離的最小值為二

255

故選：C.

【變式2】(23-24高三上?山東荷澤?階段練習)已知點42,1,1),若點8(1,0,0)和點C(LLD在直線)上,則

點A到直線/的距離為.

【答案】1

【分析】根據題意求得B4BC,結合A到直線/的距離網sin僅A,BC),即可求解.

UULUUU

【詳解】由題意知，點A(2,l,l),5(1,0,0),C(l,l,l),可得54=(1,1,1)，BC=(0,1,1),

則網=若，\BC\=42,BABC=2,

UUUUU

/UiruiMvBABC2V6

所以cos(BA,BC)=|Uir||UUP|

、'BABC限0一3'

/inruun\/Q

可得sin(5A,50=?A

IULTI/Uiruun、

所以點A到直線l的距離為網sin網,BC)=1.

故答案為：1.

【變式3](23-24高三上?山東青島?期中)《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱

稱為塑堵，在塑堵ABC-ABCI中，^AB=BC=AAl=2,若尸為線段中點，則點尸到直線8c的距離

為()

A.0B.日。?與

【答案】B

UUliULILl

【分析】建立合適的空間直角坐標系，先求出4C,4P的夾角，在直角三角形中，得出點尸到直線的

距離.

【詳解】解：根據塑堵的定義，建立以點8為原點的空間直角坐標系，

則3（0,0,0）,A（2,0,2）,B,（0,0,2）,C（0,2,0）,尸（1,0,1）,

故用C=（0,2,-2）,耳尸=（1,0,-1）,

所以cos^C,4尸一一云反萬一--,

所以sinBC，耳P=*,

設點P到直線8c的距離為d,

所以由用邛扁,解得、邛

故選：B.

考向2點到平面的距離

規律方法（1）求點到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點到平面的距離公式，二是利用等體積法.

（2）求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行.求直線到平面的距離可轉化成直線上任一點到平面的距

離.

[例2]2.（2023?湖北省襄陽市第四中學模擬）已知斜三棱柱ABC—AI1C1的各棱長都為4,/443=60。，點

4在下底面ABC上的投影為AB的中點0.

（1）在棱881（含端點）上是否存在一點。使A1OLAG?若存在，求出8。的長；若不存在，請說明理由;

（2）求點Ai到平面BCCiBi的距離.

【解析】解(1)存在.

?.?點4在下底面A3C上的投影為AB的中點0,故4。，平面ABC,

連接。C,由題意知△ABC為正三角形，OCLAB,

以。為坐標原點，OC,04］所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(2,0,0),Ai(0,0,2事),C(0,2小，0),8(—2,0,0),%(—4,0,2事),G(—2,2小,2小),

設前)=還瓦,血=(—2,0,2小)，

可得￡)(—22—2,0,2-\/32),

?*.AIZ)=(—24一2,0,2y/3A—2"j3),

記=(—4,2小,2小)，

假設在棱(含端點)上存在一點D使AiOLAG,則彳近，石,

.?.4(24+2)+2^3(2732-2小)=0,

1

-

5

4

-

5

(2)由(1)知86=(—2,0,2事),

BC=(2,2小,0),

設平面BCGBi的法向量為〃=(x,y,z),

n-BB\=0,

則‘一

n-BC—Q,

J-2x+2^3z=0,

?12x+2亞=0,

令尤=小，則z=l,y——l,

則〃=(小，—1,1),

又48=(—2,0,-2/)，

則點Ai到平面BCCiBi的距離

|瓦4村4vB

”一f一小—5,

即點兒到平面BCCiBi的距離為邛5

【變式1】（23-24高三下?北京?開學考試）在正四棱錐P-ABCD中，AB=2,上4與平面ABCD所成角為

則點。到平面P3C的距離為（）

4

AV6口2a_4A/6N￡

3333

【答案】B

【分析】根據題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法求點到平面的距離，從而得解.

【詳解】依題意，設ACBD=O,則尸01平面ABC。,

TT

因為平面ABCD'所以"40為PA與平面所成角'即/班。二'

因為AB=2,所以。4=0。=。8=垃，則尸0=04=0,

以。點為原點，建立空間直角坐標系如圖,

則C（0,0,0）,B（逝,0,0）,D（-A/2,0,0）,P（0,0,V2）,

所以CO=「夜，-夜,0）,P8=出0,-應）,PC=（0,>/2,-A/2）,

PBii=A/2X-V2z=0

設平面PBC的一個法向量為三=（x,y,z）,貝卜

PCn=y/2y-A/2Z=0

令z=l,貝!|x=y=l,故〃=（1,1,1）,

|CD-n|_|-V2-V2|_2-76

所以點。到平面PBC的距離為

n乖13

故選：B.

【變式2】（2024?廣西?模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-4gGR中，E為線段的中點,

/為線段即的中點.直線FG到平面AgE的距離為（）.

AV5RV302n1

3533

【答案】C

【分析】由線線平行得到線面平行，直線FG到平面的距離等于點C1到平面A耳E的距離，建立空間

直角坐標系，得到平面法向量，得到點到平面的距離.

【詳解】團AE〃尸C”尸G<2平面ABH，AEu平面4月￡,

回產￡〃平面

因此直線FCt到平面AB{E的距離等于點G到平面AB.E的距離，

如圖，以。點為坐標原點，DA所在的直線為無軸，。。所在的直線為y軸,

。2所在的直線為z軸，建立直角坐標系.

則4（2,0,0）,B,（2,2,2）,C40,2,2）,E（0,0,l）,F（2,2,l）,

FC；=（-2,0,1）,AE=（-2,0,1）,陽=（0,2,2）,C4=（2,0,0）,

r

設平面AB.E的法向量為，=(x,y,z),

n-AE=-2x+z=0

則，

n-ABX=2y+2z=0

令z=2,則〃=(1,—2,2),

設點G到平面A4E的距離為d,

限c河|(1,-2,2>(2,。,。)一2

j717474-一3，

故直線FCt到平面AB}E的距離為;.

故選：C.

【變式3】(2024高三?全國?專題練習)如圖所示，在正三棱柱ABC-ABC中，所有棱長均為1,則點用到

平面A8G的距離為.

【答案】印

【分析】解法一：根據等體積法，即匕一期c,,列出方程解出距離即可；解法二：通過面面垂直的

性質定理得CD,平面ABG，最后計算8長即可；解法三：建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量

法求出線面距離.

【詳解】解法一：設點耳到平面ABC的距離為a在A2G中，AC,=72,48邊上的高為,，點A到

平面BCC心的距離為也，B與C的面積為;.

22

=

0^3,-ABC,^A-BBlCt>E—SABC-d=-X—X,因止匕d=,

3'3227

故點打到平面ABC.的距離為叵.

7

解法二：如圖所示，取A8的中點M,連接CM,CM,過點C作COLQM,垂足為D

0C1A=C1B,〃為A8的中點，0C4=CB,M為A8的中點，^CM±AB.

0C]AfnCM=M,C]M，CMu平面C]CM,回ABJ.平面GCW,

又ABu平面ABC-故平面ABC；，平面.

團平面4BCJ平面GCM=C陽，CD1C}M,CDu平面GCM,團CD,平面A^G.

因此CO的長度即為點C到平面ABG的距離，也即點見到平面AZ?G的距離.

在RtGCM中，GC=l,C|Af=乎，因此CO=￥^.

故點B、到平面ABC,的距離為叵.

7

解法三：如圖所示，取2C的中點。，連接AO.0AB=AC,^AOIBC.

以。為原點，OC,。4所在直線分別為x軸和y軸，過點。且與CG平行的直線為z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系,

(V3)

則A0三,0,g1-；,o,oj,

I2J

11拒、

從而8月=(0,0,1),AB=--,-^,0,=(1,0,1).

(22J

/、n-AB=0,

設力=(x,y,z)為平面ABG的一個法向量，貝I]即22

n-BC,=0,八

I1[x+z=0

令x=#),得y=—l,z=_g,貝U〃=(也,-1,一指).

\BB?n\向/oT

故點B倒平面ABC,的距離為}-=半=衛.

\n\A/77

故答案為：叵.

7

z.

GBi

xCB

考點二：空間中的探究性問題

與空間向量有關的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關系；另一類是探究線面角或兩平面的夾

角滿足特定要求時的存在性問題.處理原則：先建立空間直角坐標系，引入參數(有些是題中已給出)，設出

關鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數是否滿足要求，從而作出判斷.

規律方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法

(1)通常假設問題中的數學對象存在或結論成立，再在這個前提下進行推理，如果能推出與條件吻合的數據

或事實，說明假設成立，并可進一步證明，否則假設不成立.

(2)探索線段上是否存在滿足條件的點時，一定注意三點共線的條件的應用.

【例3】(2023?咸陽模擬)如圖，三棱柱ABC—A向G的側面881cle是邊長為1的正方形，平面

平面AAiBiBAB=4,NAiB/=60°,G是4Bi的中點.

(1)求證：平面GBC_L平面BBiCiC；

(2)在線段BC上是否存在一點P,使得二面角P—GBi-B的平面角為30°?若存在，求BP的長；若不存在,

請說明理由.

【解析】⑴證明在△GBB1中，GBi=|AB=2,=ZA,BIB=60°,

則GB=qGB^+BB^—2GBrBBicos/AiBiB=小,

則GB吊=BBx+GB-,即G8_L,

又平面B8iGC_L平面AAiBiB,

且平面BBiCiCn平面

GBU平面AAiBiB,故G8_L平面BBCC.

又G8U平面GBC,則平面GBC_L平面BBiCiC.

(2)解存在.

由(1)知，BG,BBi,BC兩兩垂直，

如圖，以8為坐標原點，以BG,BBi,BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系,

則2(0,0,0),G(小，0,0),修(0,1,0),P(0,0,f)(0WWl),

則函=(一記，1,0),瓦?=(0,-1,0.

設平面PGS的法向量為"=(x,y,z),

n-GBi—0,

則＜_

jz?瓦?=0,

即「小葉產°，

[—y+tz=0,

令z=g,則x=t,

即n=(t,小t,小).

又平面581G的一個法向量為機=(0,0,1),

=cos30。=坐，

解得產4又OW0,則看去故

【變式1】（2024?四川成都?模擬預測）在四棱錐P-ABCD中，已知A5〃CDABLAD,BC1PA,

AB=2AD=2CD=2,PA=APC=2,E是線段PB上的點.

⑴求證：PC,底面ABCD；

（2）是否存在點E使得出與平面E4C所成角的余弦值為或？若存在，求出名名的值；若不存在，請說明理

3BP

由.

【答案】（1）證明見解析

⑵存在，n

【分析】（1）首先證明BC人平面PAC,可得出3CLPC,利用勾股定理的逆定理可證得PC,AC,再結

合線面垂直的判定定理，即可證明PC,底面ABCD；

（2）以A為原點，建立空間直角坐標系，設BE=2BP,且0W2W1,求平面￡AC的法向量〃，利用

|cosAP,n|=|,即可求得4的值，即可得出結論.

【詳解】（1）在△AOC中，AD=DC=1,ZADC=90°,

所以AC==

在..ABC中，AC=y/2,AB=2,ABAC=45°，

222

由余弦定理有：BC=AJB+AC-2AB-AC-cos45°=4+2-2x2xV2x—=2,

2

所以，AB2=AC2+BC2,所以/ACB=90。，

所以3c±AC,

又因為BC/R4,PAAC=A,PA,ACu平面PAC,所以，8C/平面PAC,

因為PCu平面PAC,所以，BCLPC,

在△PAC中：AC=近,PC=2,PA=^[6,則以2=AC2+pc2,

所以，PCLAC,

因為ACBC=C,AC、BCu平面ABC。，

所以PC上面ABCD.

（2）因為PC,平面ABCD,ABLAD,以點A為坐標原點，

A。、AB、CP的方向分別為x、八z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則有40,0,0)、B(0,2,0)、C(有,0)、0(1,0,0)、P(l,l,2),

iS=2BP=A(l,-1,2)=(2,-A,22),其中0W/W1,

貝AE=AB+BE=(A,2-A,2A),AC=(1,1,0),AP=(1,1,2),

n-AE=Ax+（2-2）y+22z=0

設〃=(x,y,z)為面￡4C的法向量,則有，

n-AC=x+y=0

取1=_%,則y=/l,2=2-1,

所以，平面E4c的一個法向量為〃-1),

設叢與平面E4C所成的角為ae(0,3

75..2

cosa=——,..sma=—

33

」AP|2/l-2|_2

由題意可得|cosA尸，川

|AP|-|n|76x^22+A2+(2-l)23

可得3抬+24—1=0,因為0W4W1,所以2=；.

因此，存在點E使得上4與平面胡C所成角的余弦值為手，且器=g

【變式2】(2024?全國?一模)如圖，棱柱ABCD-AACA的所有棱長都等于2,且NABC=N^AC=60。,

平面A41GC±平面ABCD.

⑴求平面DAA,與平面CAA)所成角的余弦值；

(2)在棱CG所在直線上是否存在點P,使得成//平面DAQ.若存在，求出點P的位置；若不存在，說明

理由.

【答案】⑴(

(2)存在，點尸在CC的延長線，且CP=GC.

【分析】(1)取AC中點。，先證A。，平面再以。為原點，建立空間直角坐標系，用空間向量的

方法求二面角所成的余弦.

(2)根據尸在線段cq上，設c尸=NCG，再由3尸和平面MG的法向量，求彳，即可得解.

【詳解】(1)如圖：

取AC中點。，連接4。，AC,BD.

因為各棱長均為2,且ZABC=60,所以AABC是等邊三角形.

所以AC=2.

又因為A4=2,Z^AC=60,所以A^AC是等邊三角形.

所以4。，AC,又平面AAGCL平面ABC。，平面441GC-平面ABCD=AC,

AOu平面A41cle,

所以A。，平面A8CD.

由AC13D,所以可以以。為原點，建立如圖空間直角坐標系.

那么：r>(-V3,o,o),4(0,-1,0),A(o,o,V3),c(o,i,o).

設平面的法向量為根=(x,y,z),則

因為03，平面CAA,可取平面C/里的法向量〃=(1,0,0).

則cosm,n=若曰=至=手，即為平面與平面C/心所求角的余弦值.

阿?網<155

(2)因為￡(0,2,君)，B(73,0,0)

設P(%，M，Z1),因為尸在CG上，可設CP=；ICG,

可得尸(0,1+九網.

設平面D4G的法向量為S=(尤2，%，22)，

（x,y,z）-（73,0,^j=0（x+z=0

s-DA,=0_22222

（，）后右）=后。'

s?￡>G=0%,%22?2,01z+2%+&2=

取6=（1,0,-1）.

由s.8P=0=（1，。，_1）（_亞1+4扇）=0=_6_0t=0=4=T.

所以存在點P,使得3P//平面。AG，此時點尸在GC的延長線，且cp=qc.

【變式3］（2024?貴州黔東南?二模）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形A3CD為菱形，DE工平面

ABCD,DE〃BF,AD=DE=2,BF=l,ABAD=60°.

(1)證明：平面以C_L平面BDEF；

⑵試問線段CD上是否存在一點尸，使得平面心與平面的夾角的余弦值為正？若存在，請判斷點尸

4

的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

(2)存在，P為CA的中點

【分析】(1)根據線線垂直可證明線面垂直，進而可證面面垂直，

(2)建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.

【詳解】(1)證明：因為四邊形A8CD為菱形，所以

因為DE2平面ABCO,ACi平面ABC。，所以DEIAC.

又因為OEc皮>=O,且DE,BL>1平面3DEF,所以AC_L平面BDEF.

因為ACu平面E4C,所以平面E4C_L平面

(2)設ACBD=O,以。為坐標原點，QAOB的方向分別為％，

軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(后0,0),8(0,1,0),C(-百,0,0),￡>(0,-1,0),￡(0,-1,2),F(0,l,l)

設平面心的法向量為機=（x,y,z）,因為短=卜后-1,2）,跖=（0,2,-1）,

AE-m=一-y+2z=0,

所以令y=i,則/”=（右,1,2）.

EF-m=2y-z=0,

設平面函的法向量為〃=（占,%,zj,因為8尸=（0,0,1）,AP=（-5^2,2-2,0）,

BF?ri=Z]=0,

所以令玉=4_2,貝1]〃=（彳-2,后,0）.

BP,n-九X[+（4-2）%=0,

因為平面A￡尸與平面麻尸夾角的余弦值為正,

4

,,125/3（2-1）1也

所以cosm,n\=-J/

2g（人2）2+3萬4

解得人;或彳=2（舍去）,

所以存在尸滿足題意，且尸為CO的中點.

」強化訓練

一、單選題

1.（2023?貴州六盤水?模擬預測）平面a的一個法向量為九=。,2,2）,A。,0,0）為a內的一點，則點

P（3,l,l）到平面a的距離為（）

A.1B.2C.3D.V1T

【答案】B

【分析】利用空間向量坐標運算中，點到平面的距離公式求解即可得.

【詳解】平面。的一個法向量為“=（1,2,2）,A（l,0,0）為a內的一點，

2+2+2

則點63,1,1）到平面a的距離為=吁:（I"）=11=2.

|?|Vl2+22+223

故選：B.

2.（2023高三?全國?專題練習）“類比推理"簡稱"類比"，是一種重要的邏輯推理方法，也是研究問題、發

現新結論的重要方法.下面通過"類比”所得到的結論中不正確的是（）

A.設。為平面內任一點，則A,B,C三點共線當且僅當存在a,b滿足a+匕=1,使得

OC=aOA+bOB.類比到空間得：設A,B,C不共線，則A,B,C,。四點共面當且僅當存在實數

a,b,c滿足a+b+c=l,OD=aOA+bOB+cOC

B.已知平面內點燈（4,幾）到直線Ax+By+C=0的距離為d」今;.類比到空間得：空間中

|Ar0+By0+Cz0+D|

點P（x。,%,z°）到平面Ax++Cz+￡>=0的距離為d=

VA2+B2+C2

C.設平面內不過坐標原點的直線與無軸和y軸的交點分別為（a,0）,（0/），則直線的（截距式）方程

為N/1.類比到空間得：空間中不過坐標原點的平面與x軸、y軸和z軸的交點分別為（a,。,0）,

（0力,0）,（0,0,c）,則平面的（截距式）方程為'+；+三=1

abc

D