專題04二次函數(shù)與二次函數(shù)中的代幾綜合問題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系................................................1

題型02二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系）..........................................................3

題型03動(dòng)點(diǎn)圖象問題.................................................................................7

題型04二次函數(shù)與線段及周長問題....................................................................10

題型05二次函數(shù)與面積問題..........................................................................15

題型06二次函數(shù)與角度問題..........................................................................19

題型07二次函數(shù)與特殊三角形........................................................................23

題型08二次函數(shù)與特殊四邊形........................................................................28

題型09二次函數(shù)與三角形相似問題...................................................................33

題型10二次函數(shù)與定值定點(diǎn)定直線問題...............................................................36

中考練場............................................................................................40

題型01二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系

01題型綜述________________________________________

二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系是初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊中的重要內(nèi)容，在中考數(shù)學(xué)整體分值中占比約

5%-8%。

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對二次函數(shù)圖象特征與性質(zhì)的理解，通過圖象開口方向、對稱軸位置等判斷函數(shù)值大小。

2.高頻題型：常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，給定二次函數(shù)解析式或圖象，比較不同自變量對應(yīng)的函數(shù)值大小。

3.高頻考點(diǎn)：涉及二次函數(shù)對稱軸、增減性，利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)值大小。

4.能力要求：要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合能力，能將函數(shù)解析式與圖象相互轉(zhuǎn)化，通過圖象分析函數(shù)值變化。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易忽略二次函數(shù)對稱軸位置對函數(shù)增減性的影響，在對稱軸兩側(cè)判斷函數(shù)值大小時(shí)出錯(cuò)。

02解題攻略

【提分秘籍】

一、剖析函數(shù)解析式

二、巧用函數(shù)圖象

根據(jù)圖象直接觀察：當(dāng)題目給出二次函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過觀察圖象上各點(diǎn)的高低位置來比較函數(shù)值大小。

對于開口向上的圖象，離對稱軸越近的點(diǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越小；而對于開口向下的圖象，離對稱軸越近的點(diǎn),

對應(yīng)的函數(shù)值越大。

三、利用圖象對稱性和增減性即可

【典例分析】

例1.（2024?廣東?中考真題）若點(diǎn)（0,%）,。,力），（2,%）都在二次函數(shù)丫=/的圖象上，貝1］（）

A.%>%>%B.%>%>%C.D.

例2.（2024?四川涼山?中考真題）拋物線y=|（x-iy+c經(jīng)過（-2,%）［（，%］三點(diǎn)，則X，%，%的大小關(guān)

系正確的是（）

A.B.%>%>%C.D.%>%>%

【變式演練】

1.（2025?陜西西安?一模）已知點(diǎn)4（-1,%）,3（-3,%）,C（7,%）均在二次函數(shù)y=-尤?+8x+〃z（根為常數(shù)）的圖象上，

則％,為，為三者之間的大小關(guān)系是（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D.%<為〈%

2.（2024?安徽亳州.模擬預(yù)測）點(diǎn)片￡（3,%）,月（5,%）均在二次函數(shù)y=-/+2%+°的圖象上，則為,%,

力的大小關(guān)系是（）

A.%>%>%B.%>%=%C.D.%=%>%

3.（2024?云南曲靖?一模）設(shè)A（2,yJ,3（3,%）,。（-2,%）是拋物線y=2（尤-仔+左圖象上的三點(diǎn)，則%，%，%的大

小關(guān)系為（）

A.B.%>%>%

C.%>%=%D.無法確定

題型02二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系）

01題型綜述________________________________________

二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系）是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)體系中綜合性突出的關(guān)鍵內(nèi)容,在中考分值占比約3%-8%。

1.考查重點(diǎn)：著重考查對二次函數(shù)性質(zhì)、圖象特征、解析式及知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的深度剖析，以判別多個(gè)二次函數(shù)相關(guān)

結(jié)論的對錯(cuò)。

2.高頻題型：多以選擇題、填空題出現(xiàn)，題干羅列多個(gè)涉及二次函數(shù)不同層面的序號式結(jié)論，要求判斷正誤。

3.高頻考點(diǎn)：涉及二次函數(shù)對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性、最值、圖象與系數(shù)關(guān)系，以及運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題等

要點(diǎn)。

4.能力要求：學(xué)生需具備綜合整合二次函數(shù)各知識(shí)點(diǎn)的能力，能從多元視角思考并邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)嘏袛嘟Y(jié)論準(zhǔn)確性。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易在二次函數(shù)不同性質(zhì)應(yīng)用條件上混淆，對復(fù)雜結(jié)論分析不全面，忽視隱含條件，導(dǎo)致判斷序號正誤失誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.剖析題干結(jié)論

2.巧用函數(shù)基本性質(zhì)

3.結(jié)合圖象輔助思考

4.注意隱藏條件

【典例分析】

例L（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線>="2+法+0過點(diǎn)。（0,-2）與工軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為4，血，

且—1<玉<0,2<x2<3,則下列結(jié)論：

（J）ci—b+cvO；

②方程G?+"+9+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

③>0；

④〃；

⑤〃-4團(tuán)〉44.其中正確的結(jié)論有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

例2.（2024.山東泰安.中考真題）如圖所示是二次函數(shù)y=6Z?+陵+4，。0）的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線

x=l,圖象與，軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,則下列結(jié)論：①2a+Z?=0；②方程加+人x+c=o一定有一個(gè)根在_2和_1之間；

③方程依2+bx+c-彳=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；@b-a<2.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例3.（2024?湖北武漢?中考真題）拋物線waY+bx+c（a",c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過（-1/），（加,1）兩點(diǎn)，且0<〃?<1.下

列四個(gè)結(jié)論：

①b>0；

②若0<x<l,貝!Ja（無一1）一+6（x-l）+c>1；

③若。=-1,則關(guān)于x的一元二次方程依2+灰+°=2無實(shí)數(shù)解；

④點(diǎn)4（網(wǎng),％）,3（々,%）在拋物線上，若石+%>-（，%>/，總有%<%，貝!]0<機(jī)4，

其中正確的是（填寫序號）.

例4.（2024?山東日照?中考真題）已知二次函數(shù)y=af+bx+c（"O）圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（—1,0）,

對稱軸為直線x=2.對于下列結(jié)論：①必c<0；②a+c=b；③多項(xiàng)式加+Zzx+c可因式分解為（x+l）（x-5）；④當(dāng)

"2>-9。時(shí)，關(guān)于X的方程or?+/?x+c=〃7無實(shí)數(shù)根.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

【變式演練】

1.（2025?陜西西安?一模）如圖，已知拋物線>=辦2+法+。（仄b、c為常數(shù),且awO）的對稱軸為直線x=-l,且

該拋物線與x軸交于點(diǎn)4（1,0）,與，軸的交點(diǎn)B在（0,-2）,（0,-3）之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）個(gè).

①abc>0；

@9a-3Z?+c>l；

_2,

③一<a<1；

3

④若方程加+bx+c=x+l兩根為私〃（加<〃），貝U-3<機(jī)<1<九.

2.（2025?湖北恩施?一模）二次函數(shù)y=62+bx+c（awO）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)對稱軸為x=2,下

列結(jié)論：①4a+6=0；②9a+c>3b；③8a+76+2c>0；④當(dāng)y<。時(shí)，一l<x<5；⑤若（%,%）,（馬,％）是拋物線上

兩點(diǎn)，且王<2<3，,<%，則%+々<4.其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.（2024?湖北隨州二模）已知二次函數(shù)y=加+區(qū)+44<0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,對稱軸為直線x=l,

以下結(jié)論中：①a—b+c=0；②若點(diǎn)（TyJ,（2,%）,（4,%）均在該二次函數(shù)圖象上，則M<%<%;③若根為任意

x

實(shí)數(shù)，貝！J+Zw7+cWTa；④方程ax?+6x+c+l=0的兩實(shí)數(shù)根為七，i,且毛<%,則々<-1,x2>3.其中正確

結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4.（2025?山東臨沂?一模）如圖，拋物線y=a?+bx+c的對稱軸為直線尤=1,與x軸分另U交于（孫0）,（〃,0）,且〃.下

列結(jié)論：①abc<0；②直線y=2與>=加+樂+。的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)；③。/+初<4+》（/71）；④

m2—2m-n2-2n-正確的有（填序號）.

5.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）拋物線〉=辦2+法+。（°,b,。是常數(shù)，〃<0）經(jīng)過（帆0）兩點(diǎn)，且2<相<3.下

列結(jié)論：

①c>l；

②當(dāng)x>g時(shí)，y隨X的增大而減小；

③關(guān)于X的不等式ax2+bx<（c-l）x的解集為％>0或％<-1；

?2

④2。+c>—.

3

其中正確的結(jié)論是.（填寫序號）

題型03動(dòng)點(diǎn)圖象問題

01題型綜述

二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)圖象問題是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)領(lǐng)域中綜合性與動(dòng)態(tài)性兼具的內(nèi)容，在中考中分值占比約為3%-7%o

I.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查如何將動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程與二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)建立聯(lián)系，分析因動(dòng)點(diǎn)位置改變引發(fā)的函數(shù)關(guān)

系變化。

2.高頻題型：多以選擇題、填空題以及簡答題部分出現(xiàn)，給出動(dòng)點(diǎn)在圖形中的運(yùn)動(dòng)情境，要求判斷對應(yīng)的二次函數(shù)圖

象或求解相關(guān)函數(shù)表達(dá)式。

3.高頻考點(diǎn)：涵蓋動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑分析、根據(jù)幾何圖形性質(zhì)確定二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)、函數(shù)圖象與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)階段的對應(yīng)

關(guān)系等。

4.能力要求：學(xué)生需具備較強(qiáng)的動(dòng)態(tài)分析能力，能夠把幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)問題，還要有良好的數(shù)

形結(jié)合思維以及邏輯推理能力。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程的分段分析上出錯(cuò)，忽略不同階段函數(shù)關(guān)系的變化，對復(fù)雜幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖象

對應(yīng)關(guān)系把握不準(zhǔn)確。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.確定動(dòng)點(diǎn)軌跡

2.分段分析運(yùn)動(dòng)過程

3.建立函數(shù)表達(dá)式

4.分析函數(shù)關(guān)鍵特征

5.結(jié)合圖象與選項(xiàng)（針對選擇填空題）

若題目是選擇或填空題，給出多個(gè)函數(shù)圖象選項(xiàng)。根據(jù)前面分析的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)階段、函數(shù)關(guān)鍵特征，排除明顯不符

合的選項(xiàng)。例如，已知函數(shù)開口向下，可排除開口向上的圖象選項(xiàng)；若函數(shù)在某區(qū)間增減性，不符合此增減性性

的圖象也可排除，以此提高解題效率。

【典例分析】

例1.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，水平放置的矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,菱形EFG”的頂點(diǎn)E,

G在同一水平線上，點(diǎn)G與AB的中點(diǎn)重合，EF=2^cm,ZE=60°,現(xiàn)將菱形所GH以lcm/s的速度沿BC方向勻

速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到C。上時(shí)停止，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，菱形EFGH與矩形ABC。重疊部分的面積S（cm?）與運(yùn)動(dòng)時(shí)

間〃s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）

例2.（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖1,在菱形ABCD中，ZABC=60°,連接50,點(diǎn)〃從B出發(fā)沿50方向以限m/s

的速度運(yùn)動(dòng)至同時(shí)點(diǎn)N從8出發(fā)沿方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)至C,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）,ABMN的面積為y（cn?）,

了與無的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形AS8的邊長為（）

圖1圖2

A.2&cmB.4夜cmC.4cmD.8cm

【變式演練】

1.（2023?江蘇南通?二模）如圖，在VABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。為AB的中點(diǎn)，E是邊AC上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)。作。尸_L￡）E,DF交邊BC于點(diǎn)F.設(shè)4E的長為x,ADEF的面積為s=y-6,貝！|s與式的

函數(shù)圖象大致為（）

2.（2024?河北石家莊?三模）如圖1,,在矩形ABC。中，3C=4,E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE工EF,EF交CD于點(diǎn)、F,

^BE=x,CF=y,圖2是點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，，關(guān)于x的函數(shù)圖象，則A3的長為（）

DFCy

3.（2024?廣東深圳.三模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,D和E分別是A3和AC的中點(diǎn)，點(diǎn)

M和點(diǎn)N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)E出發(fā)，沿著AfCf3方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí),

兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)ADMN的面積為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/,貝US與/之間的函數(shù)圖像大致為（）

題型04二次函數(shù)與線段及周長問題

01題型綜述

二次函數(shù)與線段及周長問題（解答題）是初中數(shù)學(xué)函數(shù)與幾何知識(shí)融合的關(guān)鍵內(nèi)容，在中考里分值占比約8%-10%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)解決線段長度計(jì)算、周長最值探究以及建立函數(shù)模型描述線段和周長隨動(dòng)點(diǎn)

變化的規(guī)律。

2.高頻題型：以解答題形式呈現(xiàn)，常設(shè)定幾何圖形中有動(dòng)點(diǎn)，圍繞求線段長度、構(gòu)建周長關(guān)于某變量的二次函數(shù)并求

最值等進(jìn)行設(shè)問。

3.高頻考點(diǎn)：涉及二次函數(shù)解析式求解、線段長度公式（如兩點(diǎn)間距離公式）、幾何圖形性質(zhì)（相似、全等）用于線

段關(guān)系推導(dǎo)、二次函數(shù)最值求解。

4.能力要求：學(xué)生需要具備綜合運(yùn)用代數(shù)與幾何知識(shí)的能力，能把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行

計(jì)算和推理。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)出錯(cuò)，忽視幾何圖形中的隱含條件，計(jì)算線段長度和函數(shù)最值時(shí)出現(xiàn)運(yùn)算失誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.準(zhǔn)確分析圖形

標(biāo)注已知信息：拿到題目后，仔細(xì)觀察幾何圖形，將已知的線段長度、角度、點(diǎn)的坐標(biāo)等信息清晰標(biāo)注在圖上。

比如在一個(gè)給定的三角形中，若已知某條邊的長度信息，就在這條邊上明確標(biāo)記。

挖掘隱含條件：留意圖形中的特殊關(guān)系，像直角三角形的勾股定理關(guān)系、等腰三角形兩腰相等、平行四邊形對邊

平行且相等。例如，若圖形中有一個(gè)平行四邊形，其隱含條件就是對邊長度相等，可據(jù)此建立線段之間的等式。

2.構(gòu)建函數(shù)模型

3.求解函數(shù)最值

4.檢查答案合理性

【典例分析】

例L(2024.湖南?中考真題)已知二次函數(shù)y=-/+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)4(-2,5),點(diǎn)尸(小乂)，。(%,%)是此二次函數(shù)的

圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

圖1圖2

⑴求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在直線AB的上方，過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)C,交AB于

點(diǎn)。，連接AC,。。,尸Q.若％=占+3,求證普絲的值為定值；

^/XADC

(3)如圖2,點(diǎn)P在第二象限，尤2=-2%，若點(diǎn)M在直線P0上，且橫坐標(biāo)為％-1,過點(diǎn)M作肱軸于點(diǎn)N,求線段

長度的最大值.

例2.（2024?山東淄博?中考真題）如圖，拋物線>=加+版+3與x軸相交于A（%,0）,8（々,0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左

側(cè)），其中4，%是方程三-2%-3=0的兩個(gè)根，拋物線與y軸相交于點(diǎn)C.

備用圖

（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑵已知直線/：y=3x+9與x,>軸分別相交于點(diǎn)￡）,E.

①設(shè)直線BC與/相交于點(diǎn)尸，問在第三象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得NPB尸=NDFB?若存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

②過拋物線上一點(diǎn)M作直線BC的平行線.與拋物線相交于另一點(diǎn)N.設(shè)直線MB,NC相交于點(diǎn)Q.連接Q。，QE.求

線段QD+QE的最小值.

4

例3.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-§（xT）2+4的圖像與x

軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），頂點(diǎn)為C.

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過3、C、/0,4）三點(diǎn)，其中7大1,該函數(shù)圖像與x軸交于另一點(diǎn)。，點(diǎn)。在線段上（與

點(diǎn)。、8不重合）.

①若。點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）,則t=；

②求r的取值范圍：

③求OD/汨的最大值.

【變式演練】

1.(2025?廣東?模擬預(yù)測)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點(diǎn)4(4,0),與y軸交于點(diǎn)3(0,T),拋物線經(jīng)

過點(diǎn)A,B,且對稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線/下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸軸，垂足為C,交直線/于點(diǎn)。，求￡＞尸的最大值及此時(shí)尸的

坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，過點(diǎn)尸作垂足為求尸M的最大值.

2.(2024?廣東?模擬預(yù)測)如圖，拋物線y=。/+法+0交軸于點(diǎn)4(-1,0),8(3,0),交y軸于點(diǎn)C,/。18=60。，點(diǎn)

E是線段A3上一動(dòng)點(diǎn)，作所〃AC交線段BC于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖1,延長線段所交拋物線于點(diǎn)G,點(diǎn)。是AC邊中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ADGR為平行四邊形時(shí)，求出G點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶如圖2,M為射線EF上一點(diǎn)，且=將射線EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，交直線AC于點(diǎn)N,連接跖V,尸為

的中點(diǎn)，連接AP,3尸，問：AP+3P是否存在最小值，若存在，請求出這個(gè)最小值，若不存在，請說明理由.

3.(2024.安徽.模擬預(yù)測)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=Y+bx+c的圖象交x軸于A(-l,0),8兩點(diǎn)，=4,

C為拋物線頂點(diǎn).

圖1圖2

(I)求6，。的值；

(2)點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸，垂足為點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)是否存在QM=3尸M?若存

在，求出此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,以B為圓心，2為半徑作圓，N為圓B上任一點(diǎn)，求CN+：AN的最小值.

4.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=履與拋物線＞=加+。交于A(8,6),B兩點(diǎn)，點(diǎn)

(1)求直線AB和拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)48重合)，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與直線AB交于點(diǎn)C,連接PO,

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)；

①若點(diǎn)尸在無軸上方，當(dāng)m為何值時(shí)，△POC是等腰三角形；

②若點(diǎn)尸在x軸下方，設(shè)△尸OC的周長為P,求P關(guān)于，”的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，△POC的周長最大，最大值

是多少？

題型05二次函數(shù)與面積問題

01題型綜述

二次函數(shù)與面積問題（解答題）是初中數(shù)學(xué)里函數(shù)知識(shí)和幾何面積知識(shí)相互滲透的關(guān)鍵內(nèi)容，在中考中分值占比大約

為5%-10%?

I.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查利用二次函數(shù)構(gòu)建面積模型，通過函數(shù)性質(zhì)分析圖形面積的變化規(guī)律，以及求解面積的最值或

特定面積值對應(yīng)的條件。

2.高頻題型：常以解答題形式出現(xiàn)，在給定的二次函數(shù)圖象與幾何圖形背景下，設(shè)置動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)圖形，圍繞求圖形面積、

面積與變量的函數(shù)關(guān)系及面積最值等問題展開。

3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)解析式的確定、幾何圖形面積公式的運(yùn)用（如三角形、四邊形面積公式）、利用函數(shù)性質(zhì)

（如增減性、最值）求解面積相關(guān)問題，以及通過相似、全等關(guān)系轉(zhuǎn)化面積。

4.能力要求：學(xué)生需具備將幾何圖形中的面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的能力，熟練運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算，還要能

靈活運(yùn)用幾何知識(shí)分析圖形關(guān)系。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易在構(gòu)建面積與函數(shù)關(guān)系時(shí)出錯(cuò)，忽略圖形中隱含的限制條件，計(jì)算面積過程中因公式運(yùn)用不當(dāng)或計(jì)算失

誤導(dǎo)致錯(cuò)誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.精準(zhǔn)剖析題意，明確變量關(guān)系--

標(biāo)記關(guān)鍵信息：確定自變量：

2.靈活選用面積公式，構(gòu)建函數(shù)模型

基本圖形面積公式運(yùn)用：

分割與拼接圖形求面積：

用自變量表示圖形邊長或高：

3.借助函數(shù)性質(zhì)，求解面積最值

4.全面檢查，規(guī)避易錯(cuò)點(diǎn)

【典例分析】

例1.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，A、8為一次函數(shù)y=-x+5的圖像與二次函數(shù)y=/+bx+c的圖像的公共點(diǎn)，

點(diǎn)A、8的橫坐標(biāo)分別為0、4.尸為二次函數(shù)、=/+法+。的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線的下方，連接PA、PB.

（1）求6、c的值；

（2）求APAB的面積的最大值.

例2.（2024?山東濟(jì)南.中考真題）在平面直角坐標(biāo)系屹v中，拋物線。|與=尤2+6尤+°經(jīng)過點(diǎn)4（0,2）,3（2,2）,頂點(diǎn)為

（I）求拋物線G的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵如圖1,連接AO,點(diǎn)E是拋物線C1對稱軸右側(cè)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)廠是拋物線上一點(diǎn)，若四邊形皿石是面積為12

的平行四邊形，求加的值；

⑶如圖2,連接8。。。，點(diǎn)M是拋物線C1對稱軸左側(cè)圖像上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)M作〃刀Q交x軸

于點(diǎn)N,連接BN,DN,求ABDN面積的最小值.

例3.(2024?山東東營?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線丫=/+云+，與無軸交于4(-1,0),8(2,0)

兩點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

⑵當(dāng)點(diǎn)。在直線8C下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)。作，軸的平行線交BC于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為BOE的長為/,請

寫出/關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量/的取值范圍；

(3)連接AO,交BC于點(diǎn)F,求興些的最大值.

3△AM

【變式演練】

1.(2024?青海西寧?一模)如圖,拋物線、=-爐+/+。與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC方程為y=x-3.

(1)求拋物線的解析式；

Q

(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S&pBA=gS4ABC，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)Q,當(dāng)△BCO的面積最大時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)是什么？△BC。的最大面積是多少？

2.(2024?云南昆明?一模)如圖，拋物線與x軸交于A(-l,0),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且滿足03=OC=3OA.

(1)求拋物線的解析式；

⑵M是線段BC上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)3,C重合)，過點(diǎn)M作軸交拋物線于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)。，連接NB,NC,

若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為唐，是否存在點(diǎn)使ABNC的面積最大？若存在，求相的值；若不存在，請說明理由.

3.(2024?廣東東莞.模擬預(yù)測)如圖1,拋物線丫=仆2+法+。(《工0)與無軸交于點(diǎn)4(-1,0)和點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,

連接BC,已知50=CO=349,點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

⑵如圖2,拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)P,與線段8C相交于點(diǎn)。，點(diǎn)N是拋物線的對稱軸上的點(diǎn)，且滿足

ZANB^ZABC,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

⑶如圖3,連接AM,8",點(diǎn)。是線段A3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作交8M于點(diǎn)E,。尸_LW于點(diǎn)F,連

接EP.當(dāng)”)￡戶面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

4.(2024.甘肅.模擬預(yù)測)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=/+法+。與*軸交于A,8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C(0,-3),尸是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

圖1圖2

(1)求拋物線y=Y+bx+c的表達(dá)式；

(2)如圖2,連接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC,當(dāng)四邊形POPC為菱形時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)線段3尸的長.

題型06二次函數(shù)與角度問題

01題型綜述________________________________________

二次函數(shù)與角度問題（解答題）是初中數(shù)學(xué)中函數(shù)知識(shí)與幾何角度知識(shí)深度融合的重要內(nèi)容，在中考里分值占比約5%

-10%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征，結(jié)合幾何圖形中的角度關(guān)系，通過構(gòu)建方程或函數(shù)模型來求解

角度大小、探究角度變化規(guī)律以及基于角度條件確定函數(shù)相關(guān)參數(shù)。

2.高頻題型：主要以解答題形式呈現(xiàn)，給定二次函數(shù)圖象與幾何圖形，設(shè)置動(dòng)點(diǎn)引發(fā)角度變化，圍繞求特定角度值、

判斷角度之間的關(guān)系（如相等、互余等）、依據(jù)角度條件求二次函數(shù)解析式等進(jìn)行設(shè)問。

3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)的基本性質(zhì)（如對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)）、三角函數(shù)知識(shí)（正弦、余弦、正切在求角度中的應(yīng)

用）、幾何圖形（三角形、四邊形）內(nèi)角和定理、相似三角形對應(yīng)角相等性質(zhì)以及利用角度相等構(gòu)建方程求解函數(shù)參

數(shù)。

4.能力要求：學(xué)生需要具備跨知識(shí)模塊的綜合運(yùn)用能力，能將幾何圖形中的角度問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程或函數(shù)問題，熟

練運(yùn)用三角函數(shù)公式、幾何圖形性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算，同時(shí)具備較強(qiáng)的邏輯思維和分析問題能力。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系時(shí)出錯(cuò)，忽視幾何圖形中隱含的角度條件，對三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用不夠

熟練，導(dǎo)致在計(jì)算角度和求解函數(shù)參數(shù)過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.剖析題目，挖掘信息——

標(biāo)記關(guān)鍵元素：分析角度關(guān)系：

2.建立角度與函數(shù)的橋梁

借助三角函數(shù)：利用幾何圖形性質(zhì):

3.構(gòu)建方程或函數(shù)模型求解

4.檢查與驗(yàn)證

【典例分析】

例1.(2024?重慶?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=加+法+4(?70)經(jīng)過點(diǎn)(-1,6),與y軸交于點(diǎn)

C,與X軸交于A3兩點(diǎn)(A在3的左側(cè))，連接AC,BC,tw^CBA=4.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)尸是射線C4上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PELx軸，垂足為E,交AC于點(diǎn)。.點(diǎn)M是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，

軸，垂足為N,點(diǎn)尸為線段2C的中點(diǎn)，連接AM,NF.當(dāng)線段PO長度取得最大值時(shí)，求AM+MN+NF的

最小值；

(3)將該拋物線沿射線C4方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(2)中線段PD長度取得最大值時(shí)的點(diǎn)。，且與直線AC相交于

另一點(diǎn)K.點(diǎn)。為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)=時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

2

例2.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線＞尤2+bx+c與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與,軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A坐標(biāo)

為(-1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線于點(diǎn)。，過點(diǎn)尸作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)

請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請說明理由.

⑶點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NMCB=45。時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

例3.(2024?山東煙臺(tái)?中考真題)如圖，拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與，軸交于點(diǎn)C,OC=OA,

AB=4,對稱軸為直線4：x=-1,將拋物線％繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。后得到新拋物線內(nèi)，拋物線乂與y軸交于點(diǎn)。，頂點(diǎn)為E,

(2)如圖1,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-6,0),動(dòng)點(diǎn)M在直線4上，過點(diǎn)M作W〃了軸與直線乙交于點(diǎn)N,連接月"，DN.求

EM+MN+DV的最小值；

(3)如圖2,點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0,-2),動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線必上，試探究是否存在點(diǎn)P,使NPEH=2NDHE?若存在，請直接

寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例4.(2024?四川資陽?中考真題)已知平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-gd+陵+，與x軸交于A,B

兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且3(4,0),BC=472.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接尸員尸C,過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)K.記△P3C,

△3DK的面積分別為H，S”求S「$2的最大值；

(3)如圖2,連接AC,點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFLAC交x軸于點(diǎn)尸.拋物線上是否存在點(diǎn)。，使

NQEE=2/OC4?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【變式演練】

1.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?模擬預(yù)測)如圖，已知拋物線y=-6與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,并

(2)點(diǎn)。為直線AC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線8。交線段AC于點(diǎn)E,請求出卡的最大值；

(3)探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得/MAS=2NOCB?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

2.(2024?湖南?模擬預(yù)測)定義：若拋物線G沿x軸向右平移加個(gè)單位長度得到拋物線G，那么我們稱拋物線Q是G

的“友好拋物線”，加稱為“友好值”.如圖，拋物線6：丫=。5+2)2-6與了軸交于4(-8,0),3兩點(diǎn)，拋物線Q是G的“友

好拋物線”，“友好值”為2,拋物線g與x軸交于4,用兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,作直線BC，點(diǎn)M是拋物線C2上一動(dòng)

點(diǎn).

?

x

(1)拋物線G的表達(dá)式為；

⑵若點(diǎn)〃在第四象限，過點(diǎn)“作MQ，x軸于點(diǎn)Q,交瓦C于點(diǎn)P,當(dāng)PQ=2PM時(shí)，求MQ的長;

(3)是否存在點(diǎn)“，使得NMC4=15°?若存在，請求出點(diǎn)/的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.(2024?江蘇蘇州?一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線丁=工2+/+。與軸交于點(diǎn)4(；,0)、B

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。為拋物線上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，當(dāng)△2BC的面積等于VABC面積的2倍時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3汝口圖2,點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn).過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)E,連接BD,AD交PB于點(diǎn)、F,

連接EF,ZEFB=2ZJFBD,探究拋物線上是否存在點(diǎn)〃，使4ZBC+NCBO+NAFB=180。，若存在，請直接寫出點(diǎn)

”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.(2024.廣東深圳.模擬預(yù)測)如圖，拋物線與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC=3,04=1,頂點(diǎn)為

(2)P為直線2C上方拋物線上一點(diǎn)，求△P3C面積最大值及P點(diǎn)坐標(biāo);

(3)尸為第四象限拋物線上一點(diǎn)，且tanZAPC;，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

題型07二次函數(shù)與特殊三角形

01題型綜述

二次函數(shù)與特殊三角形（解答題）是初中數(shù)學(xué)中函數(shù)知識(shí)與幾何特殊三角形知識(shí)深度融合的重要內(nèi)容，在中考中分值

占比約為6%-10%=

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)與圖象特征，結(jié)合等腰三角形、直角三角形等特殊三角形的性質(zhì)，通過建立

方程或函數(shù)模型來求解三角形的邊長、角度、探究三角形存在性及相關(guān)位置關(guān)系。

2.高頻題型：多以解答題形式呈現(xiàn)，給定二次函數(shù)圖象與幾何圖形背景，設(shè)置動(dòng)點(diǎn)，圍繞構(gòu)建特殊三角形（如判定是

否存在等腰三角形、直角三角形）、求特殊三角形的邊長或頂點(diǎn)坐標(biāo)等進(jìn)行設(shè)問。

3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)的基本性質(zhì)（如對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)解析式求解）、特殊三角形（等腰三角形兩腰相

等、三線合一；直角三角形勾股定理、銳角三角函數(shù)）的性質(zhì)與判定、利用幾何圖形中的線段關(guān)系和角度關(guān)系建立方

程或函數(shù)。

4.能力要求：學(xué)生需具備綜合運(yùn)用代數(shù)與幾何知識(shí)的能力，能將幾何中的特殊三角形問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，熟練

運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推理和計(jì)算，還要有較強(qiáng)的邏輯思維和分類討論意識(shí)。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在分類討論特殊三角形的不同情況時(shí)有所遺漏，忽視幾何圖形中的隱含條件，在建立方程或函數(shù)模型

以及求解過程中出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.快速識(shí)別關(guān)鍵條件

標(biāo)記函數(shù)信息：鎖定三角形條件

2.運(yùn)用知識(shí)建立等式

利用特殊三角形性質(zhì)：

等腰三角形：若已知等腰三角形，根據(jù)兩腰相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出三邊長度，列等式求解。

直角三角形：依據(jù)勾股定理，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。若已知直角頂點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐

標(biāo)后表示出三邊，代入勾股定理等式。

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)：把特殊三角形的邊或角與二次函數(shù)聯(lián)系起來。若動(dòng)點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)代入函

數(shù)解析式。

3.分類討論不重不漏

等腰三角形分類：分腰和底的情況討論。當(dāng)確定某三角形為等腰三角形時(shí)，分別假設(shè)不同的邊為腰，列出相應(yīng)方

程求解。

直角三角形分類：分不同頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)討論。對于可能是直角三角形的情況，分別假設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn),

利用勾股定理列方程。

4.檢查答案確保正確

【典例分析】

例1.（2024?四川達(dá)州?中考真題）如圖1,拋物線y=*+日-3與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）和點(diǎn)3（1,0）,與V軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)

（2）如圖2,連接AC,DC,直線AC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,若點(diǎn)尸是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，且S^PMC=2S^DMC,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)N是拋物線對稱軸上位于點(diǎn)。上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)N,A,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，

請直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，拋物線y—Y+Zzx+c與x軸交于點(diǎn)4（-3,0）和點(diǎn)8,與＞軸交于點(diǎn)C（0,3）,

點(diǎn)￡）在拋物線上.

(2)當(dāng)點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，且AACD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在直線BC上是否存在點(diǎn)P,使△OPD是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

例3.(2024?山東泰安?中考真題)如圖，拋物線G：y=ox2+gx-4的圖象經(jīng)過點(diǎn)。。,-1),與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)、B.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)將拋物線G向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C。，求拋物線C?的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)。是否在拋物

線C2上；

(3)在x軸上方的拋物線G上，是否存在點(diǎn)P,使是等腰直角三角形.若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

【變式演練】

1.(2024?廣東?模擬預(yù)測)綜合運(yùn)用

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線＞=-/+2了+3與X軸交于點(diǎn)A.C(點(diǎn)A在點(diǎn)C的右側(cè)).與y軸交于點(diǎn)B.直

線〉=丘+6經(jīng)過點(diǎn)A,B.

⑴求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)及直線48的表達(dá)式.

（2）尸是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸!2〃x軸交直線于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為〃?（〃?<0）.尸。的

長為L.

①求L與他的函數(shù)關(guān)系式，并寫出機(jī)的取值范圍；

②若尸。與80交于點(diǎn)整二，求機(jī)的值.

Cz/iJ

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，問在y軸上是否存在一點(diǎn)N,使得為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

2.（2024?山西?模擬預(yù)測）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2+!%+。與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的右側(cè)），與，軸交于點(diǎn)C,

⑴求該拋物線的表達(dá)式及直線AC的表達(dá)式.

（2）。是直線AC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作DPLAC于點(diǎn)P,求的最大值.

⑶在（2）的條件下，將該拋物線向左平移5個(gè)單位長度，M為點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與，軸交于點(diǎn)N,。為

平移后拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn).直接寫出所有使得以QV為腰的AQMN是等腰三角形的點(diǎn)。的坐標(biāo).

3.（2024?山東青島.一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>="2+法+。交x軸于點(diǎn)A（-4,0）,B（2,0）,交y軸

于點(diǎn)C（0,6）,在y軸上有一點(diǎn)E（0,—2）,連接AE.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)。為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求VADE面積的最大值及此時(shí)。點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)尸，使△收為以AE為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出尸點(diǎn)的坐標(biāo)即可；若不

存在，請說明理由.

題型08二次函數(shù)與特殊四邊形

01題型綜述________________________________________

二次函數(shù)與特殊四邊形（解答題）是初中數(shù)學(xué)里函數(shù)知識(shí)與特殊四邊形幾何性質(zhì)深度融合的重要內(nèi)容，在中考中分值

占比大約為6%-10%o

I.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查綜合運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征，結(jié)合平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的

性質(zhì)，建立方程或函數(shù)模型來探究特殊四邊形的存在性、邊長、角度以及相關(guān)位置關(guān)系。

2.高頻題型：多以解答題形式呈現(xiàn)，在給定二次函數(shù)圖象及幾何圖形背景下，設(shè)置動(dòng)點(diǎn)，圍繞判定是否能構(gòu)成特殊四

邊形、求特殊四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)、探究特殊四邊形面積最值等問題展開。

3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)的基本性質(zhì)（如對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式求解）、特殊四邊形（平行四邊形對邊平行且

相等、矩形對角線相等且互相平分、菱形四條邊相等且對角線互相垂直平分、正方形兼具矩形與菱形所有性質(zhì)）的判

定與性質(zhì)，以及利用幾何圖形中的線段關(guān)系、角度關(guān)系建立方程或函數(shù)。

4.能力要求：學(xué)生需具備較強(qiáng)的代數(shù)與幾何綜合運(yùn)用能力，能夠?qū)缀沃械奶厥馑倪呅螁栴}轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，熟

練運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推理和運(yùn)算，還要有敏銳的邏輯思維與全面的分類討論意識(shí)。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在分類討論特殊四邊形不同情況時(shí)出現(xiàn)遺漏，忽視幾何圖形中的隱含條件，在建立方程或函數(shù)模型以

及求解過程中因運(yùn)算復(fù)雜而出現(xiàn)錯(cuò)誤

02解題攻略

【提分秘籍】

1.透徹分析已知條件

梳理函數(shù)信息

提取四邊形條件：仔細(xì)研讀題目中關(guān)于特殊四邊形的已知內(nèi)容，若是平行四邊形，留意已知的邊的關(guān)系、頂點(diǎn)坐

標(biāo)；若是矩形，關(guān)注直角相關(guān)信息、對角線特征；菱形則注意邊長、對角線性質(zhì)；正方形綜合了矩形和菱形的特

性。把這些關(guān)鍵信息在幾何圖形上清晰標(biāo)注，方便后續(xù)分析。

2.靈活運(yùn)用特殊四邊形性質(zhì)構(gòu)建等式

平行四邊形性質(zhì)運(yùn)用：利用平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)。

矩形性質(zhì)運(yùn)用：依據(jù)矩形對角線相等且互相平分。

菱形性質(zhì)運(yùn)用：菱形四條邊相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出各邊長度，根據(jù)邊長相等列方程。

正方形性質(zhì)運(yùn)用：正方形兼具矩形和菱形性質(zhì)。既可以利用四條邊相等、對角線相等且互相垂直平分，也可以利

用直角關(guān)系來建立方程。

3.合理進(jìn)行分類討論

按特殊四邊形類型分類：當(dāng)題目未明確特殊四邊形具體類型時(shí)，需分別討論平行四邊形、矩形、菱形、正方形的

情況。例如，已知四個(gè)點(diǎn)，判斷能否構(gòu)成特殊四邊形，就依次按照平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件

去分析。

按動(dòng)點(diǎn)位置分類：若存在動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)在不同線段、不同區(qū)域運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分類。比如動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)矩形的四條邊上

運(yùn)動(dòng)，分別討論動(dòng)點(diǎn)在每條邊上時(shí)，如何構(gòu)成特殊四邊形，建立相應(yīng)方程求解。

4.檢查答案的準(zhǔn)確性與合理性

【典例分析】

例1.(2024?黑龍江綏化?中考真題)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線丁=-必+桁+。與直線相交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)4(3,4),8(0,1).

(2)過點(diǎn)B作3C〃x軸交拋物線于點(diǎn)C,連接AC,在拋物線上是否存在點(diǎn)尸使tanN8CP=JtanNAC8.若存在，請求

出滿足條件的所有點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答)

(3)將該拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到X=+blX+Cl(qH0),平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)D,點(diǎn)、E為

原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，廠是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)8、。、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請直接

寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

例2.(2024?四川廣元?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線用y=--+"+。經(jīng)過點(diǎn)4(-3,-1),與y

軸交于點(diǎn)3(0,2).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C,連接0C交43于點(diǎn)。，求務(wù)CD的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)作拋物線P關(guān)于直線＞=-1上一點(diǎn)的對稱圖象F,拋物線P與P只有一個(gè)公共點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸右側(cè))，G為直線

A3上一點(diǎn)，”為拋物線尸'對稱軸上一點(diǎn)，若以8,E,G,H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo).

3

例3.(2024.寧夏?中考真題)拋物線尸辦2-3犬-2與x軸交于A(T,0),B兩點(diǎn)，與,軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是第四象限

內(nèi)拋物線上的一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,過P作尸軸于點(diǎn)D,交直線BC于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為機(jī)，當(dāng)=時(shí)，求加的值;