第16講復(fù)數(shù)的三角形式

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表

示，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角表示之間1.了解復(fù)數(shù)的三角形式的概念；

的關(guān)系，了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示2.了解復(fù)數(shù)三角形式的乘除法。

及其幾何意義

四%’知識精講

知識點oi復(fù)數(shù)的三角形式的概念

1.復(fù)數(shù)的輻角

⑴定義：以無軸的非負(fù)半軸為始邊、向量次所在的射線（起點是原點。）為終邊的角。叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角.

（2）輻角主值

[0,2兀）內(nèi)的輻角0的值叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角主值,記作argz,即（0Wag紀(jì)2兀），非零復(fù)數(shù)與它的模和輻角主

值——對應(yīng).

（3）常用的有關(guān)輻角主值的結(jié)論

兀37r

當(dāng)時，arga=0；arg（-〃）=匹，arg（出）,arg（-山）=5-；〃喈0可以是[0,2兀）中的任一角.

2.復(fù)數(shù)相等：兩個非零的復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角主值分別相等.

3.復(fù)數(shù)的三角形式

復(fù)數(shù)z=a+bi可以用復(fù)數(shù)的模廠和輻角。來表示:z=rfa?s8+祖力。），其中ra2+萬,cosO=—,sin3=—,

rr

4cos0+is血。）叫作復(fù)數(shù)z的三角形式,而〃+萬叫作復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式.

【即學(xué)即練。若〃<0,則〃的三角形式為（）

A.?（cos0+isin0）B.a（cos?+isin?）

C.-q(cos萬+isin%)D.一4(cos;r-isin乃)

【答案】C

【分析】由。對應(yīng)的輻角主值可得其三角形式.

【詳解】。＜0,，輻角主值為萬，則其三角形式為-a(cos;r+isin乃).故選：C.

知識點02復(fù)數(shù)的三角形式的乘除法

1.復(fù)數(shù)的乘法與乘方

把復(fù)數(shù)zi，Z2分別寫成三角形式zi=n(cos加+屈〃01),22=廠2?(。。5。2+由，汾2)，則zrzz=[n(cos9i+加加01)][r2(cosGi+isin

02)]=nr21cos(0l+92)+z'si〃(d+0?)].

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，其積的模等于這兩個復(fù)數(shù)的模的積，其積的輻角等于這兩個復(fù)數(shù)的輻角的和.

上面的結(jié)果可以推廣到〃個復(fù)數(shù)相乘：

z；-z2-z3...zn=h(cosq+zsin^1)]-[/;(cos^2+zsin02)]....[z;(cos^n+zsin^()]

rr

=r2.,…。,卜。(優(yōu)+%+…+，)+，sinei+%+???+4/

因此，如果公=4=…=q=r；*=%=…=9n=e,

就有上(cose+isin。)]"=rn(cosn^+zsinn^)(neN*)

這就是說，復(fù)數(shù)的〃(〃eN*)次幕的模等于這個復(fù)數(shù)的模的w次幕，它的輻角等于這個復(fù)數(shù)的輻角的紅倍.

2.復(fù)數(shù)的除法

設(shè)zi=McosOi+小力仇)，Z2=r2(cosQi+isin02),則zi除以Z2的商：

用""=二即(4-幻+汴出(4-幻]

々(cos%+zsin，2)G

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減

去除數(shù)的輻角所得的差.

【即學(xué)即練2]復(fù)數(shù)z=(cos25+isin25)(cos50+isin50)的三角形式是()

A.cos(-25)+isin(—25)B.sin75+icos75

C.cos15+isinl5D.cos75+isin75

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算可直接得到結(jié)果.

【詳解】z=(cos25+isin25)(cos50+isin50)=cos(25+50)+isin(25+50)=cos75+isin75.

故選：D.

I」能力拓展

考法01復(fù)數(shù)的三角表示

【典例1】棣莫弗定理由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667—1754年)創(chuàng)立.指的是設(shè)兩個復(fù)數(shù)(用三角函數(shù)形式

表示)4=Mcos'+isin4),z2=zj(cos^+isin6^),則=彳弓［cos('+G2)+isin(4+幻］.已知々的輻

角主值為3，%的輻角主值為利用棣莫弗定理猜測Z|Z?的輻角，并證明.

OJ

7T

【答案】x+2E,%eZ；證明見解析

2

【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的平方關(guān)系與和差公式進(jìn)行證明即可.

TT

【詳解】猜想Z］Z2的輻角為5+2E?￡Z,證明如下：

71..71

依題意，得％="cos￡+isin￡),z2=r2cos—+isin—

33

所以ZjZ2=彳［cos^+isinV々［cos］+isin^J

兀.2.兀.兀..兀71.

=|cos—71cos—+1sin—sin—+1sin—cos—+17c1os.—71s?m—

1\63636363J

(兀兀.兀.兀兀兀71.兀、1

cos—cos---sin—sin—+isin—cos—+cos—sin—

［(6363j6363〃

(兀..兀、

=cos-+isin-I,

jrjr

故4z的輻角主值為萬，則其輻角為5+2E,左eZ.

考法02復(fù)數(shù)乘除法的三角表示

【典例2】在復(fù)平面內(nèi)，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是6+i,向量OA繞著點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。得到向量OC.

(1)求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)zO；

(2)已知點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-z0|=l,且(C8,OC)=120。，求復(fù)數(shù)z.

【答案】(l)z0=—石+i

(2)z=-+3i或z=—>/3

22

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意，由向量eg對應(yīng)的復(fù)數(shù)4=20?；［85(-120。)+1$m(-120。)］或4=2()-：(3120。+1$出120。)求

解.

【詳解】(1)解：因為點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是6+i,向量。4繞著點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。，

所以z0=(豆+i)?(cos120°+isin120。)=-g+i；

(2)因為點2對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-z0|=l,且(C2,OC)=120。，

所以向量CB對應(yīng)的復(fù)數(shù)Z1=z°-Jcos(-120o)+isin(-12()o)］=￥+；i,

或Z］=z。q(coslZOo+isinlZO。)=-i,

OB=OC+CB=或OB=OC+CB=bg,0),

(22)

z=+—ifiKz=-A/3.

22

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.歐拉公式ei，=cos_x+isiiu建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，現(xiàn)有以下兩個結(jié)

論：①e加+1=0;②"才‘si啥］"|^+isin|^j"|^+isin|^j=i.下列說法正確的是()

A.①②均正確B.①②均錯誤C.①對②錯D.①錯②對

【答案】A

【分析】利用歐拉公式即可判斷①，逆用歐拉公式即可判斷②

【詳解】@e17t+1=COSTC+isinjc+1=—1+1=0

7i..7iV2兀..2KA(9兀..9兀1

(1010人1010J1010)

i2Liai電仁+型++組色9兀9兀

=e10xe10xxe10=e11010loJ=e2=cos—+isin—=i

22

則①②均正確

故選：A

2.設(shè)函數(shù)z=F+/,那么維gz是()

5-兀-2

A.-7iB.—C.一兀D.——兀

6333

【答案】C

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值和輻角主值的意義即可得出.

【詳解】z=i2^-^/3i=-l^-^/3i=2(-^-+^-i)=2(cos^+isin^-),argz=.

故選：C.

3.復(fù)數(shù)z=Ti化成三角形式，正確的是()

.(3兀..3兀、(3兀..3兀)

A.41cos—+isin—IB.-41cos—+isin—I

(3兀..3兀、(3兀..3兀、

C.41cos--1sin-ID.-41cos--isin-I

【答案】A

【分析】求出復(fù)數(shù)z的模與輻角主值，從而即可求解.

【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)z的模為r,則廠=府+(5=4,argzg,

所以復(fù)數(shù)z=Ti的三角形式為z="cos；"+isin^J.

故選：A.

4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2),則i.z=()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.-1-i

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得z=l+2i,然后計算i-z即可.

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，z=l+2i,所以i-z=i.(l+2i)=-2+i,

故選：B.

TT

5.寫出一個argz=：的復(fù)數(shù)____.

6

【答案】立+Li(答案不唯一)

22

JT

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式寫出一個滿足argz=*的復(fù)數(shù)即可.

TT

【詳解】由題設(shè)z="cose+isin。），＜0=argz=—,而廠20,

6

所以z=cos巴+isinN=3+，i滿足要求.

6622

故答案為：心+^i（答案不唯一）

22

6.將復(fù)數(shù)一2表示成三角形式是.（用輻角主值）

【答案】2（cos;t+isin。）

【分析】直接寫出復(fù)數(shù)一2的三角形式即可.

【詳解】-2=2（cos7t+isinji）；故答案為：2（cos7t+isin7t）

7.復(fù)數(shù)l+（i為虛數(shù)單位）的輻角主值為

【答案】j

【分析】將復(fù)數(shù)寫成三角表達(dá)形式即可.

【詳解】l+gi=2[cos]+isinT，故答案為：g

8.若復(fù)數(shù)z=-若+i（i為虛數(shù)單位），則argz=

【答案】斗5兀

0

【分析】將復(fù)數(shù)化為三角形式即可得輻角.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)Z的輻角為凡

由z=-&+i=2（-3+匕=cos—+isin—

122JI66J

所以argz=

故答案為:

9.已知將復(fù)數(shù)z=l+itan6表示成三角形式.

【答案】當(dāng)。｛。,m一力3+四）；

當(dāng),z=----^[cos（7r+e）+isin（萬+6）]

【分析】求出復(fù)數(shù)的模長，根據(jù)oq。，，

,分兩種情況，用復(fù)數(shù)的三角形式zr（cos^+isin^）寫

出即可.

【詳解】因為復(fù)數(shù)—，則比工=「

vcos20|cos^|

當(dāng)時，cos0>0,z=l+itan°=--—(cosO+isinO)；

V2)cos。

當(dāng)，工，；r],cos<0，z=1+itan=------(-cos6^-isinO')=------[cos(^+^)+isin(7r+^)l.

[2)cos。cos3

10.計算：A/^(cos]+isin31cos,+isin.

【答案】3+3i

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算性質(zhì)求解即可

【詳解】原式=3后故答案為：3+3i

題組呂能力提升練

TT

1.將復(fù)數(shù)i對應(yīng)的向量ON繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量0M，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)i的輻角及旋轉(zhuǎn)過程確定對應(yīng)復(fù)數(shù)的輻角，進(jìn)而寫出對應(yīng)的復(fù)數(shù)即可.

【詳解】iargi=|,順時針旋轉(zhuǎn)（，則對應(yīng)輻角為￡,

所以0M對應(yīng)的復(fù)數(shù)是cos工+isin^=+匕.

6622

故選：A

2.復(fù)數(shù)z=V^-"的三角形式是（）

A.2^cos—+isin—B.2]3)..34

cos---i-isin

44

C2|cos-^-+isin—ID2|cos-+isin—

?I44JV44

【答案】c

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形公式z=?cose+isin。）可求解.

06

【詳解】解：V2-V2i=7(>/2)2+(-72)2x

7(V2)2+(-V2)27(V2)2+(->/2)2

(3

1--2-----------2----1J

故選：C.

3.向量OZ1,OZ2,分別對應(yīng)非零復(fù)數(shù)z/,Z2,若OaLOZ,,則孑是()

A.負(fù)實數(shù)B.純虛數(shù)

C.正實數(shù)D.虛數(shù)a+歷(a,bGR,存0)

【答案】B

【分析】設(shè)z/=〃(cos6/+isin。/)、Z2=，2(cos仇+isin02),由OZ】_LOZ?可得4=%±90°,

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意得，

設(shè)復(fù)數(shù)z/=〃(cosO/+isin。/),Z2=r2(cos02+isinfc),

由OZ]_LOZ2，得4=2+90°或4=2-90°,

Z]_q(cos4+isin4)

z2G(cos%+isin

=—[cos?-劣)+isin(q-92)]

弓一一

=二[cos(±90°)+isin(±90°)]=±4i

r2ri

所以五為純虛數(shù).

故選：B.

4.歐拉公式/=cose+isin6(e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位)由瑞士數(shù)學(xué)家E"/〃(歐拉)首先發(fā)現(xiàn).

它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋“，則

()

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【分析】根據(jù)題已知中歐拉公式e瓶=cos9+isine,直接計算可得答案.

【詳解】由題意得：$=cos萬+isini=-1,故選：A

5.已知z的輻角主值是:，則它的共物復(fù)數(shù)的輻角主值是____.

4

【答案】號7兀

4

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示可得z=從而可得其共匏復(fù)數(shù)

\7

彳=/卜?-冬]=/cos=+sin?i],即可得共舸復(fù)數(shù)的輻角主值.

22144)

【詳解】解：z的輻角主值是:，貝i]z=r"：+isinT='孝+孝i

r>0,

7兀.7兀.

所以共舸復(fù)數(shù)彳=cos——4-sin——1

44

7兀

則共朝復(fù)數(shù)的輻角主值是7

7兀

故答案為：7

6.計算，并用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示計算結(jié)果：2cos'+isin烏

66

【答案】-魯總

【分析】運(yùn)用三角形式下復(fù)數(shù)的乘除法則計算即可.

_________]

-5(5兀..5兀

2cos---Fisin——

66

V31.

-------1

6464

故答案為：

兀..兀9兀..9兀

7.表示復(fù)數(shù)1+i的三角形式：①—+1sin—；②也cos+1S1I1—?(3)——+isin——

44444

④0"；+isi吟J.其中正確的個數(shù)是.

【答案】2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)1+i的三角形式一一判斷四個表達(dá)式，即可得答案

【詳解】復(fù)數(shù)l+i=&(2+,i),模為應(yīng)，對應(yīng)的點(1,1)在第一象限,

設(shè)e為一個幅角，貝Ijcose=走,sin6=受，幅角主值為:，

224

9兀..9兀、

故復(fù)數(shù)1+i的三角形式為3"os(+isin：J,或---Fisin——,

44)

故①③正確，②④中角前后不一致，不是復(fù)數(shù)的三角形式,

故正確的個數(shù)是2個,

故答案為：2

8.任意一個復(fù)數(shù)Z都可以表示成三角形式即。+歷=r(cose+isin。).棣莫弗定理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗

(1667—1754年)創(chuàng)立的，指的是設(shè)兩個復(fù)數(shù)(用三角函數(shù)形式表示)Z]=Mcosa+isinq),

z2=^(cos6^+isin6^),則：=楂[cos(65+a)+isin(q+幻],”已知復(fù)數(shù)z=；+5i,則z"+z=.

【答案】1

【分析】將Z化為三角形式表示，根據(jù)題設(shè)棣莫弗定理化簡"7+Z，即可得結(jié)果.

【詳解】由z=工+^^1=cos&+isin&,

2233

所以z"+z=z(z16+1)=(cosy+isiny)(cos+isin+1),

H16K..16KJ4兀..4兀1IV3.5兀..5兀

Hucos----hisin----i-l=cos---hisin---\-l=------1=cos---Fisin—，

33332233

LLt、r17|兀??115兀..571).

所以z+z=[cosy+1sin—11cos—+1sin—I=cos2兀+1sm2兀=I.

故答案為：I

9.求下列復(fù)數(shù)的模和輻角主值.

⑴Z=(l-4)5；

I(兀..兀

⑵z=—cos---isin—.

一2(44J

【答案】(I)復(fù)數(shù)Z的模為32,輻角主值為三

(2)復(fù)數(shù)z的模是1輻角主值為7兀:

24

【分析】直接求出復(fù)數(shù)的模，然后根據(jù)其對應(yīng)的點可得輻角主值.

【詳解】⑴(1一4)5=25口_四]=32xfcos5^+isin57^']=32fcos—+isin—

(22)(33)\33

=32(cos三+isin,

復(fù)數(shù)z的模為32,輻角主值為三.

(2)

1(兀..兀)0V2.

z=—cos—isin—1

2144j44

設(shè)輻角為6，貝Ijtan6=-1,

??,點z一，--在第四象限,

I44J

7717兀

tan0=tan——,0=---F2kji(kGZ),

44

.7兀

..argz=-.

10.已知復(fù)數(shù)z=（〃?+3）-（根+l）i已在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，i是虛數(shù)單位.

（D求實數(shù)加的取值范圍

（2）當(dāng)機(jī)=-2時，求復(fù)數(shù)z的三角表示

（3）若復(fù)平面內(nèi)，向量OZ對應(yīng)（2）中的復(fù)數(shù)z,把OZ繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到OZ|,求向量對

應(yīng)的復(fù)數(shù)4（結(jié)果用代數(shù)形式表示）

【答案】⑴

71.71.

⑵z=應(yīng)cos——i-sin—1

44

ZQX1+^31—y/3.

(3)Z]—1

22

m+3＞0

【分析】（1）根據(jù)題意得_（機(jī)+1）＞0,再求解集即可；（2）根據(jù)題意得z=l+i,再分別求出廠，cos。，sin。

a2+b2=2

即可求解；（3）設(shè)根據(jù)題意得_1,再分析求解即可.

V2X7?2+b22

【詳解】（1）因為復(fù)數(shù)z=（m+3）-（機(jī)+l）i已在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限,

m+3＞0.、

所以[_（加+1）＞0,解得一3〈根＜—1,所以實數(shù)機(jī)的取值范圍為：（―3,—1）

(_____1、歷

(2)當(dāng)m=—2時，z=l+i,所以r=Jf+]2=母,cos0=sin0==—

71.71.

所以。=?,所以z=3cos——Fsin—1

44

（3）根據(jù)題意得OZ=（1,1）,設(shè)其旋轉(zhuǎn)60。后對應(yīng)向量。Z]=（M）,

1+石1-V3

a2+b2=2a=--------a=--------

或＜2

所以a+b1,解得2

l1-5/31+^/3

6.義yja1+622b=--------b=--------

22

又因為繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到OZ；,所以O(shè)Z；對應(yīng)的點在第四象限,

1+V3

a=--------

21+拒1-73.

所以所以4=--+-----1.

,if22

b=--------

2

題組。培優(yōu)拔尖練

1.復(fù)數(shù)（-1+守）5的值是（）

1+V3i

A.—16B.16C.——D."

444

【答案】A

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的三角形式的乘方、除法運(yùn)算化簡求值即可.

【詳解】

/2兀..2兀、510兀..10K

（阿（cosF1sin——）cos-----1-1sin—

-1+33

=16x-------3----------3_=16x=16x（cos3兀+isin3兀）=-16.

1+后71..7171..71

cos—+isin—cos—+isin—

3333

故選：A

2.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則（）

A.z2不可能為純虛數(shù)

B.z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于第二象限

C.z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點一定位于第三象限

D.z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于第四象限

【答案】D

【分析】利用第二象限Z的輻角范圍確定z2的輻角范圍，即可判斷各選項的正誤.

【詳解】由z為第二象限，其對應(yīng)輻角范圍為

所以Z。對應(yīng)輻角為（1,2萬），

故Z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能位于第三、四象限及y軸的負(fù)半軸.

所以A、B、C錯誤，D正確.

故選：D

3.復(fù)數(shù)1-3。」而/。《0,2兀））的三角形式是（）

(0+Tl（:兀、.01Tl-0

A.2sin—cos------B29sin—cos-+---i-s-i-n-

21

I22>1-2\、2T]

(e-it0-71}c0(71—0Tl—0y

C.2sm」cos-------+isin—D.2cos—cos-+---i-s--in—

2l、22J2I22J

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式將復(fù)數(shù)的代數(shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式即可求解.

0nn

【詳解】1-cos-isin=2sin2—-2isin—cos—

0.6（.6,4

=2sin—sin-----icos—

2（22J

=2sin-cos上粗+isin

22

=2si/O-Tl..0-71

cos-------Fisin--------

222

故選：C.

4.設(shè)4,z2,Z3為復(fù)數(shù)，句*0.下列命題正確的有（）

A.若右2=乎3，則Z2=Z3B.若Z：+Z；＞0,則Z：＞-Z；

C.|z1+z2|^IzJ+lz^D.若z；+z；=0,則Z]=。且z?=。

【答案】AC

【分析】利用復(fù)數(shù)除法判斷A,根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何含義判斷C,應(yīng)用特殊值法判斷B、D即可.

【詳解】A:將空2=乎3兩邊同時除以Z],可得Z2=Zs，正確；

B：若z；=l+i￡=l-i,而復(fù)數(shù)不能比大小,故此時z；＞-z；不成立,錯誤；

C：由復(fù)數(shù)模的三角含義有匕+22歸崗+艮I，當(dāng)-=%且彳＞0時等號成立,正確;

D：若z；=T+i,z；=l-i,此時z；+z：0,故此時4=0且Z2=0不成立，錯誤.

故選：AC

5.下列命題正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)Z滿足z2＜0,貝1是純虛數(shù)

B.若向，Z?互為共軌復(fù)數(shù)，則ZI+Z2CR

C.21coS3-+isin-^-J是復(fù)數(shù)-l+Gi的三角形式

D."復(fù)數(shù)Z=〃+歷3點R)為純虛數(shù)”的充要條件為*W0”

【答案】ABC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷，可設(shè)Z=〃+砥￡尺)進(jìn)行求解判斷.

[a2-b2<

【詳解】設(shè)2=。+砥。,人￡&,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,貝叫

2ab=0

由2az?=0得a=0或Z?=0,若Z?=0,則/一/=a2<0不成立,

所以。=0,<0,bwO,z為純虛數(shù)，A正確;

若Z]=。+方(4,。￡氏)，則Z2=Z]=。一歷，Z1+Z2=2QER,B正確;

2TT..2TTY(2兀27r?

2cos-----i-isin——=2(--+—i)=-l+^i,21cosF-+isinq-J是復(fù)數(shù)的三角形式，C正確;

33)22

當(dāng)aHO時，a+歷不是純虛數(shù)，D錯誤.

故選：ABC.

6.利用1的立方根，則8立方根是

【答案】2,-l±V3i

c°s3a=1心

【分析】設(shè)立方根為2=/905。+1$1110)形式，由z，=F(cos3a+isin3a)=8可得r=8且

sin3a=0'"口口

，30,a=argz￡[0,27i)求結(jié)果.

【詳解】令1的立方根為2=r905。+15,。)且〃30,6=搬2￡[0,2兀),則Y=/(cos3e+isin36)=l,

8sH,故6=等且左eZ,

所以，=i，gpr=i,且cos3e+isin36=L即

則2=85手+isin手且左eZ,

當(dāng)％=0時z=l,

g

當(dāng)左=1時z=cos—+isin—=--+2

332

在

出7cl4兀..4兀1

rdK=2z=cos-----Flsin——=------2

332

同理，令z3=r(cos3a+isin3a)=8且，20,a=argZ￡[0,2兀),

[cos3a=12E

所以r=8,即/=2,且cos3a+isin3a=1,即《.。八，故。=---且左eZ,

[sin3a=03

則z=2(cos^^+isin^^)且上eZ,

當(dāng)上=0時z=2,

三

27一1n

當(dāng)％=1時z=2(cos3+i3

-+lsin

竺siM

73in

當(dāng)左=2時z=2(cos33一

M

故答案為：2,-

7.已知復(fù)數(shù)4、4滿足歸|=3,卜|=1,若4和z?的幅角之差為g,則Z\f

ZE

【答案】魯

【分析】分別設(shè)Zj=3(cosq+isina),z2=cos02+isin^,可得五=3[cos倒一％)+isin(q-2)],由題意

Z2

Z\-z?_Z2Z2

可得或a-，2=-g，即可得五，再代入計算即可求解.

3322ZE2+1Ji

Z

2Z2

【詳解】因為㈤=3也|=1，設(shè)4=3(cos4+isin〃)，z2=cos02+isinfi>2,

43(cos4+isin4)3(cos0+isin0)(cos3-isin0)

所以xx22

z2cos名+isin%(cos02+isin02)(cos02-isin32)

3[cos仇cos^2+sin6^sin+i(sin6^cos^2-cos^sin^2)]

22

cos02+sin^

=3[cos(d-。2)+isin(q-幻]

J

ZE五+1

Z2

IT1T

由題意可知a—%或a—%=—§

J71..71

當(dāng)a-％=々時，-=3cos—+isin—二+喳,

I33

3z222

工+當(dāng)

五-1

22

Z「Z24_

Z]+Z2至+15+叫

Z222

7T7133技

當(dāng)時，—=3cos+isin--------------1,

Z2.322

13A/3.

五-1---------------1

Zl—A_22

Z1+2

2幺+153技

--------------1

z?22

綜上所述:

Zl+Z213

故答案為：f

8.設(shè)復(fù)數(shù)z=l-6i在復(fù)平面上對應(yīng)的向量為OZ，將OZ繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)〃個孚角后得到向量

O

OZi(neN*）,向量OZ1所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4,若Z1<0,則自然數(shù)”的最小數(shù)值為

【答案】4

【分析】將復(fù)數(shù)z表示為三角的形式，可得出Z的三角表示，根據(jù)4<0可得出關(guān)于〃的表達(dá)式，進(jìn)而可求

得自然數(shù)”的最小值.

、

【詳解】因為Z=l—后=21技571.571

------1=2cos-----1-21sm——,

233

7

將OZ繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)〃個1角后得到向量04（附eN*）,向量％所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為馬,

5TT5n兀5TT5n7i

則4=2cos——+----+2isin一+---

3636

57r5nji

cos一+---=-1

36

因為Zi<0,所以，,所以，=兀+2k兀(k￡N*)

5%