二次函數與一元二次方程、不等式經典題型專題練

2025年高考數學一輪復習備考

一、單選題

1.已知集合”={-2,—1,0,1,2},N={x\x2-%-6>0},則MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.[0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式a/+bx+c>0的解集是（）

斗

7-2o

A.（一2,1）B.（—8,—2）U（l,+8）

C.[—2,1]D.（—8,—2]U[L+8）

3.已知A={x|"理?=0},若2C4則根的取值范圍是（）

11mx-1）

1111

A.—mB.—<2

C.TH2或THD.m4一2或Tn

4.函數/（x）=急，若關于x的不等式[/（久）]2—a〃久）<o（aeR）有且僅有三個整數解，貝布的取

值范圍是（）

A?[焉焉B.喘，急。?倡福）（e,焉

5.一元二次不等式a/+bx+c>0的解為{汽|一2V%V3},那么a/—fox+c>0的解集為

（）

A.{x\x>3或x<—2}B.{x\x>2或x<—3}

C.{%|-2<%<3}D.{x|—3<x<2]

6.已知不等式p：a/+人工+c<0（q。0）有實數解.結論（1）：設%）冷是P的兩個解，則對

于任意的％1，冷，不等式％1+比2<和％1，第2<g恒成立；結論（2）:設%o是p的一個解，若

總存在%0，使得a%（）2一b%0+C<0,貝Uc<0,下列說法正確的是（）

A.結論①、②都成立B.結論①、②都不成立

C.結論①成立，結論②不成立D.結論①不成立，結論②成立

7.若不等式依2+（々一6）%+2>0的解為全體實數，則實數k的取值范圍是（）

A.2</c<18B.-18<k<-2

C.2</c<18D.0</c<2

8.定義rna%{p,q}=僅￡]設函數/(%)=max{2因—2,，一2ax+a},若ER使得f(x)<0

(%p<q

成立，則實數a的取值范圍為().

A.(—8,0]u[1,+8)B.[—1,0]U[L+00)

C.(—8,—1)U(L+8)D.[—1,1]

二、多選題

320301

9.已知函數/(久)=1%+%eR且4<-2),且a=1.7,b=log0.31.8,c=O.9,

則下列結論正確的是()

A.f(%)為R上的增函數B./(久)無極值

C-f(b)</(c)<f(a)D.f(a)<f(b)<f(c)

10.下列說法正確的是()

A.不等式4/一5x+1>0的解集是{%|久><1}

B.不等式2——久—6W0的解集是{%|久《—|或rN2}

C.若不等式a/+8ax+21<0恒成立，則a的取值范圍是0

D.若關于x的不等式2/+p]一3<0的解集是(q,1),則p+q的值為一段

11.下列說法正確的是()

A.若函數f(x—l)的定義域為區,3],則函數y="2工)的定義域為[―1,1]

B.當xeR時，不等式上工2一九工一1<0恒成立，貝！Jk的取值范圍是(一4,0)

C.函數H%)=l°g16+%一2一)在區間(_8,$上單調遞減

D.若函數"%)=lg(a%2+3久+2)的值域為R,則實數a的取值范圍是[0,各

12.已知函數/(久)和實數n,則下列說法正確的是()

A.定義在R上的函數/(%)恒有/(%)=/(7H-71%),則當72=1時，函數的圖象有對稱軸

B.定義在R上的函數/(%)恒有/(%)=/(m一71%),則當n=—l時，函數具有周期性

1

<-

(—3x2+2x,x3

-貝HV

utG叫恒成立

C.右TH二1,n=2,/(%)={1(-f(t)>/(1-0

>-

[f(m—nx),x3

且八")的個不同的零點分別為，％久

D.若TH=4,n=1,/(%)={/4xi2,3%4,

且打V%2V%3<%4，則％1%2+X3X4-4(%3+%4)=—14

三、填空題

13.已知函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式（a%+b）（bx+c）（cx+a）<0的解集

是.

14.已知函數/（%）=焉百一*>0且。工1），若關于'的不等式/（a/+人工+c）>o的解集

為（1,2）,其中be（—6,1）,則實數a的取值范圍是

汽2-I-x|]xQ

15.已知函數f(%)={'—,若/(TH)V/(2-租2),則實數TH的取值范圍

2%+1,%<0

是.

16.已知函數y="%）是定義域為R的偶函數，當x20時，/（久）=［（2產若關

%Z

Uogi6%，-

于x的方程［/（久）］2+a/（久）+6=og,bCR）有且僅有7個不同實數根，則a+b=.

四'解答題

17.某市隨著東部新城迅猛發展，從老城區到新城區的道路交通壓力變大.某高中數學建模小組

調查了新城上班族S從居住地到工作地的平均用時，上班族S中的成員僅以公交或自駕的方式通勤,

分析顯示：當S中無%（0<久<100）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間與久滿足函數關系

為：

30,0<%<30

/（%）={1800（單位：分鐘）?

2%+^^-90,30<%<100

x

而公交群體的人均通勤時間不受%影響，恒為40分鐘.

（1）當支在什么范圍時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

（2）求新城上班族S的人均通勤時間g（%）的表達式，討論9。）的單調性，并說明其實際意義.

18.已知函數/（久）=|久一t|+|久+t|,tER.

（1）若t=l,求不等式〃久）W8-久2的解集；

（2）已知m+n=4,若對任意％CR,都存在血>0,幾>0使得“%）=細％,求實數t的

7k7mn

取值范圍.

19.已知函數/(%)=3lnx+ax2—4%+b(a>0,bER).

(1)討論函數f(x)的單調性；

⑵當。=寺時，方程/Q)=0有三個不相等的實數根，分別記為々0=1,2,3).

①求b的取值范圍；

②證明代—勺|<4(i=1,2,3；j=1,2,3).

答案解析部分

IC

解：N={x}x2-x-6>0]=(-03,-2]U[3,+03),XM={-2,-1,0,1,2),

所以MCN={-2}.

2A

解：由圖像可知：函數圖象與x的交點橫坐標為-2,1,即方程a/+以+c=0的兩個根為-2,1,

結合函數的圖象可得：不等式a/+法+c>0的解集(-2,1).

3A

解：因為2”,所以件彳口，等價于產士)*。，解得

2m-l(.2m-1022

4A

解；函數/'(久)=高定義域為(一8,1)u(1,+8),求導可得/(%)=

令/''(￡)>0，解得久>e,令/''(%)<0，解得0<￡<e,當In久=0時，x=1,

所以〃無)的單調遞增區間為?+8),單調遞減區間為(0,1)和(l,e),

作出圖象，如圖所示：

當a<0時，由，(x)]2—a(Q)《0,可得a4/(x)W0,由圖象可知，不存在整數點滿足條件;

當a=0時，由[/(久)]2—afQ)<0,可得=0,由圖象可知，不存在整數點滿足條件；

當a>0時，由[/〉)]2一生久久)W0,可得0W/(%)Wa,

「244，

又f(2)=位=扃，f(包=扃，/(5)=隔，

由/(x)的遞增區間為(e,+8),所以f(2)=f(4)<f(5),

所以要使0</(久)<a有三個整數解，則備《a(磊，

所以關于％的不等式/(久)]2-af(x)<0(a￡R)有且僅有三個整數解，

則a的取值范圍為[焉，磊).

5、D

解：由一元二次不等式a%?+ft%+c>0的解為{%|-2<%<3},

I—2+3=—=1

可得—2,3是方程*2+5%+。=（）的解，且。<0,由韋達定理得《產,解得

（（一2）X3=-=-6

［"一:"，代入得a/+ax-6a>0,即％2+x-6<0,解得一3<%<2,貝!Ja/—ft%+c>0

ic=—6a

的解集為{%|-3<%V2}.

6B

解：當a<0,且4=b2-4ac<0時，

J

不等式p；a/+辦％+cV0（aW0）的解為全體實數，故對任意的%—x2%1+%2與一，的關系

不確定，例如：p：-x2+2x-2<0,取％1=1,%2=4,而一，=2,所以%1-%2=4>-=2,

故結論①不成立.

當a<。且4=b2—4ac>0時，p：ax2+bx+c<0的解為{%|%〈p或r〉q},其中p,q是a/+

bx+c=0的兩個根.當x0<P，-%0>q此時a%。？一bx0+c<0,但c值不確定，

比如：p：一%2+%+2<0,取%o=-3,則一%0z一％0+2<0,但c>0,故結論②不成立.

7C

解：當々=0時，不等式Ze/+（女一6）%+2>0轉化為一6%+2>0,解得汽<寺，不合題意；

當憶W0時,由Ze/+（憶_6）x+2>0的解為全體實數，

貝山=（仆6%1°軌義2<0,解得2<卜<18，

綜上實數k的取值范圍為：2<k<18.

解：三為€氏使得“久）<0成立的否定為對\/尢6/?,〃久）>0成立，

因為當％>1或久<一1時，2團一2>0;

當一時，2因一2<0，所以當x>1或x<—1時，f（x）>0,

若WrCR,/（久）>0為真命題，則當一1=%<1時，/—2ax+a>0恒成立，

所以（/一2ar+a）mm>0，其中％

設gQ）=x2-2ax+a（-1<%<1）,

當aW—1時，函數。（久）在［-1,1］單調遞增，

所以當尤=一1時，函數g（%）取最小值，所以l+2a+a>0,解得a>《，矛盾;

當a>1時，函數g（X）在［—1,1］單調遞減，

所以當x=l時，函數g（x）取最小值，所以1一2a+a>0,解得a<1,矛盾；

當—1<a<1時，函數g（x）在［-l,a）上單調遞減，在（a,1］上單調遞增，

所以％=a時，函數g(%)取最小值，所以小—2小+Q>o,解得0<a<1,

所以當0<a<1時，命題V、ER,f(%)>0為真命題，

所以若GR使得/(%)<0成立，則a的取值范圍為(一8,0]u[L+8).

9A,B,C

解：已知函數/(%)=+%2一/%(26<—2),

則f(%)=x2+2%—義入，則4=4+2A<0,

所以/'(%)20,故/(%)在R上單調遞增，A選項正確；

因為/(%)為R上的增函數，所以無極值，B選項正確；

因為y=1.7尤是增函數，所以a=1.70-3>1.7°=1,

因為y=log。'是減函數，所以b=log0.3l-8<log031=0,

因為y=0.9尤是減函數，所以c=O.901<0.9°=1,

綜上可知，b<c<a,又/(%)為增函數，則f(6)</(c)V/(a)，C選項正確，D選項錯誤；

10C,D

解：A、4/一5%+1>0等價于。一1)(4%-1)>0,解得％V,或%>1,故A錯誤；

B、2/一久一640等價于(久一2)(2%+3)<0,解得一|〈久〈2,故B錯誤；

C、若不等式a/+Qax+21<0恒成立，當a=0時，21<。不成立；

要使不等式。/+8取+21<0恒成立，則°不等式組無解，故C正確；

(4=64az-84a<0

—3

D、易知/1是一元二次方程2/+p久一3=0的兩根，由韋達定理可得=丁，

2+p—3=0

解得p=Lq=—去當。=1，9=—S時，一'兀二次不等式2/+%—3<0,等價于(％—1)(2%+

3)<0解得一|<%<1,滿足題意，貝加+q的值為一去故D正確.

11A,D

解：A、函數/(久一1)的定義域為[|,3],即|〈久〈3,則達久一142,

對于函數/(2丫)，令:〈2、〈2,解得一1WKW1,則函數y=f(2支)的定義域為[―1,1]，故A正

確；

B、當k=。時,不等式Ze/-/ex-1<0轉化為一1V0恒成立，滿足要求；

當kHO時，不等式k/一乙一1<0恒成立，貝皿解得一4<k<0,

14=(―fc)+4/c<0

綜上，k的取值范圍是(—4,0],故B錯誤;

C、由6+%—2/>0,解得一|<%<2,即函數f(無)=嗎(6+久—2%2)的定義域為(_|,2),

對數函數丫=l°g羅為減函數，函數y=6+K—2/的單調遞增區間為(一號，專，所以函數

〃尢)=108產+%-2%2)在區間(_會》上單調遞減，故C錯誤；

D、若函數f(%)=lg(ax2+3%+2)的值域為R,則y=ax2+3%+2能夠取到所有正數,

當。=0時，y=3%+2能夠取到所有正數，滿足要求；

當a70時，需滿足]宜、即卜Vtn-解得0<。4，

"INUIV—oaNUo

綜上，實數a的取值范圍是[0,看，故D正確.

12A,C,D

解：A、若ri=1,則/(%)=/(TH-則函數/(%)的圖象的對稱軸為直線％二當，故A正確；

B、當九=一1時，/(%)=f(m+%),

若血=0,則/(%)=/(%),函數不具有周期性，故B錯誤；

f—3x2+2x,x<?

C、若TH=1,71=2,貝！]/(%)=<[,

當%>|■時，1—2%V

則f(%)=-3(1-2%)2+2(1-2%)=-3(4x2-4x+1)+2(1-2%)=-12/+8%-1,

即當%>4時，/(%)=-12%2+8%-1.

121

當te(—8,可)時，w—七e。，+8),

所以f(t)—f—￡)=—3t2+2t—[—12(,—t)2+8(,—t)—1]

=9/—6t+l=(3t—1)2>0,所以〃t)>/(|一t)恒成立，故C正確；

D、當%e(2,4)時，4-%€(0,2),財⑺=(|]Jin±|tVx(e(24),

令=1IlnxLxe(0,2]

-l|ln(4-x)b%G(2,4)'

作出函數g(%)的圖象和直線y=a,如圖所示：

要使/(%)有4個不同的零點，則函數g(%)的圖象與直線y=。有4個不同的交點.

又％1V冷<%3V%4，則一In/=lnx2=ln(4—x3)=-ln(4—x4),

所以In%1+lnx2=0,in(4—%3)+in(4—x4)=0,

所以％i%2=L(4—%3)(4—x4)=1,

則16—4(x3+x4)+%3x4=1,

所以％i%2+x3x4-4(%3+x4)=-14,故D正確.

i2

"(一歹3)U(3,+8)

根據函數y=ax2+bx+c的圖像可知：

a>0,c>0,1+2=3=——,b<0,1x2=2=—,即b=-3a,c=2a，

Clci

不等式(a%+b)(b%+c)(cx+a)<0可化為(a%—3a)(—3ax+2a)(2ax+a)<0,

即(％-3)(3x-2)(2%+1)>0,

解得—(氯X>3,

所以不等式3+b)(b久+c)(cx+a)<0的解集是(一寺，|)U(3,+oo).

故答案為：(―3，芻U(3,+oo)

14(1,2)

由題意知若y(久)>o,即謨

；.O<ax<1,

/.當0<a<1時，X>0；當a>1時，%<0,

V/(a%2+bx+c)>0的解集為(1,2),

2

/.a>lfax+bx+c<0,且a/+fex+c<0的解集為(1,2),

Ax=1與％=2是a/+ft%+c=0的兩根，

A.fa+b+c=0.入

+故Uz+2b+c=0'/=-3Qa,

又bE(—6,1),-6<-3a<1,

又a>1,/.1<a<2,

故答案為：(1,2)

15(-2,1)

函數/(X)圖像如下圖所示:

由圖像可知函數/'(久)連續且在R上單調遞增，所以f(m)<f(2一血2)轉化為血<2-m2,即加+

m-2<0,解得：mG(-2,1).

16-1

由題意畫出/(久)圖象如下

令”以X),由圖象知當”上時，方程有兩個根，當teG，1)時，方程有四個根，當t=1時，

方程有三個根，當te(1,+8)時，方程有兩個根，

關于％的方程[/(%)]2+af(x)+b-0有且僅有7個不同實數根,即方程產+at+b=0必有兩

個根ti，,其中ti=1,上e(上，1),二13+a+b=0,即a+b=-1.

故答案為：-1

17(1)解：由題意知，當30<久<100時，

/(%)=2%+1800-90>40即久2-65久+900>0解得尤<20或久>45.

當xC(45,100),時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；

(2)解：當0<%<30時g(K)=30-%%+40(1-%%)=40—者.

當30<x<100時g(x)=(2%+--90)-x%+40(1一K％)=差—密+58

XbU_LU

X

40-]0,0<%<30

9(無)=13%

+58,30<x<100

10

當0<久<32.5時，g(x)單調遞減

當32.5<久<100時，g(x)單調遞增，

說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞減的，有大于32.5%的人自駕

時，人均通勤時間是遞增的.

2x,x>1

2,-1<X<1,

{-2.x,x<—1

因為/(%)M8—久2,

當久時，Bp[2x-87%2,1<%<2；

(%>1

28%2

當一14％<1時,BP(d~-.,-1<x<1；

(-1<%<1

當％<—1時，即『2x48一_2<久<_i,

IX<-1

綜上可得不等式的解集為[-2,2]

(2)解：???/(%)=|x-t|+|x+t|>|(x—t)—(%+t)|=2\t\,

當且僅當(%-t)(X+t)<0時取等號，???=2\t\,

又m>0,n>0且6+n=4,

4m2+n4m,14m,m+n、1,。4mn9

?*----------=-----1—=-----1—i—之了+2/—,-；—=彳，

mnnmn4m4\n4m4

當且僅當地=U-,即6=3幾=害時等號成立，

n4m55

所以修濘，+8)

根據題意可得臺2|t|,解得土喘或tW—卷，

QQ

?。.t的取值氾圍是(—8,—g]U[g,+00).

19(1)解：函數/■(>:)的定義域為(0,+oo),尸Q)=,+2a久一4=的與生2.

又a>0,令/(%)=0，得2a%2—4%+3=0,J=16—24a.

當440,即a>|時，2a/一軌+3>0在(0,+8)恒成立，/'(%)》0.

當4>0,即0<a<|時，方程2a/-4%+3=。有兩根,可求得:打="三旦,冷=土三包

312a22a

當xe(0,刈)和。2，+8)時，/(x)>o，當外)時，/(x)<0.

綜上：當a瀉時，f(x)在(0,+8)上單調遞增，當0<a<|時，/⑺在(0,三方雪和

(2+J4-6a,+8)上單調遞增，在(2-y-6氣2+?-6a)上單調遞減.

2CL2CL