重難點專題34立體幾何體積問題八大題型匯總

題型1公式法........................................................................1

題型2等體積轉化法.................................................................4

題型3割補法........................................................................6

題型4體積比問題....................................................................8

題型5體積中的動點問題............................................................10

題型6體積中的最值取值范圍.......................................................13

題型7向量法求體積................................................................16

題型8外接球問題..................................................................19

題型1公式法

【例題1】（2023秋?山西太原?高三山西大附中校考階段練習）長方形ABCD中，AB=2AD

=2出點后為5中點（如圖1）,將點。繞4E旋轉至點P處，使平面P4EL平面4BCE（如

圖2).

⑴求證：PALPB;

（2）點尸在線段PB上，當二面角F-4E-P大小為雜寸，求四棱錐F-4BCE的體積.

【變式1-1】1.（2023秋?四川成都?高三統考階段練習）如圖，在圓錐。。中，。為圓錐頂

點，為圓錐底面的直徑，。為底面圓的圓心，C為底面圓周上一點，四邊形。4ED為矩形,

S.AC=1,5C=V3.

⑴若F為BC的中點求證：DF||平面ACE;

(2)若CD與底面4BC所成角為45。，求多面體4CBDE的體積.

【變式1-1]2.(2022秋?安徽合肥?高三合肥一中校考階段練習)如圖所示，在四棱錐P-

力BCD中，△PBC為等腰直角三角形，Z.CPB=90°,平面P8C1平面ABCD,AD//BC,

CD1.AD,BC=CD=2AD=4.

⑴求證：平面P4BJ.平面PCD；

(2)若點E為PB的中點，F為CD的中點，點M為AB上一點，當EM1BF時，求三棱錐E-

BFM的體積.

【變式1-1】3.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形4BCC與

485T均為直角梯形,AD//BC,AF//BE,DA1平面48EF,AB1AF,AD==2BC=2.BE

=2.

D

(1)已知點G為AF上一點，目力G=2,求證：BG與平面DCE不平行；

(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為旁，求AF的長及四棱錐D-ABEF的體積.

【變式1-U4.(2023秋?海南省直轄縣級單位?高三校考階段練習)如圖，四棱錐P-ABCD

中，底面4BCD是邊長為1的正方形，。是力BCD的中心，PO1底面4BCD,E是PC的中點

⑴求證：「411平面3。￡1;

(2)若。P=2,求三棱錐E-BCD的體積.

【變式1-1】5.(2023?全國?高三專題練習)如圖，四棱錐P-4BCD的底面是菱形，平面

P4D1底面4BCD,E,F分另!］是AB,PC的中點，AB=6,DP=AP=5,/.BAD=60°.

⑴求證：￡77/平面24。;

(2)求證：ACLPE;

(3)求四棱錐P—4BCD的體積.

題型2等體積轉化法

【例題2】（2021?黑龍江大慶?大慶中學校考模擬預測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

ABCD的平行四邊形，NADC=60。，AB=^AD,PA±?ABCD,E為PD的中點.

⑴求證：AB±PC;

（2）若PA=AB=：AD=2,求三棱錐P-AEC的體積.

【變式2-1J1.（2023秋?四川成都?高三石室中學校考開學考試）如圖，在四棱錐P-ABCD

中，四邊形4BCD為正方形，平面4DP1底面4BCD,4P=DP,且APIDP,設E,F分別為

CP,BD的中點，FP=V2.

⑴求證：APLCP;

（2）求三棱錐P—4DE的體積.

【變式2-1】2.（2023秋?四川成都?高三校考階段練習）如圖，在幾何體BACDEF中，四

邊形CDEF是菱形，AB//CD,平面4DF1平面CDEF,AD=AF.

⑴求證：ACLDF；

(2)若FA=FC=FD=2,AB=1,求三棱錐E-BDF的體積

【變式2-1】3.(2023秋?四川眉山?高三校考階段練習)如圖，在四棱錐P-4BCD中，

PD1面ABCD,AB||CD,ABLAD,CD=AD=^AB=2,APAD=45°,E是PA的中點,

G在線段AB上，且滿足CGIBD.

P

⑴求證：DEII平面PBC

(2)求三棱推G—PBC的體積.

【變式2-1]4.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面四邊形4BCD

為矩形，平面PABJ.平面/BCD,PA1PB,AB=V5,PB=BC=2,點Q為PC的中點.

⑴求證：平面4BQ1平面PAC;

(2)求三棱錐P-QBD的體積.

【變式2-1】5.(2023?全國?高三專題練習)如圖，梯形ABCD中，AD=4,E為4D中點,

S.CE1AD,CE=BC=1,將△￡?￡1(7沿CE翻折到△「￡1(7,使得NPE4=￡.連接P4PB.

⑴求證：BE1PC;

(2)Q為線段P力上一點，若而=|Q,求三棱錐P-BCQ的體積.

題型3割補法

【例題3】(2023秋?青海西寧?高三統考開學考試)如圖所示，在直三棱柱ABC-&B1C1中,

4iBi1&Ci，D,E分別為棱AC,BiCi的中點，AC=2AB=2441=2.

(1)求證：DE〃平面44$/;

(2)求多面體BBi-441的￡?的體積.

【變式3-1】1.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在三棱柱ABC—&BiCi中，平面4&射

C1平面ABC,/-AAIC1=120°,AC=CCr=4,tanzBXC=BA=BC,AD=3DC,

A^E=3ECi.

B

⑴求證:B,D,E,&四點共面;

(2)求四棱錐公-BOE%的體積.

【變式3-1】2.(2023?四川瀘州校考三模)如圖，已知直四棱柱力BCD-4出的小的底

面是邊長為2的正方形，E,F分別為2公，4B的中點.

(1)求證：直線。止、CF、ZM交于一點；

(2)若A&=4,求多面體BCDiEF的體積.

【變式3-1]3.(2023秋?廣東廣州?高三廣州市第一中學校考階段練習)如圖，四邊形4BCD

是矩形，四邊形48EF是梯形，BE//AF,BE1EF,ZBXF=3O°,平面4BCD與平面4BE尸互

相垂直，BF=2,AF=4.

⑴求證：BFLAC.

(2)若二面角C-AF-B為段，求多面體4BCDEF的體積.

【變式3-1】4.(2023?陜西西安?西安市第三十八中學校考模擬預測)如圖，在三棱柱

ABC-A'B'C'^,中，ABLBC,AB=BC=BB'=2,在平面4BC上的射影為4B的中點.

⑴證明：BCICC.

（2）求多面體440C。的體積.

【變式3-1】5.（2022秋?廣西桂林?高三校考階段練習）如圖所示的多面體中，四邊形4BCD

是矩形，AB=4,^EAD,AFBC者B是邊長為2的正三角形，EF=2

⑴證明：EF〃平面4BCD;

（2）求這個多面體的體積匕

題型4體積比問題

【例題4】（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測）如圖，四邊形4CC遇1與四

邊形BCCiBi是全等的矩形，AB=&AC=爭⑶，若P是A41的中點

⑴求證：平面PBiQl平面PBiC;

（2）如果AC=1,求三棱錐&-&CiP與多面體4BCPB1的體積比值.

【變式4-1】1.（2024?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD是正

方形，PD1平面4BCD,PD=4D=2,E是棱PC上的動點（不與P,C重合），PD交平面4BE于

點F.

⑴求證：CD||平面4BE;

(2)求證：平面P4D1平面ABE;

(3)若E是PC的中點，平面力BE將四棱錐P-4BCD分成五面體P4BEF和

五面體4BEFDC,記它們的體積分別為匕,匕，直接寫出匕吃的值.

【變式4-1】2.(2023?陜西西安?西安市大明宮中學校考模擬預測)如圖，在長方體

4BCD—力IBICIDI中，AB=2BC=2,AAr=4,P為棱4B的中點.

AG

APB

⑴證明：平面PC/1平面PDDi；

(2)畫出平面。iPC與平面占4DD1的交線，并說明理由；

⑶求過小,P,C三點的平面a將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比.

【變式4-1】3.(2023?浙江?統考二模)如圖，在正四棱臺力BCD—4夕。。中，=24

點P為棱C。上一點.

(1)記棱錐P—BCD,棱臺ABCD—的體積分別為七,72,當PC=P。時，求臺；

(2)若正四棱臺的側棱與底面所成角為或當平面4BD1平面PBD時，求直線與平面PBC

所成角的正弦值.

題型5體積中的動點問題

【例題5】(2023?河南?校聯考模擬預測)如圖，已知三棱柱4BC-4/1的中，AB=AC

=2,必力==&C=2近，Z54C=90°,E是BC的中點，F是線段4的上一點.

.Fg

⑴求證：ABLEF;

(2)設P是棱4公上的動點(不包括邊界)，當APBC的面積最小時，求棱錐P-ABC的體積.

【變式5-1]1.(2023秋湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習)如圖，在三棱錐P-ABC

中，側棱P41底面ABC,S.PA=AC,ACA.BC,過棱PC的中點E,作EF1PB交PB于點F,

連接4E/F.

(1)證明：。81平面4￡77；

(2)若PA=2,三棱錐P-4EF的體積是半，求直線PC與平面4EF所成角的大小.

【變式5-1】2.(2023秋?江蘇泰州?高三泰州中學校考階段練習)如圖，圓錐SO,S為頂

點，。是底面的圓心，4E為底面直徑，AE=AS,圓錐高S。=6點P在高SO上，△4BC是

圓錐SO底面的內接正三角形.

(1)若「。=述，證明:P41平面PBC

(2)點P在高SO上的動點，當PE和平面PBC所成角的正弦值最大時，求三棱錐P-4BC的

體積.

【變式5-1]3.(2024?全國?高三專題練習)已知面積為2g的菱形ABCD如圖①所示，其

中4C=2,E是線段AD的中點.現將△ZMC沿AC折起，使得點D到達點S的位置.

圖①圖②

(1)若二面角S-AC-B的平面角大小為手，求三棱錐S-4BC的體積；

(2)若二面角S-AC-B的平面角ae,削，點F在三棱錐的表面運動，且始終保持EF1

AC,求點F的軌跡長度的取值范圍.

【變式5-1]4.(2023?江蘇蘇州?校聯考三模)如圖，在三棱錐P-4BC中，△4BC是邊長

為6回的等邊三角形，且PA=PB=PC=6,PD1平面4BC,垂足為1平面P4B,垂

足為E,連接PE并延長交4B于點G.

(1)求二面角P-AB-C的余弦值；

(2)在平面P4C內找一點F,使得EF,平面P4C,說明作法及理由，并求四面體PDEF的體積.

【變式5-1】5.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測)如圖，在四棱錐P-

4BCD中，平面P4D1平面4BCD,PA=PD,底面力BCD是邊長為2的正方形，點E在棱PC

±,CE=2PE.

⑴證明：平面BDE1平面4BCD;

(2)當直線DE與平面PBD所成角最大時，求四棱錐P-4BCD的體積.

題型6體積中的最值取值范圍

【例題6](2023秋?四川成都?高三成都七中校考開學考試)已知矩形ABCD中，AB=2,

BC=2V3,M,N分別為AD,BC中點，。為對角線AC,BD交點，如圖1所示.現將

△。48和4。。。剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿MN將△40。,4BOC折疊，

并使OA與OB重合，OC與OD重合，連接MN,得到由平面OAM,OBN,ODM,OCN

圍成的無蓋幾何體，如圖2所示.

圖1圖2

(1)求證：1\/)1\1，平面4。。;

(2)求此多面體體積V的最大值.

【變式6-1】1.(2023?全國?高三專題練習)如圖(1),在△ABC中,AB=BC=2,UBC

=90。，E、F、”分別為邊4B、4C、BC的中點，以EF為折痕把aAEF折起，使點4到達點P

(1)設平面PBE與平面PF”的交線為2,求證：11平面PEF;

(2)在棱PF上是否存在點N,使得BN與平面PEF所成角的正弦值為等？若存在，求PN的長;

若不存在，請說明理由.

【變式6-1】2.(2023春?江西南昌?高三南昌市八一中學校考階段練習)如圖1,在邊長為

4的菱形4BCD中，=60。，點分別是邊B&CD的中點ACfyBD=O1(ACCyMN=

G.沿MN將△CMN翻折到△PMN的位置，連接P4,PB,PD,得到如圖2所示的五棱錐P-

ABMND.

P(Q

DN

A~GY

(1)在翻折過程中是否總有平面PBD1平面P4G?證明你的結論；

(2)在翻折過程中當四棱錐P-MNDB的體積最大時，求此時點力到平面PDB的距離；

(3)在(2)的條件下，求二面角的平面角8—PM—N的余弦值.

【變式6-1】3.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在斜三棱柱4BC-4止1的中，E為B?

的中點，M為力B上靠近A的三等分點，N為&B1上靠近名的三等分點.

(1)證明：平面4]MC〃平面BEN.

(2)若CM1平面ABB遇1,BELAB1,CC1與平面488遇1的距離為久，ArC=8,ABX=12,

三棱錐&-4cM的體積為y,試寫出y關于x的函數關系式.

(3)在(2)的條件下，當久為多少時，三棱錐公-ACM的體積取得最大值？并求出最大值.

【變式6-1]4,(2023春?四川雅安?高三雅安中學校聯考階段練習汝口圖，在四棱錐P-ABCD

中，底面ABCD為矩形，AD1BP,APLBD,E為棱AB上任意一點(不包括端點)，F為

棱PD上任意一點(不包括端點)，團！=黑.

p

⑴證明：異面直線CE與AP所成角為定值.

（2）已知4B=AP=1,BC=2,當三棱錐C-BEF的體積取得最大值時，平面CEF與PA交

于點N,求EN的長.

【變式6-1】5.（2023遼寧遼陽統考二模）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD為矩

形，力D1BP,4P1為棱力B上任意一點（不包括端點），F為棱PD上任意一點（不包括

xUu而j八I—、、\），匚且zj/布E一而DF.

（1）證明：異面直線CE與4P所成角為定值.

（2）已知48=AP=1,BC=2,當三棱錐C-BE屈勺體積取得最大值時，求PC與平面CEF所成

角的正弦值.

【變式6-1】6.（2023?全國?高三專題練習）在△4BC中，乙4cB=45。，BC=3,過點A

作4。1BC,交線段BC于點D（如圖1）,沿AD將△4BD折起，使ABDC=90。（如圖2）

點E,M分別為棱BC,AC的中點.

⑴求證：CDLME;

(2)求三棱錐力-BCD的體積最大值.

題型7向量法求體積

【例題7】(2023秋?河北邯鄲?高三統考階段練習)如圖，幾何體由四棱錐B-4EFC和三棱

臺EFG—4CD組合而成，四邊形4BCD為梯形，AD//BCS.AD=2BC,ADLCD,CD=2

FG,DG1平面4BCD,DA=DC=2,平面EBC與平面4BCD的夾角為45°.

⑴求證：平面BCE1平面CDGF;

(2)求三棱臺EFG-4CD的體積

【變式7-1】1.(2023?廣西統考一模)如圖，三棱錐A-BCD中,AB,平面BCD,BC1

CD,AB=CD=V3,BC=2,E為AC的中點，F為AD的中點.

⑴證明：平面BEF,平面ABC；

(2)求多面體BCDFE的體積.

【變式7-1】2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?統考二模)如圖，四棱錐P—4BCD中，PD1平面

ABCD,AB1AD,AB\\DC,DC=AD=PD=1,AB=2,E為線段PA上一點，點F在邊力B

上且CF1BD.

(1)若E為PA的中點，求四面體BCEP的體積；

(2)在線段P4上是否存在點E,使得EF與平面PFC所成角的余弦值是弓？若存在，求出AE的

長；若不存在，請說明理由.

【變式7-1】3.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在三棱柱ABC—&B1C1中，AC,平面

AA^B^B,^ABBr=f,AB=1,AC=AAr=2,D為棱BBi的中點.

⑴求證：4D1平面4道道；

(2)若E為棱BC的中點，求三棱錐E-AG。的體積.

【變式7-1】4.(2023春?重慶?高三重慶市萬州第二高級中學統考階段練習)如圖，EA1

平面ABCD,EA||FC,AC=EA=2FC=2,四邊形ABCD為菱形.

⑴證明:凡41平面EBD;

（2）若直線AB與平面EBD所成角的正弦值為求三棱錐E-BDF的體積.

【變式7-1]5.（2022?全國?高三專題練習）如圖1,平面圖形PABCD由直角梯形ABCD

和RtZXPAD拼接而成，其中48=BC=1,BC||AD^ABLAD,PA=PD=立,PALPD,

PC與AD相交于。，現沿著AD折成四棱錐P—4BCD（如圖2）.

⑴當四棱錐P-4BCD的體積最大時，求點B到平面PCD的距離;

（2）在（1）的條件下，線段PD上是否存在一點Q,使得二面角Q—2C—。的余弦值為爭

若存在，求出器的值；若不存在，請說明理由.

題型8外接球問題

【例題8】（2023?全國?高三專題練習）如圖（1）所示，在△4BC中，AB=4V3,BC=2

V3,NB=60。，DE垂直平分48.現將△4DE沿DE折起，使得二面角4—DE—B大小為60。,

得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點力記作點P）

圖(1)圖(2)

（1）求點D到面PEC的距離;

（2）求四棱錐P-BCED外接球的體積;

(3)點Q為一動點，滿足而=4無(0<4<1),當直線BQ與平面PEC所成角最大時，試確定

點Q的位置.

【變式8-1】1.(2023?遼寧?遼寧實驗中學校考模擬預測)如圖(1),六邊形力BCDEF是由

等腰梯形ADEF和直角梯形4BCD拼接而成，且NB4D=乙4DC=90°,AB=AF=EF=ED

=2.AD=CD=4,沿4D進行翻折，得到的圖形如圖(2)所示，且乙4EC=90°.

圖⑴圖⑵

(1)求二面角C—4E-。的余弦值；

(2)求四棱錐C-4DEF外接球的體積.

【變式8-1】2.(2023?全國?高三專題練習)如圖，正四棱錐S-4BCD中，S”是這個正四

棱錐的高，SM是斜高，且S”=2,SM=2V2.

(1)求這個四棱錐的全面積；

(2)分別求出該幾何體外接球與內切球的半徑.

【變式8-1】3.(2021?全國?高三專題練習)(1)如圖，平面四邊形4BCD中，AB=AD=

CD=1,5D=V2,BD1CD,將其沿對角線BD折成四面體4-BCD,使平面4BD1平面

BCD,若四面體A-BCD的頂點在同一個球面上，求該球的表面積.

B

(2)已知矢巨形4BCD,AB=1,AD=42,E為4D的中點，現分另U沿BE,CE'^AABE,ADCE

翻折，使點4。重合，記為點P,求幾何體P-BCE的外接球表面積.

【變式8-1】4.(2022?湖南岳陽岳陽一中校考一模)如圖，在四棱錐P—4BCD中，平面

PBC1平面4BCD,Z.PBC=90°,AD//BC,4ABe=90°,CD=丘AB=五AD=V2.

⑴求證：CD1平面PBD;

(2)若三棱錐4-PBD的外接球表面積為16町求三棱錐B-PCD的體積與三棱錐B-PCD的

外接球的體積的比值.

【變式8-1]5.(2022?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習)如圖所示，直三棱柱ABC-

&B1C1的所有棱長均相等，點D為BiC的中點，點E為&Ci的中點.

Ci

(1)求證：DEII平面441B1B；

(2)若三棱錐B-CDE的體積為噂，求該三棱柱的外接球表面積.

O

1.（2022?四J11成都?雙流中學校考模擬預測）衢州市某公園供市民休息的石凳是阿基米德

多面體，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的二十四等邊體（各棱長都相

等），已知正方體的棱長為30cm.

H

（1）證明：平面4BE〃平面GNK；

（2）求石凳所對應幾何體的體積.

2..（2023?河南開封?統考模擬預測）在三棱臺DEF—4BC中，M,N分別是AC,CF的中點,

ABA.BC,CF_L平面ABC,S.AB=BC=CF=2,EF=1.

DF

/1X/

⑴求證：CDLBN;

（2）求三棱錐。-BMN的體積.

3.（2023?天津西青?天津市西青區楊柳青第一中學校考模擬預測）如圖所示的幾何體中，

四邊形4BCD為平行四邊形，ZXCD=90°,AB=1,AD=2,四邊形力BEF為正方形，平面

4BEF1平面ABCD,P為DF的中點，AN1CF,垂足為N.

⑴求證：AN1平面CDF;

(2)求異面直線BF與PC所成角的正切值；

(3)求三棱錐B-CEF的體積.

4.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測)在圖1中，四邊形ABCD為梯形,

AD//BC,AABC=f,/.BCD=f,AD=CD=2,過點A作AE14B,交BC于E.現沿

AE將AABE折起，使得BC1DE,得到如圖2所示的四棱錐B—4ECD,在圖2中解答下列

兩問:

⑴求四棱錐B-4ECD的體積;

(2)若F在側棱BC上，BF=|BC,求二面角C—EF—D的大小.

5.(2023?陜西寶雞?校考一模)如圖，在矩形4BCD中，BC=2,E,F分別為4B,CD的中

點，且沿4F,BF分別將△力FD與△BFC折起來，使其頂點C與。重合于點P,若所得三棱錐

P~4BF的頂點P在底面力BF內的射影。恰為EF的中點

p

(1)求三棱錐P—4BF的體積；

(2)求折起前的△BCF與側面BPF所成二面角的大小.

6.(2022?安徽安慶?安慶一中校考三模)如圖，。是圓錐底面圓的圓心，4B是圓。的直徑,

△P4B為直角三角形，C是底面圓周上異于4B的任一點，D是線段4C的中點，E為母線24

上的一點，且PE=2E4

P

(1)證明：平面POD1平面P4C；

(2)若4c=2V3,SC=2,求三棱錐P-ODE的體積

7.(2023?四川綿陽?綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測)如圖，在四棱錐P-4BCD中,

PD=PB,底面4BCD是邊長為2的菱形.

⑴證明：平面PAC1平面4BCD;

(2)若PD1AB,PA1PC,S.^BAD=f,求四棱錐P-4BCD的體積

8.(2023?貴州黔東南?凱里一中校考模擬預測)如圖，在三棱柱ABC-&B?中，AB=

BC,AB^=BC

B

⑴證明：ACJ.B?

(2)若AB=BBi=2,ABi=V6,乙4BC=120。，點E為A&的中點,求三棱錐C-B&E的

體積.

9.(2023?陜西西安?陜西師大附中校考模擬預測)如圖所示，已知三棱臺4BC-4$1的中,

AB^-LCB］工BBi,Z-ABB1=Z-CBB1=60°,AB1BC,BB〔=1.

(1)求二面角力-BiB-C的余弦值；

(2)設E,F分別是棱ACMiCi的中點，若EF1平面4BC,求棱臺4BC—公8道1的體積.

參考公式：臺體的體積公式為U臺體=[(S上+Js上S下+S下)上

10.(2023?四川?成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模)在四棱錐P-4BCD中，△

BCD為等邊三角形，/.DAB=120°,4。==PD=PB=2,點E為PC的中點.

p

⑴證明：BE〃平面PAD;

（2）已知平面PBD，平面4BCD,求三棱錐P-力BE的體積.

11.（2023?四川內江統考三模）在