重難點專題22解三角形大題十四大題型匯總

題型1正余弦定理的應用.............................................................1

題型2余弦定理求最值與取值范圍....................................................2

題型3正弦定理求最值與取值范圍....................................................4

題型4不對稱結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問題...............................................5

題型5三角形中線問題...............................................................7

題型6三角形角平分線問題...........................................................8

題型7三角形高線垂線問題..........................................................10

題型8普通多三角形問題............................................................12

題型9四邊形問題..................................................................13

題型10面積最值取值范圍問題......................................................15

題型11與三角函數(shù)結(jié)合.............................................................16

題型12三角形個數(shù)問題.............................................................18

題型13證明問題....................................................................19

題型14實際應用題.................................................................21

題型1正余弦定理的應用

、1,封:

鄧F塾重點

1.若式子含有a,b,c的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊"

2.面積和a,b,c2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理

【例題1】(2022秋?新疆伊犁?高三校考階段練習)已知a、b、c分別為△4BC三個內(nèi)角4

B、C的對邊，acosc+V3asinC-b-c=0.

⑴求A；

(2)若a=2,△力BC的面積為百，求b、c.

【變式1-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知在△4BC中，角A5C的對邊分別為a,b,c,

向量方=(sin71,sinB),n=(cosB,cosX),m-n=sin2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin4sinC,sinB成等差數(shù)列，且85,(左—而)=18,求c.

【變式1-112.(2023秋?上海嘉定?高三上海市育才中學校考階段練習)在△ABC中，內(nèi)

角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b=魚，內(nèi)角A,B,C滿足sinAsinB:sinC=2:1:

V2.

⑴求a的值；

(2)求sin(2C")的值.

【變式1-1】3.(2023秋?廣東揭陽?高三普寧市第二中學校考階段練習)在△ABC中，設

A,B,C所對的邊分別為a,b,C,且滿足bcosA-acosB=a+c.

⑴求角B；

(2)若6=5,△ABC的內(nèi)切圓半徑r=乎，求△ABC的面積.

【變式1-1]4.(2023秋?湖北武漢?高三武漢市第六中學校聯(lián)考階段練習)設△4BC的內(nèi)

角4B,C所對的邊分別為a,6,c,且2acosB=2c-b.

(1)求角4

(2)若a=7,且aABC的內(nèi)切圓半徑r=g,求△4BC的面積S.

【變式1-1】5.(2021秋?北京?高三景山學校校考期中)在△力BC中，內(nèi)角4B,C所對的邊

分別為a,瓦c,若(6+c—a)(sin/l+sinB—sinC)=csinA曰b=2.

⑴求角B的大小；

(2)在①成等差數(shù)列，②她c成等差數(shù)列，③a?爐,c2成等差數(shù)列，這三個條件中任

選一個作為已知條件，求△ABC的面積S.(如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計

分)

題型2余弦定理求最值與取值范圍

【例題2】(2023秋?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開學考試)已知a,b,c為△4BC的三個內(nèi)

角A,BzC的對邊，且滿足：ctcosB+y/3cis\r\B—b—c=0

(1)求角4

(2)若△ABC的外接圓半徑為竽，求△4BC的周長的最大值.

【變式2-1】1.(2024?陜西寶雞?校考一模)在△ABC中，角力，B,C的對邊分別為％b,

c,已知2acosA-cosB+bcos2A=V3c—b.

⑴求角A;

(2)若△ABC的面積為1,求a的最小值.

【變式2-1】2.(2023秋?河北?高三校聯(lián)考期末)在△ABC中，角4B、C所對的邊長分

別為a、b、c,且2aCOSC-V^bCOSC=VicCOSB.

⑴求C的值.

(2)若△ABC的面積為1,求△4BC的周長的最小值.

【變式2-1】3.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第一二二中學校校考開學考試)在

△4BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,若(2a—b)cosC=ccosB,求

⑴求角C；

(2)若c=2,求△ABC的面積的最大值.

【變式2-1】4.(2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考三模)在△4BC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別是

a,b,c.已知tanB+tanC=某出

⑴求角B；

(2)若△ABC是鈍角三角形，且&=。+2,求邊c的取值范圍.

題型3正弦定理求最值與取值范圍

采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通

常采用這種方法；

【例題3】(2023秋?河南洛陽?高三洛寧縣第一高級中學校考階段練習)在△4BC中，內(nèi)角

45C所對的邊分別是a,6,c且sir^B+sin2c—sin2X=sinBsinC.

⑴求角A;

(2)若。=48，求△ABC周長的范圍.

【變式3-1]1.(2023秋?山西運城?高三統(tǒng)考階段練習)在①b2+c2-a2=竽acsinB;

②si/B+sin2C-sin2^=sinBsinC這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.

在△2BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,.

⑴求角A;

(2)若a=4VI,求△ABC周長的范圍.

【變式3-1】2.(2023?全國?高三專題練習)在銳角△A8C中，角AB,C的對邊分別為a,

b,c,已知a=且cosC+(cosB—V^sinB)cos4=0.

(1)求角A的大小;

(2)若b=2?，求△4BC的面積;

(3)求b+c的取值范圍.

【變式3-1】3.(2023秋?廣東?高三統(tǒng)考階段練習)在△力BC中，角A,B,C所對的邊分

別為a,b,c,tanc=吟哈.

'，，COS力+cos8

(1)求角C的大小;

(2)若△ABC是銳角三角形，且其面積為四，求邊c的取值范圍.

【變式3-1】4.(2023秋?云南昆明?高三云南省昆明市第十中學校考開學考試)AABC的

內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,已知ccosA—acosB+c=0

⑴求A;

(2)若a=6,求△ABC周長的取值范圍.

【變式3-1】5.(2024秋?山東臨沂?高三校聯(lián)考開學考試)記△4BC的內(nèi)角A,B,C的對

邊分別為a,b,c,sinX=V2sinc.

⑴若8=以求taru；

(2)求C的最大值.

【變式3-1】6.(2023秋?浙江?高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試)在△ABC中，角4、

B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足asinCCOSB+6sinacosC=§a.

(1)求角A;

⑵若△ABC為銳角三角形，求4si『B-4sinBsinC的取值范圍.

題型4不對稱結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問題

、、1科:

寸!F塾重點

巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

【例題4】(2022-全國?高三專題練習)在①2sinZ-sinB=2sinCcosB,②(a+c)

(sinX—sinC)=sinB(a—fa),③S4ABC—5c(asinA+bsinB—csinC)這三個條件中任選—

補充到下面的問題中并作答.

問題：在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且__.

⑴求角C;

(2)若c=2,求2a—b的取值范圍.

【變式4-1]1.(2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽市第一二。中學校考階段練習)在△2BC中,

a,瓦c分別是角4B,C所對的邊，已知a=l,m=(1,-V3),n=(sin4cos4)，且而1匯

(1)若△ABC的面積為手，求b+c的值；

(2)求c-2b的取值范圍.

【變式4-1】2.（2023秋?廣東深圳?高三深圳市建文外國語學校校考階段練習）已知△ABC

的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且*zc?cosB=爐一（a一c）2.

⑴求cosB的值；

（2）求福的最小值?

【變式4-1】3.（2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學校考階段練習）已知△ABC

內(nèi)角A,B,C的對邊為a,b,c,且c=2（a—bcosC）.

⑴求角B的大小;

（2）若△ABC為銳角三角形，求管的取值范圍.

【變式4-1】4.（2023秋?河北保定?高三校聯(lián)考開學考試）在△4BC中，角4,B,C的對

邊分別為a,b,c,若生=若當.

⑴求角4的大小；

（2）若D為BC上一點,^BAD=^CAD,AD=3,求4b+c的最小值.

【變式4-1】5.（2023秋?河北秦皇島?高三校聯(lián)考開學考試）記△4BC的內(nèi)角4B,C的對邊

分別為a,6,c,面積為S,已知房=竽+abcosC.

⑴求4的值；

（2）若BC邊上的中線|力。|=1,求△4BC周長的最小值.

【變式4-1】6.（2023秋?山東青島?高三山東省青島第五十八中學校考開學考試）在aaBC

中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量p=（2b,2c-d）,1=（l,cos2）,且萬〃于,

b=3.

⑴求B的大小;

（2）求治的最大值.

【變式4-1]7.（2023秋?貴州貴陽?高三貴陽一中校考開學考試）已知△ABC的內(nèi)角人B、

C所對邊分別為%b、C,sinB?Sine=sin24—sin2c.

(1)若求cosC;

(2)求cos4+sinC的最大值.

題型5三角形中線問題

邊分別為&b、c,震=/.

⑴求4的大小;

(2)若a=V7,c=3,。為BC的中點，求4D

【變式5-1】1.(2023秋?安徽?高三宿城一中校聯(lián)考階段練習)在△ABC中，內(nèi)角A,B,

C所對邊的長分別為a,b,c,且滿足a+c=b(V^sin4+cosA>

⑴求B;

(2)若6=3,且△4BC的面積為g,BD是△ABC的中線，求BD的長.

【變式5-1】2.(2023秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習)在△48C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別

為a,b,c,且sin(C—4)=2(1—cosC)siri4.

(1)證明：5=2;

(2)點。是線段力B的中點且8=痣4。=2,求△4BC的周長.

【變式5-1】3.(2023秋?貴州貴陽?高三統(tǒng)考開學考試)在銳角△ABC中，角4B、C所

對的邊分別為a、b、c.

①2aCOSB+6—2c=。；②鬻+(=磊；③tan8=^^?

在以上三個條件中選擇一個，并作答.

⑴求角4；

(2)已知△ABC的面積為且4D是BC邊上的中線，求力。的最小值.

【變式5-1】4.(2023秋廣東揭陽?高三校考階段練習)在aABC中，記角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c,acosC+V3asinC—b—2c=0.

⑴求角A;

(2)若熬號,AD為BC邊上的中線，求tan/BAD.

題型6三角形角平分線問題

T，■!、:-r劃.#?<、5、、

角平分線

如圖，在AABC中，AD平分BAC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c

技巧1：內(nèi)角平分線定理：箓=募唬=需

技巧2:等面積法

SA/BC=S、ABD+xABxACxsinA=|xABxADxsin^-+^xABxADxsin^,

技巧3:邊與面積的比值：第=/

技巧4:角互補：

Z-ABD+Z-ADC=7r=c°s乙48。+cosZ-ADC=0,

在“BD中，3明=叫要丁

【例題6】(2022秋?內(nèi)蒙古赤峰?高三赤峰二中校考階段練習)在SBC中，內(nèi)角45C所對

的邊分別為a,瓦c,已知asin竽=6sin4

⑴求角B；

(2)若6=6,。為4C邊上一點，8。為角B的平分線，且BD=4,求△ABC的面積.

【變式6-1]1.(2023?河北唐山?模擬預測)在△&8C中，AB=3,AC=2刀為BC邊上一點,

且4。平分NBHC.

⑴若BC=3,求CD與皿

(2)若NADC=60。，設=求tan?.

【變式6-1】2.(2023秋?江蘇淮安?高三統(tǒng)考開學考試)在△力8C中，角A,B,C的對邊

分別為a,b,c,D為邊BC上一點，AD=2.

(1)若△ABC的面積S=2,乙4DB=￡,求a；

(2)若D為NBAC的角平分線與邊BC的交點，C=2,C=￡,求a.

【變式6-1]3.(2023秋浙江紹興?高三浙江省上虞中學校考開學考試)在△48C中，已

知內(nèi)角4B,C所對的邊分別是a,b,c,且震與=等.

⑴求角C；

(2)若b=2,角C的平分線=求△ABC的面積.

【變式6-1]4.(2023?福建寧德?福建省寧德第一中學校考一模)在①c=12;②asinB=

6cosQ4-點這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上，并給出解答.

問題：已知她吩別為△4BC內(nèi)角4,B,C的對邊，。是4c邊的中點a=BD=4V7,且.

⑴求b的值;

(2)若NB4C的平分線交BC于點E,求線段AE的長.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

題型7三角形高線垂線問題

【例題7】(2023秋?山東泰安?高三統(tǒng)考階段練習)△4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,

已知4=135。/=2,c=V2.

⑴求sinC的值；

(2)若D是上一點，AC1AD,求△力BD的面積.

【變式7-1】1.(2023秋?北京?高三北京市陳經(jīng)綸中學校考開學考試)如圖，在△4BC中,

(1)求BC的長；

(2)設。為BC邊上一點，S.AD1AC,求的面積；

(3)求sin(B+2C)的值.

【變式7-1】2.(2023秋?安徽?高三安徽省宿松中學校聯(lián)考開學考試)如圖，在AABC中,

角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,滿足(a+b)(sin4-sinB)=C

(sinB+sinC).

(1)^<sinC;

(2)點D在BC上，ADIAC,AD=*,,求AB.

【變式7-1]3.(2023秋?遼寧?高三東北育才學校校聯(lián)考開學考試)已知H為銳角△ABC

的垂心，4D,BE,CF為三角形的三條高線，目滿足9”。-HE-HF=HA-HB-HC.

(1)求cosdcosBcosC的值.

(2)求cosNC力B-cosNCBA的取值范圍.

【變式7-1】4.(2024秋?安徽?高三合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試)AABC中，角4B,C

的對邊分別為a,瓦c,2sin2B+2sin2c+2sinBsinC+cos[2(B+C)]=1,〃的平分線交BC邊于

D,過。作DE14C,垂足為點E.

(1)求角A的大小；

(2)若b=2,c=4,求AE的長.

【變式7-1】5.(2023?全國?高三專題練習)△ABC中，角4B,C的對邊分別是a,hc,且滿足

asin(5+C)=(b—c)sinB+csinC.

⑴求4

(2)若。在BC上，a=2,S.AD1BC,求力。的最大值.

題型8普通多三角形問題

【例題8】(2023?全國河南省實驗中學校考模擬預測)記△4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為

a,b,c,已知c=2aCOS4cOSB-bCOS2A(A<B).

⑴求4；

(2)若。是BC上的一點，目BD:DC=1:2,AD=2,求a的最小值.

【變式8-1】1.(2023秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,(:對

應的三條邊分別為a,b,c,且有：篝一cosC+藐=0.

⑴求角B的大小;

(2)設力C=9,若點M是邊4C上一點，且力M=TMC,AM=MB,求aABM的面積.

【變式8-1】2.(2023?河南駐馬店統(tǒng)考模擬預測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別

是a,b,c,且5cos2B-14cosB=7.

⑴求sinB的值；

(2)若a=5,c=2,D是線段AC上的一點，求BD的最小值.

【變式8-1】3.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預測)在△2BC中,角A,B,C的對邊分別為a,

b,C,且b(6—acosC)=csinA.

(1)求勺

(2)點D在線段AC上，且AD=/C,若△4BD的面積為乎，b+c=6,求BD的長.

【變式8-1】4.(2024秋?江西?高三校聯(lián)考階段練習)在△ABC中，A+B=11C,AB=顯

一V2.

(1)若cos4=t，求BC的長；

(2)若4=2C,。為48延長線上一點，E為AC邊上一點，且4E=舊，DE=用,求A80E的

面積.

【變式8-1】5.(2023秋?湖南株洲?高三株洲二中校考開學考試)在△4BC中,角4,B,C

的對邊分別為a,b,c,且譚/=￡?

⑴求角8的大小；

(2)若點。為邊BC的中點，點E,F分別在邊4B,4c上，Z.EDF=f,b=c=4設4BDE=%

△DEF的面積為S,求S的取值范圍.

題型9四邊形問題

*卜電重點

四邊形，一般適當?shù)倪B接對角線，分解為有公共邊倆三角形.如果是有外接圓，則要充分運

用對角互補這個隱形條件

?Z\AA/X/VWXAAA/SA/\AAAA/WWW\A/W\AA/VWW\A^/WWXAA/WXAA/V\A/W\AA/WWWWXA/WXAAA/SA^AAAAA/\/WW\A/WWWWW\A^/X/WWSAA

【例題9】（2023秋海南省直轄縣級單位高三校考開學考試）如圖，已知平面四邊形A8CD

存在外接圓（即對角互補），且48=5,BC=2,cos乙WC=g.

⑴求△ABC的面積；

（2）若DC=D4,求△ADC的周長.

【變式9-1】1.（2023?山西呂梁統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形A8C。中，乙4=135。,

AB=2,N4BD的平分線交2D于點星且BE=2五.

（2）若NBCD=60°,求△BCD周長的最大值.

【變式9-1J2.（2022秋?廣東惠州?高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面四邊形2BCD中，乙4cB

=^ADC=90°,AC=2V3,NB4c=30。.

B

⑴若6=療求BD;

(2)若4CBD=30°,求tan/BDC.

【變式9-1】3.(2023秋?湖南永州?高三校聯(lián)考開學考試)如圖，△ABC的內(nèi)角4、B、C

的對邊分別為a、b、c,△ABC外一點D(。與△力BC在同一平面內(nèi))滿足NB4C=ND4C,

AB=CD=2,sinzXCF+cos^ACB=叵*

⑴求B；

(2)若△ABC的面積為2,求線段的長.

【變式9-1]4.(2023秋河北?高三校聯(lián)考階段練習)如圖，△BCD為等腰三角形，BC=

g,點A,E在ABCD外，S.DE=4,乙BCD=LCDE=LBAE=個.

⑴求BE的長度；

(2)求4B+AE的最大值.

題型10面積最值取值范圍問題

【例題10】(2023秋?湖南益陽?高三統(tǒng)考階段練習)已知aABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別

為a,b,c,c=4,且(a—b)sinA+(b+c)sinB=(4+6)sinC.

⑴求cosC;

⑵求△ABC面積的最大值.

【變式10-1】1.(2023秋?上海黃浦?高三格致中學校考開學考試)△ABC的內(nèi)角4、B、C

的對邊分別為a、b、c,已知bCOSC=(2a—c)COSB.

⑴求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=l,求△ABC面積的取值范圍.

【變式10-1]2.(2023秋?河南焦作?高三統(tǒng)考開學考試)如圖，在平面四邊形ABCD中,

⑴求cosNCAD;

(2)若48=竽，求BC.

【變式10-1】3.(2023?河北唐山?遷西縣第一中學校考二模)在銳角△力BC中，內(nèi)角A,

B,C的對邊分別為a,b.c.已知asinB+分os?+寄=0.

⑴求A;

(2)若a=仃，求△ABC面積的最大值.

【變式10-1】4.(2023秋?河北邯鄲?高三統(tǒng)考階段練習)在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對

的邊分別為a,b,c,已知c=2asinC—2ccos4

⑴求sin2A;

(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.

題型11與三角函數(shù)結(jié)合

【例題11】(2023春?海南海口?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=2sin(3x+s)

(3>0,陽<歐的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為或且了(久)的圖象的一個對稱中心為

(冷。)

⑴求f(%)的解析式;

(2)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=f(4),且△ABC

的面積為白求△ABC的周長.

【變式11-1】1.(2023秋?四川眉山?高三校考開學考試)已知向量$=(cos￡,sinx),H=

(cosx,V3cosx),久6R,設函數(shù)f(%)=m-n+1

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊，若f(4)=2,b+c=2s/2,△ABC的

面積為求a的值.

【變式11-1】2.(2023秋?廣東佛山?高三校考階段練習)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所

對的邊分別為a,b,c,f(x)=4cosxsin(%—》的最大值為/(A).

⑴求角4；

(2)若點D在BC上，滿足BC=3DC,且4D=V7,AB=同求角C.

【變式11-1】3.(2024秋?浙江?高三舟山中學校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)f(x)=2sin

(we+w)(3>0,\(p\<哪周期為TC,且圖像經(jīng)過點2).

(1)求函數(shù)了(久)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)在△力BC中，角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,若好停+9+0=26,c=4,

SAABC=3V^,求a的值.

【變式11-1]4.(2023秋?浙江?高三浙江省春暉中學校聯(lián)考階段練習)已知/(“)=sinx

(sinx—V3cosx).

⑴求f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)在△4BC中，角4B,C所對的邊為a,瓦c.若f(4)=5，a=2,求6+2c的取值范圍.

【變式11-1】5.(2023秋?江西?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)/(x)=2sin(3久+9)

⑷＞0,0＜卬＜II)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移5個單位長度,

再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象.

⑴求9(%)的解析式;

(2)在△ABC中，若g(4)=—遮，AB=2,AC=5,求BC.

題型12三角形個數(shù)問題

【例題12](2022秋?山東?高三利津縣高級中學校聯(lián)考階段練習)已知△ABC的內(nèi)角

所對的邊分別為a,b,c,三邊a,b,c與面積S滿足關(guān)系式：4gS-接=?2一=2且

在①6=2g,②6=4,③6=3立這三個條件中任選一個，補充在前面橫線中，求

滿足條件aaBC的個數(shù).注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答得分.

【變式12-1】1.(2022?河南開封?統(tǒng)考三模)已知△ABC中，=60°,zC=45°,AB

=4.

⑴求AC;

（2）若D為BC邊上一點，給出三種數(shù)值方案：①力。=3;②后；③4。=用.判斷

上述三種方案所對應的△ABD的個數(shù)（不需說明理由），并求三種方案中，當△ABD唯一時

BD的長.

【變式12-1】2.（2022?全國?高三專題練習）在△4BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別

為a,b,C,已知acosC+ccosA=V3,a=y[2b,記△ABC的面積為S.

⑴求a；

（2）請從下面的三個條件中任選一個，探究滿足條件的△ABC的個數(shù)，并說明理由.

條件：①S=+c2—爐）,②bcos4+*=c,③bsinA=acos（B—。

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【變式12-1】3.（2023秋?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習）△ABC的內(nèi)角A,B,

C所對邊分別為a,b,C,點0為△ABC的內(nèi)心，記AOBC,AOAC,△。48的面積分別

為Si,S2,S3,已知用+S專一S1S3=Sg,AB=2.

（1）在①acosC+ccosa=1;②4sinBsin力+cos24=1;③+/^=0中選一^T"

作為條件，判斷△ABC是否存在，若存在，求出△ABC的周長，若不存在，說明理由.（注：

如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）

（2）若△4BC為銳角三角形，求△ABC面積的取值范圍.

題型13證明問題

【例題13】（2024秋?福建漳州?高三統(tǒng)考開學考試）已知△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分

別為a,b,c,且asinB=bsin弓二

⑴求A;

（2）若D為邊BC上一點，且BD=gBC,AD=^c,證明：△ABC為直角三角形.

【變式13-111.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測）記△4BC的內(nèi)角4,

B,C的對邊分別為a,b,c,已知aCOSB=cCOSA+aCOSC.

(1)證明：b=aCOSB;

o_

(2)右COSB=4-c=2,求△ABC的面積.

【變式13-1】2.(2023秋訶南周口?高三校聯(lián)考階段練習)在△4BC中，ZSXC=60°,

△4匹的面積為10板，。為BC的中點，原1北于點￡。尸148于點尸.

⑴求△￡?股的面積；

(2)若4。=等，求sin/ABC+sin/ACB的值.

【變式13-1]3.(2023秋?山東?高三沂源縣第一中學校聯(lián)考開學考試)記△ABC的內(nèi)角

4BC的對邊分別為a,b,c,2sinf=sin/+sin(B—C).

⑴證明：cosC=f;

(2)若匕2=ac,求cosB.

【變式13-1】4.(2023秋?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習)在△ABC中，內(nèi)角A,

B,C的對邊分別為a,b,c,且3acosB=2c,c=1.

⑴證明：tan/=2tanB;

⑵若a2+房=c2—等ab,求△4BC的面積.

【變式13-1】5.(2023?四川成都?校聯(lián)考模擬預測)設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別

為a,b,C,且2bsinC=3atan?.

(1)求證：sinB,sin/,sinC是等差數(shù)列;

(2)求tanA的最大值.

【變式13-1】6.(2023秋?江蘇?高三淮陰中學校聯(lián)考開學考試)如圖，在AABC內(nèi)任取一

點P,直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點D、E、F.

dBDABsinz.BAD

(1)試證明：而=4Csin=4C

(2)若P為重心，AD=5,BE=4,CF=3,求△ABC的面積.

題型14實際應用題

【例題14】(2023秋?浙江?高三校聯(lián)考階段練習)天門山，古稱嵩梁山，位于湖南省張家界

市永定區(qū)大庸中路11號，屬武陵山脈向東進入洞庭湖平原的余脈.為了測量天門山的海拔,

某人站在海拔600米的點A處，他讓無人機從點A起飛，垂直向上飛行400米到達點B

處，測得天門山的最高點C處的仰角為45。，他遙控無人機從點B處移動到點D處(BD平

行于地平面),已知B與D之間的距離為518米，從點D處測得天門山的最高點C處的仰

(1)設平面0過BD且平行于地平面，點C到平面。的距離為h米，求BC與CD的長(用h表

示);

(2)已知cos/BCD=察，求天門山的海拔.

4U

【變式14-1]1.(2023秋?山東日照?高三統(tǒng)考開學考試)為美化校園，某學校將一個半圓

形的空地改造為花園.如圖所示，。為圓心，半徑為a(a>0)米，點4,B,P都在半圓弧上,

77

設NN0P=^POA=6,乙40B=20,且0<e(王

7

MON

(1)若在花園內(nèi)鋪設一條參觀線路，由線段M4,AB,BM三部分組成，則當。取何值時，參觀

線路最長？

(2)若在花園內(nèi)的扇形0NP和四邊形。MB4內(nèi)種滿杜鵑花，則當。取何值時，杜鵑花的種植總

面積最大？

【變式14-1]2.(2023春?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習)如圖，某城市有一

條公路從正西方4。通過市中心。后轉(zhuǎn)向東偏北a角方向的0B，位于該市的某大學M與市中心

。的距離0M=3V]3km,且乙4OM=0.現(xiàn)要修筑一條鐵路L,Z在。4上設一站4在。B上

設一站B,鐵路在4B部分為直線段，且經(jīng)過大學M,其中tana=2,cos/3=需，=15km.

AO

⑴求大學M與站4的距離AM;

⑵求鐵路4B段的長4B.

【變式14-1】3.(2023?全國?模擬預測)十字測天儀廣泛應用于歐洲中世紀晚期的航海領

域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位置.如圖1所示，十字測天儀由桿

和橫檔CD構(gòu)成，并且E是CD的中點，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動.十字測天儀的使用

方法如下：如圖2,手持十字測天儀，使得眼睛可以從4點觀察.滑動橫檔CD使得4,C在同

一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線恰好經(jīng)過點，DE的影子恰好是4E.然

后，通過測量&E的長度，可計算出視線和水平面的夾角NC4D(稱為太陽高度角)，最后通

過查閱地圖來確定船員所在的位置.

圖1圖2

(1)在某次測量中，4E=40,橫檔的長度為20,求太陽高度角的正弦值.

(2)在桿4B上有兩點41,42滿足"1=S4.當橫檔CD的中點E位于4時，記太陽高度角為

?i(i=1,2),其中%a?都是銳角.證明：＜2a2.

【變式14-1】4.(2023?廣東汕頭?金山中學校考三模)為測量地形不規(guī)則的一個區(qū)域的徑

長采用間接測量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得

至!U4CB=Z-DCB,N4CD為方屯角，AC=5,AD=7,sm^ADC=半.

⑴求Sin/ACB的值;

(2)若測得=求待測徑長4B.

1.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預測)已知△ABC中內(nèi)角4,B,C所對邊分別為a,b,c,bsin

-By+C-=as.mB「

⑴求乙4；

(2)若BC邊上一點，滿足BD=2CD且4D=V3,求△ABC的面積最大值.

2.(2023?江蘇揚州?儀征中學校考模擬預測)設aaBC的內(nèi)角4B,C所對邊分別為a力,c

111+cos^sinB

(a,hc