第04講：平面向量與解三角形高頻考點突破

【考點梳理】

考點一.向量的有關概念

名稱定義備注

既有大小,又有方向的量;向量的

向量平面向量是自由向量

大小叫做向量的長度(或稱模)

零向量長度為Q的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量。的單位向量為培

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做0與任一向量平行或共線

共線向量

共線向量

相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等,不能比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

考點二.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

不(1)交換律：

a

加法求兩個向量和的運算三角形法則(2)結合律:

(a+3+c

a

平行四邊形法則=a+S+c)

求a與5的相反向量

減法a—b=a+(—b)

-b的和的運算三角加法則

(l)Ra|=W|a|;

(2)當/>0時，癡的方

求實數力與向量a的向與a的方向相同;

數乘(2)(2+〃)a=+4a；

積的運算當k0時，加的方向

(3)2(a+b)=Xa+Xb

與a的方向相反;當

%=0時，4a=0

考點四：.共線向量定理

向量a(aW0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數九使

1.平面向量基本定理

如果ei、e?是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量”，有且只有一對實數平、扇，使a

=4161+4202.

其中，不共線的向量ei、e,叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.

考點五.平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數乘及向量的模

設a=(xi，yi),b=(x2,yi)>則a+q=(xi+x2，yi+y2)，。一/>=(川一yi—丫2)，2a=(&i，%yi),\a\=yjj^+yl.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設A(xi,%),2(尤2,>2),則疝=(必一xi,丫2一yi),|AB|=^/(X2—XI)2+CV2—yi)2.

3.平面向量共線的坐標表示

設a=(xi,yi),b=(X2,y2)>其中&WO.a、b共線Cxu2—.51=0.

【知識拓展】

1.若a與6不共線，Aa+/.ib=O,則4=M=0.

2.設a=(xi,yi),b=(xi,刃)，如果尬片0,"WO，則。〃?"放二葭.

考點六.向量的夾角

已知兩個非零向量a和從作'=a,OB=b,則乙4。8就是向量a與b的夾角,向量夾角的范圍是：[0,n].

考點七：.平面向量的數量積

設兩個非零向量a,b的夾角為9,則數量1ali臼?cos0叫做a與b的數

定義

量積，記作。仍

|a|cos0叫做向量a在b方向上的投影，

投影

\b\cos6叫做向量，在a方向上的投影

幾何意義數量積ab等于a的長度IM與b在a的方向上的投影向cos6的乘積

考點八：.平面向量數量積的性質

設a,方都是非零向量，e是單位向量，。為a與/或e)的夾角.貝U

(l)e?a=a?e=|a|cose.(2)aJ_/<=>°b=O(3)當a與b同向時,a-b—\a\\b\；

當Q與方反向時，。?辦=一|。|步|.特別地,aa=|a|2^\a\=y[a^a.

(4)cos(5)同臼W|a||臼.

4.平面向量數量積滿足的運算律

(l)a-Z?=Z>-a；(2)(/la)3=；l(a協)=”?(勸)(/1為實數)；O)(a+b)c=a-c+b-c.

5.平面向量數量積有關性質的坐標表示

設向量a=Qi，力)，b=(X2,溺，則。仍=*土業，由此得到

(1)若a=(x,y),則Ia|2==+y2或㈤=n彳2+丫2.

(2)設A(xi，yi),8(X2,J2)，則A，B兩點間的距離48=麗|=]^二^產而三？.

_LZ>OxiX2+yiV2=0.

(3)設兩個非零向量a,b,a=(xi，yi),b=(x2,j2)，則a

(4)若a,》都是非零向量，。是。與b的夾角，貝I]cos6=緇=7^詈書

陽。yixi+yiylxi+yi

考點九.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

(2)層=厲+。2-2Z?CCOSA；

內容(l)sinA-sinsinC~^[2=/+〃2-2cacosB；

理=層+卜2-24慶05C

按+。2-42

(3)a=2HsinA,b=2RsinB,c=2HsinC；

⑺cosA—2bc；

/八.4〃.門b.「c

(4)sinA=礪，sinB=赤,sinC=礪；/+〃2一

變形COSB—c;

2ac

(5)a:b:c=sinA:sinB：sinC；

cfi+b2—^

cosC—c

(6)〃sin3=/;sinA,加inC—csinB,tzsinClab7

=csinA

考點十：角形常用面積公式

（1）S=￡〃也（兒表示邊a上的高）；（2）S=；〃加inC—\acsmB—^bcsinA；（3）S=；r（a+b+cXr為三角形內切圓半徑）?

乙乙乙乙乙

【題型梳理】

題型一：平面向量的基本概念

1.（2023春?上海浦東新?高一統考期末）下列說法正確的是（）

A.若M=W，則￡與b的長度相等且方向相同或相反；

B.若卜卜W，且a與6的方向相同，則a=b

C.平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；

D.若a/助，則a與。方向相同或相反

【答案】B

【分析】對于A,利用向量的模的定義即可判斷；對于B,利用向量相等的定義判斷即可；對于C,考慮向量的起

點位置判斷即可；對于D,考慮特殊向量0即可判斷.

【詳解】對于A,由卜卜W只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關系，故A錯誤；

對于B,因為卜卜W，且a與6同向，由兩向量相等的條件，可得a=b,故B正確；

對于C,只有平面上所有單位向量的起點移到同一個點時，其終點才會在同一個圓上，故C錯誤；

對于D,依據規定：。與任意向量平行，故當“=0時，a與b的方向不一定相同或相反，故D錯誤.

故選：B.

2.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）下列說法中正確的是（）

A.若卜卜忖，則a=b或a=—6

B.若3/b，bile，則〃〃c

C.已知點A（l,3）,B（4,-l）,則與向量AS平行的單位向量是1|,-之

D.已知向量a與b的夾角為7，卜|=2,網=&,貝同在a方向上的投影向量是

【答案】D

【分析】根據向量的模、向量共線、平行向量、單位向量、向量的投影向量等知識對選項進行分析，從而確定正確

答案.

【詳解】A選項，當卜卜什時，a與6可能垂直，此時不滿足a=b或a=-b，A選項錯誤.

B選項，a!lbbile，當人為0時，Q,c不一定平行，B選項錯誤.

C選項，A（l,3）,8（4,-1）,則AB=（3,-4）,h@=5,

AB（34>AB（34、

則與向量鉆平行的單位向量是網=[yj,或一網十寸二｝C選項錯誤.

,2x^2xcos—

D選項，b在a方向上的投影向量是怨二=__________生￡=一%D選項正確.

|?||?|222

故選：D

3.（2022春?上海浦東新?高一上海中學東校校考期末）下列結論中，正確的是（）

A.零向量只有大小沒有方向B.\AB\=\BA\

C.對任一向量a,|a|>0總是成立的D.|A8|與線段54的長度不相等

【答案】B

【分析】根據平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案.

【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤;

由于AB與BA方向相反，長度相等，故B正確；

因為零向量的模為0,故C錯誤；

與線段54的長度相等，故D錯誤.

故選：B.

題型二：平面向量的線性運算

4.（2023春?江蘇無錫?高一輔仁高中校考期末）如圖，在ASC中，點。為邊的中點，0為線段AD的中點，連

接CO并延長交A3于點E,設AB=a,AC=6，則CE=（）

1,

B.—a—b

4

137

D.—a----b

34

【答案】C

【分析】設=再根據平面向量基本定理分別表示（7。,CE,進而根據向量共線設CE=〃C。，代入向量可

2=-

得:,進而得到CE.

1〃=3一

【詳解】設AE=；L42,則CE=AE-AC=Xa-6,又

111-I1o1Q

CO=-CA+-CD=——AC+-(AB-AC\=-AB——AC=-a——b,

2224、,4444

設CE=RCO,則4〃_匕=,

；4f；1

X=-Z=—

故42，即3：，

3〃4

—1=----B=—

14r3

41

^CE=-CO=-a-b.

故選：C

5.（2021春?浙江?高一期末）八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八

邊形ABCDEFGH,其中|。4卜1,給出下列結論:

①OA與的夾角為三;

@\OA-Od\=^-\DH\-,

@OD+OF=OE\

④OA在。。上的投影向量為孝e（其中e為與。。同向的單位向量）.

其中正確結論為（）

圖2

C.③D.④

【答案】B

【分析】對四個選項一一判斷：

對于①：直接求出。4與08的夾角；對于②：利用向量的線性運算直接求解；對于③：利用向量加法的三角形

法則直接求解；對于④：由。4在。。上的投影向量與0。方向相反，即可判斷.

，7T7T

【詳解】在圖2中，正八邊形的對角線把周角進行八等分，所以每一份均為?=?.

84

對于①：與的夾角為:.故①錯誤；

對于②：因為0A—0C=C4.

在中，ZAOC=|,|OA|=I,所以|CA|=JOA「+|OC『=彳弄=應.

而=2網=2,所以|04-OC卜乎|。叫正確.故②正確；

對于③：由向量加法的三角形法則得：OO+OP=0OEVOE.故③錯誤；

對于④：由圖知，Q4在。。上的投影向量與。。方向相反.故④錯誤.

故選：B

6.（2022春?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考期末）如圖，在，ABC中，BC=6DC，貝（）

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

66667777

【答案】A

【分析】依題意可得=再根據平面向量線性運算法則計算可得;

6

【詳解】解：因為所以=

O

所以AD=AB+BZ”+

6

=AB+|（AC-AB）

=-AB+-AC.

66

故選：A

題型三：平面向量的基本定理

7.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）如圖，在ABC中，點。，E分別在邊BC和邊AB上，D,E分別為3c和54

的三等分點，點。靠近點8,點E靠近點A,AD交CE于點尸，設BA=b，則8尸=（）

A

B.一+盆

7777

13D.2+勺

C.~a+—b7

7777

【答案】B

【分析】利用R4,8C表示BP，結合平面向量基本定理確定其表達式.

【詳解】設4尸=九位）,EP=juEC,

所以8P=AP-A8=XAD-A8=；l回-網-A8,

又BD=gBC,

所以BP=1BC+（l-/l）8A,

2

因為=

°°。

所以5尸=3￡+石尸=§胡+4石0=§班+〃（30—5石）=§（1一〃）胡+〃3。，

%L3

—=U,A——

所以;3，解得7，

——-A=1-A〃=—

〔33〔7

141.4

所以2P=—BC+—2A=—a+—6,

故選：B.

8.（2023秋?遼寧?高一大連二十四中校聯考期末）如圖，在MC中，BM=^BC,NC=AAC，直線A〃交3N于

點Q,若BQ、BN,則2=（）

【答案】A

ULIUULILIUU4

【分析】由A,M,Q三點共線可得存在實數〃使得膽=〃3河+（1-〃）A4,再由A,N,C三點共線可解得〃=；,利

uum3uuuq

用向量的線性運算化簡可得NC=gAC,即

【詳解】根據圖示可知，AM,。三點共線，由共線定理可知，

LlUUUUUUU

存在實數〃使得=+

umriUUDuum5uum5uum1UUEuir

=-BC,BQ=-BN,所以=yBC+（l-〃）BA,

514

又AN,C三點共線，所以］=2〃+l-〃，解得〃=々，

uum211tm3111ruiruum、9uiruum3uir

即可得3N=《3C+《BA,所以（z3A+A7V）=M（zBA+AC）x+gBA,

9uumuum9ULnttuum3uum

所以AN=《AC,即AC—NC=gAC,可得NC=^AC,

3

又NC/AC,即可得八不

故選：A

JT

9.（2022春?福建福州?圖一校聯考期末）如圖，在ABC中，ZBAC=-,AD=2DB，P為CD上一點、,且滿足

AP=mAC+^AB（meR）,若AC=3,

AB=4,則APCO的值為（）.

13131

A.-3B.C.—D.

121212

【答案】C

【分析】由P、C、。三點共線及AO=2DB，可求，"的值，再用AB、AC作基底表示CD,進而求AP.CZ）即可.

[?]AP=mAC+^AB（m€R）,AD=2DB，

【詳解】

221

AD=-ABS.CD=-CB+-CAf

333

3、

13AP=mAC+—AD（^meR）,

31

又。、尸、。共線，有加十二=1,即加=二,

44

^AP=\AC+\AB,而以:CA+AB,

—.2一一1一一?2一2——?

回3尸如「田產”上

11—9—?—?1—21—.—.1一216913

^\APCD=（-AC+-AB\-AB-AC）=-AB__ABAC――AC=——2--=—.

4233343412

故選：c

題型四：平行向量的垂直和平行問題

10.（2023秋?遼寧錦州?高一統考期末）已知向量a=（2,0）,6=（1,2）,且（a-36）〃（2a+⑹（左eR）,貝1]"+叫為

（）

A.2A/37B.4737C.2761D.4761

【答案】A

【分析】首先求出"36、2a+妨的坐標，再根據向量共線的坐標表示得到方程，求出參數人的值，最后根據向量

模的坐標表示計算可得.

【詳解】因為〃=（2,0）,8=（1,2）,所以〃-35=（-1,一6）,

2"+）」=2（2,0）+）。,2）=（4+匕2左）,

又（a—3Z?）〃（2Q+H?）,所以—1x2左=—6x（4+左），解得左二—6,

所以2a+左人=（-2,—12）,貝”2a+kb^=^（-2）2+（-12）2=2歷.

故選：A

11.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）已知非零向量°,）滿足6=（百」），（。，?=三，若

（a-b^la,則向量〃在向量3方向上的投影向量為（）

11c

A.—bB.—bC.—bD.b

422

【答案】A

【分析】依題意可得（“-8）/=。，根據數量積的定義及運算律求出口，即可求出a/，最后根據而包計算可得.

【詳解】因為—所以（a—/?）."/一〃.》=0,

回@_；卜帆=0,又6=（有,1）,所以卜卜很可1=2,回口=1或忖=。（舍去），

所以=J=1，

a?b17

所以a在6方向上的投影向量為W1W力

故選：A.

12.（2021秋?湖南長沙?高一長沙一中校考期末）已知ABC是腰長為2的等腰直角三角形，。點是斜邊AB的中點，

點P在8上，且C尸=2尸￡），則尸（）

【答案】C

【分析】根據向量的減法及數乘運算表示出尸4尸8,由向量的數量積運算法則化簡轉化為關于cb的表達式，再利

用直角三角形性質求出CO=后即可得解.

【詳解】由題意可知，

->—>—>ff

PA=CA—CP,PB=CB—CP，

-2.2

:.PAPB=(CA-CPXCB-CP)=CACB-(CA+CByCP+CP=0-2CDCP+CP

CP=2PD

:.CP=-CD,

3

由。點是斜邊AB的中點，可知=e

2

2428216

:.PAPB=—2CD—CD+—CD=——CD=——.

3999

故選：C

題型五：平行向量數量積

JT

13.(2023春?江蘇南京?高一南京市中華中學校考期末)如圖，在，ABC中，ZBAC=~,AD=2DB，P為CD上一

IULUU

點，S.^^,AP=mAC+-AB,若|AC|=3，IAB|=4,則APCD的值為()

1313

C.——D.—

1212

【答案】D

9

【分析】建立平面直角坐標系，因為點P在CD上，則AP=2AC+(1-X)AO=2AC+§(1-X)AB,又

AP=mAC+^AB,利用平面向量的基本定理求出加的值，然后利用平面向量數量積的坐標運算可求得CD的

值.

【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系.

uuuJruur3a6

已知|AC|=3，IAE|=4,ZBAC=-,得|。4|=5，|oc|=皆,

A(--|,0),C0,'8(g,。)，

AD=2DB，.〔AD=I"AB=go；

OD=OA+AD=(-,o],CD=f-,--,

.-_2-

因為點尸在CD卜,則AP=AAC+(1—X)AD=AAC+——AB,

5LAP=mAC+^AB,且AB、AC不共線，

可得利=X,且2(1T)J解得根=1.

324

+1（4，。）=1裝19373

88)

7193A/33有13

APCD=—x--------------x-------=一

682812

故選：D.

14.（2023春?江蘇常州,高一常州市第一中學校考期末）已知向量￡與方的夾角為30。，且|。卜石，W=1,設m=a+6,

n=a-b，則向量m在〃方向上的投影向量為（）

A.2nB.nC.島D.g”

【答案】A

【分析】根據投影向量公式求解即可.

【詳解】因為知向量a與匕的夾角為30。，且卜卜否,W=1,a?b=退xlx3,

-2-2

m?nna+b]\a-ba-b

?n=2n

加在〃方向上的投影向量為“”|^-Z?|2a-2a-b+b

故選：A.

15.（2022春?陜西商洛?高一統考期末）已知向量0,b,c滿足同=卜|=2,忖=3,alb,則（。-34?僅-3c）的

最大值為()

A.40-6而B.40+6而C.36-6713D.36+6萬

【答案】D

【分析】根據題意設4(2,0),8(0,3),C(2cos6,2sin。)，即可根據向量運算得出

(a-3c)?伍-3c)=36-6屈sin(6+￡),再根據三角函數范圍得出答案.

【詳解】由題意可設4(2,0),3(0,3),C(2cosO,2sinO),

則a—3。=(2—6cose,-6sin。),Z?-3c=(-6cos^,3-6sin^),

則(a-3c).僅一3c)=(2-6cos6)x(-6cose)+(-6sin6)x(3-6sine),

=36—12cos18sin9,

=36—6屈sin(<9+￡),

2

其中tan分=§,

-l<sin(0+/?)<l,

則(a-3c).僅—3cj<36+6^13,

故選：D.

題型六：平面向量的綜合問題

16.（2023春?四川成都?高一成都外國語學校校考期末）如圖，在△048中，尸為線段A3上的一個動點（不含端點）,

且滿足4P=.

Q）若彳=；，用向量OA，。8表示。尸;

UUU

⑵在（1）的條件下，若|。4|=6,|0fi|=2，且ZAO8=120。，求OPA3的值

31

【答案】⑴。尸=

(2)-29

【分析】（1）以向量。4,0B為基底，根據向量的線性運算，把。尸用向量。4,。2表示;

（2）以向量QA,0B為基底，結合（1）中的結論，求OP.A8的值.

0

【詳解】（］）因為=所以在尸二二二四，

11Q

所以OP=OA+AP=OA+——(OB-OA\=——OA+——OB,

2+1''A+12+1

13-1

當;1=一時，OP=-OA+-OB.

344

31

(2)由(1)可知OP=—QA+—05,

44

所以OP.AB=[；OA+；O81(OB-OA)

3uuriuuruuniuun

二——|OA|2+-OAOB+-\OB\1.

424

LlUU

因為|OA|=6,|081=2，ZAOB=120°,

所以0尸./12=-1^36+；*6義2*[-3]+；*4=-29,

即OPAB的值-29.

(3,2),k(-l,2),2=(4,1).

17.（2022秋?遼寧沈陽?高一沈陽市回民中學校考期末）平面內給定三個向量。=

⑴若伍+砌//（2/-初求實數%;

⑵若“滿足（d-c）〃（a+6）,且卜-c?卜如，求”的坐標.

【答案】（1以=-工

⑵（3,—1）或（5,3）

【分析】（1）易得。+既=（3+4匕2+左）,26-°=（-5,2）,再根據R+砌〃儂,利用共線向量定理求解;

（2）設d=（x,y）,得到d—Z=（x-4,y-l）,“+〃=（2,4）,再根據（d-c）〃（a+6，.一c卜石求解.

【詳解】（1）解：因為a=（3,2）,"（-1,2）,c=（4,l）,

所以4+左。=（3+4左,2+k）,26—々=（-5,2）,

因為（〃+左c）〃（2b-，

所以2x（3+4左）一（一5）x（2+左）=0,

解得左=_；!；

(2)設d=(x,y),

貝|]1一°=(犬一4,,_1),a+0=(2,4),

因為(d-c)〃(a+6),|<7—c|=Vs,

4(x-4)-2(y-l)=0

所以＜

(x-4)2+(y-l)2=5

x=3x=5

解得k-1或

j=3‘

所以4=(3,-1)或d=(5,3).

18.(2022春,上海普陀,高一曹楊二中校考期末)如圖，在Q4B中，|OA|=4,|1=2,尸為AB邊上一點，且BP=2PA.

(1)設。尸=xO4+yO8,求實數x、＞的值；

JT

⑵若〈。4,。3〉=1，求OPA5的值；

3

(3)設點。滿足求證：|H4|=2|尸。|.

4

【答案】⑴尤=奈2》V1

⑵-8

⑶證明見解析.

【分析】⑴根據向量的減法運算和線性表示即可求解；⑵利用數量積的運算律求解；⑵用基底。4OB表示出向量

PAPQ,再用數量積運算律表示出模長，即可得證.

【詳解】(1)因為BP=2序，所以。尸-OB=2(OA-OP),

2121

所以OP=§QA+1O3,所以％=§?=§；

(2)OP-AB=^OA+go"?(OB-OA)=-|(9A2+|(9B2+|oAOB

311

(3)因為OQ=：QA,所以PQ=OQ—。。=F。4一

21

因為OP——OA+—OB,|OA|=4,|OB\=2,

BA=OA-OB,\B^=|OA|2+阿『-2OA-08=20-2OAOB,

1707

所以1PAi2=§|3A|2=T—

1|2151

=—|oAr+-|oB|——OAOB=----OAOB,

閡1449?18918

所以1PAi2=4|PQ匕即1PAi=2|PQ|,得證.

題型七：正余弦定理的基本計算

19.（2023春嚀夏吳忠?高一吳忠中學校考期末）在ASC中，角A,B,C所對的邊分別是，a,b,c,a=2,b=底,

B=2A,貝1|cosA=()

A.BB.走C.逅D.邁

3243

【答案】C

【分析】利用正弦定理可得一a三=一h二，再結合倍角正弦公式即可求解.

sinAsinB

【詳解】由正弦定理得：

ab2y/62A/6.?

------=-........=>—......=---------=>—-----=----------------=>cosA=—.

sinAsinBsinAsin2AsinA2sinAcosA4

故選：c

20.（2022春?吉林長春?高一長春市實驗中學校考期末）已知在ABC中，3=30。，AB=2^,AC=2,且ACNBC,

則.ABC的面積為（）

A.73B.3C.2百D.

【答案】C

【分析】根據余弦定理，結合三角形面積公式進行求解即可.

【詳解】因為3=30。，AB=2^3,AC=2,

所以有AC?=2A2+2C2-2BA-2C.cosBn4=12+BC2-2x2"2c.3，

2

解得BC=4,或3C=2,而已知ACwBC,所以3c=4,

因此ABC的面積為［-R44C-sinB=g*2-x4xg=2A,

故選：C

21.（2022春?四川南充?高一統考期末）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若從+c?一^Rbc,

則sin(B+C)=()

1212,125

A.-----B.—C.±—D.——

13131313

【答案】B

【分析】由余弦定理求出cosA,再求出sinA,則sin(B+C)=sinA代入即可求出答案.

10

因為〃+。2_。2=存g所以22歷

【詳解】COSA/+C”13gAe(O,%)'

2bc2bc

所以sinA=Vl-cos2A=

12

sin(B+C)=sinA=—.

13

故選：B.

題型八：邊角互化問題

22.(2023春?江蘇常州,高t常州市第一中學校考期末)若(a+b+c)(b+c-a)=36c,HsinA=2sinBcosC,那么

ABC是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】由給定邊的關系式結合余弦定理求出角4再由正弦定理角化邊，結合邊的關系式可得c=b即可推理作答.

【詳解】由(a+b+c)(b+c—a)=36c,得(b+c『一a?=36c,

化簡得力2+c2—a2=bc，

所以由余弦定理得cosA=0a?=華=,

2bc2bc2

因為Ae(O,兀)，所以A=2,

因為sinA=2sinBcosC,

所以由正余弦定理角化邊得a=2b-°+"一°，化簡得/,

2ab

所以A=c,

所以ABC為等邊三角形，

故選：B

23.(2022春?四川綿陽?高一統考期末)在「ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,已知sin(C-B)=2sin6cosC,

且2sinA+6sinB=csinC,則。=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

［分析］利用正弦定理sin（C-B）=2sinBcosC可得sinCeosB=3sinBcosC,根據三角形性質和邊角互化得出

a2=2c2-2b\2a^b2=c2,解方程組可得結果.

【詳解】因為sin（C-B）=2sinBcosC,所以sinCcosB—cosCsinB=2sinBcosC,即sinCcosB=3sinBcosC；

因為2sinA+〃sinB=csinC,由正弦定理可得2〃+〃=c20;

因為sinA=sin（3+C）=sinBcosC+cosBsinC,所以sinA=4sinBcosC,

所以,整理得片=2。2-2爐②；

lab

由①②可得/=4Q,解得a=4或〃=。（舍）.

故選：B.

24.（2022春?內蒙古包頭?高一統考期末）已知ABC的內角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,則下列說法中錯誤

的是（）

,,cosAcosBcosC?,，一、口”“一人▼

A.若——=^—二——,則ABC一定是等邊二角形

abc

B.若/?cos_B=〃cosA,則ABC一定是等腰三角形

C.若acos_B+6cosA=a,則ABC一定是等腰三角形

D.若則ABC一定是鈍角三角形

【答案】B

【分析】根據正余弦定理中，邊角互化即可求解.

-cosBcosCcosAcosBcosC,八一E、「

【詳解】對于A:由正弦TE理以及----=——二-----得zn<二=:二■=二二ntanA=tan5=tanC,因為

abcsinAsinBsinC7

A3,Ce（O,兀），所以A=8=C，故ABC是等邊三角形，故A對，

對B:由Z?cos_B=〃cosA以及正弦定理得：sinBcosB=sinAcosAsin2B=sin2A,

由于A,5￡（0,兀）,2A￡（0,2TI）,25￡（0,2兀），因此25=2A,或者2A+2_8=兀,即5=A,或者A+5=耳，故ABC為等

腰三角形或者直角三角形，故B錯誤，

對C:由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinA=>sin（A+B）=sinA,

由于在4ABe中，5m（24+8）=5足。,因此可得51114=5111。，

由于4。￡（0,兀）,4+。<兀,故人=。,故C正確，

*22

對于D:由加+（?</得cosA=---------------<0,故A為鈍角，因此D正確

2bc

故選：B

題型九:三角形的面積公式問題

25.（2022春?湖南長沙?高一長沙一中校考期末）在