專題7：零點問題

1.設函數"*)=/-2Q-媽+a(其中e為自然對數的底數，若函數“X)至

X

少存在一個零點，則實數〃的取值范圍是()

2

A.(0,^2--]B.(0,e2+-]C.[e--,+00)D.(-oo,+-]

eeee

【解析】f(x)=x2-2ex--+a=0,

x

則a=—x2+2ex+(x>0),

x

設h(x)=-x2+2ex+,

x

令4(%)=-/+2ex,似x)=—,

x

:也⑶=1一手,發現函數九(X),面⑺在(0,e)上都是單調遞增,在[e,+00)

上都是單調遞減，

..函數心)=-x2+lex+在(0,e)上單調遞增，在⑸+oo)上單調遞減，

X

故當％=e時,得h(x)3=e2+-

e9

???函數/(%)至少存在一個零點需滿足a?卜⑻…9

即④e2+--

e

故選：D.

2.設函數/(x)=x3_2eY+皿一加，記g(無)=幺色，若函數g(尤)至少存在一

X

個零點，則實數機的取值范圍是()

22

A.(-00,e+-]B.(0,e+-]

ee

222

C.(e+-,+oo]D.(-e--,e+-]

eee

【角窣析1/(x)=x3-2ex2+mx-lnx的定義域為(0,+co),

又,??g(x)=3,

X

..函數g(?至少存在一個零點可化為

函數/(%)=/_2e/+如_/心至少有一個零點;

即方程d—2夕2+mx—Inx=0有解,

mil—x3+2ex2+Inx八Inx

火IJm=--------------=-x2+2ex+—,

xx

,八c1-lnx?、1-lnx

tn——2x+2eH------=-2(x-e)H-----—

xx

故當Xe(O,e)時，m'>0,

當％￡(e,+oo)時,<0；

則m=-x2+2ex+媽在(0,e)上單調遞增，

X

在(e,+co)上單調遞減，

故-e2++—=e2+—；

ee

又,當％-0時,m=-x2+2ex+—oo,

x

故〃,/十工；

e

故選：A.

3.已知函數/(》)=(與函數g(x)=-2尤2_尤+1的圖象有兩個不同的交點,

則實數加取值范圍為()

A.[0,1)B.[0,2)』?}C.(0,2)U{-3D.[0,2&)』9

【解析】由題意得：容=-2/~+1,

-4X2-2X+2

■'m=，

問題轉化為函數y=〃，的圖象和函數/心)=土產的圖象有2個交點

e

匕、2(2%+1)(%-2)

e

故函數h(x)在(-oo,-1)和(2,+<x>)上遞增，

在(_；,2)單調遞減，且x-時，

〃(x)-0,/?(--)=l4e,h(2)=一4，

2e

作出函數/z(x)的圖象,

如圖示：

觀察圖象得：函數4X)和g(x)的圖象有2個不同的交點時,

實數加以0,2&)|/譚｝,

故選：D.

4.已知函數/(x)的定義域為R,且對任意xeR都滿足了(1+尤)="1-尤)，

當用,1時，小)=]/肛°了」.(其中e為自然對數的底數)，若函數

g(%)=m|x|-2與y=f(x)的圖象恰有兩個交點】則實數機的取值范圍是(

)

A.叫,0或〃z=eB.0<nt,—C--<m<eD.m>e

22

【解析】由函數/(1+兀)=/(1一%)貝函數y="x)的圖象關于1=1對稱，

如圖所示：

由于y=/(x)和函數y=g(x)的圖象只有兩個交點,

設y=Inx,xe(0,1)圖象上的切點(％,lnx0)9

所以y=L則題」，

XX。

所以曲線的切線方程為y-lnXQ=\X-Xo),

把(0,-2)代入可得,

e

則題=」=e,結合圖象，

%

要使圖象有兩個交點，則%,0或根=小

故選：A.

5.定義：如果函數y=/(x)在區間團，川上存在%,x2{a<xx<x2<b)9滿

足廣卬=7⑶T⑷,/a)=△2一上,則稱函數廣〃x)在區間如切上

b—ab—a

的一個雙中值函數，已知函數f(x)=^］x2是區間［0,〃上的雙中值函

數，則實數『的取值范圍是()

A-(?l)B-S,%C(幻D-(151)

【解析】???函數/(X)=*3-1爐,f'(x)=3x2~~x5

?.函數/?(*)=/是區間［0,f］上的雙中值函數，

區間［0,f］上存在x19%2(0<%,<x2<^),

滿足即方程3f-￡尤=/_、在區間［0,H有兩個

解,

令g(%)=312-^-x-t2+%,

_12

對稱軸x=----=—>0,

△=(-y)2-12(-Z2+1z)>0

貝(I<g(0)=-〃+|^>0

g?)=3〃z-r2+-r>0

55

解得h<|.

二.實數，的取值范圍是(ft).

故選：A.

6,定義:如果函數y=f(x)在定義域內給定區間［a,切上存在(“<%vb),

滿足/(%)=隼一/⑷,則稱函數y"⑺是跖句上的“平均值函數”，

X。是它的一個均值點.則下列敘述正確的個數是()

①y=v是區間H,1］上的平均值函數，。是它的均值點；

②函數/(幻=-/+4犬在區間［0,9］上是平均值函數，它的均值點是5;

③函數/(x)=log2尤在區間［a,b］(其中>0)上都是平均值函數；

④若函數/(幻=-尤2+皿+i是區間［T,1］上的平均值函數，則實數旭的取

值范圍是Q2)

A.1B.2C.3D.4

【解析】根據題意，依次分析題目中的四個結論：

對于①，若y=V是區間1，1］上的平均值函數，設其均值點為〃

則有⑴-/㈠)一0,解可得〃=0,即。是它的均值點，①正確;

對于②，若函數/(x)=f2+4x在區間［0,9］上是平均值函數，設其均值

點為n,

則有/(〃)=f2+4〃=W=_5,解可得77=5或-1(舍)即5是它的均

值點，②正確，

對于③，函數/(X)=log2X在區間［“，切都是平均值函數，則

1唯.空浮吆恒成立，明顯錯誤，③錯誤；

對于④，若函數〃》)=-尤2+如+1是區間［-1,1］上的平均值函數，

則關于X的方程-/+座+1=牛針在(fl)內有實數根，

1一(一1)

而一f+煙+1=2112__于(1)=12一如+__］=05角窣得x=m—l,x=l(舍)，

1一(一1)

必有x=m-l必為均值點，即—l<m—l<l=>0<m<2,即實數加的取值范圍

是(0,2),④正確；

其中①②④正確；

故選：C.

7.若存在正實數機，使得關于x的方程無+a(2x+2m-4ex)［歷(尤+機)-/nx］=0有

兩個不同的根，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍是(

)

A.(-<x>,o)B.(0,—)

2e

C-0)0(—,)D.(―,)

(-00,2e+002e+00

【解析】由題意得-！=(1+——2e)ln(l+—)=(t-2e)lnt,(t=—+!>!)

2axxx9

令/⑺=(t-2e)lnt,(Z>1),

則f,(t)=lnt+l~—,/"(0=-+^r>0,

ttt

當f>e時，f'(t)>f(e)=0,

當l<f<e時,f'(t)<f'(e)=0,

/(0--f(e)=-e,

1

---->-e,

2a

而t->1時,f(^)->0,

則要滿足-ev—<0,

2a

解得：

2e

故選：D.

8,已知函數〃(％)=(2e—I)x—m,t7(x)=ln(x+m)—Inx若存在嗎使得關于X的

方程2a."(x).u(x)=x有解，其中e為自然對數的底數則實數”的取值范圍

是()

A.(一8,o)U(1,+QO)B?(^x),o)

C?(o,-—)D?(-oo,o)[l[--,+co)

2e2e

x+m

【解析1由2a?u(x^u(x)=x可得[2a(2e-l)x-2am]4n—x=0,

x

即20(2-1)-勺即'_i=o,即2〃(2e-')?加3-1=0,

XXXX

令4=則方程(2eT)/加=上有解.

x2a

設/(0=(2e-t)lnt,貝Ijf'(t)=-Int+=-Int+至-1,

tt

顯然廣⑺為減函數，又/(e)=o,

..當0</<e時，,當t>e時,

.?"?)在(0,e)上單調遞增，在上單調遞減，

二/⑺的最大值為/(e)=e,

—?e,角牛“<0a...—■

故選：D.

9.若關于X的方程。+，二+租=0有三個不相等的實數解玉，X,,三，

ex+e

且占＜0＜々＜三，其中"?eR,e為自然對數的底數,則(■^■+1)2(今+1)心■+I)

的值為()

A?l+mB.eC-m-1D.1

【解析】由方程力+J+,"=o

ex+e

x1_

=＞----1-----------1-m=0,

e"王+1

e*

令王=/,貝U有/+」一+機=0?

cx1+1

=＞+(m+1)^+1+m=0,

令函數g(元)=W，8‘(尤)=^^,

ee

.,.g(x)在(YO,1)遞增,在(1,+oo)遞減,

xl<0<x2<x3

結合圖象可得關于f的方程/+5+?+1+m=0一定有兩個實根%%,

(0<0<Z2)

2

=[(/1+l)(z2+l)].

(G+1)(‘2+1)=單2+("1+，2)+1=(1+機)一(1+m)+1=1?

二(J+1)2(烹+D(W+1)=[(%+1)(^2+DI*=1-

故選：D.

10.若關于X的方程三+，1+加=。有三個不相等的實數解占，小

ex—e

x3,且玉V0<%2V毛9其中meR,e=2.718為自然對數的底數，則

A?eB.1-mC-1+mD.1

【解析】由方程上+▲—+機=。=鼻+'+"7=。，

"d三_]

令上=%,貝U有/+」一+加=0?

ext-1

=^>+(m-1)^+r-m=0,

令函數g(無)==,g?)=L^,

ee

g(x)在(-℃」)遞增,在(L+<?)遞減，

要使關于X的方程三+二+根=。有3個不相等的實數解為，-%，且

ex-e

xl<0<x2<x3

結合圖象可得關于，的方程r+(m—1)Z+1'—TYI=。一定有兩個實根乙，小

(%<0<Z2)

OX.X,X-.

=

----=A15—-—x——’2

8的e3

?一_1)2(聲-唁T)=&T)6-1)了■

(4—1)(,2—1)=’1'2—('1+，2)+1=(1—m)—(1—m)+1=1?

；.(3-1)2(會一1)(3-1)=?-1)?2-I)/=1■

故選：D.

H.若關于x的方程le—1+^^+"=。有三個不相等的實數解入、羽'

M(周<。<%<%)其中meR,e=2.71828…，貝lj(|*-11+1).(|小-11+1)4|-11+1)2

的值為()

A.eB■4C-m-lD.m+1

要使方程”+—+…有三個不相等的實數解

(玉v0vx2Vx3)，

則方程〃+(租+1?+2+%=0一定有兩個實根乙，%,

可驗證t=0或1不符合題意，

所以方程Z2+（m+1）^+2+m=0一定有兩個實根;,人且。＜4＜1＜小

且-—lH-Ti,|/一3一1|=小

則(|*-11+1).(1*-11+1X1*_11+1)2=[&+1)(G+1)]2.

(%+1)(%2+1)=印2+(4+,2)+1=(2+機)—(1+m)+1—2■

貝IJ(|八-11+1).(1井一11+1)《*-11+1)2=[解+1)&+1)]2=4,

故選：B.

12.已知函數/)=?：，=00若關于X的方程f(x)=L+〃7恰有三個不

[-X+2x,x..02

相等的實數解，則加的取值范圍是()

A.嗎B.(o,1)C.[0,^]D.(。,書

【解析】函數小)=廣2門「的圖象如下圖所示：

[~x+2x,x..0

若關于X的方程〃x）=3+〃,恰有三個不相等的實數解，

則函數了（尤）的圖象與直線y=3+也有三個交點，

當直線y=^x+m經過原點時，m=O,

由y=-爐+2x的導數y=-2%+2=g得:x=-|,

當直線y=L+加與y=—+2x相切時，切點坐標為：（3,g）,

2416

當直線T+加經過電髀，T，

故機e(0,\),

故選:

13.已知函數/(x)=(3x+l)e"+i+mx(m..-4e),若有且僅有兩個整數使得

/(.X),,0,則實數機的取值范圍是()

A.(-,2]

e

【解析1由/(%)?0得(3%+1)*1+1WC”0,

艮[1噸,~(3x+I)ex+1,

設g(x)=mx,k(x)=-(3x+I)ex+i,

〃(x)=-(3ev+1+(3尤+l)e%+1)=-(3x+4)ex+1,

由〃(x)>0得-(3尤+4)>0,即x<-j

由〃(x)<0得-(3尤+4)<0,即彳>-；

即當x=一時，函數人⑴取得極大值，

當小。時,滿足g(x),,〃(x)的整數解超過2個，不滿足條件.

當〃2<0時，要使g(X),,//(X)的整數解只有2個，

…一

則滿足］以-2)..g(-2)56T21n

A(-3)<g(-3)8"?<-3m

5

TTl...-----_—

2enn58

即8，即一五

即實數,〃的取值范圍是T

故選：B.

14.已知函數f(x)=(3x+l)*+mx,若有且僅有兩個整數使得〃尤),,0,則

實數加的取值范圍是」一，-梟一

2e3e

［解析］由/(%),,0得(3%+1)*】+吟0,

即mx^,—(3x+I)ex+1,

設g(x)=mx,h(x)=一(3%+l)ex+l,

h'(x)=-(3*i+(3x+1)*］)=~(3x+4)*,

由旗x)>0得-(3x+4)>0,即x<-g,

由〃(x)<0得-(3尤+4)<0,即x>-§,

即當x=一時，函數/?)取得極大值，

當人。時,滿足g(x),,〃(x)的整數解超過2個，不滿足條件.

當〃2<0時，要使g(x),,/z(x)的整數解只有2個，

則滿足「(一"g(-2),即［5e：「2j

［/z(-3)<g(-3)］8e2<-3m

.5

171...-----

即2；,

即實數機的取值范圍是匕，-.

故答案為：［-得，-.).

15.已知函數/(x)=/a(x+l)--—,［是常數，且a.l?

x+a

(I)討論了(尤)零點的個數；

(ii)證明：Ji逆叫〈高，n^N+.

a2x(x一/+2d)

【解析】證明：(I)-

X+1(%+Q)2(x+l)(x+a)25

解r(x)=0得x=0,或x=a2—2a

①a=l時，，若xe(-l,O),rW<0,f(x)>AO)=O,若xe(O,a),

(X+1)2

m>0,/(x)>/(0)=0./(x)有一個零點，

②l<a<2時，—1<儲—2av0,

Xa?—2a(0,+8)

(-1,/—2Q)(a?—2〃，0)0

—

/'(X)+00+

f(x)//

由上表可知，/(X)在區間面-2a,+oo)有一個零點x=0,

/(a2-2?)>/(0)=0,又一■=，

x+ax+aa—1a—1

彳壬tw(-1,-1)5f(t)<-------1-------=0,

1—aa—1

/(%)在區間CM?—2a)有一個零點，從而/(X)有兩個零點，

③a=2時，//(無)=,/*>0,/⑺在(-1,+00)上單調遞增，有一個零

(x+1)(x4-2)

點％=0,

2

④a>2時,a—2a>09

X(-1,0)

0(0,“2-2a)a?—2a(/一2Q,

+00)

—

/'（X）+00+

/（X）//

由上表可知,/（%）在區間（T,/-2々）有一個零點％=0,在區間（4-2a,+00）

有一個零點，從而/'(尤)有兩個零點，

(II)證明：取4=2,由(1)知f(x)=/"(x+D--工在(-1,+8)上單調遞

x+2

增，

取xeN*),則/(-)>/(0)=0,化簡得ln(l+-)>二一,

nnn2n+l

取a=3,由⑴知〃x)5x+i)-上在區間(一0)上單調遞減，

22%+34

__3_

取X=—一0)(〃eN*),由/(%)>/(0)得加(1一一U>———,

”+1477+12(--)+3

〃+1

BP廟(1+!)<^~(〃eN*),

n3n+l

綜上，----<歷(1H—)<--------,幾wN

2n+ln3n+l

16.已知函數/(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(l)討論/(X)的單調性；

(2)若了⑴有兩個零點，求”的取值范圍.

【解析】(1)由/(x)=ae2x+(〃-2)ex-x,求導/,(x)=2ae2'+(a-2)e'-1,

當a=0時，f'(x)=-2ex-l<0,

二當xeR,/(尤)單調遞減，

當a>0時，f\x)=(2ex+T)(aex-1)=2a(ex+-)(eA--),

2a

令尸(x)=。，解得：x=ln—,

a

當/(幻>0,解得：x>In—,

a

當/(x)<0,解得：x<In-,

a

X￡(~oo,/J)時，/(x)單調遞減，xG(In-,+8)單調遞增；

aa

當avO時，fr(x)=2a(ex+3e二)<o,恒成立，

2a

..當工eR,/(尤)單調遞減，

綜上可知：當④0時，/(尤)在R單調減函數，

當4>0時，/(X)在(~oo,/J)是減函數，在(/J,+00)是增函數;

aa

(2)①若氏0時,由(1)可知：/(X)最多有一個零點，

當a>0時,/(x)=ae2x+(。-2)ex-x,

當x——8B寸,f0,"f0,

.?.當xf-co時,f(x)f+oo,

當xf8,/xf+8,且遠遠大于靖和x,

.?.當X—>8,/(x)—>+00,

.?函數有兩個零點，/(%)的最小值小于。即可，

由“X)在(~oo,/j)是減函數，在(//,+8)是增函數，

aa

丁?/(%)加〃—于(M—)=Qx(―)+(。-2)xIn—<0,

aaaa

BP/?-+--1>0,

aaaa

設/」，則g⑺=Int+t—1,?>0),

a

求導/⑺=1+l,由g(1)=0,

t

.-.z=i>l,解得：0VQvl,

a

的取值范圍(0,1).

方法二：(1)由/(%)=+(〃_2)ex-x,求導f\x)=2a*+(〃-2)ex-1,

當a=0時，f'(x)=-2ex-l<0,

■.當X€R,/(尤)單調遞減，

當a>0時，f'(x)=(2/+1)0*-1)=2a(ex+-)(ex--),

2a

令「(%)=09解得：x=-lna,

當ra)>o,解得：x>—Ina,

當廣⑴<0,解得：x<-Ina,

/.xG(^x),—Ina)時，/(x)單調遞減，xe(-Ina,+oo)單調遞增；

當a<0時，fr(x)=2a(ex+3?二)<o,恒成立，

2a

..當xeR,/(元)單調遞減，

綜上可知：當④0時，/(元)在R單調減函數，

當a>0時，/(尤)在y,-lna)是減函數，在(—Ina,+oo)是增函數；

(2)①若④0時，由(1)可知：/(X)最多有一個零點，

②當a>0時，由(1)可知：當x=-時，/(X)取得最小值,

f(x)“而=/(-/wa)=l--a-lna-,

當a=l,時，f(-lna)=0,故/(x)只有一個零點，

當Q￡(l,+oo)時，S,即/(-癡)>0,

aa

故了(%)沒有零點，

當a￡(o,i)B寸,1---In—<0,f(一Ina)<0,

aa

由/(-2)=ae^+(a-2)e-2+2>-2e"+2>0,

故f(x)在(-oo,-/ra)有1s零點,

假設存在正整數"。，滿足〃。>廬-1),則

a

/(n0)=e陽(。6翊+。一2)—%>e%—%>2%一%>0,

由lri(1)>—Ma,

a

因此在(-lna,-w>)有1s零點.

..a的取值范圍(0,1).

17.已知函數/(x)=(ex-e)e'+ax2,aeR.

(I)討論了⑺的單調性；

(ID若“幻有兩個零點，求”的取值范圍.

【解析】(I)由題((尤)=Me*44+2a),XGR,

(1)當a..O時,ex+1+2a>0,

.?.當xe(9,0)時，f\x)=x(ex+l+2a)<0,函數/(x)單調遞減，

當xe(0,+a>)時,f,{x)=Me*"+2a)>0,函數f(x)單調遞增;

(2)當召<"0時，lri(-2a)-1<0,

..當xey,歷(-2a)-l)時,fXx)=x(ex+l+2a)>0,函數/(尤)單調遞增，

當xe(/〃(-2a)-l,0)時，f1(x)=x(ex+l+2a)<0,函數f(尤)單調遞減，

當xe(0,+w)時,f1(x)=x(ex+1+2a)>Q,函數/⑺單調遞增;

⑶當a=3時，尸(幻川(〃+2初0恒成立，函數小)在R上單調遞增；

(4)當"三時，歷(-2a)—1>05

.?.當xey,0)時，r(x)=M-+2a)>0,函數/(乃單調遞增,

當xe(0,歷(-2〃)-1)時，f'(x)=x(ex+l+2a)<0,函數/(尤)單調遞減，

當xe(山+8)時,f\x)=x(,ex+1+2a)>0,函數/⑺單調遞增;

(II)當a=0時,f(x)=(ex-e)ex,有唯一零點x=l,不符合題意;

由(I)知：

①當a>0時，故XG(-OO,0)時，函數/(X)單調遞減，XG(0,+GO)時，函數“X)

單調遞增，

且x--co時，f(x)f+co；x3+00時，/(%)->+co,/(0)=-e<0,

..函數f(尤)必有兩個零點；

②當-：<4<0時，故xe(-s,/〃(-2a)-l)時，函數/(x)單調遞增，

尤e(/"(-2a)—l,0)時,函數/⑴單調遞減,xe(0,+oo)時，函數〃尤)單調遞

增，

又?.,f(ln(-2a)-l)=-2a(ln(-2a)-1)+a{ln{-2d)-I)2<0,

函數f(x)至多有一個零點；

③當口=3時，函數f⑺單調遞增，函數f⑺至多有一個零點；

④當〃<弋時，故xe(-co,0)時，函數f(x)單調遞增,XG(0,歷(-2々)-1)時，

函數/(X)單調遞減,X￡(歷(-2〃)—1,+00)時，函數/⑺單調遞增，

又/(0)=-e<0,.?.函數f(x)至多有一個零點；

綜上所述：當a>0時，函數/?⑺有兩個零點.

18.已知函數/(x)=(尤-2)e'+a(尤-1)二

(I)討論了⑺的單調性；

(II)若了⑴有兩個零點，求”的取值范圍.

【解析】(I)由f(x)=(x-2)e*+a(x-iy,

可得f\x)=(x-l)ex+2a(尤―1)=(尤一l)(ex+2a),

①當a.O時，由((尤)>0,可得尤>1；由r(x)<0,可得尤<1,

即有了(X)在(-8,1)遞減；在(L+S)遞增(如右上圖)；

②當a<0時，(如右下圖)若“=*，則rMO恒成立，即有/(X)在R上

遞增；

若"V時，由1(x)>0,可得x<1或x>/”(-2。);

由廣⑺<0,可得1cx<ln(-2a).

即有了(元)在(-8,1),(ln(-2a),+oo)遞增；

在(1,歷(-2〃))遞減；

若-■|?<a<。，由廣(x)>0,可得x</〃(-2a)或x>l;

由廣⑺<0,可得出(-2")<%<1,

即有了(尤)在(-℃,勿(-2〃))，(1,+co)遞增；

在(加(一2。),1)遞減;

(II)①由(I)可得當q>0時,

/(X)在(-8,1)遞減；在(1,+8)遞增，

且/(1)=-e<0,x->+co,/(.r)T+co;

當x--②時/(x)>0或找到一個x<1使得/(x)>0對于a>0恒成立,

/(X)有兩個零點；

②當0=0時，/(A-)=(A--2)e-',所以/(X)只有一個零點x=2；

③當代0時,

若a<一？時，f(尤)在(1,Zn(-2a))遞減，

在,(歷(-24),+co)遞增，

又當國,1時，/(A)<0,所以/⑴不存在兩個零點；

當a.4時，在(―，陽一2喇單調增，在(1,+8)單調增，

在1)單調減，

只有〃歷（-2a））等于0才有兩個零點，

而當％,1時，/（x）＜0,所以只有一個零點不符題意.

綜上可得，/⑺有兩個零點時，〃的取值范圍為（0,+oo）?

19.已知函數了⑺=€x\^ux^+（a—2）］—x.

（1）討論”x）的單調性；

（2）若了⑺有兩個零點，求〃的取值范圍.

【解析】（1）/口）的定義域為y,二）,r（%）=（6-i）（2蜻+1）,

①若④0,則（（X）＜O,所以/l（X）在J?,+CO）上是單調遞減.

②若4＞0,則由八x）=0得，x=-Ina.

當兄￡(-oo,-加a)B寸，/r(x)<0；當］￡(—歷a,+00)時，f\x)>0.

所以/(%)在(_oo,_/w)上單調遞減，在(—Ina,+GO)上單調遞增.

(2)若％0,/(X)至多有一個零點，不符合題意；

若(7>0,當x=-時，f(x)取得最小值/(-歷“)=l--+lna.

a

①當4=1時，f(-bia)=0,f(x)只有一個零點；

②當口>1時，f(-lna)>0,/(x)沒有零點；

③當a<1時，于(-Ind)<0.又/(-2)=ae^+(a-T)e2+2>0,故f(x)在(-co,-/wa)

有一個零點.

設整數N滿足N-1),則WeYaeN+a-2)-N>eN-N>2N-N>Q,

a

故/W在(-歷a,+oo)有1s零點.

綜上，a的取值范圍是(0,1).

20.已知函數/0)=三+ax+-,g(x)=-Inx

4

⑴當a為何值時，x軸為曲線y=〃尤)的切線；

(萬)用min{m,n}表示加,〃中的最小值,設函數/%)=與加{/(%),g(x)}(%>0),

討論以尤)零點的個數.

［解析］(，)1(%)=3爐+a.

設曲線y=/(x)與九軸相切于點P5,0),則/(/)=0,尸(％)=0,

,川+"曲+；=0,解得

3片+a=024

因此當a=-3時，x軸為曲線y=/(x)的切線；

4

⑺當X￡(1,+00)時,g(x)=-Inx<0,

函數h(x)=min[f(x),g(x)}<0,

故h(x)在無￡(l,+oo)時無零點.

當尤=1時，若a=,則/(1)=a+—..0,

44

/.h(x)=min[f(1),g(1))=g(1)=0,故x=l是函數〃(x)的一個零

八占、、，?

若則/(1)=?+—<0,:.h{x}=ndn{f(1),g(1)]=f(1)<0,

44

故尤=1不是函數/i(x)的零點；

當工￡(0,1)B寸，g(x)=-Inx>0,因此只考慮〃尤)在(0,1)內的零點個數即可.

①當④-3或a.O時，r(x)=3尤在(0,1)內無零點，因此/'(x)在區間(0,1)內

單調，

而/(。)=1,f(1)=a+g,二當④-3時，函數f(x)在區間(0,1)內有一個

44

零點，

當a.0時，函數f(x)在區間(0,1)內沒有零點.

②當—3<a<0時，函數/⑺在(0,g)內單調遞減，在(點,1)內單調遞增,

故當.后時，小)取得最小值=等次+；.

若小殍)>0,即則/(x)在(0,1)內無零點.

若/點)=0,EPa=-|,則f(x)在(0,1)內有唯一零點.

右于(J—)<。，即一3<a<‘由/'(0)=!'f(1)-a+^-,

V3444

.-.當時，f(x)在(0,1)內有兩個零點.當-3一,-之時,/(尤)在(0,1)

444

內有一個零點.

綜上可得：*時，函數6(x)有一個零點.

4

當°>一。時，心)有一個零點；

4

當°=_。或二時，g)有兩個零點；

44

當時,函數3)有三個零點.

44

21.已知函數f(x)=—%2+a----(a￡R),g(%)=—?

4xx

(1)當〃為何值時，x軸為曲線尸/⑺的切線,

⑵用max{m,n}表示加，〃中的最大值，設函數h(x)=max[xf(x),xg(x)}(x>0),

當0<”3時，討論/?(尤)零點的個數.

/(x)=O

【解析】(1)設曲線y=/(x)與x軸相切與點5,0),則o

/U)=o,

21八

-%+ci-------=01

即

3，

-2考+卷=。CI———

4

.［當a=3時，x軸為曲線y=/(x)的切線.

4

(2)令<(%)=^(%)=-爐+以一;，g1(%)=xg(x)=lnx{x>0),貝lj

h{x}=max[f^x),g/x)},f^x)=-3x2+a,

由得了=a

[(x)=0,i5

.?.當.0,檢時，琪尤)>0,工⑴為增函數;

當+co)時，//(X)為減函數，

1.-0<a<3,0<《<1,

①當工(0<0,即0<°〈(時，3)有一個零點；

②當小卜=0,即a］時，g)有兩個零點；

③當卜(1)>0,即』時，心)有三個零點；

44

〔工(工)<。

④當/尋。,即a1時，g)有兩個零點；

/(功=。4

⑤當J(b。,即9a<3時，3)有一個零點，

綜上，0<a<一或*<a<3時，/z(x)有一個零點；

44

當4=3或4=9時，/7(尤)有兩個零點；

44

當之<“<*,心)有三個零點.

44

22.已知函數f(x)=-X2+々--.

4%

(1)當a為何值時,x軸為曲線y*(x)的切線;

(2)設函數g(x)=#(x),討論g(x)在區間(0,1)上零點的個數.

【解析】(1)于(X)=-%2+a-:的導數為r(x)=-2x+*,

設切點為(％,0),可得f(x0)=0,r(xo)=O,

艮口一x；+a----=0,—2/H----=0,

4兀o4%

角窣得％=g,〃=

2

(2)g(x)=xf(x)=—x3+ax--,^r(x)=-3x+a,OVJTVI,

4

當a.3時，g'(x)=-3x2+〃〉0,g(x)在(0,1)遞增，可得

g(0)=-l<0,g(1)=°二>0,g(M有一個零點；

44

當&0時,g,(x)<0,g(x)在(0,1)遞減，g(0)<0,g(1)<0,g(x)在(0,1)無

之八占、、，■

當0<”3時，g(x)在(0,祗)遞增，在(占，1)遞減,

可得g(x)在(。,1)的最大值為g(/)言A-；，

①若g(J)<0,即0<a<1,g(x)在(0,1)無零點；

②若g(_J|)=0,即a=1,g(x)在(0,1)有一個零點；

③若g(他)>0,即：<a<3,g(0)<0,g(1)=a-1,

V344

當時，g(x)在(0,1)有兩個零點；

44

當指，。<3時，g(x)在(0,1)有一個零點；

4

綜上可得,時，g(x)在(0,1)無零點；

4

當或時，g(尤)在(0,1)有一個零點；

44

當時，且⑶在(o,i)有兩個零點.

44

23.已知函數/(x)=———--alnx(aGR).

x

(1)討論了⑺的單調性；

(2)設g(x)="-sinx,若/zO)=g(x)(/(x)_2x)且y=/?⑴有兩個零點，求”的

取值范圍.

【解析】(1)-2+1=