類型2分類討論問(wèn)題

1.分類討論思想就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)把研究對(duì)象分成為數(shù)不多的幾個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)解決，最后予

以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法.

2.分類討論的實(shí)質(zhì)是化整為零，各個(gè)擊破的轉(zhuǎn)化策略.分類討論涉及全部初中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，其關(guān)鍵是要弄清楚

引起分類的原因，明確分類討論的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)，又不遺漏，分門別類加以討

論求解,再將不同結(jié)論綜合歸納，得出正確答案.

3.運(yùn)用分類討論思想時(shí)，必須遵循下列兩個(gè)原則：一是要有分類意識(shí)，善于從問(wèn)題的情景中抓住分類對(duì)象；二

是要找出科學(xué)合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)當(dāng)滿足互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)原則.

【例1】在AABC中,AD為邊BC上的高,NABC=30o,NCAD=20。,則NBAC是_________度.

【解析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理如圖，因?yàn)锳D_LBD,所以/ADB=90。.又/ABC=30。,所以/Z.BAD=

乙

180°-90°-30°=60。.當(dāng)點(diǎn)C位于Ci處時(shí),./.BACr=BAD-=60°-20°=40。;當(dāng)點(diǎn)C位于C2

處時(shí),.Z.BAC2=乙BAD+AC2AD=60°+20°=80。..綜上,/BAC是40。或80°.

【例2］拋物線y=x2-2x-3交x軸于A,B兩點(diǎn)（A在B的左邊）,C是第一象限拋物線上一點(diǎn)，直線AC交y

軸于點(diǎn)P-

⑴直接寫(xiě)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵如圖1,當(dāng)OP=OA時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)D（異于點(diǎn)B）,使B.D兩點(diǎn)到AC的距離相等，求出所有滿足條件

的點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

【解】(l)A(-l,0),B(3,0).

(2)VOP=OA=1,.*.P(0,1),

，直線AC的解析式為y=x+l.

①若點(diǎn)D在AC下方時(shí),

過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線與拋物線的交點(diǎn)即為Di.

VB(3,0),BDI||AC,

???BDi的解析式為y=x-3.

?y=x—3,

聯(lián)立

y=x2—2x—3.

解得，%1=0,%2=3(舍).

點(diǎn)Di的橫坐標(biāo)為0.

②若點(diǎn)D在AC上方時(shí)，點(diǎn)Di(0,-3)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為G(0,5).

過(guò)點(diǎn)G作AC的平行線1,則1與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)D.

直線1的解析式為y=x+5.

y=x+5,

聯(lián)立

y=x2—2x—3.

%2—3%—8=0,

解得/=上/,“2=呢＞

3-V413+V41

.??點(diǎn)D,D的橫坐標(biāo)分別為

2322

3—V41r.3+V4i

符合條件的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：0,-5/62,

2

另解:設(shè)D(d,d2-2d-3),過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線交AC于點(diǎn)G,根據(jù)DG=4求解.

1.有一題目:“已知點(diǎn)O為小ABC的外心,/BOC=130。,求/A.”嘉嘉的解答為：畫(huà)4ABC以及它的外接圓O,

連接OBQC,如圖.由NBOC=2/A=130。,得/A=65。.而淇淇說(shuō)L嘉嘉考慮的不周全，ZA還應(yīng)有另一個(gè)不同的值.

下列判斷正確的是)

A

A.淇淇說(shuō)的對(duì)，且/A的另一個(gè)值是115°

B.淇淇說(shuō)的不對(duì),/A就得65。

C.嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，ZA應(yīng)得50°

D.兩人都不對(duì)，ZA應(yīng)有3個(gè)不同值

2.已知△ABC是等腰三角形.若/A=40°,則△ABC的頂角度數(shù)是______.

3.如圖在小ABC中,AC=2,BC=4,點(diǎn)O在BC上以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A.D是BC邊上的動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為.

4.已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=苫(?0)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若4OAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為

5.如圖，在RtAABC中,/ACB=9(F,AC=BC=2加點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上，且CP=1,將CP繞點(diǎn)

C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接AQ,DQ.當(dāng)NADQ=90。時(shí),AQ的長(zhǎng)為.

6.小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在RtAABC中2ACB=90o,/B=3(F,AC=l第一步，在AB邊

上找一點(diǎn)D,將紙片沿CD折疊，點(diǎn)A落在A處，如圖2；第二步，將紙片沿CA折疊點(diǎn)D落在D處，如圖3.

當(dāng)點(diǎn)D，恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段AD的長(zhǎng)為.

BBB

7.矩形紙片ABCD,長(zhǎng)AD=8cm,寬AB=4cm,折疊紙片,使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,交AD邊于點(diǎn)E,點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，

展平后得到折痕BE,同時(shí)得到線段BA，,EA1,不再添加其他線段.當(dāng)圖中存在30。角時(shí),AE的長(zhǎng)為_(kāi)______厘米

8.如圖拋物線y=收+2%+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)人(-1,0)、C(0,3),并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)P(x,y)在第一象限的拋物線

上,AP交直線BC于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4)時(shí)，求四邊形BOCP的面積；

(3)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)瞿的值最大且△APQ是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).

9.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸正半軸交于點(diǎn)C且OC=2OA拋物線的頂點(diǎn)為D,

對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn).

⑴求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)FA+FC的值最小時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及FA+FC的最小值；

(3)連接AC,若點(diǎn)P是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線BC上一點(diǎn)，試探究是否存在以點(diǎn)E為直角

頂點(diǎn)的RtAPEQ,且滿足tan/EQP=tan/OCA若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-1+?與反比例函數(shù)y=營(yíng)交于點(diǎn)D,E,過(guò)點(diǎn)D,E分別作平行于

x軸和y軸的直線交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A,B,直線AD與直線BE交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A(0,2),B(4,0),若點(diǎn)P為坐標(biāo)軸上的

一點(diǎn)，且4OPD的面積等于四邊形DOEC的面積，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

2.如圖，矩形ABCD中,AB=12,AD=25,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),CE=16,點(diǎn)M是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是邊BC

上一動(dòng)點(diǎn)，射線AN與射線ME相交于點(diǎn)F,且滿足NAFM=/EADK^AABE沿AB翻折得到4ABG.

⑴連接DE,求/AED的度數(shù)

(2)當(dāng)4AFM是以FM為腰的等腰三角形時(shí)，求EN的值

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x2+bx+c與直線y=|(x+1)交于A,B兩點(diǎn)，拋物線與y

軸交于點(diǎn)C,直線y=4%+1)與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)E,且/DCB=9(T,CB=CD.

⑴求拋物線的解析式；

(2)在BD上是否存在點(diǎn)F,使得以C,D,F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

/ifvi

cl/cl//

4.已知函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一2,4).

(1)求b,c滿足的關(guān)系式;

(2)設(shè)該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m,n),當(dāng)b的值變化時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式；

(3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，當(dāng)-5SXW1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值.

類型2分類討論問(wèn)題

1.A【解析】本題考查三角形的外接圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理.當(dāng)點(diǎn)0在AABC內(nèi)部時(shí),NA=

jzBOC=65°;當(dāng)點(diǎn)。在AB或AC邊上時(shí)，/A=jzBOC=65。;當(dāng)點(diǎn)O在4ABC外部時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形

的性質(zhì)知乙4=180°-65°=115。,故選A.

2.40。或1000【解析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理.當(dāng)/A是仆ABC的頂角時(shí)，

AABC的頂角度數(shù)是40。;當(dāng)NA是4ABC的底角時(shí),△ABC的頂角度數(shù)是180°-40°x2=100。..綜上,A

ABC的頂角度數(shù)是40。或100°.

3.|或|【解析】本題考查圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì).如圖1,連接OA1AC是

?0的切線,??.OALAC,即.ZOXC=90。,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，△ACD是直角三角形，設(shè)。O的半徑為r,則O

A=OB=r.；BC=4,，OC=BC-OB=4-r,在RtAACO中AC=2，由勾股定理得((4-r)2=r2+2?,解得r=|,0A=|?

即AD的長(zhǎng)為*如圖2,當(dāng)ADXBC時(shí),△ACD是直角三角形，連接OA,易知(。4=0B=*.?.。。=4—|=j.V

ZADO=ZOAC=90°,ZAOD=ZCOA,△AODACOA,/.OC=ADC,g?=,，解得AD=/，AD的長(zhǎng)為-日或|

4.5,2V5,ViO【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理如圖1,當(dāng)OB=AB

=5時(shí),△OAB是等腰三角形，此時(shí)AB=5;如圖2,當(dāng)OA=AB=5時(shí)2OAB是等腰三角形，此時(shí)AB=5;當(dāng)OA=OB=5時(shí)，

△OAB是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)A作AMJ_OB于點(diǎn)M/.?點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象上，.?.設(shè)點(diǎn)A的坐

標(biāo)為(。吟)(a〉0),在RtAAOM中，由勾股定理得a2+(9)=5?,整理得a4-25a2+144=0,即⑷一9)(a2

-16)=0,解得a=±3或a=±4.Va>0,.\a=3或a=4.當(dāng)a=3時(shí)，如圖3,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),即(OM=3,AM=4,...BMuOB-O

M=2在RtAABM中,由勾股定理得AB=V42+22=2遍;當(dāng)a=4時(shí)，如圖4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3),即OM=4,AM=3,

BM=OB-OM=1在RtAABM中,由勾股定理得AB=V32+I2=VTU.綜上所述，AB的長(zhǎng)為5,2V5,V10

5.V5V13【解析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理.如圖，CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋

轉(zhuǎn)所得的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓.因?yàn)?ACB=90°,AC=BC=2Vz所以AB=<AC2+BC2=4.又D

為AB的中點(diǎn)，所以CD=AD=BD=\AB=2,CDLAB,所以當(dāng)NADQ=90。時(shí)C,D,Q三點(diǎn)共線.當(dāng)點(diǎn)Q在DC的

2

延長(zhǎng)線上的Qi位置時(shí),DQi=CD+CQi=3在RtAADQi中，由勾股定理得AQX=^AD+DQl=V4T9=

舊;;當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC上的Q2位置時(shí),DQ2=CD-CQ2=1.在RtAADQ2中，由勾股定

理得AQ2=阿麗=yi+i=6綜上，AQ的長(zhǎng)為花或.V13.

6.|2-V3【解析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的內(nèi)角和定理.如圖1,當(dāng)點(diǎn)

D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB邊上時(shí)，則對(duì)稱軸A'C±AB.在RtAABC中,NB=30°,AC=1,/.ZA=60°.在RtA

ACM中，AC-CM=sin60°=當(dāng)由折疊知,ZCA'D=ZA=60°,A'C=AC=l,/.ZA'DB=30°,A'M=1-當(dāng)在Rt

AA'DM中，A'D=2A'M=2-百，由折疊知A'D'=A'D=2-遍;如圖2,當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，由折疊可知，

AA'CD'=Z.DCA'=^ACD=BOoZDA'CuNDA'CnNAuGOO,AOACnl,，NADC=90。,在RtAA'CD'中，A'D'=

|XT=/綜上所述，AD的長(zhǎng)為|2-V3.

BB

圖I圖2

充分利用軸對(duì)稱（折疊）的性質(zhì)確定直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

7.手,4次,8-4百【解析】本題考查矩形的性質(zhì)、圖形的折疊、銳角三角函數(shù).根據(jù)題意，分三種情況：①

當(dāng)NABE=30。時(shí)，在RtAABE中,AE=AB-tan30°=4xy=手;②當(dāng)^ABA'=30。時(shí)，如圖1,^AEA'=150°

,^A'BC=60°,ADEA'=30。,,過(guò)點(diǎn)A作MN〃AB,交AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,在RtAABN中,AB=AB=4

BN=2,AN=y/A'B2-BN2=2?：.A'M=MN-A'N=AB-A'N=4-2百.又在RtAA'EM中,1EM=

43A'M=V3x(4—2b)=4V3-6,Z.AE=AM-EM=BN-EM=2-<4V3-6)=8-4次;③當(dāng)NAEB=30。時(shí)，如圖2,在Rt

AABE中,AE=?AB=4舊..綜上所述，AE的長(zhǎng)為手或4次或；8-4倔

圖1圖2

8.(l)y=-%2+2x+3(2)⑶屋|』

ZO5Z

⑴將點(diǎn)A(-l,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c中求出a,c即可；⑵連接OP,根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)B的

坐標(biāo)，根據(jù)S%=Spoc+SB°P即可求解；⑶過(guò)點(diǎn)P作PF〃x軸,交直線BC于點(diǎn)F,可得△PFD-AA

BD,進(jìn)而得出=笫可知當(dāng)PF最大時(shí)，PDD最大，設(shè)P(m>-m2+2m+3),表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出當(dāng)PF最

大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo),然后分/APQ=90。,NPAQ=90。,NAQP=90。三種情況進(jìn)行討論即可.

解：(1)；拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—1,0)、C(0,3),

(a—2+c=0

‘Ic=3

解得『=：

Ic=3

.?.該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+2x+3.

(2攻口圖1,連接OP,

令y=-x2+2x+3=0,

???=—l,x2=3.

AB(3,0).

VC(0,3),P(l,4),

/.OC=3,OB=3,xp=l,yp=4.

13

Spoc=-0C-xP=-,

SBOP=^0B-yP=6.

S四邊形80cp=SARJC+SAB()P—學(xué).

⑶如圖2,作PF〃x軸,交直線BC于點(diǎn)F,

圖2

則4PFD^AABD.

PD_PF

??AD-AB'

AB=4是定值,

二當(dāng)PF最大時(shí)，登盜最大

設(shè)yBC=kx+b,

VC(0,3),B(3,0),

VBC~—%+3,

設(shè)P(mf-m2+2m+3),

則F(m2—2mf—m2+2m+3).

.??PF=m—(m2—2m)=—m2+3m=—(m—|)+[

.?.當(dāng)m=決寸，PF取得最大值：

此時(shí)Pg號(hào).

設(shè)點(diǎn)Q(t)—t2+2t+3),

若△APQ是直角三角形，

則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合，

1#|,片一L

下面分三類情況討論：

①若/APQ=90。,如圖3,

過(guò)點(diǎn)P作PP21X軸于點(diǎn)P2作QP11P2P交P2P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Pl,

則APPiQ^>AAP2P.

,QPr_PP2

??PP1-AP2'

3.15

.L=工

*,-t2+2t+3~—-+1'

42

1_3

hi

2

②若NPAQ=90。,如圖4,

過(guò)點(diǎn)P作直線PAi1x軸于點(diǎn)A]過(guò)點(diǎn)Q作QA21x軸于點(diǎn)A2,

貝必APAj.sAQAA2.

.PAt_AA2

AA]QA2

.T15_t+1

??-+1-t2-2t-3

2

③若/AQP=90。,如圖5,過(guò)點(diǎn)Q作QQi1x軸于點(diǎn)Qi作PQ21QiQ交QiQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q2,

貝必PQQ2?△QAQ1.

.PQ2=QQi

QQ2ZQi

.t-1_-t2+2t+3)

??寧(一"+2/3)-t+1'

A—=3-t.

2t-l

?*,11=1,「2=2"

綜上所述，當(dāng)PDD的值最大且△APQ是直角三角形時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：,日,|,L

632

9.(1)拋物線的解析式為y=—：/+久+4,直線BC的解析式為y=-x+4(2)(1,3)5(3)(VB，舊-§或

(V7-V7-0

(1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出c的值，再將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入拋物線，列出二元一次方

程組，求出a,b的值，即可求出拋物線的解析式，將點(diǎn)B,C的坐標(biāo)代入直線BC的解析式求出m,n的值，即

可得直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的點(diǎn)是B,則當(dāng)F,B,C三點(diǎn)共線時(shí),FA+BC有最小值.此時(shí)線

段BC的長(zhǎng)即為FA+FC的最小值，求出拋物線的對(duì)稱軸，代入直線BC的解析式,求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)

B和點(diǎn)C的坐標(biāo)求出BC的長(zhǎng)即可求解；(3)設(shè)出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，再分P,Q在對(duì)稱軸兩側(cè)或同側(cè)進(jìn)行討論即可

求解.

解:(1)：點(diǎn)A(-2,0),AOA=2.

VOC=2OA,/.OC=4,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4),即c=4.

將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入拋物線得

C0=4a-26+4,酗曰(a=

(0=16a+4b+4,解得［b=1,

???拋物線的解析式為y=-1/+%+今

將點(diǎn)B,?的坐標(biāo)代入直線BC的解析式丫=mx+n得｛°、黑心解得｛彳:

,直線BC的解析式為y=x+4.

(2)二?點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

，F(xiàn)A=FB,

.?.FA+FC=FB+FC則當(dāng)F,B,C,三點(diǎn)共線時(shí),FA+FC有最小值，此時(shí)直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)F,則BC

的長(zhǎng)即為FA+FC的最小值.

??.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

當(dāng)x=l時(shí),y=-l+4=3,

???點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,3),

又?；OC=3,OB=4,；.BC=5,

即FA+FC的最小值為5.

.?.當(dāng)FA+FC的值最小時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,3),FA+FC的最小值為5.

⑶設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(。-72+口+4),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,-m+4),

如圖1,當(dāng)點(diǎn)P,Q分別在對(duì)稱tt兩側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PMLx軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Q作QN^x軸于點(diǎn)N,

；./PME=/PEQ=90。，

ZMPE+ZPEM=ZPEM+ZQEN=90°,

即NMPE=/NEQ,

APME^AENQ,

PM_EM

??EN-QN'

若?tanNEQP二tanNOCA,

.PM_EM_OA_1

??EN-QN-OC-2’

1Q

——a+a+4n-1i

即------=-----=-

1-m-771+42

解得a=±VT5(舍去負(fù)值)，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(71耳，百-1)；

如圖2,當(dāng)點(diǎn)P,Q都在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P,Q作對(duì)稱軸的垂線，垂足為M,N,

貝!]PM=a—1,NQ=7n—LEM=—|a2+a+4,EN=-m+4,

由―PEM^AEQN得需=需=]

解得a=±V7(舍去負(fù)值),

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為("V7-3

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(VT3-VT3-|)pg(V7,V7-0.

1.(0,12)或(0,-12)或(-6,0)或(6,0)

【解析】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用將y=2代入直線y=-'+|彳導(dǎo)x=l,.?.點(diǎn)D(l,2)把D點(diǎn)的坐標(biāo)代入

y=:得k=2，，反比例函數(shù)的解析式是y=:同理可得E(4弓)SA0D=SB0E=1.二S勿力耐加"=2x4-1x2=6.由

XX\Z/四也形DUEL

題意得當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，S0PD=3oP|xl=6,；.OP=±12;當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),SAOPD=，OP|x2=6,OP=±6,；.P.

點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,12)或(0,-12)或(-6,0)或(6,0).

2.(1)90°(2)0或3

(1)利用矩形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解;或利用矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)

即可求解;⑵分MA=MF和FA=FM兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)MA=MF時(shí)，點(diǎn)N和點(diǎn)E重合;當(dāng)FA=MF時(shí)，利用相

似三角形的判定與性質(zhì)及矩形的性質(zhì)即可求解.

解:⑴解法一二?四邊形ABCD是矩形，

AB=CD=12,AD=BC=25,ZABC=ZC=90°,

；.BE=BC-CE=25-16=9,

AE2=AB2+BE2=122+92=225,ED2=CE2+CD2=162+122=400,

AE2+ED2=AD2,

：.ZAED=90°.

解法二：?四邊形ABCD是矩形，

AB=CD=12,AD=BC=25,NABC=ZC=90°,

BE=BC-CE=25-16=9,ZBAE+ZBEA=90°.

,,AB_12_4EC_16_4

丫?BE-9-3'CD-12-3，

ABE=ECD,???△ABEs△ECD,

NBAE=NCED,?'.ZCED+ZBEA=90°,

匕AED=180°-90°=90°.

(2)①當(dāng)MA=MF時(shí),NMAF二NMFA.

ZAFM=ZEAD,.\NMAF=NEAD,

???點(diǎn)E,F,N三點(diǎn)重合，即EN=0;

②當(dāng)FA=FM時(shí),NFAM二NFMA.

NAFM二NEAD,NFMA=NAME,

.?.AFMA^AAME,

ZAME=ZAEM,；.AM=AE=15.

過(guò)點(diǎn)F作FQLAD于點(diǎn)Q,交BC于點(diǎn)P,

貝!j/AQF=90。.

：AD〃BC,；.FPJ_NE,

11is

NP=-NE,AQ=-AM=—.

2'<22

???四邊形ABCD是矩形，

.\ZBAQ=ZABE=90°,

四邊形ABPQ是矩形，

；.AQ=BP=BN+NP,

即1=9-EN+.，解得EN=3.

綜上所述，當(dāng)^AFM是以FM為腰的等腰三角形時(shí)，EN的值是0或3.

3.(l)y=2x2-y%+3(2)(2,|或(|1)

⑴過(guò)點(diǎn)B作BMLy軸，垂足為M,根據(jù)全等三角形的判定證明△COD^ABMC,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊

相等可表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，可求出c的值，再將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線

的解析式，可求出b的值，據(jù)此即可求得拋物線的解析式；

⑵分兩種情況進(jìn)行討論:①若仆DCFsaBCE,利用全等三角形的判定證明△CDE^ACBF,根據(jù)全等三角形的

對(duì)應(yīng)邊相等可表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②若ADFCs/XBCE,證明ACEFs^BEC,貝」有/ECF=/EBC=45。.設(shè)出點(diǎn)F的

坐標(biāo)，作FNLy軸，表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，從而可建立關(guān)于m的方程，求出m的值，進(jìn)而可得點(diǎn)F的坐標(biāo).

解:⑴過(guò)點(diǎn)B作BMLy軸，垂足為點(diǎn)M,如圖1.

圖1

ZDCB=90°,CB=CD,

???ZDCO+ZBCO=ZDCO+ZCDO=90°,

???NBCONCDO.

又NCOD=NBMC=90。，

???ACODABMC(AAS),

???BM=CO=c,CM=DO=1,

?*-xB=ctyB=c-1,

.*.B(c,c-l).

將點(diǎn)B