專題15動量守恒定律及其應用（講義）

一、核心知識

一、動量守恒定律

1.內容：如果一個系統不受外力，或者所受外力的矢量和為零，這個系統的總動量保持不

變，這就是動量守恒定律.

2.表達式：

（1）P=P',系統相互作用前總動量。等于相互作用后的總動量少.

（2）nhVi+nkVi—nhVi+nkv2',相互作用的兩個物體組成的系統，作用前的動量和等于作用

后的動量和.

（3）△.=-△2,相互作用的兩個物體動量的增量等大反向.

（4）Ap=O,系統總動量的增量為零.

3.動量守恒定律的五個特性

矢量性動量守恒定律的表達式為矢量方程，解題應選取統一的正方向

相對性各物體的速度必須是相對同一參考系的速度（一般是相對于地面）

動量是一個瞬時量，表達式中的R、R……必須是系統中各物體在相互作用前同

同時性一時刻的動量，……必須是系統中各物體在相互作用后同一時刻的動

量

系統性研究的對象是相互作用的兩個或多個物體組成的系統

動量守恒定律不僅適用于低速宏觀物體組成的系統，還適用于接近光速運動的微

普適性

觀粒子組成的系統

4.適用條件

（1）理想守恒：不受外力或所受外力的合力為零.

不受外力或所受外力的合力為零.不能認為系統內每個物體所受的合外力都為零，更不能

認為系統處于平衡狀態.

（2）近似守恒：系統內各物體間相互作用的內力遠大于它所受到的外力.

（3）某一方向守恒：如果系統在某一方向上所受外力的合力為零，則系統在這一方向上動

量守恒.

二、動量守恒定律應用的兩類模型

（一）碰撞

1.碰撞：兩個或兩個以上的物體在相遇的極短時間內產生非常大的相互作用力，而其他的

相互作用力相對來說可以忽略不計的過程.

2.彈性碰撞：如果碰撞過程中機械能守恒，這樣的碰撞叫做彈性碰撞，即EK|=EK2（能夠完

全恢復形變）；

3.非彈性碰撞：如果碰撞過程中機械能不守恒，這樣的碰撞叫做非彈性碰撞，即E「＞EK2（不

能夠完全恢復形變）；

4.完全非彈性碰撞：碰撞過程中物體的形變完全不能恢復，以致兩物體合為一體一起運動，

即兩物體在非彈性碰撞后以同一速度運動，系統機械能損失最大.

碰撞的特點：

1.相互作用時間極短.

2、相互作用力極大，即內力遠大于外力，遵循動量守恒定律.

碰撞過程滿足：

（1）動量守恒；

（2）機械能不增加;

(3)速度要合理；

①若碰前兩物體同向運動，則應有「后〉〃前，碰后原來在前的物體速度一定增大，若碰后兩

物體同向運動，則應有y前'>-后'.

②碰前兩物體相向運動，碰后兩物體的運動方向不可能都不改變.

3.物體的碰撞是否為彈性碰撞的判斷

彈性碰撞是碰撞過程中無機械能損失的碰撞，遵循的規律是動量守恒定律和機械能守

恒定律，確切地說是碰撞前后系統動量守恒，動能不變.

(1)題目中明確告訴物體間的碰撞是彈性碰撞.

(2)題目中明確告訴是彈性小球、光滑鋼球或分子(原子等微觀粒子)碰撞的，都是彈性碰撞.

4.彈性碰撞的結論

兩球發生彈性碰撞時應滿足動量守恒和機械能守恒.以質量為處、速度為歷的小球與

質量為Uh的靜止小球發生正面彈性碰撞為例，則有

nhV\—HhV\+如質'

12__1,2,1,2

2?歷=嚴V1十亍?吸

5.非彈性碰撞特征描述及重要關系式

發生非彈性碰撞時，內力是非彈性力，部分機械能轉化為物體的內能，機械能有損失,

動量守恒，總動能減少.滿足：

nhVi-\-nkVi=nhVi+仍吸'

1111

2>

於

2-2-2-飛2+-2-nkVi.

兩物體發生彈性正碰后的速度滿足：

/、nh-nk2rai

⑴「汴清、還==如

(2)兩球質量相等時，兩球碰撞后交換速度.

(二)反沖

1.定義：一個靜止的物體在內力的作用下分裂為兩個部分，一部分向某個方向運動，另一

部分必然向相反的方向運動，這個現象叫作反沖.

要點：①內力作用下；②一個物體分為兩個部分；③兩部分運動方向相反.

2.原理：遵循動量守恒定律

作用前：P=0

作用后：P'=mv-Mv'

則根據動量守恒定律有：P'=P

m

即mv-Mv'=0,故有：v'=——v

M

3.反沖運動的應用和防止

防止：榴彈炮

應用：反擊式水輪機、噴氣式飛機、火箭

4.人船模型

(1)模型：如果系統是由兩(或多)個物體組成的，合外力為零，且相互作用前合動量為

零，我們稱為人船模型。

(2)問題提出

如右圖所示，長為L,質量為叱的小船停在靜水中，一個質量為?的人站在船頭，若

不計水的粘滯阻力，當人從船頭走到船尾的過程中，船和人對地的位移各是多少？

【解析】由動量守恒定律，得-m2v2=0徵i

…-__4m2

由于在全過程動量都守恒，所以有mlVi-mv2=0九L

同乘以時間t,得mlvit-mv2t=0[............7

~S2一^—S]—>?

即mis1=m2s2

又由圖知

SX+S2=L,

m

解得兩物體位移分別為5,=——LSr=—^—L

mA+m2-?7]+m2

（3）模型特點

①兩物體滿足動量守恒定律：nhVi—nhVi=0.

②運動特點：人動船動，人停船停，人快船快，人慢船慢；人船位移比等于它們質量的反比;

人船平均速度（瞬時速度）比等于它們質量的反比，即%=上=叁.

X2v2nh

注意：公式打、匹和X一般都是相對地面的速度.

二、重點題型分類例析

題型1:動量守恒定律的內容及表達式

【例題1】（2020?江蘇鹽城市?高三月考）一個士兵在皮劃艇上，他連同裝備和皮劃艇的總

質量為M,這個士兵用自動步槍沿水平方向射出一發質量為根的子彈，子彈離開槍口時相

對步槍的速度為V,射擊前皮劃艇是靜止的，則射出子彈后皮劃艇的速度為（）

mvmvCmv口（M-m）v

A.-----------B.-----

M-mMM+mM

題型2：動量守恒定律的條件

【例題2】（2020?全國高三專題練習）（多選）如圖所示，在光滑的水平面上放有一物體

M,物體上有一光滑的半圓弧軌道，軌道半徑為R,最低點為C,兩端A,B等高，現讓小

滑塊機從A點由靜止下滑，在此后的過程中，則（）

A.M和相組成的系統機械能守恒，動量守恒

B.M和機組成的系統機械能守恒，動量不守怛

C.機從A到C的過程中M向左運動，機從C到8的過程中M向右運動

D.機從A到C的過程中，M向左運動，機從C到8的過程中Af向左運動

題型3：彈性碰撞

【例題3】（2020?全國高三專題練習）（多選）如圖所示，在光滑水平地面上，A、8兩物

體質量都為mA以速度v向右運動，B左端有一輕彈簧且初速度為0,在A與彈簧接觸以

后的過程中（A與彈簧不粘連），下列說法正確的是（）

A.輕彈簧被壓縮到最短時，A、B系統總動量仍然為根v

B.輕彈簧被壓縮到最短時，A的動能為一mv?

4

C.彈簧恢復原長時，A的動量一定為零

D.A、2兩物體組成的系統機械能守恒

題型4：非彈性碰撞

【例題4】（2020?河北衡水市?高三專題練習）質量為80kg的冰球運動員甲，以5m/s的速

度在水平冰面上向右運動時，與質量為100kg、速度為3m/s的迎面而來的運動員乙相撞，

碰后甲恰好靜止。假設碰撞時間極短，下列說法中正確的是（）

A.碰后乙向左運動，速度大小為lm/s

B.碰后乙向右運動，速度大小為7m/s

C.碰撞中甲、乙的機械能總共增加了1450J

D,碰撞中甲、乙的機械能總共損失了1400J

題型5：子彈打木塊問題

【例題5】（2021?全國高三專題練習）如圖所示，質量為M的長木塊放在水平面上，子彈

沿水平方向射入木塊并留在其中，測出木塊在水平面上滑行的距離為s。已知木塊與水平

面間的動摩擦因數為〃，子彈的質量為相，重力加速度為g,空氣阻力可忽略不計，則由此

可得子彈射入木塊前的速度大小為（)

M—m----

B.------------,2/〃gs

m

mmI-----

C.D.

m+M4^M—m

題型6：爆炸問題

【例題6】（2020?鞏義市第四高級中學高三期中）靜止在水平地面上的兩小物塊A、B,

質量分別為機A=L°kg，"%=4.0kg；兩者之間有一被壓縮的微型彈簧，如圖所示。某

時刻，將壓縮的微型彈簧釋放，使A、B瞬間分離，兩物塊獲得的動能之和為

Ek=10.0JoA、B與地面之間的動摩擦因數均為〃=0.20。重力加速度取g=10m/s2。

（1）求彈簧釋放后瞬間A、B速度的大小；

（2）物塊A、B中的哪一個先停止？該物塊剛停止時A與B之間的距離是多少？還需要多久

另一個物體也能停止？

（3）A和B都停止后，A與B之間的距離是多少？

題型7：火箭原理

【例題7】（2020?四川省瀘縣第一中學高三月考）（多選）“世界上第一個想利用火箭飛

行的人”是明朝的士大夫萬戶。他把47個自制的火箭綁在椅子上，自己坐在椅子上，雙手

舉著大風箏，設想利用火箭的推力，飛上天空，然后利用風箏平穩著陸。假設萬戶及所攜

設備（火箭（含燃料）、椅子、風箏等）總質量為〃，點燃火箭后在極短的時間內，質量為機

的熾熱燃氣相對地面以W的速度豎直向下噴出。忽略此過程中空氣阻力的影響，重力加速

度為g,下列說法中正確的是（）

A.火箭的推力來源于燃氣對它的反作用力

B.在燃氣噴出后的瞬間，火箭的速度大小為

M—m

22

mv

C.噴出燃氣后萬戶及所攜設備能上升的最大高度為八，°.

g（M-m）

D.在火箭噴氣過程中，萬戶及所攜設備機械能守恒

題型8：人船模型

【例題8】（2020?全國高三課時練習）如圖所示，質量150kg的木船長/=4m,質

量加=50kg的人站立在船頭，人和船靜止在平靜的水面上不計水的阻力，現在人要走到

船尾取一樣東西，則人從船頭走到船尾過程中，船相對靜水后退的距離為多大?

題型9：用動量守恒解決多過程問題

【例題9】(2020?北京高三月考)如圖，光滑水平面上靜止一質量加=L0kg、長L=0.3m

的木板，木板右端有質量加2=1.0kg的小滑塊，在滑塊正上方的。點用長r=0.4m的輕質細

繩懸掛質量?7=0.5kg的小球。將小球向右上方拉至細繩與豎直方向成獲60。的位置由靜止

釋放，小球擺到最低點與滑塊發生正碰并被反彈，碰撞時間極短，碰撞前后瞬間細繩對小

球的拉力減小了4.8N,最終小滑塊恰好不會從木板上滑下。不計空氣阻力，滑塊、小球均

可視為質點，重力加速度g取lOm/s?。求：

(1)小球碰前瞬間的速度大小；

(2)小球碰后瞬間的速度大小;

(3)小滑塊與木板之間的動摩擦因數。

題型10：動量守恒與能量結合問題

【例題10](2020?邵陽縣第一中學高三月考)如圖所示，一平板小車靜止在光滑水平面

上，質量均為機的物體A、B分別以2Vo和W的初速度，沿同一直線同時同向水平滑上小

車，剛開始滑上小車的瞬間，A位于小車的最左邊，B位于距小車左邊/處。設兩物體與小

車間的動摩擦因數均為山小車的質量也為加，最終物體A、B都停在小車上。求：

⑴最終小車的速度大小是多少?方向怎樣？

(2)若要使物體A、B在小車上不相碰，剛開始時A、B間的距離/至少多長?

2wvo

R叩，

00

'/〃/〃.*一〃〃〃〃〃/〃〃〃f〃〃.

參考答案

【例題1】B

【解析】子彈與皮劃艇(含士兵及裝備)組成的系統動量守恒，以子彈的速度方向為正方向，以地面為參

考系，設皮劃艇的速度大小為匕，則子彈的速度大小為丫-匕，由動量守恒定律得

v-Vj)-(M-m)=0

解得匕=豆，故選B。

【例題2】BD

【解析】AB.小滑塊，"從A點靜止下滑，物體M與滑塊機組成的系統水平方向所受合力為零，系統水平

方向動量守恒，豎直方向有加速度，合力不為零，所以系統動量不守恒，M和機組成的系統機械能守恒，

選項A錯誤，B正確；

CD.系統水平方向動量守恒，由于系統初始狀態水平方向動量為零，所以小從A到C的過程中，機向右

運動，M向左運動，城從C到2的過程中，M還是向左運動，即保證系統水平方向動量為零，選項C錯

誤，D正確。故選BD。

【例題3】AC

【解析】A、4和B組成的系統所受的外力之和為零，動量守恒，初態總動量為相丫，則彈簧壓縮最短時，

系統總動量仍然為根也故A正確.

B、輕彈簧被壓縮到最短時A和8的速度相等，由動量守恒有根丫=2ww共，可得v共=耳，則此時A的動

1,1,

能為&,=彳mv^=-mv；故B錯誤.

28

C、A和2在相對靠近壓縮彈簧和相對遠離彈簧恢復的過程中，滿足系統的動量守恒和機械能守恒，有：

mv=mvA+mvB,mv~=mv^+mv^,可得匕=0,vB=v；故C正確.

D、A、8為系統的機械能有一部分轉化為彈簧的彈性勢能，機械能不守恒，而A和8及彈簧組成的系統沒

有其它能參與轉化機械能守恒，而故D錯誤.故選AC.

【例題4】D

【解析】AB.甲、乙碰撞的過程中，甲、乙組成的系統動量守恒，以向右為正方向，設碰撞前甲的速度為

v甲，乙的速度為u乙，碰撞后乙的速度為M乙，由動量守恒定律得：相針甲一加乙"乙二加乙M乙

代入數據解得：M乙=lm/s,方向水平向右，故A錯誤，B錯誤；

CD.甲、乙碰撞過程機械能的變化量：入石=3叫偏+3吆%—3吆吃

代入數據解得AE=1400J,即機械能減少了1400J,故C錯誤，D正確。故選D。

【例題5】A

【解析】子彈擊中木塊過程，系統內力遠大于外力，系統動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得

mvi=(M+m)v

解得『4

M+m

子彈擊中木塊后做勻減速直線運動，對子彈與木塊組成的系統，由動能定理得：

一〃(M+m)gs=O~(M+m)v2

M+mi__

解得V1=-------J2〃gs,故A正確，BCD錯誤。故選A。

m

【例題6】(l)4m/s,Im/s；(2)B先停止運動，Im,1.5s；(3)4.25m

【解析】

(1)由題意可知，兩小物塊在彈簧被釋放時滿足動量守恒定律，規定向右為正方向，則

WV

AA+/nBVB=°

112

2mv

且IMAVA+~BB="=10J

聯立可得VA=4m/s,vB=-Im/s

所以彈簧釋放后瞬間A、B速度的大小分別為4m/s和lm/So

（2）由題意可知，兩小球在彈簧釋放后將做勻減速直線運動，加速度相同，其大小為

2

aA==a=4g=2m/s

由勻變速直線運動的速度公式可得v=%+0

物塊A停下來需要的時間為人=2s

aA

物塊B停下來需要的時間為。='=0.5s

1

所以可知，物塊B先停止運動。物塊B從彈簧釋放到停下所運動的位移為/=5為灰?=025m

在這段時間內，物塊A運動的位移為乙=vAtB=0.75m

則此時兩物塊相距的距離為AX=XB+XA=1m

物塊A想停下還需要的時間為加=心-灰=L5s

（3）物塊A從彈簧釋放到停下所運動的位移為X、=~aAt^=4m

則A和B都停止后，A與B之間的距離是&==4.25m

【例題7】AB

【解析】A.火箭的推力來源于燃料燃燒時產生的向后噴出的高溫高壓氣體對火箭的反作用力，故A正

確；

B.在燃氣噴出后的瞬間，視萬戶及所攜設備（火箭（含燃料）、椅子、風箏等）為系統，動量守恒，設火箭的

速度大小為也規定火箭運動方向為正方向，則有（M-陰）丫-根％=0

解得火箭的速度大小為v=—%

M—m

故B正確;

C.噴出燃氣后萬戶及所攜設備做豎直上拋運動，根據運動學公式可得上升的最大高度為

,v2m2Vg

h———-------x--------------

2g2(M-myg

故C錯誤；

D.在火箭噴氣過程中，燃料燃燒時產生的向后噴出的高溫高壓氣體對萬戶及所攜設備做正功，所以萬戶

及所攜設備機械能不守恒，故D錯誤。故選AB。

[例題8]1m

Y

【解析】設船移動距離為X,則人移動距離為/-X,以船行方向為正方向，船對地的平均速度為7,人對

7—Xx]—x

地的平均速度為-----，如圖所示，由動量守恒定律有M--m——二0

ttt

即Mx-m(l-x)=0

【例題9】(l)2m/s；(2)0.4m/s；(3)0.12。

【解析】

(1)小球下擺過程，機械能守恒根gr(l—cos8)=；mv2

小球碰前瞬間的速度大小v=y[gr=2m/s

2,2

(2)小球與小滑塊碰撞前、后瞬間，由向心力公式可得：FT—mg=m—,F\—mg=m-—

rr

由題意得：尸T一尸T=4.8N

聯立求得碰后瞬間小球的速度大小為v'=0.4m/s

(3)小球與小滑塊碰撞過程動量守恒，取向左為正方向，由動量守恒定律得：mv=-mv'+m2Vi

解得：vi=1.2m/s

小滑塊在木板上滑動過程中動量守恒，可得：加2也=(M21+