第02講等邊三角形的性質(zhì)和判定

題型歸納________________________________________

【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求邊長】

【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)求角度】

【題型3等邊三角形的判定與性質(zhì)】

【題型4含30。角的直角三角形的性質(zhì)】

基礎(chǔ)知識,知識梳理理清教材

考點(diǎn)1：等邊三角形的概念與性質(zhì)

1.等邊三角形概念

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.

注意：

（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

1800-ZA

zJ=180°-2z5,N2=4C=-------------.

2

（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一

定是等邊三角形.

2.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線（底邊上的高線

或中線）所在的直線就是它的對稱軸.

（2）三個角都是60。

題型分類深度剖析,）

【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求邊長】

【典例1】（24-25八年級上?四川成都?期中）

1.如圖，等邊三角形的邊長為6,則高的長為（）

試卷第1頁，共10頁

C.3A/3D.3

【變式1-1］（24-25八年級上?浙江寧波?期中）

2.已知等邊△NBC的一邊長為2,則它的周長是（）

A.2B.5C.6D.8

【變式1-2］（24-25八年級上?全國?期中）

3.如圖，等邊△ABC,點(diǎn)。是8C上任意一點(diǎn)，OE、。尸分別與兩邊垂直，等邊三角形的

高為4.則OE+OF的值為（）.

A.2B.273C.4D.473

【變式1-3］（24-25八年級上?海南僧州?階段練習(xí)）

4.如圖，已知△4BC是等邊三角形，且邊長為3,點(diǎn)。、E分別在邊/C、上，將ACOE

沿DE所在的直線折疊，若點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，DC,EC'分別交邊43于點(diǎn)尸、H.則陰影

部分圖形的周長等于（）

A.6B.7C.8D.9

【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)求角度】

【典例2】（2024八年級上?黑龍江?專題練習(xí)）

5.如圖，直線。〃b,等邊三角形NBC的頂點(diǎn)5在直線6上.若Nl=34。，則/2等于

試卷第2頁，共10頁

A

【變式2-1］（23-24八年級上?甘肅張掖?期末）

6.如圖，△4BC是等邊三角形，點(diǎn)。在4C邊上，ZDBC=35°,則的度數(shù)為（）

【變式2-2］（24-25八年級上?吉林?期末）

7.如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的等邊△NBC上，若4=24。，則/2的度數(shù)

為（）

【變式2-3］（24-25八年級上?遼寧大連?期末）

8.如圖，AABC妾ADEC,且點(diǎn)E恰好落在線段上，//=40。,=70。，則4DC4的度

數(shù)為（）

試卷第3頁，共10頁

基礎(chǔ)知識,知識梳理理清教材

考點(diǎn)2：等邊三角形的判定

（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.

（2）有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

題型分類深度剖析

【題型3等邊三角形的判定和性質(zhì)綜合】

【典例3】（24-25八年級上?甘肅定西,期末）

9.如圖，已知△NBC中48=NC,點(diǎn)尸是底邊的中點(diǎn)，PD工AB,PE1AC,垂足分別

是。、E,

⑴求證：PD=PE；

⑵若ZB/C=60。，BP=1,求ZUBC的周長.

【變式3-11（24-25八年級上?山東濱州?期中）

10.如圖，在等邊△48。中，//8C與的平分線相交于點(diǎn)。，且交5c于點(diǎn)

D,OE〃AC交BC于點(diǎn)、.

⑴試判定的形狀，并說明你的理由；

（2）若3c=10,求AODE的周長.

【變式3-2]（24-25八年級上?浙江杭州?期中）

11.我國的紙傘工藝十分巧妙.如圖，傘不論張開還是縮攏，傘柄/P始終平分同一平面內(nèi)

試卷第4頁，共10頁

兩條傘骨所成的角/8/C,ME=AF=DE=DF.

⑴求證：ZDAE=ZDAF.

⑵由（1）可得傘圈。在傘圈/尸上滑動.如圖1,傘打開時/A4c=120。，/E=20cm；當(dāng)

傘縮攏到圖2狀態(tài)時，N3/C=60。時，傘圈。下滑的距離0n長是多少？

【變式3-3］（2024七年級下?全國?專題練習(xí)）

12.如圖，過等邊△4BC的邊上一點(diǎn)尸，作尸EL/C于E,。為BC延長線上一點(diǎn)，且

PA=CQ,連尸。交NC邊于D.

（1）求證：PD=DQ.

（2）若△ABC的邊長為1,求。￡的長.

基礎(chǔ)知識/知識梳理理清教材

考點(diǎn)3：等邊三角形的判定

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

題型分類深度剖析

【題型4含30。角的直角三角形的性質(zhì)】

【典例4］（23-24八年級上?北京海淀?期中）

13.如圖，在△N3C中，NB=NC=30°,AD上AB交BC于點(diǎn)D,BC=12,貝!|2。=

試卷第5頁，共10頁

A

BDC

【變式4-1]（24-25九年級上?山東青島?期末）

14.如圖，小明在/處看見前面山上有個氣象站C,仰角為15。，當(dāng)筆直向山行4千米到達(dá)3

處時，小明看氣象站C的仰角為30。.請你算出這個氣象站離地面的高度。是.

【變式4-2]（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）

15.如圖，己知△48C中，ZC=90°,N/=30。，BD平分NCBA,且交4C于點(diǎn)D,

【變式4-3]（24-25八年級上?吉林?期末）

16.如圖，在中，ZC=90°,ZB=30°,以點(diǎn)/為圓心，NC為半徑作弧，交AB

、維達(dá)標(biāo)測試f

一、單選題

（24-25八年級上?山東荷澤?期中）

17.如圖，等邊ZUBC的邊長為4,8。平分//2C,點(diǎn)E在BC的延長線上，/E=30。,

則BE的長為（）

試卷第6頁，共10頁

/X

A.5B.6C.7D.8

（24-25八年級上?山東濟(jì)寧?期中）

18.如圖，△ABC中，AB=AC,Z8=30。，點(diǎn)。，￡在8c上，AD=BD,AE=CE.則

△NDE是()

C.直角三角形D.不等邊三角形

（24-25八年級上?山東臨沂?期中）

19.如圖，油紙傘在我國已有一千多年的歷史，是中國古代勞動人民智慧的結(jié)晶.圖1是油

紙傘展開后的剖面圖，圖2是油紙傘收起后的剖面圖.已知瓦E分別為NC和/尸的中點(diǎn)，

和△/￡￡）都為邊長為4的等邊三角形，。為撐桿上可移動的點(diǎn)，當(dāng)傘從展開狀

態(tài)到收起狀態(tài)的過程中，。移動的距離是。

（24-25八年級上?吉林松原?期末）

20.如圖，將三個大小不同的等邊三角形的一個頂點(diǎn)重合放置.若Nl=10。，/2=20。，則

N3的度數(shù)為（）

試卷第7頁，共10頁

A.10°B.20°C.30°D.40°

二、填空題

（24-25八年級上?遼寧大連?期中）

21.如圖，△NBC是等邊三角形，點(diǎn)。、E、產(chǎn)分別在48、BC、AC±,Zl=Z2,

ZDFE=70°,貝UAEDF=°.

（24-25八年級上?吉林?期末）

22.如圖，△4BC是等邊三角形，2。是NC邊上的中線，DMLBC,垂足為M,若

AC=4,貝!JCM=.

（24-25八年級上?全國?期末）

23.如圖，在ANBC中，AB=AC,3c=10,4D是NB/C的平分線，則50=

試卷第8頁，共10頁

（22-23八年級上?河北承德?期中）

24.如圖，過邊長為2的等邊△NBC的邊A8上點(diǎn)尸作PEL/C于E,。為BC延長線上一

點(diǎn)，當(dāng)尸/=C0時，連尸。交NC邊于。，則。E長為.

三、解答題

（24-25八年級上?浙江杭州,期中）

25.如圖，已知△NBC是等邊三角形，D,E,尸分別是射線用1,CB,/C上的點(diǎn)，且

AD=BE=CF,連結(jié)DE,EF,DF.

⑴求證：DE=EF；

⑵試判斷QEF的形狀，并說明理由.

（2024八年級上?全國?專題練習(xí)）

26.如圖：在△/8C中，AB=BC=AC,AE=CD,4D與BE相交于點(diǎn)尸，80_LND于

Q.求證：

（1）AADC冬ABEA；

⑵BP=2PQ.

（24-25八年級上?浙江臺州?期中）

27.如圖，一艘輪船由海平面上C地出發(fā)向南偏西25。的方向行駛20海里到達(dá)2地，再由3

試卷第9頁，共10頁

地向北偏西35。的方向行駛20海里到達(dá)/地，求/,C兩地相距多少海里？

試卷第10頁，共10頁

1.c

【分析】此題考查了等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理

是解本題的關(guān)鍵.由等邊三角形的性質(zhì)可知三邊長都為6,再利用等腰三角形的三線合一性

質(zhì)，由40與8C垂直得到。為8c的中點(diǎn),進(jìn)而由BC的長求出8。的長,在直角三角形ABD

中，由N3及2。的長，利用勾股定理即可求出40的長.

【詳解】解：為邊長為6的等邊三角形，且

AB=AC=BC=6,

.-.BD=CD=-BC=3,

2

在中，由AB=6,BD=3,

根據(jù)勾股定理得：AD=JAB2'-BD?=373.

故選：C.

2.C

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此

此題可根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由等邊A/BC的一邊長為2,可知：該等邊三角形的三條邊都為2,所以它的

周長為6；

故選C.

3.C

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的面積求法等知識點(diǎn)，根據(jù)

S^BC=SAAOB+SAAOC,由是等邊三角形，得出三個三角形是等底的三角形，進(jìn)而可

得出高+高等于三角形NBC的高，熟練掌握三角形的面積求法是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】連接/。，

...△/BC是等邊三角形,

：.AB^AC=BC,

答案第1頁，共16頁

VOELAB,OFLAC,S“BC=S^OB+SfOC，等邊三角形的高為4,

.-.-BCx4=-ABOE+-AC-OF,即l*4=,(。￡+0/)，

22222

OE+OF=4,

故選：C.

4.D

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)得CD=C'。，

C￡=C'E是解題的關(guān)鍵.利用折疊的性質(zhì)可得CD=CD,CE=CE,利用等量代換和等式

的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：利用折疊的性質(zhì)可得：CD=C'D,CE=CE.

???陰影部分圖形的周長=/O+C'D+NH+C7/+5a+2￡+￡77

=(AD+C'D)+(AH+BH)+(C'H+HE+BE)

=(AD+CD)+AB+(BE+EC)

—AB+AC+BC,

???△4BC是邊長為3的等邊三角形，

：.AB=AC=BC=3,

.-.AB+AC+BC=9,

???陰影部分圖形的周長等于9,

故選：D.

5.C

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)；由等邊三角形

的性質(zhì)得乙4=60。，由三角形外角的性質(zhì)得N3=N/+N1,由平行線的性質(zhì)得N2=/3,

即可求解；掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

答案第2頁，共16頁

/3=//+/1

=60。+34。

=94°,

■:a"b,

Z2=Z3=94°,

故選：C.

6.D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，熟練掌握等邊三角形性質(zhì)及外角

定理是解題的關(guān)鍵?利用等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角定理計算即可?

【詳解】是等邊三角形，

.??/。=60。，

???NDBC=35。,

??.NADB=/C+NDBC=60。+35。=95°,

故選：D.

7.B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：?.?等邊△/5C,

??./ABC=60°,

vZl=24°,

/DEB=/1=24。,

?:/ABC=/EDB+/DEB,

??.ZEDB=/ABC-/DEB=36。，

,:DE〃FG,

.?.N2=/EDB=36。,

故選：B.

答案第3頁，共16頁

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，熟

練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】本題考查全等三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等.根據(jù)題意可以得出

BC=EC,繼而得到NCE8=NC3E=70。，再利用三角形內(nèi)角和可得48CE=40。，即可得

到本題答案.

【詳解】解：：△/BC2△DEC,

：.BC=EC,NDCE=NACB,

ZDCE-ZACE=ZACB-ZACE,gpZDCA=ZBCE,

/CEB=ZCBE=70°,

NBCE=180°-70°-70°=40°,

ZDCA=ZBCE=40°,

故選：C.

9.(1)證明見解析

(2)6

【分析】(1)由等邊對等角可得ZB=NC,再證明A瓦乃經(jīng)ACEP(AAS)即可求證；

(2)由8P=1得5c=2,再證明△/2C為等邊三角形的，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解;

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握

以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明："AB=AC,

NB=/C,

,?,點(diǎn)P是底邊的中點(diǎn)，

；.BP=CP,

PDLAB,PEVAC,

:.NBDP=NCEP=90°,

咤ACEP(AAS),

；.PD=PE；

(2)解：?點(diǎn)尸是底邊的中點(diǎn)，

BC=2BP=2,

答案第4頁，共16頁

■.■AB=AC,NA4c=60°,

.?.△4BC為等邊三角形的，

.t./\ABC的周長=38C=3x2=6.

10.(1)AO￡>￡為等邊三角形，理由見解析

⑵10

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)

性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)先結(jié)合△NBC為等邊三角形，以及平行線的性質(zhì)得/ODE=/4BC=60。，

ZOED=ZACB=60°,即可證明AOOE為等邊三角形，進(jìn)行作答.

(2)結(jié)合角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)得/D08=4080,再由等角對等邊，得

BD=OD,同理得CE=OE,即可作答.

【詳解】(1)解：AODE為等邊三角形，

理由如下：

?.?△/2C為等邊三角形，

.-./ABC=ZACB=60°,

■：OD//AB,OE//AC,

ZODE=ZABC=60°,ZOED=ZACB=60°,

.?.△ODE為等邊三角形；

(2)解：-：OB^ZABC,OD//AB,

AABO=NDOB,ZABO=ZDBO,

ZDOB=NDBO,

BD=OD,

同理CE=OE,

t￡)DE的周長=OD+DE+OE=+DE+CE=BC=10.

11.⑴見解析

(2)f20>/3-20jcm

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等

知識，適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理證明2AEaDAF是解題的關(guān)鍵.

(1)由=/尸，DE=DF,AD=AD,根據(jù)“SSS”證明鄉(xiāng)“14尸，貝!！

答案第5頁，共16頁

/DAE=ZDAF；

(2)首先證明ZUOE是等邊三角形，貝lJZD=ZE=20cm,結(jié)合NHZC=60。證明A/E尸是等

邊三角形，所以跖=/￡,設(shè)AD1交EF于點(diǎn)H,則即=F"=10cm,/AHE=90。,利用

勾股定理解得力〃的值，易知力R=2力即可求得答案.

【詳解】(1)證明：在△。4￡和^^產(chǎn)中，

AE=AF

<DE=DF,

AD=AD

??.△DAE%D4F(SSS),

???/DAE=ZDAF.

(2)解：如圖1,

vZBAC=120°,AE=20cm,

/DAE=ZDAF=-ABAC=60°,

2

AE=DE,

???△4DE是等邊三角形，

??.AD=AE=20cm,

如圖2,設(shè)交所于點(diǎn)H,

AA

A/iA

//W\/\\

/芬c

,

AE-AF=20cm,ABAC=60°,

尸是等邊三角形，

EF=AE=20cm,

???ND]AE=ZD.AF,

.-.EH=FH=^EF=10cm,ADX1EF,

；.NAHE=90°,

答案第6頁，共16頁

??AH=y/AE2-EH2=A/202-102=loVJcm，

VAE=DE,EF±ADX,

：.DXH=AH,

ADX-2AH=20百cm,

...DD[=4D]—AD=^20-\/3—2ojcm,

答：傘圈。下滑的距離。。長是(20G-20km.

12.(1)見解析

*

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等

知識.熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

(1)如圖，過P作尸產(chǎn)“BC交NC于點(diǎn)R證明A4P廠是等邊三角形；證明

^PFD^QCD(ASA),進(jìn)而結(jié)論得證；

(2)由(1)可知，△4P廠是等邊三角形，由PEL/C,可得4E=EF,由(1)可知，

△PFD知QCD(ASA),則CD=DP,mDE=EF+DF=^AC,計算求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，過尸作尸尸〃8c交NC于點(diǎn)R

...ZAFP=ZACB,ZFPD=ZQ,ZPFD=ZQCD,

???△4BC為等邊三角形，

.-.ZA=ZACB=60°,

NA=NAFP=60°,

尸尸是等邊三角形；

???AP=PF,

■.■PA=CQ,

答案第7頁，共16頁

：.PF=CQ

：.APFD公AQCD（ASA）,

：.PD=DQ.

（2）解:由（1）可知，A/P尸是等邊三角形，

■.■PE1AC,

：.AE=EF,

由⑴可知，APFDAQCD（AS*,

CD=DF,

DEEF+DFAC=-,

22

??.DE的長為g.

13.8

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，含30。角的直角三角形的性

質(zhì)，由=NC=30。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得NBAC=120。，由垂直定義得ABAD=90°,

則/。￡>=/C=30。，由30。角的直角三角形的性質(zhì)得瓦）=2N。，然后代入即可求解，掌

握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：■:NB=/C=30。,

ABAC=180°-30°-30°=120°,

-：AD±AB,

ABAD=90°,

ACAD=ZC=30°,

BD=2AD,AD=CD,

.-.BD=-BC=8,

3

故答案為：8.

14.2千米

【分析】該題主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意.

根據(jù)題意證明乙8。/=44,得出3C=/3=4千米，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：■■■ZCBD=ZA+ZBCA,ZA=15°,NCBD=30。,

.-.ZSG4=30°-15o=15°,

答案第8頁，共16頁

:"BCA=/A,

BC=AB=4（千米），

-CDVAB,

.?.CD=-BC=-x4=2（千米）.

22

故答案為：2千米.

2

15.一

3

【分析】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)、角平分線定義以及等腰三角形的判定等

知識，熟練掌握含30。角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵.由直角三

角形的性質(zhì)和角平分線定義得則3O=2C。，AD=BD=2CD,

得AC=3CD,再求出CD=；,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,??/C=90。，ZA=30°,

/ABC=60°,

?；BD平分/CBA,

：.ZCBD=ZABD=30°=乙4,

■.BD=2CD,AD=BD=2CD,

.-.AC=3CD,

■：AC=\,

：.CD=-,

3

：.AD=AC-CD=\--=-

33

2

故答案為：—.

16.3

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

=根據(jù)尺規(guī)作圖知==利用3。=3,列式計算即可求解.

【詳解】解：在中，ZC=90°,Z5=30°,

2

???以點(diǎn)/為圓心，/C為半徑作弧，交4B邊于點(diǎn)D,

答案第9頁，共16頁

...AD=AC=-AB,

2

???BD=3,

；?AB—AD=3,BP2AD-AD=3f

解得AD=3,

AC=AD=3,

故答案為：3.

17.B

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意易得NO=CO=2cm,N/C8=60。，然后可得NE=NCDE=30。，進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：???邊△4BC的邊長為4,,BD平分/ABC,

AD=CD=-AC=-AB=2,ZACB=60°,

22

vZ￡=30°,

??.ZCDE=ZACB-ZE=30°,

??.ZE=ZCDE=30°,

：.CE=CD=2,

；,BE=CE+BC=2+4=6.

故選B.

18.B

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、等邊三角形的判

定定理，由等邊對等角得出N54D=/5=30。，NCAE=NC=30。,再由三角形外角的定義

及性質(zhì)可得N4D￡=NA4Q+N5=60。，NAED=NCAE+NC=60。,即可得解.

【詳解】解：中，AB=AC,/5=30。，

??./C=/5=30。，

vAD=BD,AE=CE,

ZBAD=ZB=30°,ZCAE=ZC=30°,

???/ADE=/BAD+/B=60°,ZAED=/CAE+ZC=60°,

???△4D￡是等邊三角形，

故選：B.

19.B

答案第10頁，共16頁

【分析】本題考查等邊三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì).當(dāng)傘從展

開狀態(tài)到收起狀態(tài)的過程中，。移動的距離是+據(jù)此求解即可.

【詳解】解：和△/￡￡?都為邊長為4的等邊三角形，

.-.AB=BD=AD=AE=DE=4,

當(dāng)傘從展開狀態(tài)到收起狀態(tài)的過程中，D移動的距離是+AD-AD=4+4-4=4,

故選：B.

20.C

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，角的和差計算，根據(jù)題意，得到

N1+N4+N3=/3+N4+/5=/5+/2+/3=60°,進(jìn)行求角牟即可.

【詳解】解：如圖，由題意，得：/1+/4+/3=/3+/4+/5=/5+/2+/3=60°

.?./5=/1=10。，

.-.Z3=60°-Z2-Z5=30°；

故選C.

21.50

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，證明

ZDEF=ZB=60°,可得結(jié)論.

【詳解】解：???△/8C是等邊三角形，

ZA=ZB=ZC=60°,

???ZDEC=Z2+ZDEF=Z1+ZB,Z1=Z2,

ZDEF=ZB=60°,

???ZDFE=70°,

ZEDF=180°-ZDEF-NDFE=180°-60°-70°=50°.

故答案為：50.

22.1

答案第11頁，共16頁

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，由△/BC是等邊三

角形，得/C=60。，BA=BC,由等腰三角形“三線合一"得">=CO=g/C=2,最后由含

30。角的直角三角形得性質(zhì)即可求解，掌握等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，含30。角的直角三

角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???△/2C是等邊三角形，

ZC=60°,BA=BC,

.??8。是NC邊上的中線，

.-.AD=CD=-AC=2,

2

■:DMLBC,

ZDMC=90°,

:.NCDM=30°,

.-.CM=-CD=\,

2

故答案為：1.

23.5

【分析】本題考查三線合一，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：,??/5=4。，NA4C的平分線交5C邊于點(diǎn)。，8。=10,

：.BD=CD=LBC=5.

2

故答案為：5

24.1

【分析】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，

關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)、定理，認(rèn)真地進(jìn)行計算.過P做8C的

平行線至NC于尸，通過求證APED和AOCD全等，推出FD=CD,再通過證明尸尸是等

邊三角形和尸推出/E=￡F,即可推出4E+DC=EF+FD,可得ED」4C,即

2

可推出的長度.

【詳解】解：過尸做的平行線至NC于尸，

答案第12頁，共16頁

A

,??等邊

NAPF=NB=60°,ZAFP=ZACB=60°,

尸是等邊三角形，

.-.AP=PF,

???AP=CQ,

：.PF=CQ,

,在APFD和32)中，

ZFPD=ZQ

<NPDF=NQDC,

PF=CQ

APFD^△0CD(AAS),

FD=CD,

?.?尸E_L/C于E,△4P尸是等邊三角形，

AE=EF,

AE+DC=EF+FD,

:.ED=-AC,

2

■：AC=2,

：.DE=\.

故答案為1.

25.(1)證明見解析

(2)”)跖是等邊三角形，理由見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，

(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得4?=3C=/C,/BAC=N4BC=/ACB=60。,則

ZDAF=ZEBD=ZFCE=120°,再根據(jù)ND=8E=CP,得BD=CE=AF,證明

&DEB沿LEFC(SAS)全等,