第七章隨機變量及其分布(n題型清單)

01思維導圖

02知識速記

1：條件概率

P(AB}

(1)一般地，設4,5為兩個隨機事件，且P(A)>0,我們稱P(3|A)=T77s為在事件A發生的條件

下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率.

2：乘法公式

由條件概率的定義，對任意兩個事件A與6,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)-P(3|A).我們稱上式為

概率的乘法公式.

3：事件的相互獨立性

(1)事件A與事件B相互獨立：對任意的兩個事件4與8,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與

事件6相互獨立，簡稱為獨立.

(2)性質：若事件A與事件8相互獨立，則A與耳，?與耳與耳也都相互獨立，P(B\A)=P(B),

P(A|B)=P(A).

4：全概率公式

(1)一般地，設A，A,,4…4是一組兩兩互斥的事件，AU4U&-U4=O^P(4)>O,

，=1,2,3,4…凡則對任意的事件3口。，有p(3)=汽P(A)P(BI4)，我們稱此公式為全概率公式.

i=l

5：兩點分布

對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，

1,A發生

了表示“失敗"，定義x=<

0,破生

如果P(A)=P，則尸(a=l-p,那么X的分布列如下所示:

X01

P1-PP

我們稱X服從兩點分布或者0-1分布.

6：離散型隨機變量的均值與方差

一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為:

X%Xn

PPiPlPiP"

則稱E(X)=xxpx+x2p2+---+xnpn=￡x“p”為隨機變量X的均值(mean)或數學期望(mathematical

i=l

expectation),數學期望簡稱期望.

2

稱D(X)=&-E(X))2A+---+U,-E(X))22+???+(%-E(X))2pn=￡(x;-E(X))Pi

Z=1

為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X).稱cr(X)=《D(X)為隨機變量X的標準差.

7：二項分布

一般地，在“重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為P(0<。<1),用X表示事件A發

生的次數，則X的分布列為尸(X=A)左=1,2,3,

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作x~5(〃,p).

8：超幾何分布

一般地，假設一批產品共有N件，其中有〃件次品，從N件產品中隨機抽取"件(不放回)，用X表示抽

^~ik^~m—k

取的〃件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=M：M,k=m,m+l,m+2,---,r.

其中心N,A/eN*,M<N,n<N,m=max{O,n-N+M},r=vnin{n,M}.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

9：正態分布

若隨機變量X的概率密度函數為/(%)=—占)刀L，(xwH,其中4￡尺，。＞0為參數)，稱隨機變

量X服從正態分布，記為X?N(〃Q2).

03題型歸納

題型一計算條件概率

例題1：(2025?河南鄭州?一模)將一枚質地均勻的正八面體骰子連續拋擲2次，其八個面上分別標有1?8八

個數字，記錄骰子與地面接觸的面上的點數，用X,￥表示第一次和第二次拋擲的點數，則

P(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

【答案】B

【知識點】計算條件概率

【分析】設事件A為：min(X,7)=4,事件8為：max(X,y)=8,用列舉法寫出事件事件A3和事件A的

各種情況，計數后由條件概率公式計算.

【詳解】設事件A為：min（X,￥）=4.

當min（X,￥）=4時，

分兩種情況：

第一次擲出4,第二次擲出大于等于4的數，即第二次可以是4,5,6,7,8,共5種情況；

第二次擲出4,第一次擲出大于等于4的數，即第一次可以是4,5,6,7,8,共5種情況，

兩種情況都有第一次和第二次都擲出4,共1種情況，

所以事件A包含的基本事件數為5+5-1=9.

設事件8為：max（X,￥）=8,

則事件A8為：max（X,丫）=8且min（X,丫）=4,

有X=4,y=8和X=8,y=4兩種情況.

由條件概率公式：

w）=巴竺型二

11）P（A）/i（A）9'

故選：B.

例題2：（2425高三上?天津?期末）中華茶文化源遠流長，博大精深，不但包含豐富的物質文化，還包含深

厚的精神文化.其中綠茶在制茶過程中，在采摘后還需要經過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現在某綠茶廠將

234

采摘后的茶葉進行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為門丁每道工序的加工都相

互獨立，則茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格的概率為；在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加

工合格的前提下，殺青加工合格的概率為一

597

【答案】

6013

【知識點】計算條件概率、獨立事件的乘法公式

【分析】利用對立事件和獨立事件的概率公式求解第一空，利用條件概率公式求解第二空.

【詳解】解：設事件A表示“茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格”，則事件彳表示“茶葉加工中三道工

序都不合格”,

2459

所以尸（A）=l一尸（可=1一1x1-1x1

35j~60f

設事件B表示“綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格”，事件C表示“殺青加工合格”,

23223413

貝4尸（3）=§、1、1-1+—xq+ix—x———,

334530

U4+幺2347

P（BC）=ix—=—，

3453530

7

所以P?B)=*=晉=工

13

30

597

故答案為：E

例題3：（2425高三上?上海楊浦?期末）某校高二有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人

報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為.

4

【答案】y/0.8

【知識點】計算條件概率

【分析】記事件A:某人報足球俱樂部，記事件3:某人報乒乓球俱樂部，根據題意求出"（An?的值，再利

用條件概率公式可求得尸（網A）的值.

【詳解】記事件A:某人報足球俱樂部，記事件8:某人報乒乓球俱樂部,

因為〃（AUB）=〃（A）+〃（3）—即50+60—“（4n3）=70,解得心|"|3）=40,

則尸（刎二%

4

故答案為：—.

鞏固訓練

1.（2425高三上?江蘇?期末）第15屆中國國際航空航天博覽會于2024年II月12日至17日在珠海舉行.本

屆航展規模空前，首次打造“空、海、陸''一體的動態演示新格局，盡顯逐夢長空的中國力量.航展共開辟

了三處觀展區，分別是珠海國際航展中心、金鳳臺觀演區、無人系統演示區.甲、乙、丙、丁四人相約去

參觀，每個觀展區至少有1人，每人只參觀一個觀展區.在甲參觀珠海國際航展中心的條件下，甲與乙不到

同一觀展區的概率為（）

5_

A.BD.

6-I5

【答案】A

【知識點】計算古典概型問題的概率、計算條件概率

【分析】記事件A:甲參觀珠海國際航展中心，事件3:甲與乙不到同一觀展區，求出尸（A）、尸（AB）的值,

利用條件概率公式可求得所P（B|A）的值，即為所求.

【詳解】記事件A:甲參觀珠海國際航展中心，事件3:甲與乙不到同一觀展區，貝”（A）=g,

因為每個觀展區至少有1人，每人只參觀一個觀展區，

則先將4個人分為3組，再將這三組分配給三個展區，

基本事件的總數為“（Q）=C；A；=36,

若事件A、8同時發生，若參觀珠海國際航展中心有2人，則另外一人為丙或丁，

此時，不同的參觀情況種數為2A；=4,

若參觀珠海國際航展中心只有甲一人，將另外三人分成兩組，再將這兩組分配給另外兩個展區,

此時，不同的參觀情況種數為C；A；=6種，

因此,

z.\P（AB\55

由條件概率公式可得尸（叫4）=尤/=行'3=%.

故選：A.

2.（2324高三下?河北?階段練習）甲、乙、丙、丁4位同學報名參加學校舉辦的數學建模、物理探究、英

語演講、勞動實踐四項活動，每人只能報其中一項，則在甲同學報的活動其他同學不報的情況下，4位同學

所報活動各不相同的概率為（）

A.±B,AC.2D.§

183299

【答案】C

【知識點】計算條件概率

【分析】設4="甲同學報的活動其他同學不報"，3=”4位同學所報活動各不相同”，根據條件概率公式分

別計算出積事件AB所含的基本事件數和事件A所含的基本事件數，代入公式尸（叫力=尢司2計算即得.

【詳解】設4="甲同學報的活動其他同學不報"，3=”4位同學所報活動各不相同”，

由題得〃（A）=4x3x3x3,n（AB）=4x3x2xl,

所以P（則=嚅4x3x2xl2

4x3x3x3-9

故選：C.

2—38

3.（2425高三上?湖北?期末）對于隨機事件A,3,若尸（81A）=g,P（N⑶=g,P（B）=—P（A）=________.

3o15

【答案】1/0.5

【知識點】計算條件概率

【分析】利用條件概率計算即可求解.

_P（AB）3,、8

【詳解】解：P（A|B）=4—=且*8）=”,

815

P（AB）=JP（A|B）-P（B）=1,

P(AB)2

P網A)=＞、：一

P(A)3

則P(A)=(

故答案為：—■

題型二乘法公式應用

例題1：(2024高三.全國.專題練習)一個不透明的箱子裝有若干個除顏色外完全相同的紅球和黃球.若第

一次摸出紅球的概率為!■,在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出黃球的概率為:，則第一次摸出紅球

且第二次摸出黃球的概率為()

A.±B.1C.2D.』

10555

【答案】B

【知識點】條件概率性質的應用

【分析】記事件A="第一次摸出紅球”，事件8="第二次黃球"，由條件概率公式求解即可.

21

【詳解】記事件A="第一次摸出紅球”，事件3="第二次黃球”，則尸(A)=g,P(B\A)=~,

由條件概率公式得P(B\A)=與黑,則P(AB)=P(B|A)x尸(A)==

255

故選：B.

例題2：(2324高二下?江蘇常州?期中)已知隨機事件48,尸(4)=2(而4)=3，尸(8)=(則P(A2)=.

P(A|B)=.

13

【答案】-/0.25-/0.375

48

【知識點】條件概率性質的應用、計算條件概率

【分析】求出P(月)和尸(A豆)，由概率的乘法公式和條件概率公式，可得結果.

［詳解】由概率的乘法公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=|xl=l,

_21—1

因為尸(萬)=1一尸(2)=：,P(AB)=-,則尸(AB)=P(A)-尸(AB)=1,

344

1

RA4-3

B)----

所以由條件概率公式得P(⑷B)p(28

B)-

3

i3

故答案為：—;—

例題3：（2425高三?上海?課堂例題）已知尸（A|B）=；,則P（Ac3）=.

【答案】

0

【知識點】條件概率性質的應用

【分析】由條件概率公式求解.

【詳解】a（/n6）=P（AB）=P⑻P（AI⑻=gX：=J,

'，326

故答案為：—

6

鞏固訓練

1.（2021高二下?山東青島?期中）某機場某時降雨的概率為（，在降雨的情況下飛機準點的概率為則

某時降雨且飛機準點的概率為（）

A.—?B.—C.—D.—

242550

【答案】D

【知識點】條件概率性質的應用

【分析】根據條件概率計算公式求解概率即可得出答案.

【詳解】記事件A="飛機準點”，記事件B="機場降雨”

根據題意，尸（8）=:，在降雨的情況下飛機準點的概率為：尸（加3）=，

P（AB）

根據條件概率計算公式，P（A\B）=^^-

所以某時降雨且飛機準點的概率為，P（AB）=P（B）-P（A|B）=|x^=^

選項ABC錯誤，選項D正確

故選：D.

2.（2024?浙江.模擬預測）己知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現每十個人中有六人能夠做出

第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為01；第一問做出的情況下，第二問做不出的概

率為06用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是；得0分的概率是.

69

【答案】0.24/—0.36/—

【知識點】利用對立事件的概率公式求概率、條件概率性質的應用

【分析】設相應事件，由題意可得P（A），P（8I磯尸僅IA）,根據對立事件結合條件概率公式分析求解.

【詳解】設“第一問做出”為事件4“第二問做出”為事件3，

由題意可得：P（A）=0.6,P（洌A）=0.1,P（B|A）=0.6,

則P（A）=0.4,IA）=0.9,P（B|A）=0.4,

所以P（AB）=P（A）P（B|A）=0.24,即此題得滿分的概率是0.24；

所以尸（另豆）=P（A）P（B|A）=0.36,即止匕題得滿分的概率是0.36.

故答案為：0.24；0.36.

2

3.（2324高二下.黑龍江哈爾濱?期中）某地區氣象臺統計，該地區下雨的概率為石，已知下雨的條件下，

刮風的概率為三，則既刮風又下雨的概率為_______.

12

【答案】得

【知識點】條件概率性質的應用

【分析】先設事件A為下雨，事件B為刮風，由概率乘法公式尸（4?）=P（A）-P（8|A）計算可得.

【詳解】設事件A為下雨，事件B為刮風，

由題意得，P（A）=-,P（B|A）=^,又尸仍|A）=4/

755

所以P（AB）=P（A）.尸（B|A）==x不=去.

UiZ/o

故答案為：.

7o

題型三全概率公式

例題1：（2425高三上?山東濰坊?期末）盒中有5個紅球，3個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色

后放回，并放入同色球2個，再從盒中任取一球，則第二次取出的是黑球的概率是（）

A.—B.-C.-D.4

10782

【答案】C

【知識點】計算古典概型問題的概率、利用全概率公式求概率

【分析】設第一次取到黑球為事件4第二次取到黑球為事件B,根據題意可得P（A）,P（A）,P（B|A）,P（B|A）,

結合全概率公式運算求解.

【詳解】設第一次取到黑球為事件4第二次取到黑球為事件2,

則/⑷=>0）=M（B|A）磊尸但可得，

所以尸（8）=尸（B|A）P⑷+咐可「㈤亮*|+?親|.

故選：c.

例題2：（2425高三上?安徽宿州?期末）兩批同種規格的產品，第一批占25%,次品率為5%；第二批占75%,

次品率為4%,將兩批產品混合，從混合產品中任取一件，則這件產品為次品的概率為.

17

【答案】一/0.0425

400

【知識點】利用全概率公式求概率

【分析】由全概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】記事件4：所取的一件產品來自第八i=l,2）批，記事件3:所取的一件產品為次品，

1Q11

則尸⑷尸（4）="尸（叫4）=］，尸（固4）=不，

IIQI17

由全概率公式可得P（B）=P（A）P（B|A）+P（4）PM4）=/^+/X=旃?

17

故答案為：旃.

例題3：（2425高三上?天津靜海?階段練習）有三臺車床加工同一型號的零件，第一臺為舊車床加工的次品

率為10%,第二，三臺為新車床加工的次品率均為5%,三臺車床加工出來的零件混放在一起.已知一，二，

三臺車床加工的零件數分別占總數的20%,40%,40%.任取一個零件，計算它是次品的概率為.

3

【答案】0.06/-

【知識點】利用全概率公式求概率

【分析】根據全概率公式求解即可.

【詳解】設3="任取一個零件為次品"，4="零件為第后車床加工”（，=1,2,3）,

則。=4口4口&,且A，4,4兩兩互斥，

根據題意得P（A）=0.2,）=0.4,p（A,）=0.4,

P（B|4）=0.1,P（B|4）=P（B|4）=0.05,

由全概率公式得

P（B）=P（4）P（B|A）+尸（4）P（j?l4）+尸（A）尸（困4）=0.2X0.1+0.4X0.05+0.4X0.05=0.06.

故任取一個零件，它是次品的概率為0.06.

故答案為：0.06.

鞏固訓練

1.（2425高二上?黑龍江哈爾濱?期末）某地市場上供應一種玩具電動車，其中甲廠產品占乙廠產品占;，

丙廠產品占;，甲廠產品的合格率是95%,乙廠產品的合格率是90%,丙廠產品的合格率是80%,若從該

地市場上買到一個電動車，此電動車是次品的概率是（）

A.0.08B.0.15C.0.1D.0.9

【答案】C

【知識點】利用全概率公式求概率

【分析】根據全概率公式，即可求解.

【詳解】設電動車為甲廠生產為事件A,電動車為乙廠生產為事件8,電動車為丙廠生產為事件C,電動

車為次品為事件M，

則尸（A）=g,p（3）=p（c）=；,且尸他⑷=1-95%=0.05,=1-90%=0.1,

P（M|C）=l-80%=0.2

則P（Af）=P（A）尸他同+尸（B）P（M⑻+P（C）P（M|C）

=-xO.O5+-xO.l+-xO.2=O.l.

244

故選：C

2.（2425高三上.云南昆明.期中）若尸（引力=|,P（B|A）=|,P（A）=；，貝1」尸（3）=.

【答案】1/0.625

O

【知識點】利用對立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率

【分析】根據全概率公式以及對立事件的概率公式求解即可.

【詳解】因為尸"）=：,所以尸（可=1一2網=1-；=；,

所以尸（2）=尸（BA）+P（函）=尸（冏4）?尸（A）+P（同N）?尸（X）=gx：+gx；=g

故答案為：—.

O

3.（2324高二下.湖南邵陽?期末）有甲、乙兩個工廠生產同一型號的產品，其中甲廠生產的占40%,甲廠

生產的次品率為2%，乙廠生產的占60%，乙廠生產的次品率為3%,從中任取一件產品是次品的概率是

13

【答案】0.026/—

【知識點】利用全概率公式求概率

【分析】利用全概率公式，即可求解.

【詳解】設A，&為甲，乙兩廠生產的產品，B表示取得次品，

p（4）=0.4,尸（4）=0.6,P（B⑷=0.02,P（B|4）=0.03,

所以尸（8）=尸（A）尸（用4）+尸（4）P（網&）,

=0.4x0.02+0.6x0.03=0.026.

所以任取1件產品的概率為0.026.

故答案為：0.026

題型四貝葉斯公式

例題1：（2324高二下?廣東廣州?期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學，其中參加數學興趣社

團的學生分別有10人和8人，現從這兩個班中隨機抽取一名同學，若抽到的是參加數學興趣社團的學生,

則他來自高三（1）班的概率是（）

A.—B.-C.-D.-

40984

【答案】B

【知識點】利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率

【分析】設事件后根據題干得到P（A）,P（B）,P（C|A）,P（C|B）,由全概率公式求得尸（C）,由乘法公式

得到尸（AC）,由條件概率公式得到P（A|C）.

【詳解】設事件A為“抽到的學生來自高三（1）班”，事件B為“抽到的學生來自高三（2）班”，事件C為“抽

到的學生參加數學興趣社團，，，

則尸（A）=g,P（C|A）=^=|）P（C|8）=U，

由全概率公式得尸（C）=P（A）尸（C|A）+P（B）尸（C|3）=gx；+；xg=[,

由乘法公式得尸（AC）=P（A）P（C|A）=|x|=|,

24o

1

8-5

由條件概率公式得P（A|C）=粵2=--

99-

1

40

故選：B.

例題2：（2324高二下?福建泉州?期末）某學校有A2兩家餐廳，王同學第1天選擇B餐廳就餐的概率是g,

4

若第1天選擇A餐廳，則第2天選擇A餐廳的概率為彳；若第1天選擇3餐廳就餐，則第2天選擇A餐廳

3

的概率為已知王同學第2天是去A餐廳就餐，則第1天去A餐廳就餐的概率為（）

?3「8一1一1

A.—B.—C.—D.一

111153

【答案】B

【知識點】計算條件概率、乘法公式、利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率

【分析】利用互斥事件的概率加法公式、積事件的乘法公式進行計算求解.

【詳解】設4="王同學第i天去從餐廳就餐”，瓦="王同學第，天去2餐廳就餐"，i=l，2,

143?

依題意,「（4戶屋P（4I4）=M，尸（41片）=寸則尸（4）=屋

由尸(4IA)=9")=g有:P(&A)=A

JJID

因為4=AAUB出,所以尸(&)=尸耳4)=P(A4)+P(耳4)

241311

=^(A)mi4)+JP(s1)P(AIB1)=jx-+-x-=-,

8

n

故選：B.

例題3：（2025高三?全國?專題練習）一個大型電子設備制造廠有A和3兩條生產線負責生產電子元件.已知

生產線A的產品合格率為95%,生產線2的產品合格率為90%,且該工廠生產的電子元件中60%來自生產

線A,40%來自生產線反現從該工廠生產的電子元件中隨機抽取一個進行檢測，則該電子元件在檢測不合

格的條件下來自生產線A的概率是.

【答案】|

【知識點】利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率

【分析】根據給定條件，利用全概率公式及貝葉斯公式求解作答.

【詳解】隨機抽取一個電子元件，設。="抽取的電子元件不合格”，￡="抽取的電子元件來自生產線A”,

尸="抽取的電子元件來自生產線8"，則P（E）=0.6,P（F）=0.4,

P（0E）=0.05,P（Z）|F）=0.1.

由全概率公式得尸（。）=尸（E）尸（。3）+尸（尸）尸（必尸）=0.6x005+0.4x0.1=0.07

p（￡）p（r）|E）0.6x0.05_3

故尸(E[￡>)=

P（D）0.07"7'

3

故答案為：—■

鞏固訓練

1.（2324高二下.江蘇揚州?階段練習）假設甲袋中有3個白球和3個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現

從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取

出的也是2個紅球的概率為（）

163

ADD.

-E755

【答案】C

【知識點】計算條件概率、利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率

【分析】利用全概率公式及貝葉斯公式計算可得.

【詳解】設從甲中取出2個球，其中紅球的個數為i個的事件為4,事件A,的概率為P（A）,

從乙中取出2個球，其中紅球的個數為2個的事件為8,事件B的概率為尸（3）,由題意:

C2co2

①尸(4)=皆1P⑶4)=^cc°1

=5f"15

4r2ro

②尸(4)=罟Ue_31

=5；

2c2c0

③尸(4)『c°cJ.p(引4)=皆_2

二于=5；

所以p(3)=尸(4)尸(印4)+尸(A)尸(5|A)+P(4)P(3|4)

11311216

=—x------F—X—H--X—=

515555575

12

所以…卜端—x—

二553

168

75

3

即已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為?.

8

故選：C.

2.（2324高二下?廣東佛山?階段練習）若某地區一種疾病的患病率是0.05,現有一種試劑可以檢驗被檢者

是否患病.已知該試劑的準確率為95%,即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；

該試劑的誤報率為0.5%,即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機

抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（）

、495八995〃10「21

A.------B.------C.—D.—

100010001122

【答案】C

【知識點】計算條件概率、利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率

【分析】設出事件，利用條件概率和全概率公式得到P（AB）,P（A）,使用貝葉斯公式即可得解.

【詳解】設檢驗結果呈現陽性為事件A,此人患病為事件8,

P(AB)=P(B)P(A|B)=0.05x95%=4.75%,

P(A)=P(AB)+P(AB)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)

=4.75%+(1-0.05)x0.5%=5.225%,

則尸國A）=零4,75%_10

5.225%-H

故選：C

3.（2526高三上?上海?單元測試）某倉庫有同樣規格的產品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、

丙三個廠生產的，且三個廠的次品率分別為上、二、4現從這12箱中任取一箱，再從取得的一箱中任

意取出一個產品.若已知取得一個產品是次品，則這個次品是乙廠生產的概率是.

45

【答案】而

【知識點】利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率

【分析】記事件"取得一個產品是次品”，片=“取得的一箱是甲廠的“，為="取得的一箱是乙廠的“，鳥=

“取得的一箱是丙廠的“，先由已知條件結合全概率公式求得P（A）,再由貝葉斯公式

尸㈤IA）=尸4即可得解.

【詳解】記事件A="取得一個產品是次品”，與="取得的一箱是甲廠的“，

與="取得的一箱是乙廠的“，鳥="取得的一箱是丙廠的”,

則由題P（旦）=《=；,=尸色）=[=",

12212512o

尸（加4）=（，尸（AI層）=（，P（A出）=（，

所以由全概率公式得尸（A）=P（4）尸（AI4）+P（B2）尸（4四）+64）尸（川四）

111111111157

—___y_______I______________I_____X_____—_______I_________I_________—__________

-2103146182042108—1890’

所以由貝葉斯公式若已知取得一個產品是次品，則這個次品是乙廠生產的概率是

11

一x—.―

網與）川用男）314_45

P(B?|A)=

P⑷157157,

1890

45

故答案為：記亍

題型五利用離散型隨機變量的性質求參數或概率

例題1：（2324高二下.江蘇.單元測試）已知隨機變量X的分布列為尸（X=i）=t（i=123,4）,則

P（2<X<4）=（）

137c

A.士B.-C.—D.-

25ior

【答案】A

【知識點】利用隨機變量分布列的性質解題、由隨機變量的分布列求概率

【分析】運用概率分布列的性質求出a=10,再求尸（2WX<4）即可.

【詳解】依題意，分布列概率之和為1,則一1+2—+33+—4=1,解得a=10.

aaaa

即P(X=i)=自(i=1,2,3,4),所以尸(24X<4)=P(X=2)+P(X=3)4+1J

故選：A.

例題2：(2024高三.全國?專題練習)隨機變量￥的概率分布如下:

Y123456

P0.1X0.350.10.150.2

則尸(y>3)=.

9

【答案】0.45/—

20

【知識點】由隨機變量的分布列求概率

【分析】利用隨機變量分布列的性質即可求解.

【詳解】P(r>3)=P(y=4)+P(y=5)+P(y=6)=0.1+0.15+0.2=0.45.

故答案為：0.45.

例題3：(2024高三.全國.專題練習)已知離散型隨機變量X的分布列為:

X123

31

Pm

510

則P(X42)=.

9

【答案】—/0.9

【知識點】利用隨機變量分布列的性質解題、由隨機變量的分布列求概率

313

【分析】根據題意知￡+加+本=1，求出根=木，然后可求解.

313

【詳解】由離散型隨機變量x的分布列的性質，可得:+加+木=1,解得加=5，

339

所以P(X<2)=尸(X=l)+尸儂=2)=M+而=億

9

故答案為:伍.

鞏固訓練

1.(2324高二下.河北滄州?期中)已知離散型隨機變量X的分布列為尸(X=")=L^(九=1,2,3),

nln+i]

則〃二()

3423

A.-B.-C.-D.一

4332

【答案】B

【知識點】利用隨機變量分布列的性質解題

【分析】利用離散型隨機變量X的分布列的概率之和為1,代入計算即可.

【詳解】因為尸(X=l)+P(x=2)+尸(X=3)=l,

Qaa[11111

所以---+----+----=〃1--1------1-----=1,

1x22x33x4(22334

4

所以〃=

故選：B.

2.(2324高二下.寧夏石嘴山?期中)設隨機變量X的概率分布為P(X=A)=((1WXW4,keZ),則

P(2<X<4)=.

7

【答案】0.7/—

【知識點】利用隨機變量分布列的性質解題、由隨機變量的分布列求概率

【分析】根據概率和為1求。，再求概率.

【詳解】由題意可知，[=1，則。=5,

2a

所以尸(x=0=L

347

所以P(2<XW4)=尸(X=3)+P(X=4)=而+歷=歷=07

故答案為：0.7

3.(2324高二下?江蘇無錫?期中)若隨機變量X的分布列為

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

則當尸(x<a)=Q5時，實數”的取值范圍是.

【答案】(0,1

【知識點】利用隨機變量分布列的性質解題

【分析】根據給定的分布列，求出尸(*<0),尸(無<D即可求出。的取值范圍.

【詳解】由分布列知，P(x<0)=P(X=-2)+P(X=-1)=0.3<0.5,

P(x<l)=P(X=-2)+P(X=-l)+P(X=0)=0.5,[fnP{x<a)=0.5,

所以

故答案為：(0,1]

題型六離散型隨機變量的的分布列，均值

例題1：(2425高三上?天津北辰?期末)某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.一旦某次考

試通過，便可領取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續參加考試，直到用完3次機會.小王決定參

加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.5,0.6,0.7,且每次考試是否通過相互獨立，則小王在一

年內領到資格證書的概率為;他在一年內參加考試次數的數學期望為.

【答案】0.941.7

【知識點】獨立事件的乘法公式、求離散型隨機變量的均值

【分析】利用概率的乘法與加法，根據數學期望的計算公式，可得答案.

【詳解】0.5+(1-0.5)x0.6+(1-0.5)x(1-0.6)x0.7=0.94,

設一年內參加考試次數為X,則X的可能取值為1,2,3,

尸(X=1)=0.5,P(X=2)=(l-0.5)x0.6=0.3,

p(X=3)=(1-0.5)x(1-0.6)=0.2,

所以數學期望E(X)=1XO.5+2XO.3+3XO.2=L7.

故答案為：0.94；1.7.

例