專題11導數中的同構問題

【考點預測】

知識點一、常見的同構函數圖像

函數表達式圖像函數表達式圖像

1/%

—

Xy=7?tr+xy=\nx-x

/

/(I,1)

y=]nx+x函數極值點

4-一二-113-2-1Oii34*

-1

(I)f'''''\v=^n-x

yy

----------------4-

Inx——4-

y=xinx—3-—/y=—

----2-//

函數極值點----1—/

/

函數極值點—

-3-2-1O一4-3-2-1O/

/

--9-——3-

-4

y\y/

\

X/

y=~—-------y=e+x/

Inx/

過定點1/

函數極值點

4-3-21O4-3-2-

/

(0,1)/

(%e)/

/

yyt

-----------------------4-

~4-

\

—3-1

-3-

x\/y=心

y=e-x―2-\

-2-1-

/函數極值點—1-

函數極值點/

4-3-2-1O~~=—Y

M

(0,1)

___3-

-----4---4-1

,,,,削，/,yi

/X

\y——

y=-

X

函數極值點

函數極值點4-3-弋4--2-

V/:

(Le)舊1

]

知識點二：同構式的基本概念與導數壓軸題

1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式

2、同構式的應用：

（1）在方程中的應用：如果方程/（。）=0和/優）=0呈現同構特征，則。,"可視為方程/（x）=0的兩

個根

（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而和函

數的單調性找到聯系?？杀容^大小或解不等式。〈同構小套路,

①指對各一邊，參數是關鍵；②常用“母函數”：f（x）=x-ex,〃尤）=靖土無；尋找“親戚函數”是關鍵；

③信手拈來湊同構，湊常數、X、參數；④復合函數（親戚函數）比大小，利用單調性求參數范圍.

（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則A8為方程所表示曲線上

的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線A3的方程

（4）在數列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于（見,可與（。，-，"-1）的同構式，

從而將同構式設為輔助數列便于求解

3、常見的指數放縮：/Nx+l(x=0);42ex(x=l)

1X

4、常見的對數放縮：1——<Inx<x-l(x=1);lnx<—(%=e)

xe

5、常見三角函數的放縮:xesinx<x<tanx

6、學習指對數的運算性質時，曾經提到過兩個這樣的恒等式:

(1)當a>0且awl,x>0時，有々叫〃二無

(2)當〃>0且〃。1時，有log。優=%

再結合指數運算和對數運算的法則，可以得到下述結論(其中1>0)

(3)xex=ex+lnx;x+lnx=ln^xex^

(4)—=^-lnA：-lnx=ln—

XxX

(5)尤2e*=e*+2i*x+21njt=ln(x2eX)

XX

(6)￡_=靖-2111"￡_=靖—2加”

x2'x2

x

再結合常用的切線不等式InxWx-l,lnx<—,ex?x+l,e*?ex等，可以得到更多的結論，這里僅以第(3)

e

條為例進行引申：

(7)xeA=e*+Mx>%+Inx+1,x+lnx=ln(xe*)<xev—1

(8)"e'=e"山"2e(x+lnx)；x+inx=ln(xeX)W^"=xe*T

【題型歸納目錄】

題型一：不等式同構

題型二：同構變形

題型三：零點同構

題型四：利用同構解決不等式恒成立問題

題型五：利用同構求最值

題型六：利用同構證明不等式

【典例例題】

題型一：不等式同構

例1.（2022?陜西?西安中學模擬預測（理））已知a,6,ce化+s],<—=-5InA,—=-31n6,—=-2Inc,

Jabc

則（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

例2.（2022?河南焦作?三模（理））設a=e°°2-l,Z?=2（e001-1）,c=sin0.01+tan0.01,則（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

例3.（2022?四川?廣安二中模擬預測（理））已知0v%vy〈兀，且e，sin%=eXsiny,其中e為自然對數的底

數，則下列選項中一定成立的是（）

A.cosx+cosy<0B.coscosy>0

C.cos%>sinyD.sinx>sin37

題型二：同構變形

例4.（2022?全國?高三專題練習）對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的同構函數.

fa

（l）log2尤一h2:20；

（2）e22i--lnVx>0；

彳

m

（3）%2lnx-mex>0;

（4）a（e。"+1）221H—1Inx；

（5）6zln（x—l）+2（x—1）>6ix+2ex；

（6）x+alnx+e-x>（x>1）；

⑺e—x-2%-lnx=0;

（8）x2ex+lnx=0.

題型三：零點同構

例5.(2022.全國.高三專題練習)已知函數/(x)=xe*-2a(lnx+x)有兩個零點，則。的最小整數值為()

A.0B.1C.2D.3

例6.(2021?全國?模擬預測)在數學中，我們把僅有變量不同，而結構、形式相同的兩個式子稱為同構式,

相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式.若關于。的方程ae-J和關于匕的方程

b(lnb-2)=e"T(a,b,2eR)可化為同構方程，則2=,ln(aZ?)=.

例7.(2021.安徽安慶?高三階段練習(理))在數學中，我們把僅有變量不同，而結構、形式相同的兩個式子

稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式.若關于。的方程ae"=e6和關于6的

方程6(ln6-2)=63『°,6€尺)可化為同構方程.

(1)求仍的值；

⑵已知函數/(x)=x(ln.若斜率為上的直線與曲線y=7'(x)相交于A4,%)，B(X2,y2)(占</)兩點,

求證：.X<—<X

xk2

例8.(2022?遼寧?大連市普蘭店區高級中學模擬預測)已知函數"x)=ln(x+l)-x+l.

⑴求函數的單調區間；

⑵設函數g(x)=ae，-x+lna,若函數尸(x)=/(x)-g(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍.

題型四：利用同構解決不等式恒成立問題

例9.(2022?陜西?長安一中模擬預測(理))若對任意x>0,恒有a(*+l”2[x+￡|lnx,則實數。的最小

值為()

A.3B.2C.-D.-

eeee

例10.(2022?河南?高三期末(理))若關于尤的不等式alnx+l〈x(e*-4)(aeR)恒成立，則a的取值范圍

是.

例11.(2022.全國?高三專題練習)己知幾>0,對任意的xe(0,+e),不等式e?"-空20恒成立，則劣的

最小值為.

例12.（2022?全國?高三專題練習）若關于x的不等式，-oln尤2a恒成立,則實數a的取值范圍為.

例13.（2022?全國?高三專題練習）已知不等式x+根對xe。,”）恒成立，則實數機的最小值為

例14.（2022.全國?高三專題練習）設左>0,若存在正實數x,使得不等式log27x-h3&F。成立，則上的

最大值為（）

A「B.吧CD.9

eln3eIn32

例15.（2022?全國?高三專題練習）已知函數"X）=一，-1,不等式/（無）2,小+Inx對任意xe（0,+◎恒成立,

則實數力的取值范圍是（）

A.（-8,2]B.[0,2]C.（^?,e2-l]D.[o,e2-l]

例16.（2022.河南.高三階段練習（文））若關于x的不等式依-e*<a（lnx+l）-ex在（1,+℃）上恒成立，則實

數。的取值范圍為（）

A.^-℃,-B.（-<?,3]C.（-oo,2]D.（-co,e]

例17.（2022.全國?高三專題練習（理））已知函數/。）=依2+（°+1）111；<:+1（0?-1）,對％,%€（0,+8）,恒

有|〃3）-〃切|..4|斗-百，則實數a的取值范圍是（）

A.（-00,-e2]B.（-00,-e]C.[-2,-1]D.（-?,-2]

例18.（2022?全國?高三專題練習（理））已知函數/⑺=馬-4111尤，當x>l時，不等式恒成立，

則上的取值范圍是（）

A.（-co,-e]B.（-oo,-4]C.（-co,-e2]D.（-<?,0]

例19.（2022?安徽亳州?高三期末（理））已知。<。，若x>l時，-Inx"恒成立，則。的最小

值為（）

A.-1B.-2C.-eD.-2e

例20.（2022?安徽合肥?高三期末（理））若不等式e―。出（依-l）+G0對Vxe1,1恒成立（e為自然對數

的底數），則實數。的最大值為（）

A.e+1B.eC.e2+1D./

例21.（2022?全國?高三專題練習）已知不等式x+〃ln%+二＞％"對xw（l,+8）恒成立，則實數〃的最小值為

（）

A.—yfeB.—C.—eD.—2e

2

題型五：利用同構求最值