第03講導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性

T模塊導(dǎo)航—T素養(yǎng)目標—

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，提升直觀想象

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）和邏輯推理的核心素養(yǎng).

模塊三核心考點舉一反三2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，提升邏輯

推理的核心素養(yǎng).

【考點一：原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)間的關(guān)系】

3.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提升數(shù)學運算的核

【考點二：求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

心素養(yǎng).

【考點三：求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

【考點四：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值（范圍）】

【考點五：利用單調(diào)性解不等式】

【考點六：利用單調(diào)性比較大小】

模塊四小試牛刀過關(guān)測

模塊一思維導(dǎo)圖串知識

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理-----------------------------

一、函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)/（X）的正負之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個區(qū)間（。,份上，如果/（x）＞0,那么函數(shù)y/x）在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增；

②單調(diào)遞減：在某個區(qū)間（。力）上，如果/（x）＜0,那么函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（。力）上單調(diào)遞減.

③如果在某個區(qū)間（。力）內(nèi)恒有了（尤）=0,那么函數(shù)y/尤）在這個區(qū)間上是一個常數(shù)函數(shù).

【注意】

⑴在某區(qū)間內(nèi)/'（x）＞0（尸（％）＜0）是函數(shù)〃力在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；

（2）可導(dǎo)函數(shù)/（尤）在（a,。）上是增（減涵數(shù)的充要條件是對b）,都有了'（九）"（/'（力上0）且

/'（%）在（a,。）上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

（1）確定函數(shù)了（%）的定義域；

（2）求/'（尤）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/'（九）＞0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

（4）解不等式/'（九）＜0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

二、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

1、函數(shù)〃》）在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）=/口）20（?0）在區(qū)間口上恒成立；

2、函數(shù)了（%）在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間=/'0）＞0（＜0）在區(qū)間口上能成立；

3、已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)=/'（X）不存在變號零點

4、已知函數(shù)了（%）在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)=/'（X）存在變號零點

三、研究函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法

1、研究一個函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對于原函數(shù)，要注意其

圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大

于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致。

2、函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么在這個范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時，函數(shù)

的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較小，那么在這個范圍內(nèi)函數(shù)

值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

常見的對應(yīng)情況如下表所示.

,y

圖象

0()X()1

了⑴變化r?＞o/（x）＞0/W＜o/W＜o

規(guī)律且越來越大且越來越小且越來越小且越來越大

函數(shù)值變函數(shù)值增加函數(shù)值增加函數(shù)值減小函數(shù)值減小

化規(guī)律得越來越快得越來越慢得越來越快得越來越慢

0＞模塊三核心考點舉一反三

【考點一：原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)間的關(guān)系】

一、單選題

1.(2324高二下?四川成都?期中)函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/?(*),

y=r(%)的圖象如圖所示，貝的=/0)的單調(diào)增區(qū)間為()

【答案】B

【分析】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解.

48

【詳解】若要y=/'(x)＞o,則由圖可知尤XG

353

故y=的單調(diào)增區(qū)間為11,，，|

故選：B.

2.(2425高二上?全國?課后作業(yè))如圖是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/。)的圖象，則()

A.在區(qū)間(O,a)內(nèi)是常函數(shù)B.在區(qū)間(a,c)內(nèi)是減函數(shù)

C.〃x)在區(qū)間(c,d)內(nèi)是增函數(shù)D.“X)在區(qū)間(d,e)內(nèi)是增函數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)/(久)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性與尸(行的函數(shù)值間的關(guān)系，逐項判定，即

可求解.

【詳解】對于A中，由0＜無＜。時，r(x)=C(正實數(shù))，

則/（X）在區(qū)間（0,。）內(nèi)是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，所以A錯誤；

對于B中，當時，/?（%）>0,當6Vxec時，/?（*）<0,

所以在區(qū)間（a,c）內(nèi)先增后減，所以B錯誤；

對于C中，當c<x<d時，尸。）<0,〃尤）在區(qū)間（G"）內(nèi)是減函數(shù)，所以C錯誤；

對于D中,當d<x<e時,/'（x）>0J（x）在區(qū)間?e）內(nèi)是增函數(shù),所以D正確.

故選：D.

3.（2425高二上?全國?課后作業(yè)）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)為尸（無），且廣（X）的圖象如圖所示,

則〃x）的圖象可能是（）

【答案】B

【分析】利用排除法，根據(jù)尸（為的符號判斷“X）的單調(diào)性，可排除A,D；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義排除

【詳解】觀察導(dǎo)函數(shù)圖象可知/（無）在區(qū)間（-取0）先正后負，在區(qū)間（0,+?）先負后正，

故函數(shù)f（x）在區(qū)間（一雙0）內(nèi)先遞增后遞減，在區(qū)間（0,+?）內(nèi)先遞減后遞增，

結(jié)合4個選項的圖象，可排除A,D；

由導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值是變化的，即函數(shù)f（x）在遞減區(qū)間的斜率也是變化的，排除C,

故選：B.

4.（2324高二下.四川綿陽?期末）己知y=f'（x）為函數(shù)/⑺的導(dǎo)函數(shù)，如圖所示，則外力的大致圖象為（

HoilH\oix

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負確定函數(shù)的單調(diào)性排除B,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的大小變化確定選項即可.

【詳解】因為/'（x"0,所以〃x）單調(diào)遞增，B選項錯誤；

又因為尸（x）在（-雙。）單調(diào)遞減，可以得出了（X）的切線斜率逐漸變小，A,C選項錯誤；D選項正確.

故選：D.

5.（2324高二下?山東臨沂?期中）己知函數(shù)y=/（x）（xGff）的圖象如圖，則不等式對（無）＜0的解集為

（）

2人

3

A.B.卜卜［卜］

C.（-雙0）4；,2）D.（—1,0）51,3）

【答案】c

【分析】由"X）的圖象得到了（元）的單調(diào)性，從而得到廣（x）的正負,即可得解.

【詳解】由Ax）的圖象可知，/（元）在（-8,；）和（2,+8）上單調(diào)遞增,在（；,2）上單調(diào)遞減,

則當尤時，f'（x）＞0,無e（2,+co）時，f'（x）＞0,

XC52）時，尸（無）＜0,所以不等式對''（尤）＜0的解集為（口,0）5*2）.

故選：C.

【考點二：求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

一、單選題

1.(2324高二下?河北秦皇島?階段練習)函數(shù)〃無)=gd一g/-2x+l的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(―8,—1)和(2,+co)D.(―00,—2)和(1,+8)

【答案】A

【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解尸(同<0的解集，即是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由題意得/'(x)=f-x—2=(尤+l)(x—2),

令/(x)<0,得T<x<2,所以〃尤)的單調(diào)遞減區(qū)間為(T2).

故選:A

In丫+1

2.(2324高二下?江蘇南通?階段練習)函數(shù)y=——的單調(diào)增區(qū)間為()

x

A.(-oo,l)B.(0,1)C.(l,e)D.(1,+?)

【答案】B

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0可得答案.

【詳解】函數(shù)>="山的定義域為(0,+?)，

X

,(lnx+1)x-(lnx+l}xrl-(lnx+l)-]nx

yX2X2X2

由y'>0得lnx<0,解得0<x<l,

所以>=也±1的單調(diào)增區(qū)間為(0,1).

X

故選：B.

3.(2425高二上?全國?課后作業(yè))函數(shù)〃x)=hu+F的單調(diào)增區(qū)間為()

A.(0,1)B.(0,e)C.(1,-HO)D.(e,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得尸(元+1),結(jié)合l(可>。的解集，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間.

X2

【詳解】由函數(shù)"x)=lru+W，可得其定義域為(0,+巧,

1xex-(ex+l)(x-l)(ex+l)

且「⑺

XX2X2

令;(x)>0,解得X>1,所以函數(shù)〃尤)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8).

故選：C.

4.（2324高二下?北京通州?期中）定義在區(qū)間（-兀，兀）上的函數(shù)/（x）=xsinx+cosx,則的單調(diào)遞減區(qū)

間是（）

A.B.陷和卜兀,一1

C.修。卜"D.「,0）和"

【答案】D

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并令:（力<。，利用三角函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得結(jié)論.

【詳解】由/（力=%sinx+cosx可得（九）=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令（x）=Xcosxv。，

當（一兀,0）時，由xcosxvO可得cosx>0,解得xc1-

當（0,兀）時，由xcosx<0可得cos%<0,解得xwg,兀｝

因此可得“X）在（-兀㈤的單調(diào)遞減區(qū)間是和

故選：D

5.（2324高二下?吉林?期中）函數(shù)/（x）=xer的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（1,+co）B.C.D.（-1,+co）

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】函數(shù)/（x）=xer的定義域為R,求導(dǎo)得尸（x）=（l-口尸，

由尸（x）>0,得x<l,所以函數(shù)9勸=雙7的單調(diào)遞增區(qū)間是（7,1）.

故選：B

【考點三：求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

一、解答題

2

1.（2425高二上?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)〃耳=吟（°片0）,討論〃x）的單調(diào)性.

e

【答案】答案見解析

【分析】求導(dǎo)，分。>0和a<0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷了（尤）的單調(diào)性.

【詳解】由題意知：函數(shù)〃尤）的定義域為R,且f（x）=竺上"，

e

令ra）=o,解得x=o或2,

當a>0時，令/（x）<0,解得x<0或x>2；令r（x）>0,解得0<x<2；

可知了（力在區(qū)間（-8,0）和（2,+8）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增；

當”0時，令/（力<0,解得。<x<2；令人力>0,解得x<0或無>2；

可知〃力在區(qū)間（-8,0）和（2,+8）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減，

綜上所述：

當a>0時，〃尤）在區(qū)間（-十,。）和（2,+功上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增；

當a<0時，/（力在區(qū)間（-8,0）和（2,+8）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減.

2.（2425高二下?全國?課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)/0：）=/+辦-3a21nx,其中oeR.討論了⑺的單調(diào)性.

【答案】答案見解析

【分析】求導(dǎo)得導(dǎo)數(shù)的兩個零點為無=?；?qū)Α７诸愑懻摷纯汕蠼?

【詳解】“X）的定義域是（0,+8）,

若a=0,〃x）=f,函數(shù)/（久）在（O,y）上單調(diào)遞增,

“、.3a22x2+<xv-3o2(尤-a)(2x+3a)

當awO時,f(x)=2x+a----=------------=-------------

xxx

3

令尸（x）=0,解得?；騲=

33

若a<0,貝!J當0<x<-3。時，尸（無）<0,當時，-。）>0,

22

所以，（x）在1,-1。）上單調(diào)遞減，在'上單調(diào)遞增；

若。>0,貝!I當0<x<a時，f'{x）<0,當無>。時，f'（x）>0,

所以了（尤）在（0,。）上單調(diào)遞減，在（。,內(nèi)）上單調(diào)遞增.

綜上所述，當。=0時，Ax）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當°<0時，〃x）在上單調(diào)遞減，在［-1，+曰上單調(diào)遞增;

當。>0時，/⑺在（。,?上單調(diào)遞減，在（凡”）上單調(diào)遞增.

3.（2324高二下?寧夏銀川?階段練習）已知函數(shù)=（2“+l）x+alnx+a.

⑴當a=l時，求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當aeR時,求〃x）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為］0,；］,（1,入），單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間即可；

(2)對含參函數(shù)求導(dǎo)，從而得出導(dǎo)數(shù)的零點，再通過對二次函數(shù)的根的討論，得出單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(1)當°=1時，/(x)=x2-3x+ln%+l,定義域為(0,+e),

J(xf_3+L(21)(1),

XX

令尸(x)>0,得X40,￡|U(1，+8),令尸(x)<0,得

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為。J］,(L+s),單調(diào)遞減區(qū)間為1J.

(2)/(x)=x2—(2々+1)龍+alnx+a,定義域為(0,+旬,

7~'(x)=2尤一(2a+l)+q=(2xT)(—a),令廣(力=0,得彳=；或X=".

XX乙

①當時，當尤時，r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當時，r(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

②當0<。<；時，當xe(0,a)和xe(j,+oo］時，/,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當尤時，r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

③當時，廣⑺對對Vxe(O,+?))恒成立，所以『⑺在(0,+8)單調(diào)遞增；

④當a>!■時，當和時，/(x)>0,f(無)單調(diào)遞增，

當時，:⑺<0,〃x)單調(diào)遞減.

綜上所述：當aVO時，/(x)在［。，￡|單調(diào)遞減，在&,+j單調(diào)遞增;

當0<〃<；時，〃x)在單調(diào)遞減，在(0M)和G,+二)單調(diào)遞增;

當。=；時，〃x)在(0,+向單調(diào)遞增；

當時，"%)在單調(diào)遞減，在。和(。收)單調(diào)遞增.

4.(2024?山東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=x(l-ln⑸.

⑴若曲線外可在x=e處的切線與直線y=x垂直，求左的值;

⑵討論“力的單調(diào)性.

【答案】⑴左=1

(2)答案見解析

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題意有，/'(e)=-ln(?=T,即可求解左值；

(2)對函數(shù)求導(dǎo)，分后>0和左<0兩種情況討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】⑴因為解x)=x(l—Infer),k^O,所以解(x)=-ln(砌,

曲線/(X)在x=e處的切線與y=x垂直，

所以尸(e)=-如(⑹=-1,得左=1；

(2)由/(x)=x(l-InAx)得/''(x)=Tn(Ax),

當%>0時，〃尤)的定義域為(0,+?),

令『'(》)=。得》=J，

K

當時，/?(久)>0,當尤時，/?(x)<0

所以/(x)在，J上單調(diào)遞增，在(j+j上單調(diào)遞減；

當％<0時，〃尤)的定義域為(-8,0),

令小)=0得了=：

當時，/?(%)<0,當時，/?(X)〉0

所以/(X)在(一肛j上單調(diào)遞減，在［,o］上單調(diào)遞增.

綜上所述：當后>0時，/(X)在(0,：］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當上<0時，在￡|上單調(diào)遞減，在1，。)上單調(diào)遞增.

5.(2425高二下?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/(x)=^——--aInx(aeR).

x

(1)求曲線y=在點(1"(D)處的切線方程；

(2)求/(尤)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(l)y=e—。

(2)答案見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)求出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)后，分4W0,0<a<l,l<a<e,。=e和。>e討論導(dǎo)數(shù)的正負，從

而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(1)由f(x)=」-alnx,可得/(x)=e?T)9+",

XX

貝!I1⑴=0且f(l)=e-。，

所以曲線>=/(尤)在點(1"⑴)處的切線方程為〉=6-/

(2)由函數(shù)/(》)=j一alnx的定義域為(0,+s),且「(幻=(…卜'叫,

XX2

若。40,令…)=0,解得X=l,當xe(o,l)時，尸(無)<0,當xe(l,+s)時，f'(x)>0,

所以函數(shù)”x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

若。>0,令/''(x)=0,解得x=l或x=lna,

①若InaWO,即0<a41時，當xe(0,l)時，fr(x)<0,當xe(l,+<?)時，f'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+⑹.

②若0<lna<l,即l<a<e時，當尤e(0,lna)時，f'(x)>0,當xe(lna,l)時，f'(x)<0,當尤e(l,+8)時，

rw>o,

所以函數(shù)/(元)的單調(diào)遞減區(qū)間為(Ina,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(O,ln*(l,+◎,

③若Ina=1,即a=e時，可得/'(x)20且等號不恒成立，

所以函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,內(nèi)).

④若lna>l,即。〉e時,當xe(0,l)時,f'(x)>0,當尤e(l,lna)時,f'(x)<0,當xe(lna,+oo)時，f'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,Ina),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(Ina,+8).

綜上，當時，/(元)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+s);

當l<a<e時，的單調(diào)遞減區(qū)間為(Ina,l),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,Ina),(1,+8)；

當a=e時，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

當。>e時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,Ina),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(Ina,+8).

6.(2324高二下?廣東中山?階段練習)已知函數(shù)/(x)=lnx+依2_x+“+i.

(1)證明曲線y=/(x)在尤=1處的切線過原點；

(2)若a20,討論了(X)的單調(diào)性；

【答案】⑴證明見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，可得了⑴=2a,進而可得切線方程為y-2q=2a(x-l),進而可得恒過原點；

2ax2X+1

(2)f'(X)=~(X>0),分a=0,a>^,0<。<：三種情況討論可得了。)的單調(diào)性.

xXX

【詳解】(1)由題設(shè)得尸(幻='+2依-l(x>0),所以((l)=l+2a-l=2a,

X

又因為〃l)=a-l+a+l=2a,所以切點為(1,2a),斜率上=2”，

故切線方程為卜2“=2a(尤-1),即y=2依，所以y-0=2a(x-0)恒過原點.

（2）由（1）得尸（x）=2--X+1Q＞0）,

X

—Y+1

①a=0時，/'（X）=-----，

x

當龍￡（o,i）時，r（x）＞o,/（1）在（o,i）上單調(diào)遞增，

當天￡（1,+8）時，/（%）＜0,人幻在（1,+8）上單調(diào)遞減；

令，（%）=2加-％+1,則A=l-8a

②a＞0且A=l—8aW0,即時，/V）＞0,/（x）在（0,+s）上單調(diào)遞增，

8

0＜。＜工時，△=l-8a＞0,

8

f（x）=2ax2-x+l＞0,貝!］0＜》（匕匹亞，或尤＞3E近，得（（無）＞0

4。4。

所以/（X）在f0,“三藥］上單調(diào)遞增，在f與至,+J上單調(diào)遞增；

14al14al

"x）=2加—x+l＜0,貝！貝?。?⑺＜0,

4〃4。

所以/（元）在11一嚴礪,1+手甌］上單調(diào)遞減,

（4a4〃J

綜上：。=0時，“X）在（0,1）上單調(diào)遞增；/（X）在（1,+8）上單調(diào)遞減；

a時，/（x）在（0,+功上單調(diào)遞增；

O

0＜。＜:時，/（無）在（0,匕W三藥］上單調(diào)遞增，在（旦丑，+"］上單調(diào)遞增；

814al14al

八無）在F一手畫,1+嚴石］上單調(diào)遞減.

（4a4aJ

【點睛】方法點情，利用分類討論法是求解含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用的方法.

【考點四：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值（范圍）】

一、單選題

1.（2425高二上?浙江寧波?期中）若函數(shù)f（x）="■在［2,+⑹上單調(diào)遞增，則上的取值范圍為（）

4,4

A.kN—B.k4—1C.kKlD.kG—

33

【答案】D

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值即可

kx+\—kx1—2x+k

【詳解】由"X）=M，得/（"=6+1）2，

又〃尤）在［2,+s）上單調(diào)遞增，

所以廣⑺>。在［2,收）上恒成立，即依2+2x-々W0在［2,—）上恒成立,

22

即1―在［2,笆）上恒成立，只需求出1一的最小值即可，

--XL7---X

XX

又/=：1一彳在［2,+8）單調(diào)遞減，所以,4一Q貝（71

424

所以一§工7<0,故zv—1.

故選:D

2.（2324高二下.廣東佛山?階段練習）已知函數(shù)〃彳）=2》+向-?在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取

值范圍為（）

A.（-oo,-3］B.（YO,—3）

C.（HO,-10］D.（-oo,-10）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知（（司=2+/+￡<0在口,2］上恒成立，將問題再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解即可.

【詳解】尸（無）=2+：+/,若函數(shù)〃尤）=2x+lnx-f在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

即（（無）=2+卜十。在口,2］上恒成立，

即a?-2x2-x在［1,2］上恒成立.

令〃（%）=—2d—犬，則立⑴在［1,2］上單調(diào)遞減，/z（x）min=/i（2）=-2x4-2=-10,

所以。4〃（力而/44-10,

即-10］

故選：C.

3.（2324高二下.吉林四平?期中）若函數(shù)〃x）=lnx+gax2+3在區(qū)間（1,4）內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)。的

取值范圍是（）

D.（0,1）

【答案】A

【分析】對/（X）求導(dǎo)，分和“＜0兩種情況，結(jié)合“X）在區(qū)間（1,4）內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，求出。的取值

范圍即可.

【詳解】仆）=ln無+1依2+3,（（6」+以=竺±1,

2xx

當a20時，r（x）＞0,不符合題意；

當。＜0時，令/（力＜。，解得彳＞口，

?."（?在區(qū)間（1,4）內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，

＜4,解得〃＜-

Va16

二實數(shù)”的取值范圍是-士；

故選：A.

4.（2324高二下?四川遂寧?階段練習）函數(shù)〃x）=（l-%）lnx+ax在。,+8）上不單調(diào)則”的取值范圍是（）

A.6ZG（^X）,0）B.6ZG（l,+oo）

C.tZG（-l,+oo）D.?e（0,+oo）

【答案】D

【分析】由"X）在（1,E）上不單調(diào)，可得了'（X）在。,+⑹上必有零點，利用。=lnx—+l,構(gòu)造函數(shù)

z（x）=ln龍-工+1,再求出。的取值范圍.

X

【詳解】依題意/（力=-lnx+-+tz-l,

因為函數(shù)〃x）=（l-尤）lnx+依在（1,+=°）上不單調(diào)，

所以尸（x）在。,也）上有零點，

令g（元）=-lnx+L+a-l,令g（x）=0,得a=lnx---F1,

無x

令z（尤）=]nx---F1,貝?。?'（無）=—I——,

xxx

當x＞l時，z＜x）＞0,z（x）單調(diào)遞增，又z⑴=0,

所以z（x）＞0,故a=z（x）＞0,

所以“的取值范圍是（0,"）.

故選：D

二、填空題

5.(2425高二上?全國?課后作業(yè))若函數(shù)〃無)=1-：-lru在區(qū)間［1-a,2-句內(nèi)單調(diào)遞增，貝心的取值范圍

是.

【答案】［0,1)

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可知〃x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2］,結(jié)合題意列式求解即可.

【詳解】由題意可知：〃尤)的定義域為(0,+?),且尸口)=3-：=*,

令尸0)20,得0<xV2,可知〃尤)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2］,

r-If1—Q>0

若函數(shù)”X)在區(qū)間［l-a,2-a］內(nèi)單調(diào)遞增，依題意.解得0Wa<l,

［2—〃S2

所以“的取值范圍是［0,1).

故答案為：［0,1).

6.(2324高二上?山西長治?期末)若函數(shù)/(x)=￡(a>0且awl)在區(qū)間&,+"上單調(diào)遞增，則實數(shù)。

的取值范圍是.

【答案】F，+s)

【分析】函數(shù)求導(dǎo)后，/(X)在區(qū)間少］上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為/'(x)20在區(qū)間上恒成立，然后

利用函數(shù)單調(diào)性求最值即得.

【詳解】由函數(shù)/(x)=［("0且a#l)在區(qū)間Q,+")上單調(diào)遞增，

得((X)=xa'ln;-a'=優(yōu)(*"1)0在區(qū)間,+?］上恒成立，

XX)

又三在區(qū)間g，+1|上恒正，只需滿足xlna-120在區(qū)間上恒成立即可，

令g(x)=xln〃-l,

若0<a<l,貝!|lna<0,則一次函數(shù)g(x)=xlna-1在區(qū)間上單調(diào)遞減，不可能恒正；

若。>1,貝!)lna>0,則一次函數(shù)g(x)=xlna-l在區(qū)間g,+，|單調(diào)遞增，

所以只需g(x)>g］￡|N0,即;Ina-INO,解得就/，

故答案為：［2,+8).

【考點五：利用單調(diào)性解不等式】

一、單選題

1.(2324高二下.江蘇南通?階段練習)已知函數(shù)〃x)=x+lnx+co&x,若/，-4)<〃3x),則實數(shù)尤的取

值范圍是()

A.[-1,4]B.(-8,2)D[4,+8)

C.(0,4]D.(2,4]

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)/(%)的單調(diào)性，即可根據(jù)單調(diào)性的定義解出.

【詳解】因為/(x)=x+lnx+cosx(x>0),

所以r(x)=l+1-sinx>0,即在(0,+?)上函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

x2-4>0

由/(X2-4)</(3X)可得，<3x>0,解得2<x<4,即x42,4].

x2~4<3x

故選：D.

2.(2425高二下?全國?課后作業(yè))已知了(無)的定義域為R,7(1)=2023,且廣(x)26x恒成立，則不等式

/(x)>3尤②+2020的解集為()

A.(-1,1)B.(1,+co)C.(-(?,-1)D.(-OO,T)U(L”)

【答案】B

【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后應(yīng)用單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令函數(shù)g(尤)=〃幻-3爐,因為g'(x)=7'(x)-6xN0,所以解]在R上單調(diào)遞增.

因為86=/(1)-3=2020,所以不等式/(x)>3/+2020等價于g(x)>g⑴，

所以x>l.

故選:B.

3.(2324高二下?江蘇揚州?期中)已知函數(shù)”尤)的定義域為(。,+功，M/(l)=e-1,f\x)+x>e,則

不等式21-2/任)>/的解集為()

A.(0,1)B.(0,+s)C.D.(O,1)U(1,-HX>)

【答案】A

【分析】由題設(shè)不等式整理后構(gòu)造函數(shù)g。)=/(x)-e'+；/滿足g，(x)>。,得出y=gQ)在(0,+?)上單調(diào)

遞增，整理待求不等式，利用函數(shù)>=g(x)的單調(diào)性即可求得.

【詳解】由廣(無)+x>e'可得/'⑺一e，+x>0,即(〃尤)-e，+gfy>0,

設(shè)g(x)=〃x)-e，+g》2,無e(0,+co),則由7(x)>0可得，y=g(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增.

又g⑴=/⑴_e+g=e_g-e+g=O,

由2e-2〃x)>x2可得，/(x)-e'+1x2<0,即g(x)<g(l),解得0<x<l.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查利用構(gòu)建函數(shù)的單調(diào)性求抽象不等式的解集的問題，屬于難題.

解題的關(guān)鍵在于觀察已知不等式和題設(shè)不等式的組成，提煉出構(gòu)造函數(shù)的基本形式，結(jié)合函數(shù)定義域和函

數(shù)值等條件，利用單調(diào)性求解抽象不等式.

二、填空題

4.(2324高二下?廣東深圳?期末)已知函數(shù)/(x)=2x—sin2x,則不等式/仔)+〃3%一4)<0的解集

為.

【答案】㈠/)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷奇偶性，即可求解不等式.

【詳解】由/(x)=2x—sin2x得/⑺=2-2cos2x=2(1-cos2x)>0,

所以函數(shù)〃x)=2x-sin2x是R上的增函數(shù)，

又由〃-x)=-2x-sin(-2x)=-(2x-sin2x)=-得函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

則由/(f)+〃3尤一4)<0得/(/)<一〃3萬-4)=〃4-3%),

所以f<4-3]=爐+3x—4<0=>(A:-1)(X+4)<0,

解得Tvxv1.

故答案為：(=U),

5.(2324高二下.天津北辰.期中)已知/(同是定義在(F,0)U(。,京)上的奇函數(shù)，/'(X)是"X)的導(dǎo)函數(shù),

〃1)20,且滿足((無)lnx+4?<0,則不等式(尤-2)〃尤)<0的解集為.

X

【答案】(f,0)U(2,y)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)lnx,求導(dǎo)判斷函數(shù)為單調(diào)遞減，從而可得在(0,")上〃力<0,在(-通。)

上，/(x)>0,求出不等式的解集即可.

【詳解】令g(x)=/(x)lnx(x>0),貝！Jg(x)=/,(x)inx+/H<0,

X

可知g(x)=/(%)lnx在(。,y)上為減函數(shù)，而g(l)=。，

在(0,1)上，lnx<0,g(%)>0,所以"%)<。;

在(L+?)上，lnx>0,g(x)<0,而/⑴HO,/(x)<0；

可得在(O,包)上〃尤)<0,

又因為〃x)是定義在(-8,0)U(0，+8)上的奇函數(shù)，則在(f,。)上，/(無)>0,

..[x>2[x<2

不等式(x-2)/(x)<0等價于〃x)<0或〃x)>0，解得》>2或x<。，

故不等式的解集為(-8,。)U(2,+8).

故答案為：(T,0)U(2,+8).

6.(2324高二下?四川涼山?期中)己知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),滿足礦(x)+/(x)>0在R上恒成立，

且/⑴=2,則不等式無)<2的解集為.

【答案】(-雙1)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=V(H，由題意可得g(元)在R上單調(diào)遞增，不等式步(x)<2可轉(zhuǎn)化為g(x)<g(l),

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性計算即可得.

【詳解】令8@)=令(8,則有/(尤)=/(力+才(x),

由礦(x)+/(無)>。在R上恒成立，故g'(x)>0在R上恒成立，

即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

由/⑴=2,貝!|g⑴=lx/(l)=2,

即不等式xf(x)<2可轉(zhuǎn)化為g(力<g⑴，

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得x<1,即不等式W)<2的解集為(-?1).

故答案為：(-嗎1).

【考點六：利用單調(diào)性比較大小】

一、單選題

1.(2324高二下.天津.期中)己知函數(shù)〃x)=cos%+e*,且。=〃2)、b=c=/(ln2),則。、b、

c的大小關(guān)系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得/(%),即可得到/(X)在(。,+e)上單調(diào)遞增，從而可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.

【詳解】由/'(》)=cosx+ex=-sinx+ex,

當％>0時，/'(x)=-sinx+e*>—sin犬+120,

所以/(X)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

1._l-21n2lne-ln4_叱…11c

X--ln2=---=---<0,所以］<ln2,

即g<ln2<2,則/出<"In2)<八2),

所以Z?<C<Q?

故選：D

((1\\

InY

2.(2425高三上?云南昆明?階段練習)已知函數(shù)/(x)=—"(/⑷),&=/(/(ln3)),c=ff

\\)

則a,&c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】分類討論，當x>l時，/(x)=—,當0<x<l時，f(x)=--,最后利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)

XX

性即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃x)=F，得當X>1時，〃力=手，尸("=匕詈，所以〃尤)在(l，e)上單調(diào)遞增,

在(e,+8)上單調(diào)遞減，所以〃力在(L+8)上的最大值為/(e)=1.

當0<x<l時，〃x)=-半，-⑺=與口，所以在(。，1)上單調(diào)遞減.

又〃4)=?=(="2),fU/(A/^),l<ln3<|<^<2,

42<J2

所以0<〃ln3)</(血)<〃2)=〃4)<：,所以a<c<氏

故選：A.

001

3.(2425高三上?浙江?期中)已知函數(shù)/㈤=廿+葭，若。=1叫0.6,Z,=3,c=log53,則有()

A./(o)>/(6)>/(c)B./(&)>/(c)>/(a)

C./(&)>/(?)>/(c)D./(c)>/(?)>/(&)

【答案】B

【分析】由已知可得〃尤)為偶函數(shù)，則〃1嗎0.6)=/]咋3￡],利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，

可得0<log3；<；,b>l,1<C<1,又當x>0時，由尸(x)>0,可得/(X)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可得到答

案.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=e'+er且定義域為R,則/(—%)=b+1=/(力,所以為偶函數(shù)，

3

因為"log30.6=log3—<0

貝!If(log30.6)=f(-log30.6)=/-log3

001

Xlog3|<log3A/3=-1,log3|>log3l=0,b=3>3°=1,

c=log53>log5如=；,

c=log53<log55=1,

則;<c<l,所以3°°|>1唱3>1%號

當x>。時，因為/'(x)=e=口>0,所以為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以〃6)>/(c)>〃a).

故選：B.

4.(2425高三上?重慶?階段練習)已知a=sinL6=且,c=ln3,貝I()

332

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【分析】構(gòu)建g(x)=x-sinx,xe[0,l),利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，進而可得。<；<人再結(jié)合對數(shù)函數(shù)

單調(diào)性可得;<c<b.

【詳解】12g(x)=x-sinx,xe[0,1),貝!jg'(x)=l-cosx20,

可知g⑴在[0,1)上單調(diào)遞增，貝!|g[]〉g(o),即;-sin；>0,

可得」<

a=sin1<=b;

333

又因為則21n=<l<31ng,即，<ln3<^<3；

⑵⑵223223

所以a<c<b.

故選：B.

5.(2324高二下?湖北?期末)己知55>e8,a=3；b=5；c=￡，則久久c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】對于4匕，"c擴大適當?shù)谋稊?shù)變?yōu)檎麛?shù)塞的形式比較即可；對于“、。，構(gòu)造函數(shù)比較大小即可

【詳解】對于46,同時12次方可得3?與53,易知甲<53,所以。<6;

對于4c,同時4e次方可得5,與e3由題干可知5?，>5、>方,所以5，>e4,即6>c；

對于a、c,同時取對數(shù)可得半與工，/(x)=—,1(乃=上吧=0,解得X=e,

3exx

易得/(*)=電工在(0，e)單調(diào)遞增，(e,y)單調(diào)遞減，易知里〈電￡=所以"C.

x3ee

綜上可得a<cv。，

故選：B.

6模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

一、單選題

1.(2324高二下?四川南充?期中)函數(shù)y=；d-lnx+2的單調(diào)減區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(L+s)C.(0,1)D.[1,+co)

【答案】C

【分析】求導(dǎo)，令y'<o求解可得.

【詳解】由題知，/=%--=—,%>o,