導數與函數的極值、最值

提高練2025年高考數學復習備考

一、單選題

1.記函數y=的導函數為y',V的導函數為y",則曲線y=的曲率K=凹3.則曲線

[l+（y'）2]2

y=lnx的曲率的極值點為（）

AV2273「2白n五

A.-RD.------C.---U.--

2393

2.已知函數〃尤）+5"；°,若存在實數%,凡且m<毛<W，使得/（西）=/伍）=/伉），

IInx,x>0

則占“動+七/優升%/優）的最大值為（）

A.5e5-20B.5e5-12C.6e5-20D.6e5-12

3.若函數〃x）=q+lnx-a存在最小值，且其最小值記為g（a）,則g（a）的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

4.已知函數〃尤）=一3枇2*+5-1產+彳+6-：（°>0）的值域與函數/"（切的值域相同，貝IJa的

取值范圍是（）

A.（0,1）B.。,內）C.（1,2）D.[1,+^）

5.函數f（x）的導函數尸（x）的圖象如圖所示，則（）

為函數（）的零點

A.x=:/XB.x=2為函數/（X）的極大值點

C.函數/（X）在上單調遞減D.〃-2）是函數〃x）的最小值

6.已知函數/（力=3+加+法+〃在產t處有極值8：,則〃1）等于（）

A.-4B.16C.T或16D.16或18

^(sinx+cosx)

7.已知函數〃力=+x在（0,兀）上恰有兩個極值點,則實數。的取值范圍是（）

ex

e11。立國HA

A.。方B.C.——,+ooD.亞,+8

，

2727

8.如圖，已知直線〉=辰+機與函數丁=/(尤),%?0,+8)的圖象相切于兩點，則函數了=/(%)-辰有().

A.2個極大值點，1個極小值點B.3個極大值點，2個極小值點

C.2個極大值點，無極小值點D.3個極大值點，無極小值點

二、多選題

9.已知定義在R上的可導函數和g(x)的導函數尸(%)、g'(x)圖象如圖所示，則關于函數

G(x)=g(x)-/⑺的判斷正確的是()

A.有1個極大值點和2個極小值點B.有2個極大值點和1個極小值點

C.有最大值D.有最小值

10.若函數/'(力=。11?-2/+桁既有極小值又有極大值，則()

A.ab<0B.a<0C.b2+16a>0D.\a-b\<4

11.已知函數〃x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則().

A./(0)=0B./(l)=0

C.是偶函數D.x=0為的極小值點

12.設函數f(x)=2尤3-Bar?+1,貝U()

A.當a>l時，/(無)有三個零點

B.當a<0時，尤=0是/(x)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D,存在a,使得點01⑴)為曲線y=/(x)的對稱中心

三、填空題

13.若函數/(尤)的導數/'(x)=1x-:卜-左上(人1,左eZ),已知x=A是函數了(元)的極大值點，則

k=.

14.已知函數〃x)=2x3—3/+5+1在(0,+8)上有兩個極值點和尤2,且當<%,則半1的取值范

圍是_.

15.已知函數八%)=*的圖象與圓(工+1)2+(>3)2=/">0)有兩個交點，則r的取值范圍

為.

16.已知函數f(x)=xe-me2x,若〃尤)存在最小值，且最小值為三，則實數機的值為

m

17.已知/(x)=；x3-x在區間?,6-汴)上有最小值，則實數機的取值范圍是.

四、解答題

18.已知函數小)=依-2-21nx在區間內有兩個極值點.

⑴求實數。的取值范圍；

⑵若/(x)的極大值和極小值的差為求實數M的取值范圍.

19.已知函數〃同=2￥+。(尤2-1).

⑴當4=0時，求“X)的極值；

(2)當a=l時，求〃x)在［L”)上的最小值；

(3)當°<0時，若在(Le)上存在零點，求。的取值范圍.

20.已知函數〃力=2x3-ax2+b

⑴當a=3時,求的極值；

⑵討論的單調性；

(3)若a>0,求“X)在區間［0』的最小值.

21.已知函數/(x)=;t_qlnx_a和g(x)=xexax2-ax.

⑴若g(x)在(0,+s)上的最小值為/(a),求。的值；

(2)若不等式/(尤)+g(x)2=分2+*_0+1恒成立，求。的取值集合.

參考答案:

1.A

函數y=ln無的定義域是(O,+8),y=~,y"=-\,

Xx

1

K=____2____=_______

???曲線y=lnx的曲率「n|zJ,

1+(j2(1+x2)

3Q11

2

f(1+X)5_%W(1+X(l+%2)5(]+%2_3%2)l-2x

(l+/『(l+Y)3(1+x2)'

顯然當0<x<變時，K'>0；當x>走時，K'<0.

22

???x=Y2為曲線y=lnx的曲率的極值點，

2

2.A

作出f(x)的圖象如圖：

若存在實數無，1%,三，且玉<馬<%,使得

因為y=V+4x+5的圖象關于直線x=-2對稱，

所以%+Xz=-4,

所以^/(⑼+/打動+七”&卜后+七+動”不六同一夕/卜卜卜-司嶼,

由圖可知，1</(%,)<5,

所以e<%We'.

設g(x)=(x-4)lnr,xe(e,e1，

4

所以g'(無)=lnx+l-一，

X

易知g'(x)在(e,e5］上單調遞增，

4

又g'(e)=2-―>0,

e

所以當無?仁1］時，g'(x)>0,

所以g(x)在(el］上單調遞增，

所以g(元)max=g(e5)=(e5-4)lne5=5es-20.

3.A

因為〃x)，+lnx-a,所以7(x)的定義域為(0,+功，廣(力=-9+工=號，

XXXX

當a40時，尸(》)>0恒成立，所以在定義域上單調遞增，不滿足題意；

當a>0時，令尸。)<0得0<x<a,此時/(無)單調遞減，

令廣。)>。得x>。，此時/(無)單調遞增，

所以當x=a時，/(x)取得最小值，即g(a)=f(a)=l+lna-a,

gm)=—1=—，

aa

令g'(a)>0得0<a<l,此時g(。)單調遞增，令/⑷<0得a>l,此時g(a)單調遞減,

所以當。=1時，g(。)取得最大值，即g(a)1mx=g(D=。.

4.D

因為/(x)=—弓皿八+(a—l)e"+x+a~-萬，a>0,定義域為R.

所以尸(x)=-ae2x+(a-l)ev+l=(aeA+l)(-eA+1).

當x<0時，尸(x)>0,即/(x)在(一8,0)上單調遞增，

當x>0時，尸(x)<0,即/(無)在(0,+。)上單調遞減，

所以當x=0時，〃力取得最大值為〃0)="+■|-：.

當x--co,所以函數“X)的值域為18,"+三一1'.

令/=/(%),則/€(_00,片+,

要使函數/'［”引］的值域為'雙『+"|-|，

則。2+9—』20,解得或。<一3,又a>0,

222

所以，a>l.

5.C

由廣(X)的圖象可得，當x<—2時，/(%)<0,當-2<x<；時，/(x)>0,

當g<x<2時，f(x)<0,當x>2時，/(x)>0

所以小)在12,￡|和(2,3)上單調遞增，在(-8,-2)和上單調遞減,

所以x=2為/(X)的極小值點，所以B選項錯誤，C選項正確；

x=:是尸⑴的零點，但不一定是的零點，所以A錯誤；

/(-2)是函數〃x)的極小值，但不一定是最小值，所以D錯誤.

6.A

/z(x)=3x2+2ox+Z?,

若函數”X)在戶-1處有極值8,

則f(-D=8M/,(-i)=o,即［；，一：+：=\

［3-2a+b=0

解得：〃=31=3或a=-2,b=-7,

當。=3,6=3時，/z(x)=3X2+6X+3=3(X+1)2>0,此時x=—l不是極值點，故舍去,

當a=—2,b=—7時，f\x)=3九2-4x-7=(3九一7)(x+l),

77

當了或％<-1時，/r(x)>0,當一故%=-1是極值點，

故，=-2/=-7符合題意，

故-2x2-7x+4,

故〃i)r

7.D

由題意得廣(力=言”+1.

因為函數“X)在(0,71)上恰有兩個極值點,則廣(X)在(0,7T)上有兩個變號零點.

當a40時，/(句>0在(0,兀)上恒成立，不符合題意.

當q>0時，令〃(尤)=---；—+1,貝、—2a(sinx-cosx)_14),

eh㈤=

當兀］時，/i,(x)>0,所以O在(：，兀［上單調遞增，

當時，〃(x)<0,所以力⑴在上單調遞減，

又九(0)=/)=1,〃M=i

°e4

7(兀)>{2a八萬-(V2-、

所以'Z=11——1<°，則Q衛e"即實數4的取值范圍是+e4,+8

⑴近2I2J

8.B

F(x)=f^x^—kx=>Fr(x)=fr^x)-k,

作出與直線廣丘+機平行的函數的所有切線，各切線與函數〃x)的切點的橫坐標依次為

a,b,c,d,e,

〃x)在〃也c,d,e,處的導數都等于左,

在(O,a),色c),(d,e)上,f(x)>k,F'(x)>0,F(x)單調遞增,

在(°,6),(0,〃),(自+8)上，/。卜人/⑺④產⑺單調遞減，

因此函數尸(x)=/(x)-Ax有三個極大值點，有兩個極小值點.

9.BC

根據(⑺,g'(x)的圖象可得，y=7'(x)與y=g'(x)的圖象有三個不同的交點,

設這些點的橫坐標依次為國,馬，無3，滿足見<%<W，其中％=0.

由圖可知，當X<%時，g'(x)>f'(x),BPh'(x)=gr(x)-f(x)>0,

故函數/z(x)在(-oo,%)上單調遞增，

當％<x<0時，g\x)<f'(x),即〃(x)=g〈x)--(x)<0,

故函數Mx)在區,0)上單調遞減，

當0<尤時，g'(x)>r(x),即〃(x)=g〈x)--(x)>o,

故函數M%)在(。,鼻)上單調遞增，

當了>彳3時，g'(x)</'(x)，即/7'(x)=g'(x)—/'(x)<0,

故函數為(x)在(工3，+⑹上單調遞減.

綜上所述，函數〃(X)分別在x=x”x=w時取得極大值，在x=0時取得極小值，

即函數力(X)有2個極大值點和1個極小值點，故B項正確，A項錯誤；

因xf-8時，可龍)的趨近值未知，x-+8時，M》)的趨近值也未知，故無法判斷函數的最小值能否

取得，

但因函數/z(x)分別在X==w時取得極大值，

故可取/■&)與/(W)中的較大者作為函數的最大值，故c項正確，D項錯誤.

10.ABC

由函數/(x)=alnx—2犬+法，可得尸⑺4x+6=+公+〃,

因為f(x)=alm-2x2+bx既有極小值又有極大值，

可得方程~4爐=0在(0,+8)上有兩個不同的實數根，

A=/+16a>0&八

/7+16。〉0

b

貝！J滿足<W>。，可得<。>。,所以而<0,a<0,b2+16a>0>

a<0

a八I

——>0

[4

例如：a=T,8=5時，滿足上式，此時m-4<4不成立.

11.ABC

方法一：

因為/■(盯)=y/(尤)+尤2/0)，

對于A,令尤=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令尤=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令無=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),貝|]/(-1)=0,

令y=-1,/(-尤)=f(x)+x2f(-l)=f(x),

又函數/(x)的定義域為R,所以/(尤)為偶函數，故C正確，

對于D,不妨令〃x)=0,顯然符合題設條件，此時Ax)無極值，故D錯誤.

方法二：

因為/(盯)=必/(尤)+，/0)>

對于A,令尤=y=0,/(0)=0f(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令尤=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/⑴=。，故B正確.

對于C,令尤=y=-l,/(I)=/(-I)+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=。，

令y=-11(-尤)=/(x)+x2/(-l)=f(x),

又函數的定義域為R,所以/(x)為偶函數，故C正確，

對于D,當V/wO時，對/1(盯)=y2/(x)+x"(y)兩邊同時除以,得至U[!：)=+，

故可以設工孚=1小(g0),則/(x)=<：

廠[0,x=0

當x>0肘，/(x)=x2InJC,則/'(x)=2xlnx+x2,=x(21n元+1),

令尸(x)<。，得0<%</；令/(%)>0，得x>/；

故/(x)在I。,屋口上單調遞減，在1e±+"上單調遞增,

因為/(尤)為偶函數，所以/(元)在JeNo]上單調遞增，在(-應屋力上單調遞減，

顯然，此時x=0是〃無)的極大值，故D錯誤.

12.AD

A選項，f(尤)=6x2-6ax=6x(x-a),由于。>1,

故xw(-8,0)u(a,+8)時f'(x)>0,故/(x)在(-oo,0),(a,+8)上單調遞增，

尤e(0,a)時，f\x)<0,/(x)單調遞減，

則/(元)在x=0處取到極大值，在x=。處取到極小值，

由f(0)=l>0,f(a)=l-a3<0,則7W(a)<0,

根據零點存在定理/(x)在(。,。)上有一個零點，

又/(一1)=一1一3"0,/(2a)=4a3+l>0,則/(-1)/(0)<0J(a)/(2a)<0,

則/(無)在(TO),(a,2a)上各有一個零點，于是時，/(無)有三個零點，A選項正確;

B選項,f'(x)=6x(x-a),。<0時,xe(a,0),/,(x)<0,/(x)單調遞減,

xe(0,+s)時f(x)>0,f(x)單調遞增，

此時，(無)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設存在這樣的。,匕，使得x=l，為“X)的對稱軸，

即存在這樣的。使得ZW=f(2b-x),

即2x3—3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1,

根據二項式定理，等式右邊Qb-x)3展開式含有尤3的項為2C；(26)°(-X)3=-2x3,

于是等式左右兩邊%3的系數都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。，b，使得x=b為，(元)的對稱軸，C選項錯誤；

方法一：利用對稱中心的表達式化簡

/(l)=3-3a,若存在這樣的。，使得(1,3-3。)為了(尤)的對稱中心，

^f(x)+f(2-x)=6-6a,事實上，

/(X)+/(2-x)=2/一3依2+1+2(2-x)3-3a(2-%了+1=(12-6a)/+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)尤+18-12a

12-6a=0

即12a-24=0,解得。=2,即存在a=2使得(1"(1))是/⑺的對稱中心，D選項正確.

18-12〃=6-6a

方法二：直接利用拐點結論

任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，

/(x)=2x3-3axi+1,/'(%)=6x2-6ax,/"(x)=12x-6a,

由〃(x)=0oX=■!,于是該三次函數的對稱中心為1，/[)]，

由題意(1J⑴)也是對稱中心，故W=loa=2,

即存在。=2使得(1,/⑴)是/(尤)的對稱中心，D選項正確.

13.1

函數的導數為/⑺-胃口-%上(k>l,keZ),

若左是偶數，此時只有x=M是極小值點，不存在極大值點，不滿足題意，故上是奇數.

2

①若左由尸(%)〉0,解得X>1?或XV左；由尸(%)<0，解得女

即當兀=左時，函數/(X)取得極大值.

:左是奇數，...左=1.

②若不>"!，由尸(x)>0,解得x>4或x<*|；由尸⑺<0,解得g■〈尤<左，

即當尤=上時，函數/(X)取得極小值，不滿足條件.

故答案為：1

〃%)=2*3-3x2+CX+1,XG(0,+OO),

貝！］=61—6x+c,XG(0,4OO)

則方程6x,-6x+c=0有二不等正根再，尤2，

(-6)2-24c>03

由，c，可得0<,

->02

、6

%%=1

,貝°C=6尤1%2，%2=1―玉

則〃/)=2d-3.片+6(1-xjx；+1=-4/+3號1

x21一百1一百

令3)=一次+3/+1”

1-X

8d—15爐+6x+1

則hf(x)=,XE.

令左(x)=8x3-15x2+6X+1,XE［o,；］,

貝Uk'(x)=24x2-30x+6=6(x-1)(4%+1)<0在(0,；］上恒成立,

則依x)在(0,￡|上單調遞減，又=；

則-尤)>0在(0,￡|上恒成立，

則/(X)>0在(0,￡|上恒成立，則h(x)在上單調遞增，

又/z(0)=1,/z(1)=|,則以x)在(0,；］上值域為［1,￡|,

則‘：')的取值范圍是［l］

故答案為：[1，|

3」,+oo

15.

f{x}=xex,則/'(x)=(x+l)e”,

r(-l)=0,當尤<一1時，尸⑺<0；當x>T時，r(x)>o；

可知函數“X)在上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增，

〃尤L=/(T)=T，當x<0時，/(“<0,當Xf-s時，*x)-o,

在同一坐標系作出函數〃x)=xe，和圓(尤+1)2+(，+3)2=/(7>0)的圖象，如圖:

可知函數在》=-1處的切線方程為y=-1，

圓(x+1)2+(y+3)2=r2(r>0)在點(-1,-3+r)處的切線方程為y=-3+r,

則當-3+r=」，即r=3-1時，圓與函數"x)=xe，的圖象有且只有一個交點,

ee

當一3+r>,，即/>3」時，圓與函數〃尤)=xe’的圖象有兩個交點，

ee

可得〃的取值范圍為0-(+8).

故答案為：^3--,+co^

16.—e3

因為函數〃x)=xe"-me2x,可得/'(x)=(x+l)ex-2me2x=e*(x+1-2mex),

令尸(x)=0,可得2根=?,令g(x)=/l,可得g，(x)=-p,

當x<0時，可得g<x)>0,此時g(x)單調遞增,

當x>0時，可得g[x)<0,此時g(x)單調遞減,

所以，函數g⑺的極大值為g（o）=l,當且僅當x>-1時，5（x）>0,

所以2mvl,可得根<；,如圖所示，

1元+]

當機e（0;）時，相=云^有兩個實數根，記為再，/，

當xe（x”X2）時，f'（x）>0；當xe（X2，+8）時，f'（x）<0,

所以/（x）在x=%處取得極大值，不符合題意；

X+]

當〃7<0時，機==有一個實數根，記為七,

當xef-s,/）時，f'（x）<0;當xe（x（）,+oo）時，f'（x）>0,

所以/（x）在x=x°處取得極小值，也是最小值，

綜上可得，〃尤）在*0）內取得最小值，即x=x。時，函數/（無）取得最小值,

所以/(%)=工，即，〃=*?,即xe--曰《2&=生:，

v7x

m2e°2e%x0+l

_Q_i_1

解得%=-3或%=3(舍去)，所以"?=\_3=_e3.

2e

故答案為：-e3.

17.[-2,1）

由函數/（X）=gx3-X,可得:（無）=/一1=（了+1）（尤一1）,

當x<T或x>l時，r（x）>0,“X）在（一叫-1）,（1,+⑹上單調遞增;

當—時,r（x）<0,〃尤）在（一1,1）上單調遞減,

即X=1為函數“X）的極小值點；

要使得函數y=〃X）在區間（辦6-加）上有最小值,

-y/5<m<l

m<l<6-m2

則滿足即《

[33

i99

g|^j—m3—m>——,可得3帆+2>0,即(m—>0,解得mN—2,

所以一即實數"，的取值為卜2,1).

故答案為：卜2,1)

2e

18.(1)———<a<l1

e2+l

8、

(2)0,

e2+1

2

(1)因為=-@一2山X,則/'(%)=a+a2ax-2x+a

X2X

令_f(x)=0,則ax2-2x+a=0,

g(x)=ax2-2x+a,

設函數/(x)在區間內的兩個極值點為

vl<%2

由韋達定理得再入2=1，所以1Vxi<e,

e

顯然awO,—>0,所以。>0,

a

a>0a>0

A>04-4a2>0

2e

所以g(e)>0,即ae9-2e+〃>0,解得一^—<a<l.

e+l

1

g>0+〃〉0

e

此時西JF

,列表如下:

XkJA(X],馬)元2(9，e)

f'M+0—0+

單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

2e

所以=“<L

(2)因為%m=1，所以M=/(玉)一/(犬2)=用一0一21nx-

i-------21nx2

%2

=axl---21nx1------ax1-21n一=23--—21n.

7

2x1

由cix^—2玉+a=0,a――7，且一<玉<1,

X；+1e

2

所以"3X?+1入i2Aizl_linx4

------21nxi=4片+121J

設x；=f,-4</<l,令/i(f)=4

tG

et+12

則〃⑴=4/點=<o,所以力⑺在m上單調遞減,

((f+1)2tJ一(+?1?)le2J

從而〃⑴<〃(/)<d，即〃⑺e(0,a)

所以實數"的取值范圍是［。,上］

/、2

19.(i)y(x)極大值=l,沒有極小值

⑵了⑺-。

⑶「七

(1)當。=0時，/(%)=—,定義域是(0,+8),則/⑺=2?nx,

XX

令7''(x)=0,得％=6,X變化時，尸⑺，〃x)的變化情況如下表:

X(O，e)e(e,+8)

+

廣(X)0—

/(元)/2

e

7

所以“X)極大值=/(e)=]〃尤)沒有極小值?

O]n-y

(2)當a=l時，〃x)=——+Y_1,xe[l,+oo),

2-21nx_2(l-lnx+x3)

則-(元)=

-?

令g(x)=l-Inx+d,xe[1,+oo),

1Qr3-1

貝!Jg'(%)=——+3x2=----->0，

XX

則g(x)在[l,+8)上是增函數，則g(x)0Al=g(l)=2,

所以r(x)>0,即/(x)在［L+8)上是增函數,

則“UN。-

故當“=1時，”X)在［L”)上的最小值是0；

(3)f(x)=+a(x2-1),xe(l,e),

23ay

令8(力=加-lnx+1,xe(l,e),g'(x}=3ax_1=,

xx

當a<0時，g<x)<0,則g(元)在(l,e)上是減函數，貝！|g(x)<g(l)=a+L

①當“+1<0時，/(x)<0,則在(l,e)上是減函數，/(^)_</(1)=0,不合題意;

②當a+l>0時，a>-l,g(l)>0,g(e)=t?e3<0,則存在為w(l,e),使gQ。)=0,

即r(%)=0,無變化時,f'(x),"力的變化情況如下表：

X(l，x0)%(%，e)

f,M+0—

/(x)/極大值/(飛)

則“力極大值=〃/)>〃1)=°，

因為/(X)在(Le)上有零點，

所以〃e)=1+a(e2_l)<0,解得

所以，0的取值范圍是［1，三］

2。?⑴/⑺極大值見,(X)極小值=T+6

⑵當a>0時〃x)的單調增區間為(f,0),(f，+，|，單調減區間為“

當a=0時，(元)在R上單調遞增；

當”<0時的單調遞增區間為‘鞏?!；(0,+e),單調遞減區間為仁,。］；

2—a+b,a>3

a

-----F0<<3

I27Q

(1)當a=3時”力=2丁一3%2+6定義域為R,

且/'(x)=6x2-6x=6x(x-l),

所以當％<0或x>l時/r(x)>0,當0<x<l時/r(x)<0,

所以在x=0處取得極大值，在九=