重難點2-5導數與不等式綜合應用

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預測

近三年高考中，本節內容涉及選擇題、填空題和解預計2025年在題型上不會有大的變動。內容上重點

答題，其中解答題常作為壓軸題出現，難度較大。考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值，進

常與函數的單調性、極值、最值等結合考查.而解決不等式的恒成立、能成立問題.還需多留意

雙變量問題、函數與數列不等式綜合證明問題、導

數新定義的不等式證明問題等.

重難點題型解讀

題型［根據不等式恒成立問題求參題型4雙變量不等式的證明

題型2根據不等式能成立問題求參<:—導數與不等式綜合應用題型5對稱化構造解決極值點偏移

題型3單變量不等式的證明?題型6比值代換法解決極值點偏移

題型1根據不等式恒成立求參

aaoe

1、利用導數求解參數范圍的兩種方法

(1)分離參數法：將參數和自變量分離開，構造關于自變量的新函數，研究新函數最值與參數之間的關

系，求解出參數范圍；

(2)分類討論法：根據題意分析參數的臨界值，根據臨界值作分類討論，分別解出滿足題意的參數范圍

最后取并集。

2、不等式恒成立問題轉化：

(1)VxeD,m4f(x)omWf(x^n

(2)VxeD,m>

1.(24-25高三上?寧夏銀川?期末)已知函數/(X)=(X+〃-1)/-依-儲+〃，當%>1時，〃%)>。恒成立,

則。的取值范圍是()

A.(-00,e]B.[l,e]C.[e,+co)D.[0,e]

2.(23-24高三下?江西上饒?考前全真模擬)己知不等式xsinx+cosxZ-。對任意xe[0,對恒成立，則實數a

的最小值為()

兀

A.--B.1C.0D.-1

2

x

3.(24-25高三上?山東青島?期末)已知a>0,若不等式P一Nln(ax)對任意x>0恒成立，則〃的最大值是()

A.2eB.eC.y/e，D.—

e

4.(23-24高三下.河南焦作.四模)已知函數/z(x)=ln(2ex-e),g(x)=2ax-2aMwR,/(x)=Mx)-g(X).

⑴若曲線y=/(x)在⑴)處的切線與直線％-y+l=O平行，求函數/(力的極值；

(2)若+〃恒成立，求實數。的取值范圍.

題型2根據不等式恒成立求參

.............記.................；

1、形如/(X)2g(x)有解問題的求解策略

⑴構造函數法：令/(X)=/(%)—g(x),利用導數求得函數b(%)的單調性與最小值，只需/(X)max?0

恒成立即可.

(2)參數分離法：轉化為。之0(%)或a<0(x)恒成立，即a20(x)n而或aW0(x)nMx恒成立，只需利；

用導數求的函數的單調性與最值即可.

2、單變量不等式能成立問題轉化

(1)3xeD,m<f(x)<^m<f(x)max

(2)BxeD,加之/(x)-加之/(x/n?

3、雙變量不等式成立問題：一般地，已知函數y=/(九),可，y=g(x),x?Gd]

(1)若V%司,W%e[c,d],總有成立,故〃力2<8(超).；

(2)若V%G[?,/?],叫e[c/],有/(&)<g(嶗成立,故/(“而<8(%)而；

若三玉^[a,b]

(3)9叫e[c,d],有/&)<g(x2)成立，故y(411Vg(%)a；

(4)若V%G[?,/?],Bx2e[c,d],有/(xj=g(x2),則的值域是g(x)值域的子集.

1.(24-25高三上?廣東深圳?期末)函數/(力=欣-如+1，若存在工￡(0,也)，使/(%)之0有解，則加的取

值范圍為()

A.B.(-co,2]C.[l,+oo)D.[2,-boo)

若存在尤e(O,y),使得/-14”產成立，則實數”的最小值為()

2.(24-25高三上?甘肅白銀?期末)

A.-B.1C.2D.e

e

已知函數〃x)=xeT,g(元)=；x2_]nx+a,若玉"?e[l,2],使得

3.(24-25高三上?吉林長春?月考)

/&)=g(x2)，則實數。的取值范圍是()

(2,--1112-

A.^-+In2—2,——B.——，二一In2+2

2e2)L2ee2

12?c-210-11

一,=—ln2+2D.-r+ln2-2,------

eee2e2

4.(24-25高三上?山東青島?期末)已知函數/(x)=lnx-1x2.

⑴求函數/(%)在1，4上的最大值和最小值；

(2)若不等式/(x)>(2-a)x2有解，求實數。的取值范圍.

題型3單變量不等式的證明

不等式證明的常用思路

1、移項構造函數法：證明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉化為證明/(x)-g(x)>0(或

/(%)-g(%)<0),進而構造輔助函數〃(x)=/(x)-g(x)；

2、最值法：若無法轉化為一個函數的最值問題，則可以考慮轉化為兩個函數的最值問題.

在證明過程中，等價轉化是關鍵，此處/(X)mm〉g(X)max恒成立.從而/W>g(x),

但此處/(%)與g(X)取到最值的條件不是同一個“尤的值”.

3、適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；

4、構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.

1.(24-25高三上?浙江杭州?月考)已知函數/(x)=21nx-：zra?+lOeR).

⑴討論函數/(x)的單調性

(2)當根=1時，證明：/(%)<1.

2.(24-25高三上.安徽合肥二調)設函數〃x)=ln(a-x),已知x=0是函數)=微(力的極值點.

⑴求。；

/、x+f(x\,\

(2)設函數g('=證明：g(x)<l

3.(24-25高三上?陜西榆林?一模)已知函數/'(力=依-1!1(》+1)+1.

⑴當。=1時，求"尤)的最小值；

(2)求/(x)的極值;

(3)當時，證明：當—l<x<0時，/(%)>ex.

4.(24-25高三上?山東名校聯盟?期末)已知函數/(尤)=疝1%+2元,g(x)=xe*+L

⑴求的單調區間；

⑵證明:當xe(O,y)時,/(x)<g(x).

題型4雙變量不等式的證明

雙變量不等式的處理策略：

i含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉化為一元的不等式，

具體轉化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.

1.(24-25高三上?四川成都?月考)已知函數/。)=(a+1)111尤+加+1.

(1)當。=0時，求證：/(x)4尤；

(2)討論函數/(X)的單調性；

(3)設aW-2,證明：對任意玉，x2e(0,+oo),|/(x1)-/(x2)|>4|x(-x2|.

2.(24-25高三上?貴州銅仁?期末)已知函數〃尤).

x

⑴求了(元)的最值;

(2)求正整數a,b,使其滿足途-a=ba-bS.a>b>2；

7±

fc

(3)若0<匕<。41,求證：(―)^-e?->0.

3.(24-25高三上?山東?月考)已知函數/(x)=xlnx(x>O)r

⑴求函數/(x)的極值；

⑵若不等式/'(x)之依+》(a,beR)當且僅當在區間［e,y)上成立(其中e為自然對數的底數)，求他的最大

值；

(3)實數m，"滿足0<m,求證:him+1<幺^—以根)<ln?i+l.

n—m

4.(24-25高三上?全國?專題練習)已知函數=Jb+aln—bln.-l),a>0.

⑴當6=0時，討論〃尤)的單調性；

⑵證明：當0<6<］時，/(%)>0.

題型5對稱化構造解決極值點偏移

00日?

1、和型玉+%<2a(或不+%>2。)問題的基本步驟：

①首先構造函數g(x)=〃x)-〃2°-尤)，求導，確定函數y=/(x)和函數y=g(x)的單調性;

②確定兩個零點玉,且〃與)=/(%2),由函數值g(xj與g(4)的大小關系，

得g(xj=〃％)-〃24-%)=〃々)-與零進行大小比較；

③再由函數y=/(x)在區間3+功上的單調性得到巧與為-占的大小，從而證明相應問題.

2、積型%馬〈。(〃占卜/伍))問題的基本步驟：

①求導確定/(X)的單調性，得到加三的范圍；

②構造函數尸(x)=〃x)-求導可得尸(x)恒正或恒負；

③得到〃石)與r0的大小關系后，將〃石)置換為〃尤2)；

Vx\)

a/、a

④根據巧與一的范圍，結合〃尤)的單調性，可得巧與一的大小關系，由此證得結論.

玉玉

1.(24-25高三上?河北?月考)已知函數〃x)=lnx+g.

(1)若該函數在［1,+8)單調遞增，求。的取值范圍.

(2)當。=1時，若方程〃力=根有兩個實數根占12,且西<尤2，證明：Xj+x2>2.

2.(24-25高三上?全國?專題練習)已知函數/(xbG—Dlnx—d+oxSeR).

(1)若函數y=/'(x)有兩個零點，求”的取值范圍；

⑵設占,為2是函數的兩個極值點，證明：2'-29>4.

3.（24-25高三上?內蒙古包頭?開學考試）設函數/（無）=（x-l）2e，-x,

⑴證明：/（x）有兩個零點；

⑵記（⑺是/Q）的導數，%,3為/a）的兩個零點，證明：r（美強）>-L

4.（24-25高三上?安徽合肥?月考）已知函數〃x）=x（2-lnx）

⑴討論函數〃尤）的單調性；

⑵求函數〃尤）在口，/（/））處切線方程；

x2

⑶若〃x）=根有兩解4，2>且不<々，求證：2e<+x2<e.

題型6比值代換法解決極值點偏移

1--------------------------------r

ii

I

II

比值代換，是處理雙變量問題的策略之一.通過比值代換，我們可以將雙變量問題轉化為單變量問題來處

I

理，達到消元的效果，在處理比值代換時，要注意一些常見的變換結構，如以下的結構變換方法：

(1)引元：如設立=(=%=比2,消元的,回代入已知等式解方程(組)，進而消元，將所求證不等

，式轉化為9(。＞0等形式，再構造函數可得；

(2)對數相加減：In%]—In%=ln&,In為+In々=In為9；

X2

(3)齊次式：?”,%一丁等;

入1+%

；(4)組合型：對數，分式，整式等形式加以組合，如再+包＞2%,一-----等等.

1.(24-25高三上?河北衡水?模擬測試)已知函數/(x)=lnx-x+〃.

⑴若直線y=(e-l)x與函數/(力的圖象相切，求實數。的值；

⑵若函數g(x)=獷(x)有兩個極值點X]和斗，且芯＜尤2，證明：%+%＞l+ln[?1(e為自然對數的底數)

2.(24-25高三上?江蘇無錫?月考)已知函數f(x)=q+lnx，g(x)=ax-lnx-2.

X

(1)若a＞0,當/(x)與g(x)的極小值之和為。時，求正實數。的值；

112

⑵若〃與)=了(赴)=2a片當)，求證：

4]4,C/L

3.(24-25高三上?山西呂梁?期中)已知函數/(x)=x(lnx+ni)(meR).

(1)令8(同=卓+加+尤,求g(x)的單調區間;

⑵若存在玉，巧（周<%）使得/（%）=/（々），求證：尤也<-2-2-

4.（24-25高三下?安徽?月考）已知函數/（x）=ltu-咚?（aeR）.

⑴討論了（X）的極值點個數；

出若關于》的方程/（耳=（。+1卜-華^有兩個不同實根斗,々，求”的取值范圍，并證明：引

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（24-25高三上?河南?期中）若關于x的不等式x+Jz￡+ln（公）在（0,+e）上恒成立，則。的取值范圍是

（）

A.^0,-B.（0,e]C.D.[e,+co）

2.（24-25高三上?廣東潮州?期末）若,eR滿足ex+">x-l,則實數。的取值范圍是（）

A.—1vav0B.-2C.-evav—2D.a>—2

3.（24-25高三上?安徽合肥?月考）已知函數/Xx）=xlnx,g（x）=ex-x2+a,若初e[l,2],使得

/&）=8（々），則實數a的取值范圍是（）

A.(4-e2,ln4+l-e)B.[4-e2,ln4+l-e^|

C.(ln4+4-e2,l-e)D.[ln4+4-e2,l-e]

二、填空題

4.（24-25高三上?黑龍江，月考）已知函數/（x）=e:aln（G；+a）（a＞0）,若〃x）＞。恒成立，則。的取值范

圍是.

5.（24-25高三上?山西?月考）若對任意在,赴w（0,+oo），當國