微專題08導數壓軸小題

秒殺總結

一、導數幾何意義的應用主要抓住切點的三個特點：

①切點坐標滿足原曲線方程；

②切點坐標滿足切線方程；

③切點的橫坐標代入導函數可得切線的斜率.

二、不等式恒成立問題常見方法：

①分離參數“2/⑺恒成立(42/⑺1rax即可)或恒成立"m/⑺臉即可)；

②數形結合(y=〃x)圖象在y=g(x)上方即可);

③討論最值〃x*/o或1rax<0恒成立；

④討論參數，排除不合題意的參數范圍，篩選出符合題意的參數范圍.

三、根據導函數有關的不等式構造抽象函數求不等式解集問題，解答問題關鍵是能根據條

件構造出合適的抽象函數.常見的構造方法：(1)若出現/(力+尸(龍)形式，可考慮構造

g(x)=e"(x)；(2)若出現「⑺-/⑺，可考慮構造g(x)=￡學;(3)若出現，(力+#'(力，

e

可考慮構造g(x)=j^(x)；(4)若出現/(x)-礦(x),可考慮構造g(x)=?.

四、函數由零點求參數的取值范圍的常用方法與策略：

1、構造函數法：一般命題情境為給出區間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常解法為

構造的新函數的最值，根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的取

值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區間，求滿足函數零點個數的參數范圍，通常

解法為結合函數的單調性，先確定參數分類標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符合

題意，將滿足題意的參數的各個小范圍并在一起，即可為所求參數的范圍.

五、已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.

六、對于求不等式成立時的參數范圍問題，在可能的情況下把參數分離出來，使不等式一

端是含有參數的不等式，另一端是一個區間上具體的函數，這樣就把問題轉化為一端是函

數，另一端是參數的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數法不是萬能的，如果分離

參數后，得出的函數解析式較為復雜，性質很難研究，就不要使用分離參數法.

典型例題

例1.（2021?重慶市朝陽中學高二月考）設匕6eR,若關于x的不等式履+匕2歷％在（0,+e）

上恒成立，則￡h的最小值是（）

k

A.-4B.-1C.--D.--

24

【答案】B

【分析】

構造函數/（x）=lnx-依，原不等式恒成立可轉化為/（x）<6恒成立，利用導數求出函數最

卜一In"-1一-1

大值可得-In左-1V6,可得—--,構造函數g（A）=——（左>0）,求最小值即可.

kkk

【詳解】

米+b2Inx在（0,+8）上恒成立，即為In尤-丘4b在（0,+8）上恒成立，

令〃x）=lnx-Ax,f'^x）=--k,

若％<0,則尸（x）>0,可得尸（x）在（0,+e）遞增,

當時，“X）f+8,不等式Inx-fcvVb在（0,+8）上不恒成立，故左>0.

由廣（無）=!-左，可得Ax）在（0。）上單調遞增，在（；”）上單調遞減，

xkk

所以當工=左時，“X）取得最大值〃％心=[[]=114-1=-1晨-1,

xJk

則-Ink—\<b,貝！J2之一」■一見七.

kkk

./,x1In女,八，/7\1l-lnkIn左

令g（%）=一廠丁’k>6，g'3=Kk=F

可得g（/：）在（0,1）上單調遞減，在（1,內）上單調遞增，

所以當左=1時，g^）rin=g（D=-l,則3的最小值是-1.

K

故選：B.

【點睛】

關鍵點睛：解決本題主要利用導數研究恒成立問題，利用導數求極值，并要運用分類討論的

思想.

例2.（2021廣東?佛山一中高三月考）己知函數〃。）=。山彳+（"1）尤2+1（“<0）,在函數/?（無）

圖象上任取兩點A,B,若直線AB的斜率的絕對值都不小于5,則實數。的取值范圍是（）

A.(-oo,0)BJf中［C.-十］D.［審,。'

【答案】B

【分析】

先對可力求定義域，然后求導，得到函數從力為減函數.將之5轉化為

Xy-X?

/1(%)+5%4〃(%)+5無2,構造函數/(x)=)x)+5x,利用其導數恒小于零，結合一元二次

不等式的判別式，可求得。的取值范圍.

【詳解】

2{"史工＜0,可工)在(0,包)單調遞減，A(XQJ,3(X2—)，"*)一'9)25

X玉一工2

設%＞0,則/2(%)+5%w/2(%2)+5X2.設/(X)=介(%)+5羽貝1］/(%)在(。,+00)上單調遞減，則

尸(x)=2("T)'+5'+"(0對％￡(0,+00)恒成立，貝ij2(a—1)f+5%+aw0對X￡(0,內)恒

成立，貝必W0,即8/一8-25±0,解之得或2".又。＜0,所以

44

【點睛】

本小題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，將題目中直

線A5的斜率的絕對值都不小于5的為題，轉化為函數單調遞減的問題來解決，屬于難題.

例3.(2021?河北?石家莊二中高二月考)已知函數〃%)=3依2一G+出工的圖象在點

(占,〃尤J)處與點(與,/(々))處的切線均平行于x軸，則()

A.〃x)在(L+?)上單調遞增

B.石+/=2

C.%+%+為X2+/(%)+/(%2)的取值范圍是1c°，-：-21n2］

D.若。=與，則只有一個零點

【答案】ACD

【分析】

求導，根據題意進行等價轉化，得到。的取值范圍；對于A,利用導數即可得到/(x)在(1,+8)

上的單調性；對于B,利用根與系數的關系可得占+%=1；對于C,化簡

x1+x2+x1x2+/（x1）+/（x2）,構造函數，利用函數的單調性可得解；對于D,將。=1代入

尸（x）,令尸（x）=0,可得〃尤）的單調性，進而求得〃尤）的極大值小于0,再利用零點存

在定理可得解.

【詳解】

ax2aX+l

由題意可知，函數“X）的定義域為（0,+功，a.f'（X]=aX-a+-=~

XX

A=a?—4。〉0

則陽，工2是方程改2一雙+1=0的兩個不等正根，貝卜1，解得〃>4,

xx=—>0

、{2a

當X￡（l,+oo）時，函數y=依2一依+1>0,止匕時

所以/（%）在（1，+8）上單調遞增，故A正確；

因為再，々是方程內：2_辦+1=0的兩個不等正根，所以玉+9=1,故B錯誤;

因為玉+/+$％2+/(芯)+/(%2)=1+工+1"玉+^ax^-ax+lnx

{2+-axl-ax.

22-

=l-\--bln—+一。1—\-a

aa2[a)2a

易知函數人（〃）=-3〃-111。+工在（4,+00）上是減函數,

7

貝（J當a>4時，A（6i）</2（4）=---21n2,

所以％+x2+x1x2+/（x1）+/（x2）的取值范圍是1―8,—：—21n2）,故C正確；

當時，f\x）=^-x-+~,令尸（無）=0,得x或1,

則“X）在力上單調遞增，在上單調遞減，在（；,+口上單調遞增,

所以“X）在X取得極大值，且/⑵=ln2>0,

所以只有一個零點，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】

關鍵點點睛：導數幾何意義的應用主要抓住切點的三個特點:

①切點坐標滿足原曲線方程；

②切點坐標滿足切線方程；

③切點的橫坐標代入導函數可得切線的斜率.

例4.(2021?杭州模擬)已知函數/(兀)=|%2+"+。］在區間［0,4］上的最大值為當實

數。，b變化時，M最小值為2,當M取到最小值時，a+b=.

［解答］解：f(x)=|X2—4x+(a+4)x+b\=\x2—4x—［—(a+4)x—b\\,

上述函數可理解為當橫坐標相同時，函數g(%)=f-4%,xe［0,4］與函數

/2(%)=-3+4)兀-人，XG［0,4］圖象上點的縱向距離，則M即為函數g(x)=d—4x與函數

/i(x)=-3+4)%-人圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，

由圖象可知，當函數/z(x)的圖象剛好為y=-2時，Af取得最小值為2,此時-(々+4)=0,

且—b——2,即a=-4，b=2,

故a+Z?=—2.

故答案為：2,-2.

?4

例5.(2021春?湖州期末)若存在正實數x,y使得不等式歷x-12+1..歷y+二-歷4成立,

則%+y=()

A.顯B.叵C.晅D.述

222

11_?r2

【解答】解：記/(%)=/加一12+1,1(%)=——2x=------，

XX

當0<尤<?時，f,(x)>0；當x>?時，r(x)<0,

所以/(x)在(0,等)上單調遞增，在(等,+00)上單調遞減，

f8s=f(*=：Q-帥.

j4//\18爐-8

記g(x)=IHXH■—--Zn4,g(x)=-----=---，

XXXX

當0<xv2立時，g<x)v0；當x>2也時，g<%)>0,

所以g(x)在(0,2&)上單調遞減，在(2應,+8)上單調遞增，

L1

所以g(尤)而=g(2應)=3(1—勿2).

4

由題意歷X-%2+1旗zy+一一切4=f(x)g(y),

y

又因為/(x)^=g(x)加〃=g(1-歷2),所以/(x)=g(y)=；(1—歷2),

故x=,y=2亞=x+y=.

22

44r4

另解：正實數x,y,/加一爐+1國孫+=一歷401+加一九之+,

yyy

令/(%)=1+Inx—%,/'(%)=——1,

x

當o<xvi時，r(x)>o；當％>1時，r(x)<o,

所以/(%)在(0,1)上單調遞減，(1,+co)上單調遞增，

所以/(x)s=/(1)=0,于是1+玩r-遇。=1+松x,

于是1+加把,，竺，當且僅當把=1時不等式取等號，

yyy

又3+3..21%2.《=把,當且僅當x=2時不等式取等號，

y\yyy

4x244x244x

1+ZT?--..XH--1+歷------=X4----=--,

yyyyy

所以竺=1且x=2,解得x=交，y=2近，所以無+>=述.

.y>22

故選：D.

例6.(2021?河北冀州中學高三期中(理))已知函數/(%)=%3—2ex2,g(x)=in%—G；(a￡R),

若/⑴冷⑺對任意%￡(0,+8)恒成立，則實數。的取值范圍是.

【答案][/+—,+8)

e

【分析】

22

f(x)>g(x)<^>a>-x+2ex+^^^h(x)=-x+2ex+^-^f利用導數求出h^x)的最大值,

從而可得結果.

【詳解】

/(x)>g(x)。a>—x2+2ex+，令h(%)=—x2+2ex+,

則”（元）=—2x+2e+--

當0cx<e時，/?'(x)>0；當x>e時，/?'(%)<0,

：.h{x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)單調遞減，

，力(元)的最大值為〃(e)=e2+：,

則洛即實數。的取值范圍是［/+%⑹，

故答案為廿+乙+口)，

e

【點睛】

本題主要考查利用導數求函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于中檔題.不等式恒成立問

題常見方法：①分離參數。2/(對恒成立(。上/(司1mx即可)或aW/(x)恒成立(。4/(耳.

即可)；②數形結合(y=〃x)圖象在y=g(x)上方即可)；③討論最值1nm20或

/(x)aWO恒成立；④討論參數，排除不合題意的參數范圍，篩選出符合題意的參數范.

例7.(2021.全國.高二課時練習)設函數y=/"(x)是y=/'(x)的導數，經過探究發現，任

意一個三次函數/(尤)=加+加+6+1(?工0)的圖象都有對稱中心(5"(%))，其中為滿

7

足廣（為）=0,己知函數〃尤）=2尤3-3尤?+9x-j則

/f—K（

（2022）（2022）（2022）（2022）

20214021

A.2021B.------C.2022

2

【答案】B

【分析】

通過條件，先確定函數/(%)圖象的對稱中心點，進而根據對稱性求出函數值的和.

【詳解】

7

2

由7（x）=2尤3-3尤2+9尤一券,可得r（x）=6x-6x+9,f"（x）=12x-6,令/"（%）=12x-6=0,

得x=；，X/^=2x^iJ-3xQj+9xl-1=l,所以對稱中心為g,J,所以

12、?f2020A_,,<1010^/1012）

/12022尸/12022卜'^2（｝22）'12022J+[2022j-1，

力1^20嗎22J」2,

1232021=1010x1+1=2021

所以/+/+f

202220222022202222

故選：B.

例8.(2021.河北武強中學高三月考)已知定義在R上的可導函數/(x)的導函數為7'(x),

滿足/(x)</(x)且〃x+3)為偶函數,“6)=1,則不等式"x)<e*的解集為()

A.(-3,+oo)B.。,+8)

C.(0,+8)D.(6,+oo)

【答案】C

【分析】

構造函數g(x)=華，求導g3J(x)，(x)<0,從而得g(x)在定義R上單調遞減；又

exex

/(x)<e'o"<要，從而有g(x)<g(0),利用g(x)的單調性即可求解.

exe

【詳解】

解：令g(x)=卒，

ex

v/X%)</(x),

e

???g(x)在定義R上單調遞減；①

又/(尤+3)為偶函數，

:.f(3+x)=f(3-x),

.-./(0)=/(6)=1,

津=1,

e

貝I」不等式/(X)〈婷。華〈斗，即g(x)<g(0),

ee

由①得x>0，

故選：C.

例9.(2021?全國?高二課時練習)設函數/(x)滿足Y尸(司+2獷(x)=J,〃2)=J,則x>0

時，

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值

【答案】D

【詳解】

函數f(x)滿足x2f\x)+2xf(x)=一，

X

.?-[x2/(x)],=-y,令尸(x)=%7(x),

則F(X)=?*2)=4/(2)=5，

由一尸(力+2功(無)=^,得/(x)=e=2：(x),令Q(x)=e=2尸(x),

XJC

則e'(x)=e_2尸(力=叫：2),

0(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,行)上單調遞增,

0(x)的最小值為。⑵=e2-2F(2)=0,.\°(x)>0.

又x>0,，r(x)Z0,;"(x)在(0,+。)單調遞增，

.?"(x)既無極大值也無極小值，故選D.

例10.(2021?天河區二模)若無，”，。均為任意實數，且(°+2)2+(6-3)2=1,則

(x-a)2+(阮t-6)2的最小值為()

A.30B.18C.30-1D.19-60

【解答】解：(。+2)2+3-3)2=1,

可得(4,6)在(-2,3)為圓心，1為半徑r的圓上，

(x-a)2+(加■x-8)2表示點(4,6)與點(x,仇x)的距離的平方,

設過切點的切線與過(-2,3)的法線垂直，

—rznlnm-31,

可得---------=-1,

m+2m

即有Inm+%N+2m=3,

由/(m)=/"機+加2+2機在m>0遞增，且/(1)=3,

可得切點為(1,0),

圓心與切點的距離為d=7(1+2)2+(0-3)2=3叵,

可得(x-a)2+(Inx-b￥的最小值為(3>/2-I)2=19-6A/2,

故選：D.

例11.(2021?湖北模擬)設￡>=J(X-4)2+(4-2&)2+a+2.其中e.2.71828,則。的

最小值為()

A.0B.73C.72+1D.73+1

【解答】解：由題意可得a..0,￡)=J(x—a)?+(e*—+。+2,

由Q(x-a)~+(e*-2A/^)2表小兩點C(x,er)與點A(a,2y[a)的距離，

而A在拋物線/=4x(x..O)上，拋物線的焦點P(l,0),準線為x=-l,

則。表示A與C的距離和A與準線的距離的和再加上1,

由拋物線的定義可得。表示A與C的距離和A與P的距離的和再加上1,

由圖象可得當尸，A,C三點共線，且QE為曲線y=e，的法線，。取得最小值,

即Q為切點，設為(租,em),

z,m_0

由-----?em=-1,可得根+e2m=1，

m-1

g(m)=m+e2m,則g(m)遞增，且g(0)=l,

可得切點。(0,1)，

即有|pQI=Vni=0，

則。的最小值為虛+1.

故選：C.

例12.(2022?全國?高三專題練習)已知關于x的不等式e*-〃?x-lnx-ln("7+l)20在(0,+8)恒

成立，則優的取值范圍是()

A.(-1,1]B.(―1,e—1]C.(e-1,1]D.e]

【答案】B

【分析】

將條件變形為0*+彳2111[(,九+1)1|+(m+1卜=*山"+回+ln[(m+l)x],然后由f(x)=ex+x

的單調性可得x上In■加+1)刃，然后可得m+然后利用導數求出人3=，的最小值

即可.

【詳解】

由6*-7改一111%-111(加+1)20得e*-〃優21n[(m+1)司

即e*+xNln[(zn+l)x]+(m+l)x=*"""3]+ln[(加+1)無],

構造”x)=e*+x,gp/(x)>/(ln[(/M+l)^)

因為/(x)在(0,+8)上單調遞增，所以xNln[G〃+l)x],所以m+l)x

所以m+14U，令Mx)=C,則勿⑺=1(：T)

XXX

所以M%)在(0,1)上單調遞減，在(1，+8)上單調遞增

所以"(1需=/z(l)=e,所以加+l?e,即加

又加+1>0,即機>一1

所以加的取值范圍是(Te-1]

故選：B

過關測試

1.(2021?江西贛州?高三期中(文))已知函數/(x)(元cR)滿足〃1)=1,且/(無)的導數

Ax)>p則不等式f(|尤|)<!!l+g的解集為()

A.(^?,-1)B.(L+8)C.(-1,1)D.(^?,-l]U[l,+°°)

【答案】C

【分析】

Y1

設g(x)=,利用導數法判斷函數g(x)為增函數求解.

【詳解】

Y1

貝Ijg'(x)=/'(無)一:>0，

所以函數g(x)為增函數，

由/(1)=1,得g(l)=/(l)-l=0,

由g(尤)<。，得X<1,

所以由不等式〃|x|)〈母+?，得

??—1<XV1,

故選：C

2.(2021.全國?高二課時練習)設定義在R上的函數“X)的導函數為1(x),若

f(x)+/'(x)<2,/(0)=2021,則不等式6了(力>2/+2019(其中e為自然對數的底數)

的解集為()

A.(0,+oo)B,(2019,+oo)

C.(-oo,0)D.(-oo,0)U(2019,+oo)

【答案】C

【分析】

根據條件構造函數g(x)=e[〃x)-2],分析廉尤)的單調性并計算g(O)的值，將

exf(x)>2e*+2019轉化為g(%)>2019,由此求解出不等式的解集.

【詳解】

設g(x)=e"[/(x)-2],所以g，(x)=e[〃x)+/(x)-2],

因為f(x)+尸(x)<2,所以g，(x)=r[〃x)+_f(x)_2]<0,

所以g(x)在R上單調遞減，且g(O)=lx(/(O)-2)=2O19,

又因為//(x)>2/+2019等價于g(x)>2019,

所以解集為(—,0),

故選：C.

【點睛】

本題考查根據導函數有關的不等式構造抽象函數求不等式解集問題，解答問題關鍵是能根據

條件構造出合適的抽象函數，難度較難.常見的構造方法：(1)若出現/(x)+/'(x)形式，可

考慮構造g(x)=e"(x)(2)若出現造(x)-〃x),可考慮構造8(動=/學；(3)若出現

e

f(x)+xf'(x)，可考慮構造g(x)=獷(句；(4)若出現-礦(x)，可考慮構造g(x)=卓.

3.(2021?全國?高二課時練習)己知了⑴的定義域為(0,+?),/(X)為/(尤)的導函數，且滿

足"x)<一O'(x),則不等式■(尤2-1)的解集是()

A.(0,1)B.(2,+?)C.(1,2)D.(1,+?)

【答案】B

【分析】

根據題意，構造函數y=^(無)，結合函數的單調性解不等式，即可求解.

【詳解】

根據題意，構造函數y=^(x),xe(O,y),則y'=/(x)+礦(x)<0,

所以函數y=4(x)的圖象在(0,+8)上單調遞減.

又因為/(X+1)>(xT)f(尤2T)，所以(x+l)/(尤+1)>(無2-1)/(小-1),

所以0<尤+1<爐_1,解得x>2或X<-1(舍).

所以不等式〃x+l)>(x-l)/(x2-1)的解集是(2,+8).

故選：B.

4.(2021?黑龍江?哈爾濱三中高三期中(理))設函數/(%)在R上的導函數為f(x),若

r(x)>/(x)+l,f\x)=f'[6-x),/(3)=1,/(6)=5,則不等式/(lnx)+2x+l<0的解

集為()

A.(0,1)B.(0,3)C.(1,3)D.(3,6)

【答案】A

【分析】

構造函數g(x)=fM+\得到g(x)也是R上的單調遞增函數.，分析得到函數于3關于點

ex

(3,1)對稱.由/(lnx)+2x+l<0得到g(lnx)<g(0),即得解.

【詳解】

構造函數g(x)-,g(%)=:—>o,

ee

所以g(x)也是R上的單調遞增函數.

因為/'("=尸(6-x),所以八幻關于直線x=3對稱,

所以Jf'Mdx=jf'(6-x)dx,/(x)+q=-/(6-%)+c2,(q,c2為常數)，

f{x)+f(6-x)=c1-cl,令x=3,所以2/(3)=02-生,二/(3)=^^-.

因為/'(3)=1,所以C2-G=2,

所以〃x)+/(6-x)=2,所以函數/(x)關于點(3,1)對稱.

由〃3)=1,/(6)=5得到。(0)=-3,

因為/(lnx)+2x+l<0,.,.”lnx)+l<-2x=-2eln)

所以―

-3+1

所以g(ln無)<一2=g(0)=-7—,

所以g(lnx)<g(O),

所以In%<0,0<%<1.

故選：A

5.(2021?吉林?梅河口市第五中學高三月考(理))已知在定義在R上的函數/(%)滿足

/(%)-/(-%)-6x+2sinx=0,且%20時，/'(%)之3-cosx恒成立，則不等式

/(x)2/￡+6x+四cos(x+：］的解集為()

「萬

B.仁71,+叼C(7T~.\口.仁,+8

【答案】B

【分析】

結合已知不等式，構造新函數g(x)=/(x)-3x+sinx,結合單調性及奇偶性，列出不等式,

即可求解.

【詳解】

由題意，當x?0時，/'(x)23—cosx恒成立，即/'⑺―3+cosxNO恒成立,

又由/(x)-/(-x)-6x+2sinx=0,可得/(x)-3x+sinx=/(-x)+3x-sinx,

令g(x)=/(x)-3x+sinx,可得g(—x)=g(—x),則函數g(x)為偶函數，

且當xNO時，g(x)單調遞增，

結合偶函數的對稱性可得g(x)在(口,。)上單調遞減，

由/(尤)2/+6x+5/2cos

化簡得至IJ〃x)-3x+sinxNdW-尤)-3(g-x)+sing-x),

即8⑺*仁-》)，所以此解得北］

即不等式的解集為?，+8)

故選：B.

6.(2021.新疆維吾爾自治區喀什第二中學高二期中)已知函數八九)的導函數為f(x),對任

意的實數X都有((x)=f(x)-廿+2x-/,/(0)=2,則不等式/(|x—1|)<e?+/+4的解

集是()

A.(0,1)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(e,3)

【答案】C

【分析】

由已知條件構造函數〃尤)=*+^+M，再根據"0)=2,求。，不等式轉化為

/(|x-2|)</(2),結合函數的單調性和奇偶性，解抽象不等式.

【詳解】

解：由題意得/(x)=ex+x2+aex,

貝!Jf(x)=-e~x+2x+aex

=e*++ci€x—2e*+2尤—―

—f(x)—2ex+2%—J,

由/(0)=l+a=2,解得：。=1,

故=,

/(|x-l|)<e2+e-2+4=/(2),

,當尤..0時，ex..\,0<e~x?1,2x.O,

1(x)="-+2尤>0在(0,+oo)上恒成立，

即/⑺在(0,+8)上單調遞增，

又/(r)=〃尤),故f(x)為R上的偶函數,

其圖象關于y軸對稱，/⑺在(-*0)上單調遞減，

故|x-l|<2,故-lvx<3,

故選：C.

7.(2021?湖北?高三月考)已知函數“可」二”’0,一\其中aeR,給出以下關于

［2f(x-2),x>2

函數〃元)的結論：

①(3=2②當xe［。,8］時，函數”X)值域為［0,8］③當人時方程〃力="恰有四

個實根④當天武。,8］時，若〃其<25+4恒成立，則oZl-JL其中正確的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

由題可畫函數圖象，結合圖象可解.

【詳解】

「IzIx,0<x<1/、

當xe［0,2］時，〃x)x='2/(x-2)是把〃x)向右平移2個單位變成了(尤-2)后,

IZ—x,1<xSz

再把縱坐標變為原來的2倍，得到2/(x-2)的圖象，如圖：

由題知函數〃尤)在［0,2］上函數值域為［0』，在［2,4］上函數值域為［0,2］,在

［4,6］上函數“X)值域為［0,4］,在［6,8］上函數〃x)值域為［0,8］,故當xe［0,8］時，函數

〃x)值域為［0,8］,故②正確；

當％=1時有無數個實數根，故③錯誤；

當°=1-0時，函數〃x)的圖象與『2與+。的圖象交于(U)點，結合圖象2二心1，即

故④正確，

故選：C

8.(2021?浙江?諸暨中學高二期中)己知了(無)是定義在(-*0)U(0,+s)上的奇函數，/(X)是

的導函數，/(I)A0,且滿足：;⑺?Inx+&<0,則不等式(x-1)"(x)<0的解集為

x

()

A.B.(fo,-l)U(0,l)C.(-00,1)D.(-oo,0)U(l,+oo)

【答案】D

【分析】

根據給定含導數的不等式構造函數g(x)=/(x)lnx,由此探求出/(x)在(0,+s)上恒負，在

(F,0)上恒正，再解給定不等式即可.

【詳解】

令g(x)=/(x)lnx,%>0,貝lJg'(x)=/'(x)lnx+/@<0,g(x)在(0,+co)上單調遞減，而

X

g⑴=0,

因此，由g(x)>0得0<x<l,而lnx<0,則/(x)<0,由g(x)<o得無>1,而此x>0,則

/(%)<o,x/(i)<o,

于是得在（。，+8）上，f（x）<0,而/⑶是（-?,0）U（0,+8）上的奇函數，則在（F,0）上，/（X）>。,

x-1>0、卜-1<0\X>1\X<1

由Q—1)"(幻<0得:于(X)<0或(%)>0即尤>。或x<。’解得X〈。或0，

所以不等式（X-1）"（X）<0的解集為（-叫0）51,+8）.

故選：D

9.（2021.安徽?合肥市第六中學高三開學考試（文））已知定義域為R的函數

/（x）=/（-x）-2sinx,又當*0時，/?>1,則關于彳的不等式

/"）27（三一方）+石的解集為（）

A.反71,+ooAJB,「卜了乃+co、JC.（「co,田兀、口.（產力7l\

【答案】A

【分析】

由給定函數等式變形，構造函數g（x）=/（》）+sinX,再探討函數g（x）的性質，然后將不等式

77

整理變形為g(x)>g(--x)求解即得.

【詳解】

xeR,f{x)=f(-x)-2sinx<^>/(x)+sinx=/(-x)+sin(-x),

令g(x)"(x)+sinx,即有g(-x)=g(x),g(x)是R上的偶函數，

因當xNO時，f\x)>1,則g'(x)=f'(x)+cosxNO,當且僅當了'(x)=Lcosx=-l時取“=”,

于是得g(X)在［。,+8)上單調遞增,

/(X)>/(^-X)+A/3sin(尤+學)o/(x)2/(g-x)—：sinx+geosx

36322

nn

o/(x)+sinx>/(y-x)+sin(y-x),

即g(x)2g(：-x)，于是得g(|x|)2g(|f-x|),因此，|X|4：-X|OX22(f-x)2,解得XNJ,

所以所求不等式的解集是C，+8）?

6

故選：A

10.（2021?湖北新春?高二期中）已知函數y=/（x+ln2）-l是定義在R上的奇函數，且當

x>ln2時，f'M+4>ex+^—,則不等式[/(幻―l]lg(x+2)W。的解集為()

e-2

A.或無Nln2}B.{x|-2<x<-1ngx>In2}

C.[x\0<x<2^x>e]D.{尤|-14x41n2}

【答案】D

【分析】

根據給定信息，探討函數/(X)的單調性及/(山2)=1,再將所解不等式轉化為不等式組并借

助單調性求解即得.

【詳解】

因函數V=/(x+ln2)-l是定義在R上的奇函數，于是得Ax)的圖象關于點(ln2,l)成中心對

稱，且〃ln2)=l,

當x>ln2,">2時，f\x)>ex+^--4=(e，-2)+—--2>2.(ex-2).—1—一2=0,

e-2'7e-2丫、7ex-2

當且僅當x=ln3時取等號，

即了⑺在(In2,*?)上單調遞增，而/(%)的圖象關于點(In2,1)成中心對稱，因此函數/(%)在R

上單調遞增，

不等式g)Tg(x+*。可化為鼠+2”0喉(x+2)”

由;得J[/(%)</(In2)即jfx<In2

、1,解得一14xWln2,

[lg(x+2)>0,x+2>l[x>-l

由;得，7W>/(ln2)即］fx>In2

〔0],無解，

〔炮(尤+2)40'[0<x+2<l'[—2<x<—1

所以所求不等式的解集為{x|-l<x<ln2}.

故選：D

11.(2021?安徽?東至縣第二中學高二期中(理))設函數是定義在(0,+“)上的可導函

數，其導函數為/(%),且有27(力+礦(x)>0,則不等式已一2021)2/@一2021)-〃1)>0

的解集為()

A.(2020,+oo)B.(0,2022)C.(0,2020)D.(2022,內)

【答案】D

【分析】

令g(x)=x2〃x),求導確定函數的單調性，然后不等式化為g(x-2021)>g(l),由單調性

解得不等式.

【詳解】

解：令g(x)=x2/(x)，.?.g'(x)=2獷(x)+x2/'(x),；2/(x)+礦(x)>0,

g'(尤)>0,在(0,+力)恒成立，g(x)在(0,+力)為增函數，

(x-2021)2/(x-2021)-/(1)>0,；.(x-2021)2/(%-2021)>/(1),

Vg(l)=/(I),g(x-2021)>g(l),Ax-2021>l,.\x>2022,

故選：D.

【點睛】

本題考查用導數解不等式，解題關鍵是引入新函數g(x)=f/(x),不等式化為

g(x-2021)>g(l),利用導數確定函數的單調性后易求解，常用新函數的引入：g(x)=4(x),

g(x)=/d,g(x)=exf(x),g(x)=」!?等等，

Xe

12.(2021?江西?南昌十中高三月考(理))若函數為定義在R上的偶函數，當xe(y,0)

時，f\x)>ex-e~x,則不等式/(2彳_1)_〃*_1)>/]/_1)(1_?2-3，)的解集為()

A.(0,2)

C.(^O,0)U(2,-KO)D.(-(?,O)U1'|,+00]

【答案】B

【分析】

令g(x)=/(x)-/-er,求出函數的導數，根據函數的單調性，奇偶性得到關于

g(2x-l)>g(x_l)以及|2x-l|VxT|,求出不等式的解集即可.

【詳解】

解:令8。)=/(*)一二-""

則g'(x)=f'(x)-ex+e~x,

當XC(F,O)時，f\x)>ex-ex,

故g'(x)>0即g(x)在(-8,0)上單調遞增，

???/。)是偶函數，二/(尤)=/(一元)，

g(T)=f(-x)-ex-ex=g(x),

，g(x)是偶函數，

>e^(ex-l)(l-e2

=(e2x-I-ex-1)(l-e2-3x),

=e2x~'-ex~'-e~x+1+e'~2x

等價于/(2x-1)---產>fix-1)-_ex-'

即g(2x-l)>g(x-l),

；g(X)為偶函數,在(-8,0)遞增,在(。,+8)遞減,

2

.12x-11<|x-11,解得：0<x<—,

故選：B.

13.(2021?廣東汕頭?三模)已知定義在R上的函數/(工)的導函數為尸(x),且滿足

/'(%)-/?>0,/(2021)=理21,則不等式的解集為()

20212021e

A.(/⑼,+oo)B.(O,e)C.(/叫口)D.(0,e)

【答案】D

【分析】

從所求解集的不等式入手，令￡=匕!1工，則原不等式等價轉化為四<1,從而構造函數

ee'

g(r)=4D,結合已知條件利用單調性即可求解.

e

【詳解】

解：令f='lnx,則工=*,

e

所以不等式/((如xj<正等價轉化為不等式/⑺<療=d,即理<1

構造函數g(f)=gh則g，⑺」⑺

ee

由題意，g'⑺J'()二/⑺>0,所以g⑺為R上的增函數，

e

又/(2021)=e2021,所以g(2021)=/胃)=1,

所以g(r)=40<l=g(2O21),解得/<2021,即：lnx<2021,

所以0<x<e皿，

故選：D.

14.(2021?福建省福州第一中學高二期中)函數/(無)滿足：；e"(x)+e"(x)=后,

=則當x>0時，/(x)()

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值，又有極小值D.既無極大值，也無極小值

【答案】D

【分析】

根據已知條件，構造函數*x）=//（x），則尸'（司=坐，且/（刈=空，求出八x）,再

z?2

進行二次求導，研究函數/（X）的正負，得到了（力在（0,+8）上單調遞減，由此判斷函數/（X）

的極值情況.

【詳解】

1_]—X—Xyfx

因為X"（x）+e"*）=A,所以5〃/（x）+e2/'?=—,

2乙萬

令*x）=e》（x），則小）=牛，月.〃（x）=卓,

夕2

乎一。尸（x）

了2

所以廣（x）=

令網力=

令〃（尤）=0,解得：x=1,

當0<x<g時，//（x）>0,則/?（力單調遞增,

當尤>1■時，//（x）<0