【尖子生培優】第1章《相交線與平行線》5大幾何模型分類講解

【模型梳理與題型目錄】

【模型一】豬蹄型

己知：如圖，AB//CD,求證：ZB+ZD=ZE.

證明：如圖，過點E作MN//A8.

■:MNHAB（作輔助線）.

.-.ZB=Z1（兩直線平行，內錯角相等）.

■:MNHAB（輔助線），AB//CD（已知）

：.MN//CD（平行于同一直線的兩直線互相平行）

（兩直線平行，內錯角相等）

：/1+/2=NBED（等式性質）

AZB+ZD=ZBED（等量代換）

拓展與延伸：

NE,+HH+NE4=NB+NF]+NF2+々3+NC

結論：朝左的角之和=朝右的角之和

【模型二】鉛筆型

解：（1）'：AB//CD（已知）

；./1+/2=180。（兩直線平行，同旁內角互補）

（2）過點E作一條直線EF平行于A8,

'：AB//EF,AB//CD（已知）

：.CD//EF（平行于同一條直線的兩條直線平行）

.1.Z1+ZAEF=18O°,/PEC+N3=180。（兩直線平行，同旁內角互補）

??ZAEF+ZFEC=ZAEC,Z1+ZAEF+ZFEC+Z3=360°（等式'性質）

.-.Zl+Z2+Z3=360°（等量代換）

（3）過點E、/作EG、平行于AB,

-：AB//CD（已知）

：.AB//EG//FH//CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）

：.Zl+ZAEG=180°,/GEF+NEFH=180°,ZHFC+Z4=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

??ZAEG+ZGEF=ZAEF,ZEFH+ZHFC=ZEFC,Z1+ZAEG+ZGEF+ZEFH+ZHFC+Z4=540°（等式f生質）

.-.Zl+Z2+Z3+Z4=540°（等量代換）

結論：根據上述規律，顯然作（w-2）條輔助線，運用（w-1）次兩條直線平行，同旁內角互補.即可得到〃組同旁

內角，力個角的和是180（71-1）°,

【模型三】前揚角型

?：AB//CD（已知）

C.GF//CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）

AZB=ZBEF,（兩直線平行，內錯角相等）.

??ZBEF=ZBEC+ZCEF（等式性質）

：.ZB=ZBEC+ZC（等量代換）

結論：ZB=ZBEC+ZC

【模型四】后仰角模型

證明：過點E作GF//A3

'：AB//CD（已知）

C.GF//CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）

:.NB=NBEF,/C=/CEF（兩直線平行，內錯角相等）.

/CEF=/BEF+NCEB（等式性質）

：.ZC=ZB+ZCEB（等量代換）

結論：ZC=ZB+ZCEB

【模型五】潛望鏡模型

如下圖：

vAB||CD,EF||MN,

???zl=z4,z.2=z.3.

D

【模型六】模型綜合提高

ZB+ZE-Z￡>=180°CDHEF,ABIIGF-Z1+Z2=ZABC

綜上所述：幾個幾何模型共同點：都是通過作輔導線達到角度大小轉化目的.

題型目錄

【考點一】基本模型鞏固

【題型1】豬蹄型模型..........4

【題型2】鉛筆型模型........5

【題型3】前揚角型模型.......7

【題型4】后仰角型模型......7

【題型5】潛望鏡模型........8

【考點二】模型拓展培優

【題型6】模型綜合提高........10

【考點三】中考鏈接與拓展延伸

【題型7】中考鏈接.11

【題型8］拓展延伸........12

【題型展示與方法點撥】

【題型11豬蹄型模型

【例11

(23-24七年級下?河南周口?期中)

1.【模型發現】某校數學研討會的學生在活動中發現：圖1中的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是將這個圖形稱為

“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數量關系.

【靈活運用】

(2)如圖2,ABWCD,M,N是4B,CD之間的兩點，當NB—“=時，請找出NBMN和NMNC之間的數量

關系，并說明理由；

【拓展延伸】

(3)如圖3,ABWCD,E,F,G均是4B,CD之間的點，如果NE+/尸=2/G=70。，直接寫出48+4。的度數.

【變式1】

(2024七年級上?全國?專題練習)

2.如圖，I/%AB1CD,若21=58。15',那么42的度數是()

【變式2】

（23-24八年級上?全國?單元測試）

3.如圖，已知48||CD,N￡71F=記N2EC=mNTlFC,貝i|相的值為（）

【題型2】鉛筆型模型

【例2】

（23-24七年級下?廣東汕頭?期末）

4.完成下面推理過程，并在括號內填上推理依據.

如圖，已知：AB||EF,EP1EQ,^EQC+^APE=90°,求證：AB||CD.

證明：\'AB||EF,

:EP1EQ,

:.乙QEF+乙PEF=90°,

：.AAPE+^QEF=90°,

AEQC+^APE=90°,

:.乙EQC=_,

：.EF\\_（_）,

：.AB||CD（_）.

【變式1】

（2024七年級上?全國?專題練習）

5.如圖，將一塊帶有60。角的直角三角板放置在一組平行線上，若Nl=35。，則42的度數應該是（）

A.60°B.35°C.30°D.25°

【變式2】

（22-23七年級下?廣東江門?階段練習）

6.（1）如圖1,AB||CD,求N4+A4EC+NC的度數.

解：過點E作EFII4B.

???EF||AB（已作），

/_A+AAEF=180°（）.

又,：AB||CD（已知），

???II（平行關系的傳遞性），

???NCEF+N=180。（兩直線平行，同旁內角互補），

N4+AAEF+乙CEF+ZC=360°（等式性質）,

即乙4+/-AEC+ZC=；

（2）根據上述解題及作輔助線的方法，在圖2中，AB||EF,貝ikB+NC+ND+NE=；

（3）根據（1）和（2）的規律，圖3中ABIIGF,猜想：NB+NC+AD+NE+NF=；

（4）如圖4,48||CD,在2,。兩點的同一側有監，M2,M3,…共a個折點，貝叱8+NM1+NM2+…+NM“+

ND的度數為（用含w的代數式表示）.

【題型3】前揚角型模型

【例3】

（2024七年級上?全國?專題練習）

7.如圖，28IICD,三角形EFG的頂點F,G分別落在直線48,CD上，GE交4B于點H,GE平分乙FGD,若NEFG=90°,

Z.E=35。求NEFB的度數.

【變式1】

（24-25八年級上?江西上饒?期中）

8.如圖,直線4BIIC0,ZD=87°,=25°,則NE的度數為

E

【變式2】

（2024七年級上?全國?專題練習）

9.如圖，直線a||b,Z1=24°,42=60。，則乙4的度數為（）

A.36°B.38°C.40°D.46°

【題型4】后翻角型模型

【例4】

（23-24七年級下?福建廈門?期末）

10.如圖，己知MNIIPQ,點B在MN上，點C在PQ上，點A在MN上方，乙ABD:乙DBN=3:2,點E在BD的反向

延長線上，且N4CE:NECP=3:2,設NA=a,則NE為度數用含a的式子一定可以表示為（）

23

A.2aB.72+-aC.108—D.90-a

【變式1】

(22-23七年級下?陜西咸陽?期中)

11.如圖，已知ABIDE,AABC=75°,ZCOF=140°,貝此BCD的度數為()

A.75°B.55°C.45°D.35°

【變式2】

(22-23七年級下?陜西咸陽?期中)

12.如圖,已知4BIIDE,^ABC=75°,zCDE=140°,則NBCD的度數為()

AB

DE

C

A.75°B.55°C.45°D.35°

【題型5】潛望鏡模型

【例5】

(23-24七年級下?廣西來賓?階段練習)

13.【學科融合】物理學光的反射現象中，平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平

面鏡所夾的角相等.如圖1,一束平行光線48與DE射向一個水平鏡面后被反射，此時N1=N2,Z3=Z4.

ACDF

/5

圖1

【問題解決】

(1)判斷BC與EF是否平行.

答：平行

理由：\-AB\\DE(已知)，

Azi=Z3,依據是」

Vzl=Z2,43=Z4(已知)，

；.N2=N4,依據是」

...反射光線8c與EF平行，依據是

【嘗試探究】

(2)利用這個規律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡工作原理示意圖，AB,CD是平行放置的兩面平面鏡.已知光

線經過平面鏡反射時，有N1=N2,Z3=Z4,請證明進入潛望鏡的光線EF和離開潛望鏡的光線G”平行.

圖2

【拓展應用】

(3)如圖3,改變兩平面鏡4B、CD之間的位置，若鏡子與BC的夾角N4BC=a,經過兩次反射后，Z1=z2,

N3=N4,仍可以使入射光線E尸與反射光線GH平行但方向相反.求a的度數.

A

4_--.

GX4

C

圖3

【變式1】

（21-22八年級上?黑龍江哈爾濱?期中）

14.如圖1,潛望鏡是指從海面下伸出海面或從低洼坑道伸出地面，用以窺探海面或地面上活動的裝置.其構造與

普通地上望遠鏡相同，唯另加兩個反射鏡使物光經兩次反射而折向眼中.潛望鏡常用于潛水艇，坑道和坦克內用以

觀察敵情.光線經過鏡子反射時，抽象出的數學圖形如圖2所示，已知，AB//CD,Z1=Z2,請問進入潛望鏡光

線EA和出潛望鏡光線。歹是否平行？并說明理由.

【變式2】

（2024?山西運城?三模）

15.《淮南萬畢術》是世界上最早記載潛望鏡原理的古書，潛望鏡內部通常包含兩個互相平行的平面鏡，基于光的

反射，可得到一組平行線.如圖，這是潛望鏡工作原理的示意圖，它所依據的數學定理是（）

平面鏡1

平面鏡2

A.兩點之間，線段最短B.兩點確定一條直線

C,內錯角相等，兩直線平行D.同旁內角互補，兩直線平行

【題型6】綜合模型

【例6】

（23-24七年級下?山西晉中?期中）

16.綜合與探究

【感知】如圖①，AB||CD,^AEP=40°,APFD=130°,求NEPF的度數.

小樂想到了以下方法：

解：如圖①，過點P作PMII4B,所以NEPM=N4EP=40。.

因為||CD,所以PM||CD.

所以NFPM+乙PFD=180°.

因為NPFD=130°,所以NFPM=180°-130°=50°.

所以NEPF=乙EPM+/.FPM=40°+50°=90°.

【遷移】（1）如圖②，已知2BIICD,/LABP=130°,ZCDP=160°,則NBPD=°；

【探究】（2）如圖③，已知2B||CD,AAEP=50°,zPFC=106°,求NEPF的度數；

【應用】（3）如圖④，在以上【探究】條件下，N4EP的平分線與NPFC的平分線交于點G,求NEGF的度數.

【變式1】

17.如圖所示，若AB〃EF,用含%0、y的式子表示X,應為（）

A.a+0+yB.0+y—ccC.180°-a-y+pD.180°+a+/?-y

【變式2】

（23-24六年級下?山東濟南?期末）

18.如圖,已知4BIIDE.

ABABF

工V

DEDE

圖1圖2

（1）感知與探究：

如圖1,已知NB=45°,ZBCD=110。,請求出NCDE的度數；

（2）問題遷移：

如圖2,BG、DF分另IJ是乙48C、aDE的角平分線，BG的反向延長線與DF相交于點R猜想NF與NBCD之間的數量

關系，并說明理由；

（3）聯想拓展：

在（2）的條件下，若NBCD=100。，則NF的度數是.

第二部分【中考鏈接與拓展延伸】

【題型7】中考鏈接

[例1]

（2022?湖北襄陽?中考真題）

19.已知直線機〃〃，將一塊含30。角的直角三角板4BC（乙48c=30。,ZBAC=60°）按如圖方式放置，點A,B

分別落在直線處”上.若Nl=70。.則N2的度數為（）

D.70°

【例2】

（2023?四川宜賓?中考真題）

乙。=24°,則等于（)

C.24°D.16°

【題型8】拓展延伸

[例1]

（2024七年級上?全國?專題練習）

21.如圖，已知直線川|12，直線和直線入、"分別交于點C和點D，p為直線上一點，4、8分別是直線"上的

定點.設NC4P=N1,乙APB=24DBP=43.

⑴若P點在線段CD（C、。兩點除外）上）運動時，問N1、42、N3之間的關系是什么？說明理由.

⑵在31%的前提下，若P點在線段CD之外時，Nl、N2、N3之間的關系又怎樣？

【例2】

（23-24七年級下?浙江湖州?期中）

22.感知發現：（1）在學習平行線中，興趣小組發現了很多有趣的模型圖，如圖1,當ABIICD時，可以得到結論：

乙BED=LB+乙D.那么如果把條件和結論互換一下是否還成立呢？于是興趣小組想嘗試證明：如圖1,ABED=

NB+ND,求證：ABWCD.請寫出證明過程.

（2）利用這個“模型結論”，我們可以解決很多問題.在綜合與實踐課上，同學們以“一個含30。角的直角三角尺和兩

條平行線”為背景開展數學活動，如圖2.已知兩直線a,b且a||b和直角三角形ABC,^BCA=90°,^BAC=30°,

^ABC=60°.創新小組的同學發現N2-N1=120。，說明理由.

實踐探究：

（3）如圖3,ABWCD,在射線GH是NBGM的平分線，在的延長線上取點N,連接GN,若乙N=LAGM,NM=

4N+Q.5乙FGN,求NMHG的度數.

圖1圖2圖3

參考答案

1.(1)見解析；(2)2乙MNC=ABMN；理由見解析；(3)+4D=35。.

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質.

(1)過M作MEII4B,則MEIICD,由平行線的性質可得4B=ABME、乙D=4DME,再根據角的和差以及等量代換

即可解答；

(2)過M作MEII4B,過N作NFIICD,則NFIIME,得到NB=N1,Z2=z3,z4=zC,由NB—NC=［乙BMN可

得N4=|(zl-42),計算得到2/MNC=乙BMN；

(3)作EMIIAB,GNIICD,FP\\CD,由2NG=70。推出N3+N4=35。，即42+45=35。，由NE+NF=70。，推出

zl+z6=35°,據此即可解答.

【詳解】(1)證明：如圖(1)過M作MEII4B,

,：ME\\AB,

：.LB=Z.BME,

'：AB\\CD,

：.ME\\CD,

AZD=乙DME,

■:乙BME+乙DME=4BMD,

/-Z-B+Z-D=Z-BMD；

(2)解：2乙MNC=^BMN；理由如下：

如圖(2)：過M作MEIIZB,過N作NWICD,

'：AB\\CD,

：.AB\\ME\\NF\\CD9

:?乙B=zl,z2=z.3,z4=乙C,

■:乙B—乙C=乙乙BMN,

2

-1

.,.Z1-Z4=j(zl+z2),

整理得44=441一42),

1111

:.乙MNC=z3+Z4=Z2+-zl--z2=-(zl+z2)="MN,

222'72

：.2(MNC=Z.BMN；

(3)解：乙8+乙。=35。.

作EMII4B,GN\\CD,FP\\CD,

圖3

\9AB\\CD,

：.AB\\EM\\GN\\FP\\CDf

Z-B=zl,z2=z3,z4=z5,z6=乙D,

?.?NE+NF=24G=70°,

：.Z.EGF=35°,

Z.z3+z4=35°,即乙2+25=35。，

?:(BEG+乙GFD=Z1+Z2+Z5+Z6=70°,

Azl+z6=35°,即48+4。=35°.

2.B

【分析】本題考查了平行線的性質、直角三角形的性質；熟練掌握“兩直線平行，同為角相等；直角三角形兩銳角

互余”是解題的關鍵.根據平行線的性質可得乙2=43；根據直角三角形的性質即可求解.

【詳解】如圖，:hIIl2

:.z.2=z3,

???AB1CD

???Z1+Z3=90°

??.Z.2=Z3=90°-Z1=90°-58°15,=31°45\

故選B.

【分析】本題主要考查的是平行線的判定和性質，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵.過點尸作FG||48,則

GF||CD,依據平行線的性質可證明乙4FG=/B4F、乙GFC=LFCD,同理可證明乙4EC=+/DCE,然后結

合已知條件可得到問題的答案.

【詳解】解：如圖所示：過點尸作FGIIZB.

VFG||AB,

：.Z.AFG=乙BAF.

'：FG||AB,CD||AB,

：.GF||CD,

：./.GFC=Z.FCD.

：.Z.AFC=^AFG+ZGFC=4BAF+乙DCF.

同理：^AEC=^LBAE+Z-DCE.

i14,、4

...”EC=-^BAF+ZBXF+-ZDCF+^DCF=-^BAF+〃CF)=

,：/.AEC=m/-AFC,

故選：B.

4.乙PEF,兩直線平行，內錯角相等；乙QEF,CD,內錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線互相平

行.

【分析】本題考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定定理和性質定理是解題的關鍵.根據平行線的判定

和性質，進行作答即可.

【詳解】證明：：4B||EF,

J.^APE-Z.PEF,（兩直線平行，內錯角相等），

\"EP1EQ,

；.“EF+NPEF=90°,

.\^APE+^QEF=90°,

'：/-EQC+^APE=90°,

.\Z.EQC=乙QEF,

：.EF\\CD(內錯角相等，兩直線平行)，

：.AB||CD(平行于同一直線的兩條直線互相平行).

故答案為：Z-PEF,兩直線平行，內錯角相等；上QEF,CD,內錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直

線互相平行.

5.D

【分析】本題主要考查了平行公理的推論，兩直線平行內錯角相等，等式的性質1等知識點，熟練掌握平行線的判

定與性質是解題的關鍵.

過三角形的60。角的頂點尸作EF||AB,由兩直線平行內錯角相等可得NEFG=N1=35°,由等式的性質1可得4EFH=

60。一NEFG=25。，由平行公理的推論可得EFIICD,由兩直線平行內錯角相等可得N2=NEF"，于是得解.

???Z.EFG+乙EFH=60°,

???4EFH=60°-Z.EFG=60°-35°=25°,

???ABWCD,EF||AB,

???EF||CD,

42=4EFH=25°,

故選：D.

6.(1)見解析；(2)540°；(3)720°；(4)5+1)x180°

【分析】本題考查平行線的判定和性質，平行公理的推論，圖形類規律探索，熟練掌握“兩直線平行，同旁內角互

補”和“如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”是解題關鍵.

(1)根據平行公理的推論可得4B||EF||CD,再根據根據平行線的性質可得乙4+^AEF=180°,^CEF4-ZC=180°,

即可求得NA+N4EC+ZC=360°；

(2)過點C作CM||AB,過點。作DN||AB,根據平行公理的推論可得48||CM||DN||EF,再根據根據平行線的

性質可得NB+NBCM=180°,NMCD+NCDN=180°,NNDE+NE=180°,即可求得N4+乙4EC+NC=360°；

(3)由(1)和(2)總結規律即可求解；

(4)根據所得規律可直接求解.

【詳解】（1）解：過點E作EFII4B.

EF||AB（已作），

乙4+AAEF=180。（兩直線平行，同旁內角互補）.

X--'AB||CD（已知），

EF||CD（平行關系的傳遞性），

??.Z.CEF+NC=180。（兩直線平行，同旁內角互補）,

N4+AAEF+乙CEF+NC=360°（等式性質），

即44+/.AEC+ZC=360°；

（2）如圖，過點C作CMII2B,過點。作DNII4B,

J.AB||CM||DN||EF,

：.^B+ABCM=180°,ZMCD+ACDN=180°,Z.NDE+ZE=180°,

."B+/.BCM+Z.MCD+4CDN+乙NDE+NE=540°,

:.4B+Z.C+Z-D+Z-E=540°；

（3）解：由（1）可知在A,C兩點的同一側有1個折點，其乙4+乙4EC+NC=180。x（1+1）=360。；

由（2）可知在B,E兩點的同一側有2個折點，其NB+NC+ND+NE=180。X（2+1）=540。；

因為2,尸兩點的同一側有3個折點，

所以NB+NC+ND+NE+4F=180°X（3+1）=720°；

（4）由（3）可知NB+NM1+NM2+…+4Mn+ND=6+1）X180°.

7.20°

【分析】本題考查了有關角平分線的角度計算，平行線的性質等；由三角形內角和得NFGH=55。，由角平分線的

定義得4HGD=4FGH=55°,由平行線的性質得NFHG=NHGD=55。，再根據三角形內角和，即可求解；能熟練

利用平行線的性質求角度是解題的關鍵.

【詳解】解：因為NEFG=90°,乙E=35°,

所以NFGH=55°,

因為GE平分NFGD,

所以NHGD=Z.FGH=55°,

因為4B||CD,

所以NFHG=Z.HGD=55°,

因為NFHE=180°-乙FHG=125°,

所以NEFB=180°-125°-35°=20°.

8.62°##62度

【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等是解題

的關鍵.由平行線的性質可得NB。。=87。，再利用三角形的外角的性質可求得NE的度數.

【詳解】解：?；4B||CD,乙D=87°,

Z.BOD—Z.D-87°,

■■■乙BOD=NB+4E,乙B=25°,

???乙E=乙BOD-乙B=87°-25°=62°,

故答案為：62°.

9.A

【分析】本題主要考查了平行線的性質，平行公理的應用，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質.過點4作||a,

根據平行公理得出ABIIa||b,根據平行線的性質得出乙840=42=60。，乙B2C=N1=24。，求出結果即可.

【詳解】解：過點4作力B||a,如圖所示：

a\\b,

AB||a||b,

?-?/.BAD=Z.2=60°,/-BAC=41=24°,

???Z.CAD=乙BAD-ABAC=36°.

故選：A.

10.B

【分析】本題考查了平行線的性質，正確添加輔助線是解決本題的關鍵.過點A作4GliMN,過點E作EH||MN,

則MN||PQ||AG||EH,由題意可設乙4BD=3x/DBN=2x,乙ACE=3y,^ECP=2y,則26=z4=2x,z7=z3=

2y,Z1=180°-5x,Z.GAC=/.ACP=5y,因止匕/DEC=2(%+y),/.CAB=5(x+y)-180°=a,%+y==

36。+),貝!UDEC=2(x+y)=72。+|/

【詳解】解：過點A作4G||MN,過點E作EH||MN,

?:MN||PQ,

：.MN||PQ||AG||EH,

■:乙ABD:乙DBN=3:2,AACE-.^ECP=3:2

???設=z5=3x,Z.DBN=z4=2%,Z-ACE=z2=3y,Z.ECP=z3=2y,

?；MN||PQ||AG||EH,

.\z6=44=2%,47=43=2y,zl=180°-(z4+z5)=180°-5%,4GAe=^ACP=42+43=5y,

:.乙DEC=z6+z7=2(%+y),乙CAB=乙GAC—Z1=5(%4-y)—180°=a,

.180°+a.1

??x+y=---=Qr3o6+-a,

C.Z.DEC=2(%+y)=72°+|a.

故選：B.

11.D

【分析】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，反向延長DE交BC于跖由4BIIDE,可得MM。=ZABC=75°,

進而得出NCMD=180°-4BMD=105°,再根據NCDE=乙CMD+NBCD即可求解.

【詳解】解：如圖，反向延長DE交BC于M,

,：AB\\DE,

...乙BMD=/.ABC=75°,

，乙CMD=180°-乙BMD=105°；

又,：乙CDE=/.CMD+/.BCD,

:.4BCD=4CDE-乙CMD=140°-105°=35°.

故選D.

12.D

【分析】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，反向延長?！杲?C于由4BIIDE,可得N8MD=NABC=75°,

進而得出NCMD=180°-4BMD=105°,再根據NCDE=ACMD+NBCD即可求解.

【詳解】解：如圖，反向延長。E交BC于

AB

,：AB\\DE,

=/.ABC=75°,

AzCMD=180°-乙BMD=105°；

又,：乙CDE=Z.CMD+乙BCD,

:.乙BCD=UDE-乙CMD=140°-105°=35°.

故選D.

13.(1)兩直線平行，同位角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行；(2)見解析；(3)a=90。

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定方法，內

錯角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行.平行線的性質，兩直線平行，同

位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補.

(1)根據平行線的判定和性質進行解答即可；

(2)根據2BIICD,得出42=43,證明N1=42=N3=N4,得出NEFG=NFGH,即可證明結論；

(3)根據平行線的性質得出NFEG+乙EGH=180°,根據Nl+42+乙FEG+N3+44+乙EGH=360°,得出41+

Z2+Z3+Z4=180°,求出N2+43=^x180。=90。，最后根據三角形內角和求出結果即可.

【詳解】(1)解：平行

理由："ABWE(已知),

.??N1=N3,依據是兩直線平行，同位角相等；

Vzl=z2,z3=Z4(已知)，

；.N2=N4,依據是等量代換；

...反射光線BC與EF平行，依據是同位角相等，兩直線平行；

(2)證明；?.明B||CD,

Z2=乙3,

Vzl=z2,Z3=Z4,

z.1=z.2=z.3=z.4,

180°-zl-Z2=180°一43一44,

即4EFG=乙FGH,

：.EF\\GH；

(3)t：EF\\GH9

:.乙FEG+乙EGH=180°,

Vzl+42+乙FEG+43+44+乙EGH=360°,

.\zl+Z2+Z3+Z4=180°,

Vzl=乙2,43=z4,

?32+43=^x180。=90。，

2

.\a=180°-(z2+z3)=90°.

14.進入潛望鏡光線胡和出潛望鏡光線Df■是平行的，理由見解析

【分析】根據平行線的判定與性質進行說明即可.

【詳解】解：進入潛望鏡光線EA和出潛望鏡光線。廠是平行的，理由如下

'：AB//CD

：./BAD=/CDA

Vzl=z2

180°-/.BAD-Z1=180°-Z.CDA-42,^AEAD="DA

：.AE//DF

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質定理是解答本題的關鍵.

15.C

【分析】本題考查了平行線的判定.熟練掌握內錯角相等，兩直線平行是解題的關鍵.

根據內錯角相等，兩直線平行進行判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，所應用的數學原理是內錯角相等，兩直線平行，

故選：C.

16.(1)70；(2)56°：(3)28°

【分析】本題考查了平行線的判定與性質、平行公理及推論，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質.

(1)過點P作PHII4B,由平行線的性質可得乙4BP+NBPH=180。，ACDP+^DPH=180°,則可得乙4BP+

4BPD+乙CDP=360°,進而可求解.

(2)過點P作PMIIAB,由平行線的性質得NMPE=AAEP=50。,NMPF=乙PFC=106。,然后根據NEPF=乙MPF-

NMPE即可求解；

(3)由角平分線的定義得“EG=巳乙4EP=25。，^GFC=^PFC=53°,過點G作GM||4B,由平行線的性質得

乙MGE=4AEG=25°,4MGF=4GFC=53°,據止匕解得求得NEGF的度數.

【詳解】解：(1)^BPD=70°,理由如下：

過點P作P”IIAB,

???PHWCD,

???4ABp+4BPH=180°,Z.CDP+乙DPH=180°,

???Z.ABP+乙BPH+Z.CDP+Z.DPH=360°,

即：LABP+4BPD+乙CDP=360°,

???AABP=130°,乙CDP=160°,

Z_48P=360°-(NZBP+NBP。)=360°-(130°+160°)=70°,

故答案為：70；

(2)如圖2,過點P作PMI4B,

所以NMPE=^AEP=50°

因為2BIICD,所以PMIICD.

所以NMPF=Z.PFC=106°.

(3)因為EG是乙4EP的平分線，FG是NPFC的平分線,

所以“EG=|44EP=25°,ZGFC=|zPFC=53°.

如圖3,過點G作GMIIAB,

所以NMGE=/.AEG=25°.

因為AB||CD,

所以GMIICD.

所以NMGF=乙GFC=53°.

所以NEGF=乙MGF一AMGE=53°-25°=28°.

圖3

17.C

【分析】過C作CD〃AB,過M作MN〃EF,推出AB〃CD〃MN〃EF,根據平行線的性質得出a+NBCD=180。,

ZDCM=ZCMN,ZNMF=y,求出NBCD=180"a,ZDCM=ZCMN=)5-y,即可得出答案.

【詳解】過C作CD〃AB,過M作MN〃EF,

VAB/7EF,

；.AB〃CD〃MN〃EF,

；.a+NBCD=180。，ZDCM=ZCMN,ZNMF=y,

NBCD=180°-cr,ZDCM=ZCMN=/?-y,

x=ZBCD+ZDCM=180°-a-y+0,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，主要考查了學生的推理能力.

18.(1)115°

(2)2zF+4BCD=180°,

(3)40°

【分析】本題主要考查角平分線的性質、平行線的性質，熟記有關平行線的各種模型是解題關鍵

(1)過點C作CM||根據平行線的性質易得乙8=NBCM=45。，^CDE+DCM=180°,以此即可求解.

(2)過點P作FMII4B,過點C作CNII4B,由平行線的性質得NB=NBCM=45。，ACDE+DCM=180°,由角

平分線的性質得NEDF=^NEDC,^ABG=^ABC,于是NCDE-N4BC=2/BFD①，再由角平分線的性質得

ZC￡)￡+Z.DCN=180°,乙BCN=CABC,以此可得NCDE=/ABC+180°—N8CD②，結合①②即可得2/BFD+

乙BCD=180°.

(3)利用(2)中的結論求解即可.

【詳解】(1)如圖，過點C作CMII4B,

則CM||AB||DE,

:.4B=乙BCM=45°,乙CDE+DCM=180°,

:.乙DCM=乙BCD-乙BCM=110°-45°=65°,

."CDE=180°-65°=115°.

(2)2ZF+/.BCD=180°.理由如下：

如圖，過點尸作FM||AB,過點C作CNII4B,

，乙DFM=KEDF,/.BFM=/.ABG,

平分NCDE,BG平分入4BC,

:.LEDF=-AEDC,^ABG=-^ABC,

22

：.Z.BFD=^DFM-/_BFM=|^CDE-Z.ABC),

:.(CDE-/.ABC=2乙BFD①,

?:(CDE+2DCN=180°,乙BCN=Z.ABC,

LCDE+乙DCN+(BCN=180°+/-ABC,

:.乙CDE+乙BCD=180°+/.ABC,

：.Z.CDE=/.ABC+180°-乙BCD②,

由①②可得2NBFO=180°-乙BCD,即248尸0+乙BCD=180°.

(3)由(2)矢口，2Z-BFD+Z-BCD=180°,

■:(BCD=100°,

?"BFD==40°.

2

故答案為：40°.

19.B

【分析】根據平行線的性質求得NA3D,再根據角的和差關系求得結果.

【詳解】解：:詞%Zl=70°,

.*.Zl=ZAB￡>=70°,

ZABC=30°f

???Z2=AABD-ZABC=40°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，關鍵是熟練掌握平行線的性質.

20.D

【分析】可求乙4CD=40。，再由乙4