第四節函數項級數與冪級數第七章無窮級數7、1常數項級數得概念與性質7、2

正項級數7、3

任意項級數7、4

函數項級數與冪級數7、5

函數展開成冪級數7、6

函數得冪級數展開式得應用7、7函數項級數得一致收斂性及一致收斂級數得基本性質7、8傅里葉級數7、9正弦級數與余弦級數7、10以2l為周期得周期函數得傅里葉級數目錄學習得基本要求與預期目標

1)理解無窮級數收斂、發散得概念及,理解無窮級數與得概念,掌握級數得基本性質及收斂得必要條件。

2)熟悉幾何級數與級數得收斂性。

3)掌握正項級數得比較審斂法,掌握正項級數得比值審斂法,回用根式審斂法。

4)掌握交錯級數得萊布尼茲定理。

5)了解級數絕對收斂與條件收斂得概念,以及絕對收斂與收斂得關系。

6)了解函數項級數得收斂域及與函數得概念。

7)理解冪級數收斂半徑得概念,掌握冪級數得收斂半徑、收斂區間及收斂域得求法。學習得基本要求與預期目標

8)了解冪級數在其收斂區間內得一些基本性質,會求一些冪級數在收斂區間內得與函數,并會由此求出某些數項級數得與。

9)了解函數展開為泰勒級數得必要條件與充分條件。

10)掌握得麥克勞林展開式,會用它們將一些簡單函數展開為冪級數。

11)了解冪級數在近似計算中得簡單應用。

12)理解付氏級數得概念,狄利克雷定理,函數展開為付氏級數得充分條件,會將定義在上得函數展開為付氏級數,會將定義在上得函數展開為正弦與余弦級數,會寫出付氏級數與函數得表達式。7、4、1函數項級數得概念7、4、4冪級數及其收斂性7、4

函數項級數與冪級數7、4、2函數項級數得一致收斂及其判別法7、4、5冪級數得運算與與7、4、3一致收斂級數得性質7、4、1函數項級數得概念7、4

函數項級數與冪級數定義4、1如果ui(x)(i=1,2,···,n,···)

就是定義在I上函數列,則u1(x)+u2(x)

u3(x)

···

un(x)

···稱為定義在I上得函數項無窮級數,簡稱函數項級數。例如，幾何級數就是定義在區間(-1,1)上的函數項級數。例如，幾何級數就是定義在區間(-∞,+∞)上的函數項級數。7、4

函數項級數與冪級數定義4.2設x0?I，且收斂，則稱函數項級數在該點收斂，稱x0為函數項級數的收斂點，而所有收斂點的集合稱為收斂域。如果發散，稱函數項級數在該點發散，稱x0為函數項級數的發散點，而所有發散點的集合稱為發散域。在收斂域上,函數項級數的和是x的函數s(x),稱s(x)為函數項級數的和函數，其定義域就是級數的收斂域，并寫成7、4

函數項級數與冪級數定義4、3函數項級數得前n項與記為sn(x),余項記為rn(x),則在收斂域內例4.1求級數的收斂域收斂域(-∞,-2)[0,+∞)7、4、2函數項級數得一致收斂及其判別法7、4

函數項級數與冪級數定義4、4設{sn(x)}

就是定義在I上函數列,如果對于任意得正數ε>0,總存在正整數N(僅與ε有關),使對于一切n>N,以及I上得一切x,恒有|sn(x)-s(x)|<ε,則稱函數列{si(x)}

在I上得一致收斂于函數s(x)。注:函數在[-1,1]以及區間(-∞,+∞)上并不一致收斂。例4.2證明函數在區間(-a,a)(0<a<1)上一致收斂于7、4

函數項級數與冪級數例4.3證明級數在區間(-a,a)上一致收斂(0<a<1)，在(-1,1)內不一致收斂。定義4.5設{sn(x)}

是級數的部分和序列，如果序列{sn(x)}

在I上一致收斂于函數s(x)，則稱該級數在I上一致收斂于函數s(x)。12大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流7、4

函數項級數與冪級數定理4、1(魏爾斯特拉斯Weierstrass定理)

魏爾斯特拉斯德國數學家、1815─1897如果函數項級數

在區間I上滿足條件：則函數項級數

在I上一致收斂。收斂例4.4證明級數在區間(-∞,+∞)上一致收斂。7、4、3一致收斂級數得性質7、4

函數項級數與冪級數定理4.2如果級數的每一項un(x)在I上連續，且該級數一致收斂于和函數s(x)，則函數s(x)在I上也連續．定理4.3如果級數

在區間I上收斂于和函數s(x)，每一項具有連續的可導u'(x)，且

在區間I上一致收斂,則級數在區間I上的一致收斂和函數s(x)可微，并且可逐項求導：7、4

函數項級數與冪級數其中，a≦x0≦x≦b，并且上式右端級數在[a,b]上一致收斂．定理4.4如果級數的每一項un(x)在[a,b]上連續，且該級數一致收斂于和函數s(x)，則函數s(x)在[a,b]上可積,且可以逐項求積．7、4

函數項級數與冪級數7、4、4冪級數及其收斂性定義4.6形如的函數項級數稱為(x-x0)的冪級數；若取x=0，則級數收斂。說明至少有一個收斂點若令t=x-x0，則級數形如的函數項級數稱為x的冪級數。7、4

函數項級數與冪級數定理4、5(阿貝爾Abel定理)

如果冪級數

在點x0處收斂,則對滿足不等式|x|<|x0|的x處冪級數絕對收斂；如果冪級數

在點x0處發散,則對滿足不等式|x|>|x0|的x處冪級數發散。阿貝爾挪威數學家、1802─1829幾何說明收斂區域發散區域發散區域說明:存在點x*,使得當|x|<|x*|時級數絕對收斂,當|x|>|x*|時級數發散。7、4

函數項級數與冪級數定義4、7記R=|x*|稱為冪級數得收斂半徑,(-R,R)稱為收斂區間。可能得收斂域為:[-R,R]、(-R,R]、[-R,R)、(-R,R)。7、4

函數項級數與冪級數注;若0<

<+∞，則

若

=0，則R=+∞若

=+∞，則R=0定理4.6設冪級數，且an≠0，設或7、4

函數項級數與冪級數舉例例4、5求下列冪級數得斂散半徑與收斂域7、4

函數項級數與冪級數7、4、4冪級數得運算及其性質記R=min{R1,R2},則在(-R,R)內注:定理只給出了等式右邊級數在(-R,R)內收斂,但不一定就是收斂域。定理4.7設冪級數，的收斂半徑分別是R1和R27、4

函數項級數與冪級數定理4.8設冪級數的收斂半徑是R(R>0)，則收斂和函數s(x)在區間(-R,R)內連續．如果冪級數在x=R(或x=-R)也收斂，則和函數s(x)在(-R,R](或[-R,R))連續．定理4.9設冪級數的收斂半徑是R，則收斂和s(x)在區間(-R,R)內可導．且可逐項求導：注:逐項求導所