§2.6微分中值定理2.6.1羅爾定理2.6.2拉格朗日中值定理

2.6.3柯西中值定理基本內容第1頁基本要求掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理條件及結論，了解幾個定理之間關系;2.了解羅爾定理和拉格朗日中值定理幾何意義；3.會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理證實相關命題和不等式：如證實在某開區間內最少存在一點滿足……，或討論方程在給定區間內根存在性和根個數等。第2頁2.6.1羅爾(Rolle)定理

使得定理1(Rolle)若函數.滿足條件：(1)在閉區間上連續；(2)在開區間內可導；(3)則最少存在一點幾何意義：在定理條件下,區間內最少存在一點含有水平切線。，使得曲線在點第3頁證第4頁由極限保號性,導數等于零點稱為函數駐點(或穩定點,臨界點).第5頁例驗證函數在區間上滿足羅爾定理條件,并求出滿足點故滿足羅爾定理條件.令滿足證上連續,在為多項式,在區間內可導,,又第6頁注1.羅爾定理三個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立.例1不滿足羅爾定理第1個條件,顯然無水平切線.

2.定理中條件是充分,非必要.

第7頁例2個條件,顯然無水平切線.不滿足羅爾定理第2例3雖不滿足羅爾定理第3個條件,但仍有且第8頁例4設有且僅有兩個實根，并指出根存在區間.，證實在區間和上.使得

為二次函數，最多有兩個實根，故

有且僅有兩個根，且分別位于和內。又證

方程，分別有解由定理1，可知第9頁2.6.2拉格朗日中值定理

或寫成

也成立.上述公式稱為拉格朗日中值公式，且對于定理2(Lagrange)設函數滿足條件：（1）在閉區間上連續；（2）在開區間內可導；則在內最少存在一點，使得第10頁幾何意義:分析:弦AB方程為假如連續曲線0AB則所得曲線兩端點A、B處函數值相等.因而考慮利用羅爾定理證實.上除端點外處處含有不垂直于軸切線,則第11頁證作輔助函數滿足羅爾定理三個條件,

拉格朗日中值公式

或注:輔助函數不唯一,也可令上述公式對于也成立.第12頁拉格朗日中值定理也稱為有限增量定理.或寫成

上述公式稱為有限增量公式。設為上任意兩個點,由可得注意定理中條件是充分,非必要.第13頁注1有限增量公式注2拉格朗日中值公式這區間內某點處導數之間關系.準確關系式.不一定很小)與函數增量給出了自變量有限增量之間準確地表示了函數在一個區間上增量與函數在第14頁定理2,得由任意性可知，為常數.其中C為常數.從而推論設函數內可導,且在開區間則在即為常數.內證,在上應用,不妨設第15頁例5

驗證函數

在區間上滿足拉證為二次函數，故在上連續,使得由得格朗日中值定理條件,并求出定理中值.在滿足定理2條件，從而

內可導,第16頁例6證實證令所以,即又第17頁證1例7證實:當時,由上式得第18頁即由證2取,在上應用定理2,得第19頁2.6.3柯西中值定理定理3(Cauchy)設滿足條件：證因為,由定理2可推得

(1)在閉區間上連續；內可導,且(2)在開區間則在，使得內最少存在一點第20頁作輔助函數也可作輔助函數第21頁Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間關系；第22頁小結1.三個中值定理之間關系:Lagrange中值定理Cauchy中值定理Rolle定理