專題09一元二次方程及其應用（33題）

一、單選題

1．（2024·吉林·中考真題）下列方程中，有兩個相等實數根的是（）

22

A．x21B．x20

22

C．x21D．x22

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟練掌握開平方法解方程是解題的關鍵．

分別對每一個選項運用直接開平方法進行解方程即可判斷．

2

【詳解】解：A、x210，故該方程無實數解，故本選項不符合題意；

2

B、x20，解得：x1x22，故本選項符合題意；

2

C、x21，x21，解得x13,x21，故本選項不符合題意；

2

D、x22，x22，解得x122,x222，故本選項不符合題意．

故選：B．

2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中

寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的

兩個根是2和5．則原來的方程是()

A．x26x50B．x27x100

C．x25x20D．x26x100

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根據題意得出原方程中x1x27，x1x210，逐項分

析判斷，即可求解．

【詳解】解：∵小影在化簡過程中寫錯了常數項，得到方程的兩個根是6和1；

∴x1x2617，

又∵小冬寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是2和5．

∴x1x210

2

A.x6x50中，x1x26，x1x25，故該選項不符合題意；

2

B.x7x100中，x1x27，x1x210，故該選項符合題意；

2

C.x5x20中，x1x25，x1x22，故該選項不符合題意；

2

D.x6x100中，x1x26，x1x210，故該選項不符合題意；

故選：B．

3．（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，

則a（）

A．1B．21C．21D．1或21

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

由題意得方程2a1a2，利用公式法求解即可．

【詳解】解：由題意得：2a1a2，

解得：a12或a12（舍）

故選：C．

4．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關于x的一元二次方程m2x24x20有兩個實數根，則m

的取值范圍是（）

A．m4B．m4C．m4且m2D．m4且m2

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式

b24ac的意義得到m20且0，即424(m2)20，然后解不等式組即可得到m的取值范

圍．

【詳解】解：關于x的一元二次方程m2x24x20有實數根，

m20且0，

即424(m2)20，

解得：m4，

m的取值范圍是m4且m2．

故選：D．

5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一種藥品原價每盒48元，經過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百

分率相同，則每次降價的百分率為（）

A．20%B．22%C．25%D．28%

【答案】C

【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，設每次降價的百分率為x，根據原價每盒48元，經過兩次降

價后每盒27元，列出方程進行求解即可．

【詳解】解：設每次降價的百分率為x，由題意，得：

2

481x27，

17

解得：x25%,x（舍去）；

1424

故選C．

6．（2024·四川涼山·中考真題）若關于x的一元二次方程a2x2xa240的一個根是x0，則a的

值為（）

1

A．2B．2C．2或2D．

2

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數不為0．由一元二次方程的定義，

22

可知a20；一根是0，代入a2xxa40可得a240，即可求答案．

【詳解】解：a2x2xa240是關于x的一元二次方程，

a20，即a2①

由一個根x0，代入a2x2xa240，

可得a240，解之得a2；②

由①②得a2；

故選A

7．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區永豐村是“天府糧倉”示范區，該村的“智慧春耕”讓生產更高

效，提升了水稻畝產量，水稻畝產量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產量

年平均增長率為x，則可列方程為（）

2

A．67012x780B．6701x780

C．6701x2780D．6701x780

【答案】B

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，正確理解題意、列出方程是解題的關鍵．

設該村水稻畝產量年平均增長率為x，根據題意列出方程即可．

2

【詳解】解：根據題意得：6701x780．

故選：B．

8．（2024·北京·中考真題）若關于x的一元二次方程x24xc0有兩個相等的實數根，則實數c的值為（）

A．16B．4C．4D．16

【答案】C

2

【分析】根據方程的根的判別式Δb24ac441c0即可．本題考查了一元二次方程的根的判

別式，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．

【詳解】∵方程x24xc0有兩個相等的實數根，a1,b4,cc，

2

∴Δb24ac441c0，

∴4c=16，

解得c4．

故選C．

9．（2024·上海·中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實數根的是（）

A．x26x0B．x2-9=0

C．x26x60D．x26x90

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程

2

axbxc0a0，當b24ac0時，方程有兩個不相等實數根；當b24ac0時，方程的兩

個相等的實數根；當b24ac<0時，方程沒有實數根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判

斷．

2

【詳解】解：A．Δ6410360，該方程有兩個不相等實數根，故A選項不符合題意；

B．Δ02419360，該方程有兩個不相等實數根，故B選項不符合題意；

2

C．Δ6416120，該方程有兩個不相等實數根，故C選項不符合題意；

2

D．Δ64190，該方程有兩個相等實數根，故D選項不符合題意；

故選：D．

10．（2024·四川廣安·中考真題）若關于x的一元二次方程(m1)x22x10有兩個不相等的實數根，則m的

取值范圍是（）

A．m0且m1B．m0

C．m0且m1D．m0

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2bxc0a0，若

b24ac0，則方程有兩個不相等的實數根，若b24ac0，則方程有兩個相等的實數根，若

b24ac<0，則方程沒有實數根．由關于x的一元二次方程(m1)x22x10兩個不相等的實數根，可

得0且m10，解此不等式組即可求得答案．

【詳解】解：關于x的一元二次方程(m1)x22x10有兩個不相等的實數根，

2

∴24m10，

解得：m0，

m10，

m1，

m的取值范圍是：m0且m1．

故選：A．

11．（2024·四川內江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”

的發展理念，該市大力發展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年

平均增長率為x，則符合題意得方程是（）

2

A．0.641x0.69B．0.641x0.69

2

C．0.6412x0.69D．0.6412x0.69

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據題意找到等式兩邊的平衡條件．設年平均增長

2

率為x，根據2023年底森林覆蓋率2021年底森林覆蓋率1x，據此即可列方程求解．

2

【詳解】解：根據題意，得64%1x69%

2

即0.641x0.69，

故選：B．

12．（2024·貴州·中考真題）一元二次方程x22x0的解是（）

A．x13，x21B．x12，x20C．x13，x22D．x12，x21

【答案】B

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．

【詳解】解∶x22x0，

∴xx20，

∴x0或x20，

∴x12，x20，

故選∶B．

11

2

13．（2024·四川樂山·中考真題）若關于x的一元二次方程x2xp0兩根為x1、x2，且3，則

x1x2

p的值為（）

22

A．B．C．6D．6

33

【答案】A

2

【分析】本題考查了一元二次方程axbxc0(a0)根與系數的關系：若方程的兩實數根為x1,x2，則

bc

xx,xx．

12a12a

2

根據一元二次方程ax2bxc0(a0)根與系數的關系得到xx2,xxp，然后通分，

12112

11xx2

12，從而得到關于p的方程，解方程即可．

x1x2x1x2p

2

【詳解】解：Qxx2,xxp，

12112

11xx2

12，

x1x2x1x2p

11

而3，

x1x2

2

3，

p

2

p，

3

故選：A．

14．（2024·云南·中考真題）兩年前生產1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產技術的進步，現在生產

1千克甲種藥品的成本為60元．設甲種藥品成本的年平均下降率為x，根據題意，下列方程正確的是（）

2

A．801x260B．801x60

C．801x60D．8012x60

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據甲種藥品成本的年平均下降率為x，利用現在生產1千克

甲種藥品的成本兩年前生產1千克甲種藥品的成本年（1平均下降率）2，即可得出關于的一元二次

方程．

【詳解】解：甲種藥品成本的年平均下降率為x，

2

根據題意可得801x60，

故選：B．

二、填空題

15．（2024·山東·中考真題）若關于x的方程4x22xm0有兩個相等的實數根，則m的值為．

1

【答案】/0.25

4

【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ0時，方程有兩個相等的實數根”是解題的關鍵．

根據方程的系數結合根的判別式，即可得出b24ac2244m0，解之即可得出結論．

【詳解】解：∵關于x的方程4x22xm0有兩個相等的實數根，

∴b24ac2244m416m0，

1

解得：m．

4

1

故答案為：．

4

16．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程x23xm0的一個根為1，則m．

【答案】2

【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據一元二次方程的解的定義，將x1代入原方程，列出關

于m的方程，然后解方程即可．

【詳解】解：關于x的一元二次方程x23xm0的一個根為1，

x1滿足一元二次方程x23xm0，

13m0，

解得，m2．

故答案為：2．

17．（2024·江蘇連云港·中考真題）關于x的一元二次方程x2xc0有兩個相等的實數根，則c的值

為．

1

【答案】/0.25

4

【分析】本題考查了一元二次方程根的個數與根的判別式的關系．根據題意得Δ124c0，進行計算即

可得．

【詳解】解：若關于x的一元二次方程x2xc0有兩個相等的實數根，

124c0，

1

c，

4

1

故答案為：．

4

18．（2024·四川涼山·中考真題）已知y2x0，x23y2x30，則x的值為．

【答案】3

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．

將y2x代入x23y2x30，轉化為解一元二次方程，y2x0，要進行舍解．

【詳解】解：∵y2x0，

∴y2x，

將y2x代入x23y2x30

得，x23xx30，

即：x22x30，

x3x10，

∴x3或x=1，

∵y2x0，

∴x=1舍，

∴x3，

故答案為：3．

19．（2024·湖南·中考真題）若關于x的一元二次方程x24x2k0有兩個相等的實數根，則k的值

為．

【答案】2

【分析】本題考查根據一元二次方程根的情況求參數．一元二次方程ax2bxc0(a0)有兩個不相等的

實數根，則b24ac0；有兩個相等的實數根，則b24ac0；沒有實數根，則b24ac<0．據

此即可求解．

2

【詳解】解：由題意得：b24ac4412k0，

解得：k2

故答案為：2

1

20．（2024·河南·中考真題）若關于x的方程x2xc0有兩個相等的實數根，則c的值為．

2

1

【答案】/0.5

2

【分析】本題考查一元二次方程根與判別式的關系．掌握一元二次方程ax2bxc0a0的根的判別式

為b24ac，且當0時，該方程有兩個不相等的實數根；當Δ0時，該方程有兩個相等的實數根；

當Δ0時，該方程沒有實數根是解題關鍵．根據一元二次方程根與其判別式的關系可得：

21

Δ14c0，再求解即可．

2

1

【詳解】解∶∵方程x2xc0有兩個相等的實數根，

2

21

∴Δ14c0，

2

1

∴c，

2

故答案為：1．

2

21．（2024·重慶·中考真題）隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，

2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是．

【答案】10%

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用．設平均增長率為x，然后根據題意可列方程進行求解．

【詳解】解：設平均增長率為x，由題意得：

2

401x48.4，

解得：x10.110%，x22.1（不符合題意，舍去）；

故答案為：10%．

22．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程x24x10的一個根，則(m5)(m1)的值為．

【答案】4

【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數式的值，根據m是方程x24x10

的一個根，可得出m24m1，再化簡代數式，整體代入即可求解．

【詳解】解：m是方程x24x10的一個根，

m24m1∵

∴(m5)(m1)

m2m5m5

m24m5

15

4，

故答案為：4．

a2ba0

23．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：ab例如：24(2)240，

aba0

3

23231．若x1，則x的值為．

4

17

【答案】或

24

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義．根據

新定義運算法則列出方程求解即可．

a2ba0

【詳解】解：∵ab，

aba0

3

而x1，

4

3

∴①當x0時，則有x21，

4

1

解得，x；

2

3

②當x0時，x1，

4

7

解得，x

4

17

綜上所述，x的值是或，

24

17

故答案為：或．

24

2

24．（2024·四川成都·中考真題）若m，n是一元二次方程x25x20的兩個實數根，則mn2的值

為．

【答案】7

【分析】本題考查了根與系數的關系和完全平方公式和已知式子的值，求代數式的值．先利用已知條件求

b

出n25n20，mn5，從而得到n25n2，再將原式利用完全平方公式展開，利用n25n2

a

替換n2項，整理后得到mn2，再將mn5代入即可．

【詳解】解：∵m，n是一元二次方程x25x20的兩個實數根，

b

∴n25n20，mn5，

a

則n25n2

2

∴mn2

mn24n4

m5n24n4

mn2

52

7

故答案為：7

25．（2024·山東煙臺·中考真題）若一元二次方程2x24x10的兩根為m，n，則3m24mn2的值

為．

【答案】6

【分析】本題考查了根與系數的關系及利用完全平方公式求解，若x1,x2是一元二次方程

bc

ax2bxc0(a0)的兩根時，xx,xx，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題關鍵．

12a12a

1

根據根與系數的關系得mn2，mn，2m24m1，再把3m24mn2變形為2m24mm2n2，

2

然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可．

【詳解】解：∵一元二次方程2x24x10的兩個根為m，n，

1

∴mn2，mn，2m24m1

2

∴3m24mn2

2m24mm2n2

m2n21

(mn)22mn1

1

222()1

2

6

故答案為：6．

11

2

26．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程xx20的兩根分別為x1，x2，則的值為．

x1x2

1

【答案】/0.5

2

2

【分析】本題考查一元二次方程的根與系數的關系，若一元二次方程axbxc0a0的兩根分別為x1，

bc

x，則xx，xx，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．

212a12a

11x1x2

先根據根與系數的關系得到x1x21，x1x22，然后把化簡為然后整體代入即可．

x1x2x1x2

2

【詳解】解：方程xx20的兩根分別為x1，x2，

x1x21，x1x22，

11xx11

12．

x1x2x1x222

故答案為：1．

2

xx22

27．（2024·四川瀘州·中考真題）已知1，2是一元二次方程x3x50的兩個實數根，則x1x23x1x2

的值是．

【答案】14

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，完全平方公式的變形求值．對于一元二次方程，

bc

若該方程的兩個實數根為x，x，則xx，xx．先根據根與系數的關系得到xx3，xx5，

1212a12a1212

2222

再根據完全平方公式的變形x1x2x12x1x2x29，求出x1x229，由此即可得到答案．

2

【詳解】解：x1，x2是一元二次方程x3x50的兩個實數根，

x1x23，x1x25，

222

x1x2x12x1x2x29，

222

x1x2x12x1x2x294x1x292029，

2

x1x23x1x2293514．

故答案為：14．

三、解答題

x23xy4y20①

28．（2024·上海·中考真題）解方程組：．

x2y6②

【答案】x4，y1或者x6，y6．

【分析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關鍵是利用代入法進行求解．

x23xy4y20①

【詳解】解：，

x2y6②

由②得：x62y代入①中得：

2

62y362yy4y20，

3624y4y218y6y24y20，

6y242y360，

6y27y60，

6y6y10

解得：y1或y6，

當y1時，x6214，

當y6時，x6266，

∴方程組的解為x4,y1或者x6,y6．

29．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：

下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個

點……

容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10．

(1)探索：三角點陣中前8行的點數之和為_____，前15行的點數之和為______，那么，前n行的點數之和

為______

(2)體驗：三角點陣中前n行的點數之和______（填“能”或“不能”）為500．

(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？

1

【答案】(1)36；120；nn1

2

(2)不能

(3)一共能擺放20排．

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．

（1）根據圖形，總結規律，列式計算即可求解；

（2）根據前n行的點數和是500，即可得出關于n的一元二次方程，解之即可判斷；

（2）先得到前n行的點數和是nn1，再根據題意得出關于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．

1

【詳解】（1）解：三角點陣中前8行的點數之和為1234567818836，

2

1

前15行的點數之和為123141511515120，

2

11

那么，前n行的點數之和為123n1nnnn1；

22

1

故答案為：36；120；nn1；

2

（2）解：不能，

理由如下：

1

由題意得nn1500，

2

得n2n10000，

12410004001，

∴此方程無正整數解，

所以三角點陣中前n行的點數和不能是500；

故答案為：不能；

1

（3）解：同理，前n行的點數之和為2462n21nnnn1，

2

由題意得nn1420，

得n2n4200，即n21n200，

解得n20或n21（舍去），

∴一共能擺放20排．

30．（2024·四川內江·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2px10（p為常數）有兩個不相等的實

數根x1和x2．

(1)填空：x1x2________，x1x2________；

111

(2)求，x1；

x1x2x1

22p

(3)已知x1x22p1，求的值．

【答案】(1)p，1；

111

(2)p，x1p；

x1x2x1

(3)p3．

【分析】本題考查了一元二次方程根和系數的關系，根的判別式，掌握一元二次方程根和系數的關系是解

題的關鍵．

（1）利用根和系數的關系即可求解；

2

11xx2xx

（2）變形為1212，再把根和系數的關系代入計算即可求解，由一元二次方程根的定義

xx

12x1x2

11

2

可得x1px110，即得x1p0，進而可得x1p；

x1x1

22

（3）把方程變形為x1x22x1x22p1，再把根和系數的關系代入得p22p1，可得p1或

p3，再根據根的判別式進行判斷即可求解．

+=

【詳解】（1）解：由根與系數的關系得，x1x2p，x1x21，

故答案為：p，1；

+=

（2）解：∵x1x2p，x1x21，

11xx

∴12p，

x1x2x1x2

2p

∵關于x的一元二次方程xpx10（為常數）有兩個不相等的實數根x1和x2，

2

∴x1px110，

1

∴x1p0，

x1

1

∴x1p；

x1

+=

（3）解：由根與系數的關系得，x1x2p，x1x21，

22

∵x1x22p1，

2

∴x1x22x1x22p1，

∴P222p1，

∴P22p30，

解得p1或p3，

∴一元二次方程x2px10為x2x10或x23x10，

當p1時，1241130，不合題意，舍去；

2

當p3時，Δ341150，符合題意；

∴p3．

31．（2024·廣東廣州·中考真題）關于x的方程x22x4m0有兩個不等的實數根．

(1)求m的取值范圍；

1m2m1m3

(2)化簡：．

|m3|2m1

【答案】(1)m3

(2)2

【分析