高三第二次模擬考試數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A B.C. D.2.（）A.16 B. C.32 D.3.曲線的長度為（）A B. C. D.4.已知，都是非零向量，定義新運算，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.曲率是用于描述曲線在某一點處彎曲程度的量，對于平面曲線，其曲率（是的導數，是的導數），曲率半徑是曲率的倒數，其表示與曲線在某點處具有相同彎曲程度圓的半徑.已知質點以恒定速率沿曲率半徑為的曲線作曲線運動時，向心加速度的大小為.若該質點以恒定速率沿形狀滿足的光滑軌道運動，則其在點處的向心加速度的大小為（）A. B. C. D.6.若為雙曲線：上異于，的動點，且直線與的斜率之積為5，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.7.已知隨機變量，，則的最大值為（）A.9 B. C. D.8.設是關于的方程的一個實根，其中為常數，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.將函數圖象上每個點橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關于點對稱 D.的圖象關于直線對稱10.已知為曲線：上一點，，，，點到直線：，：，：的距離分別為，，，則（）A.存在無數個點，使得B.存無數個點，使得C.存在無數個點，使得D.僅存在一個點，使得且11.已知函數的定義域為，，，則（）A. B.是增函數C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若分別為奇函數、偶函數，，且，則______.13.已知是等差數列的前項和，數列的公差為，且是等差數列，則______.14.一個整數的各位數字之和記為，例如.用0，1，4，6，7，8組成的無重復數字的四位數按照從小到大的順序排列為，則______，的平均數為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.《九章算術·商功》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四面體中，平面，，且，，.（1）證明：四面體為鱉臑；（2）若直線平面，求直線與所成角的余弦值.16.如圖，點，，，，均在直線上，且，質點與質點均從點出發，兩個質點每次都只能向左或向右移動1個單位長度，兩個質點每次移動時向左移動的概率均為，每個質點均移動2次.已知每個質點移動2次后到達的點所對應的積分如下表所示，設隨機變量為兩個質點各自移動2次后到達的點所對應的積分之和.

積分0100200（1）求質點移動2次后到達的點所對應的積分為0的概率；（2）求隨機變量的分布列及數學期望.17.的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，求內切圓的半徑；（3）若為的垂心，且點在內，直線與交于點，且，求的最大值.18.已知函數.（1）若在其定義域內單調遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：，；（3）若在上有兩個極值點，求取值范圍.19.已知為坐標原點，是橢圓：的左焦點，是橢圓上一點，的最大值是最小值的3倍.（1）求橢圓的離心率；（2）若點不與橢圓的頂點重合，過作的切線，與軸交于點，求；（3）已知，是上兩個不同的點，過分別作直線，與相切，與的交點為，若，求動點的軌跡方程.（附：橢圓以點為切點的切線方程為）

高三第二次模擬考試數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數的乘法化簡可得結果.【詳解】.故選：A.2（）A.16 B. C.32 D.【答案】A【解析】【分析】應用指數冪運算的性質化簡求值.【詳解】由.故選：A3.曲線的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對式子進行變形，明確其含義即可求解.【詳解】由，得，所以曲線是以坐標原點為圓心，2為半徑的圓弧，其中點的橫坐標為，則，，故曲線的長度為.4.已知，都是非零向量，定義新運算，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將提公因式化簡，分別討論各個因式可得結果.【詳解】若，則，則或.當時，未必成立；當時，.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.曲率是用于描述曲線在某一點處彎曲程度的量，對于平面曲線，其曲率（是的導數，是的導數），曲率半徑是曲率的倒數，其表示與曲線在某點處具有相同彎曲程度圓的半徑.已知質點以恒定速率沿曲率半徑為的曲線作曲線運動時，向心加速度的大小為.若該質點以恒定速率沿形狀滿足的光滑軌道運動，則其在點處的向心加速度的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用曲率的定義可求得，進而得曲率半徑，利用向心加速度的定義計算可求向心加速度.【詳解】設，則，，所以，，則曲線在點處曲率，曲率半徑，故曲線在點處的向心加速度的大小為.故選：B.6.若為雙曲線：上異于，的動點，且直線與的斜率之積為5，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，根據點在雙曲線上及斜率的兩點式可得，即可得漸近線方程.【詳解】設，則，即，則，則，故的漸近線方程為.故選：C7.已知隨機變量，，則的最大值為（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正態分布的對稱性得到，再用代換1法求最大值即可.【詳解】因為，，所以.由正態分布的對稱性，可得.因為，所以，當且僅當，即，時，等號成立，即最大值為.故選：D8.設是關于的方程的一個實根，其中為常數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，利用二倍角的正切公式求出關于的表達式，再由結合二倍角的正切公式可得出關于的等式，化簡后可得出的值.【詳解】設，則，，整理得，故.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.將函數圖象上每個點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關于點對稱 D.的圖象關于直線對稱【答案】ACD【解析】【分析】求出變換之后的解析式，依次代入選項判斷可得結果.【詳解】依題意可得，因為，故A正確；，故B錯誤；由，可知點為對稱中心，由，可知在處取最小值，故C，D均正確.故選：ACD10.已知為曲線：上一點，，，，點到直線：，：，：的距離分別為，，，則（）A.存在無數個點，使得B.存在無數個點，使得C.存在無數個點，使得D.僅存在一個點，使得且【答案】BC【解析】【分析】根據曲線方程得或，結合已知點坐標和直線判斷各項的正誤.【詳解】由，得，得或.是拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，故曲線上不存在無數個點，使得，是拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，故有無數個點，是拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，故有無數個點，聯立與，得，或，所以僅存在兩個點，使得且，所以A、D錯誤，B，C正確.故選：BC11.已知函數的定義域為，，，則（）A. B.是增函數C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法計算可判斷AB；由已知可得，進而可得，可求判斷C；利用錯位相減法可求得，判斷D.【詳解】令，則，解得，故A正確；令，，則，故B錯誤；由，可得，令，，則，即，所以，故，則，故C正確；因為，所以，兩式相減，可得，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若分別為奇函數、偶函數，，且，則______.【答案】4【解析】【分析】根據已知有，進而求得，，再應用奇偶性求目標函數值.【詳解】依題意得，又，解得，，所以.故答案為：413.已知是等差數列的前項和，數列的公差為，且是等差數列，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】根據等差數列的通項公式及前項和公式可得，進而結合等差數列的特點求解即可.詳解】由題意，，所以，因為是等差數列，則的通項是一次函數型，則能整理成完全平方型，所以，化簡得，所以，即.故答案為：.14.一個整數的各位數字之和記為，例如.用0，1，4，6，7，8組成的無重復數字的四位數按照從小到大的順序排列為，則______，的平均數為______.【答案】①.8761②.【解析】【分析】應用排列組合數求出無重復數字的四位數的個數，結合最大的四位數，即可得，先求出給定數字的出現次數，再應用平均數的求法求平均數.【詳解】用0，1，4，6，7，8組成的無重復數字的四位數的總個數為，其中最大的四位數為8764，所以.四位數含0時，后三位選一位填0有種，再選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，最后從余下的4個數字選2個填余下的兩位有種，所以1，4，6，7，8出現的次數均為次，四位數不含0時，四位選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，從余下的4個數選3個填余下的三位有種，所以1，4，6，7，8出現的次數均為次，綜上，1，4，6，7，8出現的次數均為次，所以的平均數為.故答案為：8761，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.《九章算術·商功》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四面體中，平面，，且，，.（1）證明：四面體為鱉臑；（2）若直線平面，求直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質可證，，，進而利用線線垂直證明平面，進而可得，可得結論；（2）以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標系，求得平面的法向量與直線的方向向量，利用向量法可求得直線與所成角的余弦值.【小問1詳解】因為平面，平面，平面，平面，所以，，.又，且，平面，所以平面，又平面，則，所以四面體的四個面都為直角三角形，則四面體為鱉臑.【小問2詳解】以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，則，，.設平面的法向量為，則，令，得.由，得直線與所成角的余弦值為.16.如圖，點，，，，均在直線上，且，質點與質點均從點出發，兩個質點每次都只能向左或向右移動1個單位長度，兩個質點每次移動時向左移動的概率均為，每個質點均移動2次.已知每個質點移動2次后到達的點所對應的積分如下表所示，設隨機變量為兩個質點各自移動2次后到達的點所對應的積分之和.

積分0100200（1）求質點移動2次后到達的點所對應的積分為0的概率；（2）求隨機變量的分布列及數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，200【解析】【分析】（1）根據互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）首先分析出的所有可能取值為，，0，200，400，再按步驟寫出分布列，計算期望即可.【小問1詳解】設事件為“質點移動2次后到達的點所對應的積分為0”，由題意可知點兩次移動后在點，又起點為點，即的移動一次向左一次向右，所以.【小問2詳解】的所有可能取值為，，0，200，400.，，，，，所以隨機變量的分布列為0200400.17.的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，求內切圓的半徑；（3）若為的垂心，且點在內，直線與交于點，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據已知及正弦邊角關系得，再由余弦定理求角的大小；（2）由及面積公式得、，再由內切圓半徑即可得；（3）設，，進而得到、，最后有即可求最大值.【小問1詳解】因為，所以.由正弦定理得，所以，因為，所以.【小問2詳解】由（1）知，代入數據得.因為的面積，所以內切圓的半徑.【小問3詳解】如圖，設，，則，且.因為，所以.由正弦定理得，所以，所以，其中，故的最大值為.18.已知函數.（1）若在其定義域內單調遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：，；（3）若在上有兩個極值點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用函數在定義域內單調遞增則函數的導數大于或者等于零恒成立，求解分離參數求解即可（2）構造函數，求兩次導，得到這個函數導函數的單調性，從而得到，則在上單調遞增，得到，即當時，，所以，不等式得證.（3）分情況討論，當時，，則在上單調遞減，無極值點.當時，由（1）知在上單調遞增，無極值點.當時，令，求導，對極值點的大小進行分析，再結合零點存在性定理取點證明有兩個極值點即可.【小問1詳解】因為在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.設，則，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以，則，