張家界市一中2024-2025學年高中新課程高三下學期期末考試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數，黑點為陰數.若從這10個數中任取3個數，則這3個數中至少有2個陽數且能構成等差數列的概率為（）A． B． C． D．2．在中，為邊上的中線，為的中點，且，，則（）A． B． C． D．3．已知定義在上的函數，，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．4．已知為虛數單位，復數滿足，則復數在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知雙曲線的左焦點為，直線經過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．6．集合的真子集的個數是（）A． B． C． D．7．設復數滿足，在復平面內對應的點的坐標為則（）A． B．C． D．8．《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，，當陽馬體積的最大值為時，塹堵的外接球的體積為（）A． B． C． D．9．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．12810．已知雙曲線（，），以點（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．11．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．312．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B為焦點，且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.14．在的二項展開式中，所有項的系數之和為1024，則展開式常數項的值等于_______．15．已知點是橢圓上一點，過點的一條直線與圓相交于兩點，若存在點，使得，則橢圓的離心率取值范圍為_________.16．中，角的對邊分別為，且成等差數列，若，，則的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求的面積的值（或最大值）．已知的內角，，所對的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關系式：，且，求的面積的值（或最大值）．18．（12分）已知函數是自然對數的底數.（1）若，討論的單調性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.19．（12分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區，如圖，已知兩個購物廣場的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設，用關于的函數表示，并求在區間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、、、的值.20．（12分）已知函數（），不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，，，且，求的最大值.21．（12分）已知等差數列an,和等比數列b(I)求數列{an}(II)求數列n2an?a22．（10分）某工廠生產一種產品的標準長度為，只要誤差的絕對值不超過就認為合格，工廠質檢部抽檢了某批次產品1000件，檢測其長度，繪制條形統計圖如圖：（1）估計該批次產品長度誤差絕對值的數學期望；（2）如果視該批次產品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產的產品中隨機抽取2件，假設其中至少有1件是標準長度產品的概率不小于0.8時，該設備符合生產要求.現有設備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時，生產一件產品為標準長度的概率的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

先根據組合數計算出所有的情況數，再根據“3個數中至少有2個陽數且能構成等差數列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應的概率.【詳解】所有的情況數有：種，3個數中至少有2個陽數且能構成等差數列的情況有：，共種，所以目標事件的概率.故選：C.本題考查概率與等差數列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析；當情況數較多時，可考慮用排列數、組合數去計算.2．A【解析】

根據向量的線性運算可得,利用及，計算即可.【詳解】因為,所以，所以，故選：A本題主要考查了向量的線性運算，向量數量積的運算，向量數量積的性質，屬于中檔題.3．D【解析】

先判斷函數在時的單調性，可以判斷出函數是奇函數，利用奇函數的性質可以得到，比較三個數的大小，然后根據函數在時的單調性，比較出三個數的大小.【詳解】當時，，函數在時，是增函數.因為，所以函數是奇函數，所以有，因為，函數在時，是增函數，所以，故本題選D.本題考查了利用函數的單調性判斷函數值大小問題，判斷出函數的奇偶性、單調性是解題的關鍵.4．B【解析】

求出復數，得出其對應點的坐標，確定所在象限．【詳解】由題意,對應點坐標為，在第二象限．故選：B．本題考查復數的幾何意義，考查復數的除法運算，屬于基礎題．5．A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯立，再由得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設.則，且將代入雙曲線方程中，得到設則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A此題考查雙曲線和直線相交問題，聯立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.6．C【解析】

根據含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎題．7．B【解析】

根據共軛復數定義及復數模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內對應的點的坐標為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.本題考查復數對應點坐標的幾何意義，復數模的求法及共軛復數的概念，屬于基礎題.8．B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B本題以中國傳統文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應用,體現了數學運算、直觀想象等核心素養.9．C【解析】

根據給定的程序框圖，逐次計算，結合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執行上述程序框圖，可得第1次循環，滿足判斷條件，；第2次循環，滿足判斷條件，；第3次循環，滿足判斷條件，；第4次循環，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，結合判斷條件求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10．A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，且，則可根據圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設雙曲線的一條漸近線與圓交于，因為，所以圓心到的距離為：，即，因為，所以解得．故選A．本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查了轉化思想以及計算能力，屬于中檔題．對于離心率求解問題，關鍵是建立關于的齊次方程，主要有兩個思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結合曲線的幾何性質以及題目中的幾何關系建立方程；另一方面，可以從代數的角度，結合曲線方程的性質以及題目中的代數的關系建立方程.11．B【解析】

設直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數,即可求得結果.【詳解】設，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.本題考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理及向量的坐標之間的關系,考查計算能力，屬于中檔題.12．C【解析】

根據并集的求法直接求出結果.【詳解】∵，∴，故選C.考查并集的求法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【解析】

根據為焦點，得；又求得，從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上，則又本題正確結果：本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題，屬于基礎題.14．【解析】

利用展開式所有項系數的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的常數項.【詳解】因為的二項展開式中，所有項的系數之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數項為T5=C·3=15,故填15.本題主要考查了二項式定理的應用、二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題.15．【解析】

設，設出直線AB的參數方程，利用參數的幾何意義可得,由題意得到，據此求得離心率的取值范圍.【詳解】設，直線AB的參數方程為，(為參數)代入圓，化簡得：，，，，存在點，使得，，即，，，，故答案為：本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運用，考查直線參數方程的運用，屬于中檔題.16．.【解析】

由A，B，C成等差數列得出B＝60°，利用正弦定理得進而得代入三角形的面積公式即可得出．【詳解】∵A，B，C成等差數列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案為：本題考查了等差數列的性質，三角形的面積公式，考查正弦定理的應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．見解析【解析】

若選擇①，結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，將代入，得．又，∴，當且僅當時等號成立．∴，故的面積的最大值為，此時．若選擇②，，結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則，此時為等腰直角三角形，.若選擇③，，則結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則．18．（1）減區間是，增區間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當時，求得函數的導函數以及二階導函數，由此求得的單調區間.（2）令求得，構造函數，利用導數求得的單調區間、極值和最值，結合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當時，遞減，當時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當時，所以當時，有一個極值點，當時，有兩個極值點，當時，沒有極值點，綜上因為是的兩個極值點，所以不妨設，得，因為在遞減，且，所以又所以本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間，考查利用導數研究函數的極值點，考查利用導數證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.19．（1），最大值公頃；（2）17、25、5、5.【解析】

（1）由余弦定理求出三角形ABC的邊長BC，進而可以求出，，由面積公式求出，，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，，，即可求出、，再算出，代入（1）中表達式求出，?！驹斀狻浚?）由余弦定理得，，所以，，同理可得又，所以，故在區間上的最大值為，近似值為。（2）由（1）知，，，所以，進而，由知，，，故、、、的值分別是17、25、5、5。本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數平方關系的應用，意在考查學生的數學建模以及數學運算能力。20．（1）（2）32【解析】

利用絕對值不等式的解法求出不等式的解集,得到關于的方程,求出的值即可;由知可得,，利用三個正數的基本不等式,構造和是定值即可求出的最大值.【詳解】（1）∵，，所以不等式的解集為,即為不等式的解集為，∴的解集為,即不等式的解集為，化簡可得,不等式的解集為，所以,即.（2）∵，∴.又∵，，，∴，當且僅當,等號成立,即，，時，等號成立，∴的最大值為32.本題主要考查含有兩個絕對值不等式的解法和三個正數的基本不等式的靈活運用;其中利用構造出和為定值即為定值是求解本題的關鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯點;屬于中檔題.21．(I)an=2n-1，bn=【解