第1頁/共1頁2025北京東城高三一模數學2025.4本試卷共6頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，則（A） （B）（C） （D）（2）下列函數中，定義域為的是（A） （B）（C） （D）（3）在的展開式中，的系數為，則的值為（A） （B）（C） （D）（4）中國茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關.一杯℃的熱紅茶置于℃的房間里，茶水的溫度（單位：℃）與時間（單位：min）的函數的圖象如圖所示.下列說法正確的是（A）若，則 （B）若，則（C）若，則（D）若，則（5）在平面直角坐標系中，角以為始邊，其終邊落在第一象限，則下列三角函數值中一定大于零的是（A） （B）（C）（D）（6）已知是各項均為正整數的無窮等差數列，其中的三項為，，，則的公差可以為（A） （B）（C）（D）（7）長度為的線段的兩個端點分別在軸及軸上運動，則線段的中點到直線距離的最小值為（A） （B） （C） （D）（8）已知，，則“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）祈年殿（圖1）是北京市的標志性建筑之一，距今已有600多年歷史.殿內部有垂直于地面的28根木柱，分三圈環形均勻排列.內圈有4根約為19米的龍井柱，寓意一年四季；中圈有12根約為13米的金柱，代表十二個月；外圈12根約為6米的檐柱，象征十二個時辰.已知是由一根龍井柱和兩根金柱圖2圖1，形成的幾何體（圖2）圖2圖1中，米，，則平面與平面所成角的正切值約為（A）（B）（C）（D） （10）已知集合，.如果有且只有兩個元素，則實數的取值范圍為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）若復數滿足，則.（12）已知向量在正方形網格中的位置如圖所示．若網格紙上小正方形的邊長為，則_______；_______．（13）已知拋物線的焦點為，點為上任意一點，且總有，則的一個值可以為_______．（14）已知函數，若的最小正周期為，則；若存在，使得，則的最小值為．（15）已知數列滿足，且，給出下列四個結論：①若，當時，；②若，當時，；③若，對任意正數，存在正整數，當時，；④若，對任意負數，存在正整數，當時，．其中正確結論的序號是_______．解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在△ABC中，，，．（Ⅰ）求的值及△ABC的面積；（Ⅱ）求證：．（17）（本小題14分）如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面平面，,，.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）已知點到平面的距離為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的長.條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．

（18）（本小題13分）據國家相關部門統計，2023年華東地區、東北地區主要省份的水稻、小麥的播種面積和產量數據見表1.水稻小麥播種面積（千公頃）產量（萬噸）播種面積（千公頃）產量（萬噸）華東地區江蘇省2221.02003.22389.51373.5浙江省649.0485.3152.666.4安徽省2500.71609.82862.71740.7福建省601.1394.60.10.0江西省3383.92070.711.33.5山東省101.086.14008.92673.8東北地區遼寧省500.5412.92.00.8吉林省828.8682.15.01.7黑龍江省3268.52110.019.37.5表1（Ⅰ）從表1中的華東地區隨機抽取1個省份，求該省水稻產量比小麥產量少的概率；（Ⅱ）從表1的9個省份中隨機抽取2個，設為水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區省份的個數，求的分布列與數學期望；（Ⅲ）在2023年華東地區、東北地區和華北地區主要糧食作物的播種面積及其采用新技術的播種面積占該作物總的播種面積的比值（簡稱新技術占比率）數據見表2.糧食作物播種面積（千公頃）新技術占比率糧食作物播種面積（千公頃）新技術占比率華東地區水稻9456.70.7小麥9425.00.6東北地區水稻4597.80.55玉米13800.00.65華北地區小麥3184.50.65玉米9564.70.6表2記華東地區和東北地區水稻播種總面積的新技術占比率、華東地區和華北地區小麥播種總面積的新技術占比率、東北地區和華北地區玉米播種總面積的新技術占比率分別為，，.依據表2中的數據比較，，的大小.（結論不要求證明）

（19）（本小題15分）已知橢圓過點，離心率為，上的點關于軸的對稱點為．設為原點，，過點與軸平行的直線交于點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點在以為直徑的圓上，求的值．（20）（本小題15分）設函數，曲線在處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求不等式的解集；（Ⅲ=3\*ROMAN）已知，其中，直線的方程為.若，且，求證：．（21）（本小題15分）已知有限數列滿足．對于給定的，若中存在項滿足()，則稱有項遞增子列；若中存在項滿足()，則稱有項遞減子列．當既有項遞增子列又有項遞減子列時，稱具有性質．（Ⅰ）判斷下列數列是否具有性質；=1\*GB3①； =2\*GB3②.（Ⅱ）若數列中有，證明：數列不具有性質；（Ⅲ）當數列具有性質時，若中任意連續的項中都包含項遞增子列，求的最大值．（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）C （2）B （3）D （4）A（5）C（6）C （7）A （8）A （9）B（10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

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） （12）；（13）（答案不唯一）（14）2；（15）=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④ 三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因為，所以.所以為銳角．因為，所以．由余弦定理，得.解得.△ABC的面積.………7分（Ⅱ）由，，得..因為為銳角，所以.又由，所以.………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）因為四邊形為平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.因為，平面，平面，所以平面.因為，所以平面平面.因為平面，所以平面.………………5分（Ⅱ）選條件①：.因為平面平面,平面平面，，平面，所以平面.因為平面，所以.因為，，所以平面.所以.如圖建立空間直角坐標系，設，則，，，.所以，.設平面的法向量為，則即令，則，.于是.由于，點到平面的距離為，所以，解得.所以的長為.………………14分選條件②：．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面.所以.所以.因為，，，所以.所以.所以.以下同選條件①.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）在華東地區的6個省份中，水稻產量比小麥產量少的省份有安徽省和山東省，所以在華東地區的6個省份中隨機抽取一個省份，該省水稻產量比小麥產量少的概率為.………………4分（Ⅱ）在表1中水稻的播種面積排在前5名的省份是江西省、黑龍江省、安徽省、江蘇省和吉林省，其中屬于東北地區的省份是黑龍江省和吉林省.設為水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區省份的個數，由題設，的所有可能值為0，1，2.；；.的分布列為：012因為，所以.………………10分（Ⅲ）.………………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由題意，得解得．所以橢圓的方程為．………………5分（Ⅱ）由點有，且．又，有.因為過點與軸平行的直線交于點，設，，則．因為點在以為直徑的圓上，所以.即.所以.因為，，所以.由及，有.即點在以為直徑的圓上時，．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由得，，．由題設知，解得．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．令，則．與的變化情況如下表：↘0↗當時，取得最小值，即當時，.因此在區間上單調遞增．因為，所以當時，；當時，．綜上，不等式的解集為.………………9分（Ⅲ=3\*ROMAN）由題設知，，直線的方程為．令，則，.由（Ⅱ）知在區間上單調遞減，因為，所以，因為，所以.則存在，使得．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.又因為，，所以當時，.因為，所以．因為，所以．由（Ⅱ）知在區間上單調遞增，因此．………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）數列=1\*GB3①具有性質；數列=2\*GB3②不具有性質．………………4分（Ⅱ）假設數列具有性質，則中存在項遞增數列和項遞減數列．因為，所以為，為．所以任意，在中至少有一項.因為中有項，所以存在在中恰出現一次，不妨記為.記，則必有．因為遞增，遞減，所以數列中排在前面的項至少有，共項，排在后面的項至少有，共項．因為數列中有項，所以是第項，即.這與題設矛盾，所以假設不成立，故數列不具有性質．………………9分（Ⅲ）當數列具有性質時，記的項遞增子列為和項遞減子列為，由（=2\*ROMANII）知，數列中恰有一項既是的項也是的項，記，所以．所以數列