8.1平方根（第一課時)【教材分析】平方根是認識無理數的開端數系，是人教版七年級下冊第八章《實數》第一節的內容。開平方運算是基于學生在已經掌握了加、減、乘、除、乘方幾種運算的基礎上又生長出的一種新運算。作為一節重要的基礎概念課，平方根能讓學生感受數系的發展、運算體系的完備，為以后學習其它方根和運算打下基礎，也為后續解高次方程提供思路。【教學重難點】理解平方與開平方運算互為逆運算、平方根的符號表達.【學情分析】七年級學生已經具備數與代數的相關知識基礎，并且上學期已在有理數范圍內學習過四則運算和乘方運算，有一定的知識儲備。同時具有強烈的好奇心和學習熱情，但是抽象意識淡薄，所以本節課應從整體把握教學內容，注重知識的系統性，了解知識的產生和來源，從學生的已有知識經驗出發，類比學習新知，使學生經歷層次清晰的完整的抽象過程.【學習目標】經歷已知一個數的平方，求這個數的逆向思維的求解過程，能抽象平方根的定義，會用根號表示一個數的平方根，發展符號意識；能根據開平方與平方互為逆運算的關系，求一個完全平方數的平方根，發展運算能力和應用意識；能通過實例歸納平方根的性質，體會從特殊到一般的思想.【教學思路】本節課牢牢抓住平方運算與開平方運算互為逆運算的關系，并以此作為學生學習新知的生長點，類比加減、乘除分別互為逆運算提出問題：乘方是否也有逆運算？從而喚醒學生學習經驗，實現知識有序生長。通過具體例子，在“從特殊到一般”思想的指引下，學生在教師引導下歸納出平方根的定義、性質。關于平方根的符號表達較抽象是本節課的難點，通過面積為2的正方形求其邊長的實際問題，揭示認知困境，讓學生體會到引入新符號的必要性與合理性；通過“根號的演變”，滲透數學歷史文化，增加了課程的人文性和趣味性，讓學生更好的理解數學符號，會用數學的語言表達現實世界.【教學過程】環節一：梳理回顧子問題1：新運算的引入問題情境1.1：從小學到現在我們學習了很多數，上初中后，我們引入了什么數？是因為什么需要？所以數的范圍擴充到了有理數，關于有理數，學習了哪些知識？解決策略：學生回顧知識說出上初中后引入了負數，教師通過舉例引導提示學生因為實際需要及運算需要引入負數，讓學生體會數系的擴充。學生通過回顧有理數相關知識切入本章學習，厘清了前后知識的脈絡聯系。問題情境1.2：關于有理數的運算，我們學習了哪幾種？根據學習經驗乘方運算有逆運算嗎?解決策略：學生回顧已學過的加、減、乘、除、乘方運算，感受新運算的存在，體會運算體系的完備是“情理之中”。問題情境1.3：根據學習經驗，運算學什么?解決策略：通過問題喚醒學生學習經驗，教師點撥，引導學生類比已學運算說出新運算研究的路徑是：定義、符號、性質、應用。環節二：概念生成子問題2：開平方、平方根的定義問題情境2.1：什么是平方運算？3?放在實際情境中可以解決什么問題？解決策略：學生思考問題并回答，平方運算是求幾個相同因數的積，放在實際情境中可解決已知正方形的邊長求面積的問題。通過梳理平方運算的算理和應用為開平方運算的合理得出做準備。問題情境2.2：以32為例，平方運算是已知底數、指數求冪，那么平方運算的逆運算是已知什么求什么？可以解決什么實際問題？這樣的運算叫什么運算？結果叫什么？解決策略：學生類比加法與減法、乘法與除法的關系，借鑒平方運算的應用得出逆運算可以解決已知正方形的面積求邊長的問題，進行思考：？2=9？從而得出：平方運算的逆運算是已知冪、指數，反過來求底數，學生在這個過程中體會到學習平方逆運算的必要性與合理性。教師引導并指出這樣的逆運算叫開平方運算，結果叫平方根，揭示課題平方根。問題情境2.3：像這樣的例子很多，例如：？2=36，誰叫36的平方根？或36的平方根是誰?？2”=1，？2=425”解決策略：學生口答，教師引導。讓學生在解決問題的過程中感受平方運算的逆運算其結果有兩個，進而對平方根有一定的感性認識，為歸納平方根的概念做鋪墊。問題情境2.4：通過以上具體例子，你能嘗試給平方根下個定義嗎?解決策略：學生思考并分享。教師引導學生結合上述實例歸納平方根的概念，并在學生總結不到位時加以修正。如果x2=a,那么x叫a的平方根；求一個數平方根的運算叫開平方運算。讓學生體會通過觀察、歸納發現一般結論的方法。環節三：性質歸納子問題3：平方根的性質問題情境3.1：知道了開平方運算與平方運算互為逆運算，下面我們從具體例子出發歸納平方根的性質，你能根據定義求出下列各數的平方根嗎?解決策略：出示例1：求出下列各數的平方根。(1)64;(2）m；(3)0.01;(4)0;教師引導學生從開平方運算與平方運算互為逆運算的角度解題，并規范書寫格式。接著教師讓學生說出一個自己喜歡的數，請同桌算出它的平方根，再次鞏固開平方運算，為接下來歸納平方根的性質提供實例。值得一提的是如果學生喜歡的數不是完全平方數，那么為接下來平方根的符號表達提供了問題素材。問題情境3.2：觀察上述例子的共性，你能得出哪些結論？解決策略：學生獨立思考，歸納共性，師生共同總結得出：正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的相反數是0。問題情境3.3：還有哪些數的平方根問題沒有研究？你還能想到什么問題？有什么結論?解決策略：學生在問題的引導下獨立思考，提出負數的平方根問題，教師引導學生根據平方運算、平方根的定義得出：在所認識的數中，任何一個數的平方都不是負數，所以負數沒有平方根。通過問題串引導學生發現和提出問題，培養學生的代數推理能力和歸納能力。環節四：符號表達子問題4：開平方運算用符號如何表達？問題情境4.1：面積為2的正方形邊長是多少？解決策略：教師出示面積為2的網格正方形，學生思考邊長為多少？很顯然，沒有哪個有理數的平方是2，所以學生難住了。教師根據學生的認知困境，結合學生的回答，提出可以用符號來刻畫這一結論，學生體會到引入符號的必要性，發展了符號意識。問題情境4.2：2的平方根應該怎樣表示?解決策略：教師出示并講解“根號”的演變：古埃及人用記號“”表示平方根；印度人在開平方時，在數字前面寫上“ka”;1840年后，德國人用一個“。”表示平方根；1525年，德國數學家魯道夫在他的代數著作中，首先采用了根號，比如他寫√4是2，√9是3，但是這種寫法未得到普遍的認可與采納；經過一代代數學家的努力，直到十七世紀，法國數學家笛卡爾使用了一種符號一根號”√”，得到了普遍認可，并沿用至今。結合資料教師指出：一種符號的普遍采用不是某一個人憑空臆造出來的，是數學家們集體智慧的結晶。教師講解“2”的平方根的表示方法：土√/2，土代表一個正數有兩個平方根，左上角的2代表根指數，根指數是2的時候可以省略，根號下的2表示被開方數，同時強調根號也是運算符號，表示進行開平方運算。問題情境4.3：任意一個數的平方根如何表示？解決策略：學生回答，教師引導并板書：+√a表示數a的正平方根，一√a表示數a的負平方根，合起來士√a表示數a的平方根。教師追問：a可以取任意數嗎？學生根據平方根的性質說出平方根的表示需要有附加條件：a≥0。由于符號表達抽象，教師設計如下表格來鞏固學習成果，由學生思考后回答。算式±√49-√0.81√表示意義計算結果環節五：學以致用子問題5：開平方運算的應用問題情境5.1：例2：下列各數有平方根嗎？如果有，求它的平方根；如果沒有，說明理由.(1)1.21(2)-5(3)(-4)2（4）1解決策略：（1）教師示范引領，（2）（3）（4）學生板演，要求學生用數學符號表達。教師追問：通過以上例子，如何求一個數的平方根？學生小組討論并回答，教師總結三步計算法，第一步：查戶口（判斷數的類型，該化簡的化簡，該計算的計算）；第二步：找朋友（記住常用數的根）；第三步：驗身份（反向驗證答案）。通過三步法生動形象闡釋了如何求一個數的平方根，深化了學生對平方根概念的理解，同時規范了求解平方根的書寫格式。問題情境5.2：例3：求下列式子中x的值.(1)x2=81(2)(2x-1)2=81解決策略：學生利用平方根的概念嘗試求解，并在全班分享。教師追問：換個角度觀察有沒有新的發現？引導學生說出這是一個一元二次方程。教師點撥：剛才尋找平方根的過程，就是求x的值，相當于解方程，利用開平方運算可解形如x2=a（a≥0）的方程。(1)和（2）有一定關系，均是“？2=25”模型，“?”可以是字母，也可以是含x的多項式，可以進行很多變式，模型觀念滲透其中。本例題讓學生感受到開平方運算的降次功能，感受到知識從哪里來還知道了知識要到哪兒去。環節六：課堂小結子問題6：本節課我們學習了什么知識？我們是如何研究平方根的？你認為接下來可以研究什么問題？解決策略：教師提出問題，學生回顧分享。教師總結并呈現本節課學習的知識、研究方法路徑及接下來要研究的內容。環節七：作業布置1.課本第46-47頁習題8.1第1、6題;2.課下查閱數學史，了解數的發展歷程；3.帶著下列問題閱讀課本第48-49頁內容，并試著給出解答：（1）什么是立方根？（2）請嘗試規劃研究“立方根”的路徑.【課后反思】本節課在充分了解學生學情的基礎上，通過梳理回顧，讓學生感受到數域的擴充與運算的擴展。在探究平方運算的逆運算時，類比加減、乘除分別互為逆運算的算理，由學生發現、提出逆運算是已知冪、指數反過來求底數。同時借助逆運算的實際應用讓學生感受到學習新知的必要性。對于一種新的運算，研究的路徑一般是定義、表示、性質、應用，因為符號較抽象，擔心學生“只能會形，不能會意”，所以采用了新教材的“延遲符號化”策略：先性質后符號。事實證明是正確的，學生在充分理解掌握平方根的定義之后，“根號的演變”幫助學生很好的理解掌握了根號。在開平方運算的應用上，設置了兩道例題，第一道要求會求一個數的平方根，并會用數學符號表達，是基礎；第二道拓展題，會用開平方運算求形如“x2=a