2025年中考數學一輪復習

第23講四邊形

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，E是口的邊CD的中點，延長/￡交2C的延長線于點/，若/BAF=90°,BC=5,EF

A.6B.8C.10D.12

2.如圖，在平面直角坐標系中，點/,8在第一象限，點。在x軸正半軸上，且NC與08互相垂直平分,

。為垂足，連接CM,AB,BC.反比例函數y=又（％>0）的圖象經過點。，與。/相交于E.若點2的

坐標為（8,4）,則點E的坐標是（）

A.(V2,1V2)B.(1V3,1V3)C.(1V5,1V5)D.(乃，|V6)

3.在復習特殊的平行四邊形時，某小組同學畫出了如下關系圖，組內一名同學在箭頭處填寫了它們之間

轉換的條件，其中填寫錯誤的是（）

A.①對角相等B.②有一組鄰邊相等

C.③有一組鄰邊相等D.④有一個角是直角

4.如圖，在正方形45。中，點￡、點尸分別是N5和8C邊的中點，連接DE、/尸交于點尸，連接CP

和。下，若/BCP=CL,則NCP尸的度數為（）

AD

5.如圖，四邊形NBC。中，對角線4C、5。相交于點O,下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的

是()

三-----__D

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

6.如圖，在口45。。中，對角線4c與5。相交于點。，E是邊CD的中點,連接OE.若/48C=50°,

NA4C=80°,則N1的度數為()

BC

A.60°B.50°C.40°D.25°

7.如圖，平面直角坐標系中，正方形O/2C的頂點。為原點,點、B(2,2),對角線的交點為M,CD平

分NOCA,交05于點。，交ON于點￡,則點。的坐標為()

八y

Cr_______________J

X

0EA0C

B.()C.(V2—1/V2--1)D.(2-V2,2-V2)

8.如圖，在矩形45C。中，48=2,對角線4C與AD相交于點。，4E垂直平分05于點E,則的長

為（)

9.我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看,

景色宛如鑲嵌于一個畫框之中.圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角N1的大小為（）

圖1圖2

A.22.5°B.45°C.60°D.135°

10.如圖，某型號千斤頂的工作原理是利用四邊形的不穩定性，圖中的菱形/BCD是該型號千斤頂的示意

圖，保持菱形邊長不變，可通過改變NC的長來調節3。的長.已知N3=30c⑶8。的初始長為30cm,

如果要使BD的長達到36cm,那么AC的長需要縮短（

A.6cmB.8cm

C.(30V3-36)cmD.(30A/3—48)cm

二.填空題（共5小題）

11.如圖，在矩形/BCD中，AD=5,DC=1,菱形EFG”的三個頂點￡,G,〃分別在矩形/8C〃的邊

連接CF.當△產CG的面積為通時，0G的長為

12.如圖，正八邊形/BCD所G”的對角線/尸，77。交于點M,則N4WH的度數是

HG

13.如圖，在正方形45CD中，點E為CD上靠近點。的三等分點，點尸為5C的中點，以斯為直角邊,

4G

點￡為直角頂點向右構造等腰RtZkEFG,連接/G、CG,則仁的值為.

14.如圖，在矩形4BCD中，AB=6,40=12,￡是線段4D上一動點，以E為直角頂點在E2的右側作

等腰三角形EBF,連接。9，當點尸落在矩形ABCD的對角線上時，則。尸的長

為___________________.

15.如圖是由6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網格，菱形的頂點稱為格點，已知菱形的一個角(/

0)為60°,點、A,B,C都在格點上，貝！Jsin//BC的值是.

三.解答題(共5小題)

16.如圖，在矩形/BCD中，E為AB邊上一點、,EC平分NDEB,尸為CE■的中點，連接/RBF,過點￡

作分別交//，CA于G,〃兩點.

(1)求證：AB=DE；

(2)請判斷NF,3尸的位置關系，并說明理由.

17.如圖，平分凡點4是射線期上一點，過點/作NO〃3N交8G于點。，過/作N￡_L8N,

過點D作DF1BN.

(1)求證：四邊形/EFD是矩形；

(2)在3尸上取點C使得CF=3E,連接/C、CD.求證：ACLBD.

18.如圖，在口/BCD中，/￡_L3C于點￡,延長BC至點/，使CF=BE,連接。凡AF與DE交于點、O.

(1)求證：四邊形/EFD為矩形；

(2)若48=3,OE=2,BF=5,求DF的長.

19.如圖，在四邊形/BCD中，AB//DC,AB=AD,對角線NC,BD交于■點、O,AC平分/B4D,過點C

作CEL4S,交的延長線于點￡,連接。￡.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形.

(2)若48=5,BD=6,求OE的長.

20.如圖，在矩形中，點尸是2C上一點，且CF=23凡CELAF,垂足為點E,/BCE=3Q°.

(1)求證：AE=EF+CF；

(2)若ND=6c加，點尸是AD上一動點，以1c機/s的速度從點/運動到點D,問：點尸運動多少秒四

邊形NFCP是菱形？請說明理由.

2025年中考數學一輪復習

第23講四邊形

選擇題（共10小題）

I.如圖，￡是口/BCD的邊CD的中點，延長/￡交8C的延長線于點凡若NBAF=90°,BC=5,EF

=3,則CD的長是（）

A.6B.8C.10D.12

【考點】平行四邊形的性質.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質得出4D〃8C,AB//CD,證出ND=/ECF,由全等三角

形的性質得出4B=￡F=3,由平行線的性質證出//￡￡>=//=90°,求出DE,即可得出CD的長.

【解答】解：?..四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

；./DAE=/F,ND=NECF,

是口ABCD的邊CD的中點，

：.DE=CE,

在△4DE和中，

（/DAE=/F

JZD=4ECF，

{DE=CE

.?.△4DE沿AFCE（AAS）,

:.AE=EF=3,

,JAB//CD,

：.ZAED=ZBAF=9Q°,

在△/￡(￡中，AD=BC=5,

22

:.DE=<AD-AE=7s2-32=4,

：.CD=2DE=8.

故選：B.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性

質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

2.如圖，在平面直角坐標系中，點3在第一象限，點C在x軸正半軸上，且/C與03互相垂直平分,

。為垂足，連接CM,AB,BC.反比例函數y=[0：>0）的圖象經過點。，與。/相交于E.若點8的

坐標為（8,4）,則點￡的坐標是（）

A.（V2,1V2）B.（1V3,1V3）C.（1V5,1V5）D.（遍，1V6）

【考點】菱形的判定與性質；反比例函數圖象上點的坐標特征.

【專題】反比例函數及其應用；矩形菱形正方形；應用意識.

【答案】D

【分析】由中點坐標公式可求點。坐標，由反比例函數的性質可求后的值，將各選項坐標代入可求解.

【解答】解：與互相垂直平分，點3的坐標為（8,4）,

...點。的坐標為（4,2）,

.,"=4X2=8,

，只有選項D的坐標滿足人=逐x警=8,

故選：D.

【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，菱形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題

的關鍵.

3.在復習特殊的平行四邊形時，某小組同學畫出了如下關系圖，組內一名同學在箭頭處填寫了它們之間

轉換的條件，其中填寫錯誤的是（)

A.①對角相等B.②有一組鄰邊相等

C.③有一組鄰邊相等D.④有一個角是直角

【考點】平行四邊形的性質.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】A

【分析】根據平行四邊形的性質和矩形、菱形、正方形的判定定理，對它們之間轉換的條件一一進行分

析，即可得出結果;

【解答】解：/、①，對角相等的平行四邊形，不一定是矩形，故該轉換條件填寫錯誤，符合題意;

B,②，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該轉換條件填寫正確，不符合題意；

C、③，有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故該轉換條件填寫正確，不符合題意；

。、④，有一個角是直角的菱形是正方形，故該轉換條件填寫正確，不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、矩形和菱形、正方形的判定，解本題的關鍵在熟練掌握矩形、

菱形、正方形的判定定理；

4.如圖，在正方形45CD中，點￡、點尸分別是48和8C邊的中點，連接。￡、AF交于點、P,連接CP

和。尸，若/BCP=oc,則/CPF的度數為（）

CY0（

A.45。-抗B.45。+^C.90°-aD.90°-2a

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】延長/RDC交于G,證明(”S),可得//PE=90°=ADPG,再證4/8產

^AGCF(ASA),可得CP為Rtz\DPG斜邊上的中線，故NCPF=/G,即得/CPP+/CPP+(a+90°)

ct

=180°,NCPF=45°一全

【解答】解：延長4R。。交于G,如圖:

???四邊形/BCD是正方形，

:?AB=AD=BC=CD,ZDAE=ZB=90°

■:E,F是4B,5。的中點,

：.AE=^AB=^BC=BF,

???△DAE義AABF(&4S),

???ZADE=/BAF,

VZADE+ZAED=90°,

ZBAF+ZAED=90°,

AZAPE=90°=/DPG,

VZB=ZGCF=90°,BF=CF,/AFB二/GFC,

：.AABF^AGCF(ASA)f

：.AB=CG,

：.CG=CD,

：.CP為Rt△。尸G斜邊上的中線,

：.CP=^DG=CG,

:"CPF=/G,

9：ZCPF+ZG+ZPCG=180°,

：.ZCPF+ZCPF+（a+90°）=180°,

CY

：.ZCPF=45a--

故選：A.

【點評】本題考查正方形性質及應用，涉及全等三角形判定與性質，解題的關鍵是作輔助線，構造全等

三角形解決問題.

5.如圖，四邊形/BCD中，對角線/C、3。相交于點。，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的

是（）

月女------------------

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

【考點】平行四邊形的判定.

【答案】B

【分析】利用平行四邊形的判定方法：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）兩組對邊分

別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（4）兩組對角分別相

等的四邊形是平行四邊形.（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行分析即可.

【解答】解：/、可利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是

平行四邊形，故此選項不合題意；

B、AB//DC,。不能判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；

C、AO=CO,。可利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形，

故此選項不合題意；

D、AB=DC,可利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形,

故此選項不合題意；

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握平行四邊形的判定定理.

6.如圖，在中，對角線NC與3。相交于點。，￡是邊CD的中點，連接0E.若N/3C=50°,

NA4C=80°,則N1的度數為（）

A.60°B.50°C.40°D.25°

【考點】平行四邊形的性質；三角形中位線定理.

【專題】多邊形與平行四邊形.

【答案】B

【分析】直接利用三角形內角和定理得出NBC4的度數，再利用三角形中位線定理結合平行線的性質

得出答案.

【解答】解：'：ZABC=50°,/B/C=80°,

AZSC4=180°-50°-80°=50°,

:對角線/C與8。相交于點O,￡是邊CD的中點，

是△OBC的中位線，

：.EO//BC,

；./l=N/C2=50

故選：B.

【點評】此題主要考查了三角形內角和定理、三角形中位線定理等知識，得出E。是△D2C的中位線是

解題關鍵.

7.如圖，平面直角坐標系中，正方形O42C的頂點。為原點，點3（2,2）,對角線的交點為CD平

分/交03于點。，交。/于點￡,則點。的坐標為（）

C.(a-1,V2-1)D.(2-V2,2-V2)

【考點】正方形的性質；相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質.

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】過點￡作即，/。于點凡過點。作CM于點區延長他交3C于點G,根據點8的

坐標得出正方形的邊長，即可求出對角線/C的長，根據角平分線的性質得出OC=CF,OE=EF,求

出N尸的長即可得出O￡的長，再根據正方形的性質證得根據相似三角形對應高之比

等于相似比即可求出。〃的長，最后根據所為等腰直角三角形即可得出點。的坐標.

【解答】解：過點￡作于點凡過點。作。于點“，延長交3C于點G,

:四邊形。/8C為正方形，

：.OA=AB=BC=OC,ZOAB=ZABC=ZBCO=ZCOA=900,ZOAC=ZAOB=45°,BC//OA,

■:點、B(2,2),

OA=AB=BC=OC=2,

由勾股定理得/C=Voc2+OA2=V22+22=2V2,

：。￡)平分/。山，NCO4=/EFC=9Q°,

：.ZOEC=ZFEC,OE=EF,

：.OC=CF=2,

：.AF=AC-CF=2V2-2,

:NEE4=9Q°,ZOAC=45a,

...△NE/是等腰直角三角形，

：.EF=AF=2V2-2,

?.OE=2V2-2,

'：BC//OA,DHLOA,

：.DG±BC,

:.DG=OC=2,

■:BC//OA,

:.叢BCDs叢OED,

.BCDG

??_-，

OEDH

,22—DH

2V2-2一DH，

：.DH=2-V2,

VZAOB=45°,

是等腰直角三角形，

：.0H=2-V2,

.?.點。的坐標為（2—魚，2-V2）,

故選：D.

【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，角平分線的性質，勾股定理，坐標與圖

形性質，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵.

8.如圖，在矩形NBC?中，AB=2,對角線NC與50相交于點O,/￡垂直平分05于點￡,則3C的長

【考點】矩形的性質；線段垂直平分線的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】B

【分析】由矩形的性質和線段垂直平分線的性質可證是等邊三角形，可得/24。=60°,即可求

解.

【解答】解：???四邊形N5CD是矩形，

；.A0=B0=C0=D0,

垂直平分0B,

：.AB=A0,

:?AB=AO=BO,

???△405是等邊三角形,

AZBAC=60°,

：.BC=7142=2技

故選:B.

【點評】本題考查了矩形的性質，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性

質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

9.我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看,

景色宛如鑲嵌于一個畫框之中.圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角N1的大小為（）

圖I圖2

A.22.5°B.45°C.60°D.135°

【考點】平面鑲嵌（密鋪）；多邊形內角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】B

【分析】由多邊形的外角和定理直接可求出結論.

【解答】解：???正八邊形的每一個外角都相等，外角和為360。，

,它的一個外角/I=360°4-8=45°.

故選：B.

【點評】本題考查了多邊形外角和定理，平面鑲嵌等知識點，掌握外角和定理是解題的關鍵.

10.如圖，某型號千斤頂的工作原理是利用四邊形的不穩定性，圖中的菱形是該型號千斤頂的示意

圖，保持菱形邊長不變，可通過改變NC的長來調節3。的長.已知A8=30c%,AD的初始長為30c〃z,

如果要使BD的長達到36cm,那么AC的長需要縮短（）

B

A.6cmB.8cm

C.(30V3-36)cmD.(3073-48)cm

【考點】多邊形；三角形的穩定性.

【專題】矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】D

11

【分析】設/。與交于點。，4。于8。交于點由菱形的性質得80=230=15"[,D'O'=^BD'

=\8cm,AC=2AO,A'C=2A'O',BDLAC,BD'LA'C,在RtZ\/O3中由勾股定理可求出40=1575c加，

則/C=2/O=30百c%,在RtZU'OZT中由勾股定理可求出/'O』24c〃?，則力。=2HO』48c〃?，然后再

求出NC-/,。即可.

【解答】解：設/C與AD交于點。，4。于3。交于點O,如下圖所示：

依題意得：四邊形/BCD,四邊形48。。均為菱形，且4S=N77=30cm,BD=30cm,BD'=36cm,

1I

：.BO=^BD=\5cm,D'O'=^BD'=l?,cm,AC=2AO,A'C'=2A'O',BDLAC,BD'LA'C,

在RtZX/OB中，AB=30cm,B0=15cm,

由勾股定理得：AO=7AB2—B(fi=15V3(cm),

；.4C=240=30V3cm,

在RtZ\4O'。中，A'D'=30cm,D'O'=18cm,

由勾股定理得：4。'=-DU=24(cm),

：.A'C'=2A'O'=48cm,

：.AC-A'C=(30V3-48)cm,

即要使BD的長達到36cm,那么AC的長需要縮短(30遮-48)cm.

故選：D.

【點評】此題主要考查了菱形的性質，勾股定理，熟練掌握菱形的性質，靈活利用勾股定理進行計算是

解決問題的關鍵.

二.填空題(共5小題)

11.如圖，在矩形中，4D=5,DC=1,菱形EFG8的三個頂點E,G,X分別在矩形/BCD的邊

AB,CD,DA±,DH=3,連接CF.當△/CG的面積為近時，0G的長為

【考點】矩形的性質；三角形的面積；菱形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】7-痘.

【分析】作W_LDC,”為垂足，連接GE,可以證明'之則W=H4=2,即無論菱形

EFG8如何變化，點尸到直線CD的距離始終為定值2.根據△尸CG的面積就可以解出GC,DG的長.

【解答】解：作FA1LDC,"為垂足，連接GE,

,:AB〃CD,

：.NAEG=ZMGE,

■:HE//GF,

：./HEG=NFGE,

：.NAEH=ZMGF.

在△///￡和△VFG中，ZA=ZM=90°,HE=FG,

：.AAHE%AMFG.

：.FM=HA=2,即無論菱形EFG//如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2.

因此S&FCG=1X2GC=V5,解得GC=V5,

:.DG=1-瓜

故答案為：7-瓜

DGCM

O

【點評】本題考查了矩形的性質，解決本題的關鍵是了解無論菱形斯G8如何變化，點尸到直線CD

的距離始終為定值2,難度不大.

12.如圖，正八邊形/BCDEFGX的對角線4F,加交于點M,則N/MZ的度數是67.5°.

HG

【考點】多邊形內角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】67.5.

【分析】先求出/NHG=/M43=135°,再根據正八邊形的性質求出//HD和最后根據三角

形的內角和即可求得.

【解答】解：：八邊形ASCDEFGH為正八邊形,

：/4HG=NHAB=180°-360°4-8=135°，

:正八邊形48CDEFG8的對角線4F,HD,

1

:./AHD=q/AHG=675°,

NE4B=90°，

：.ZMAH^135°-90°=45°,

?.Z^Affir=180°-45°-67.5°=67.5°.

故答案為:67.5.

【點評】本題主要考查多邊形內角和外角，解題的關鍵是熟練掌握正多邊形的性質.

13.如圖，在正方形N5CD中，點E為CD上靠近點。的三等分點，點尸為3c的中點，以斯為直角邊,

點￡為直角頂點向右構造等腰RtAEFG,連接/G、CG,則上的值為_.

Cu17

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力；推理能力.

…川5^85

【答案］—

【分析】過點G作GM1CD于M,GM的延長線交AB于N,根據點E為CD上靠近點D的三等分點，

設DE=2a,則EC=4a,AB=BC=DC=AD=6a,BF=CF=3a,證明四邊形/WD和四邊形8CW

均為矩形，則BN=CM,再證明△尸EC和△EGM全等得CP=EM=3a,EC=GM=4a,

則BN=CM=CE-EM=a,GN=GM+MN=10a,AN=AB-BN=5a,然后由勾股定理分別求出

ZG

AG—5V5a,CG=據此可得力的值.

CG

【解答】解：過點G作GMLCD于GM的延長線交于N,如下圖所示：

；點、E為CD上靠近點D的三等分點,

:.設DE=2a,貝!j￡C=4a,

:.CD=DE+EC=6a,

:四邊形/BCD為正方形，

：.AB=BC=DC=AD=6a,/ABC=/BCD=/D=/DAB=90°,

;點尸在BC的中點,

：.BF=CF=3a,

,/GMLCD于M,GM的延長線交.AB于N,

四邊形MWD和四邊形3cMN均為矩形，

.,.MN=AD=6a,BN=CM,

???△EFG為等腰直角三角形，且點E為直角頂點，

:?EF=EG,ZFEG=90°,

AZFEC+ZMEG=90°,

VZBCD=90°,GMLCD,

：.ZFCE=ZEMG=90°,

：?/MEG+/EGM=90°,

???NFEC=ZEGM,

在△bEC和△EGM中,

ZFCE=ZEMG=90°

'乙FEC=^EGM，

^EF=EG

:.△FECmAEGM(AAS)f

:?CF=EM=3a,EC=GM=4a,

:?BN=CM=CE-EM=4a-3a=a,GN=GM+MN^^a+6a=1Otz,

:?AN=AB-BN=6a-a=5a,

在RtZXNGN中，由勾股定理得：AG=y/AN2+GN2=5V5a,

在RtZkGCM中，由勾股定理得：CG=>JGM2+CM2=V17a,

,AG_5島5屈

"CG~y[V7a~17,

【點評】此題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理

等，理解正方形的性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質，靈活運用勾股定

理進行計算是解決問題的關鍵.

14.如圖，在矩形4BCD中，AB=6,40=12,￡是線段4D上一動點，以E為直角頂點在E2的右側作

等腰三角形EBF,連接DF,當點F落在矩形ABCD的對角線上時，則DF的長為2郭或6.

【考點】矩形的性質；解直角三角形；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質.

【專題】函數及其圖象；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；解直角三角形及其應用；推理

能力.

【答案】2有或6.

【分析】由“44S”可證LABEmAHEF,可得4B=EH=6,AE=HF,分兩種情況討論，由銳角三角

函數可求解.

【解答】解：如圖，過點尸作切，于X,

/.ZFHE=ZBEF=90°=ZBAE,

：.ZABE+ZAEB^90°=ZAEB+ZFEH,

：.ZABE=ZFEH,

又,：BE=EF,

:.XABEeMHEF(44S),

；?AB=EH=6,AE=HF,

設AE=HF=x,

.\DH=12-6-x=6-x,

40Up1

當點尸在上時，tanN4D5=而=而=a，

.x1

??—二，

6-x2

??x=2,

:?HF=2,DH=4,

：.DF=7HD2+HF2=V4+16=2V5,

當點尸在NC上時，tan/ZX4C=^=黑=*,

?X___1

??—_,

6+x2

??x=6,

：.HF=6,DH=3

二點下與點c重合，點〃與點。重合，

：.DF=6,

【點評】本題考查了矩形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數等

知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

15.如圖是由6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網格，菱形的頂點稱為格點，已知菱形的一個角（/

V21

。）為60°,點、A,B,C都在格點上，貝！Isin//2C的值是—〒

【考點】菱形的性質；解直角三角形.

【專題】矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】見試題解答內容

AI7

【分析】如圖，連接口、EC,先證明N/￡C=90°,E、C、8共線，再根據sin//8C=器，求出4E1、

AB即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接EN,EC,

設菱形的邊長為。，由題意得//即=30°,/CEF=60°,

.,./￡=2cos30°'a—43a,EC=a,

則ZC=2a,

：.AE2+CE2^AC2,

：.ZAEC=90°,

ZACE=60°,

AZACE^ZACG=ZBCG=60°,

：.Z￡CS=180°,

；.E、C、3共線，

在RtzXABB中，sinZABC=空=簿=里.

AB"a7

故答案為：

E

【點評】本題考查菱形的性質，三角函數、特殊三角形邊角關系等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造

直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，在矩形/2C。中，E為48邊上一點，EC平分/DEB,尸為CE的中點，連接NRBF,過點E

作分別交4尸，CD于G,〃兩點.

（1）求證：AB=DE-,

（2）請判斷NF,3尸的位置關系，并說明理由.

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】（1）證明見解析；

（2）AFLBF,理由見解析.

【分析】（1）由矩形的性質得出=根據平行線的性質得出根據角

平分線的定義得出ND￡C=N3￡C,于是有/DCE=/DEC,根據等角對等邊得到于是問題

得證；

（2）連接。R先證和448尸全等，再證/DFC=90°,即可得出/凡8尸的位置關系.

【解答】（1）證明：???四邊形/5。是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.NDCE=ZBEC,

；EC平分/DEB,

：.ZDEC=Z.BEC,

：.NDCE=ZDEC,

：.CD=DE,

；.AB=DE；

(2)解：AFLBF,理由:

C.AB//CD,AB=CD,NABC=NBCD=9Q°,

:尸為CE的中點,

1

:.BF=^CE=CF=EF,

：.NFBA=/BEC,

,JAB//CD,

：.ADCE=/BEC,

：./DCF=ZFBA,

在△DCF和△NB/中，

CD=BA

乙DCF=乙ABF,

.CF=BF

.'.△DCF會44BF(SAS),

：.NDFC=ZAFB,

由(1)知CD=￡>E,尸為CE的中點，

C.DFLCE,

；./DFC=90°,

：.ZAFB=90°,

即AFLBF.

【點評】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，平行線的性質,

角平分線的定義，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵.

17.如圖，8。平分凡點N是射線5M上一點，過點/作N￡)〃3N交8G于點。，過/作NE_LBN,

過點D作DFLBN.

(1)求證：四邊形NEED是矩形；

(2)在BF上取點C使得CF=BE,連接/C、CD.求證：ACLBD.

【考點】矩形的判定與性質.

【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力.

【答案】(1)證明見解析過程;

(2)證明見解析過程.

【分析】(1)先判定四邊形/EFD是平行四邊形，然后由即可得解；

(2)先判定四邊形/BCD是平行四邊形，再由AD平分//2C和AD〃2c得出4D=/2,證出四邊形

/BCD是菱形，進而即可得證.

【解答】證明：(1)'CAELBN,DF1BN,

C.AE//DF,

'.'AD//EF,

：.四邊形NEED是平行四邊形，

'：AE±BN,

，四邊形/EFD是矩形；

(2)?.,四邊形4EFD是矩形，

C.AD//EF,AD=EF,

,:BE=CF,

：.BC=EF,

C.AD//BC,AD=BC,

/.四邊形/BCD是平行四邊形，

■:BD平分NABC,

：.ZABD=ZDBC,

,CAD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

：.ZABD=ZADB,

：.AD=AB,

，四邊形428是菱形，

：.AC±BD.

【點評】本題主要考查了特殊四邊形的判定和性質，角平線的性質等知識點，熟練掌握其判定和性質是

解決此題的關鍵.

18.如圖，在口A8CD中，/E_LBC于點E,延長至點尸，使CF=BE,連接DRAF與DE交于點、O.

(I)求證：四邊形AEFD為矩形；

(2)若/2=3,。￡=2,BF=5,求。尸的長.

【考點】矩形的判定與性質；平行四邊形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(1)證明見解析；

12

(2)—.

【分析】(1)先證四邊形NEED為平行四邊形，再證//即=90°,即可得出結論；

(2)由矩形的性質得AF=DE=4,再由勾股定理的逆定理得△氏4斤為直角三角形，ZBAF

=90°,然后由面積法求出NE的長，即可得出答案.

【解答】(1)證明：

:.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.AD=BC=EF,

又?：ADHEE,

四邊形/EFD為平行四邊形，

'：AELBC,

：.ZAEF=90°,

平行四邊形NEED為矩形；

(2)解：由(1)知，四邊形4E7XI為矩形，

：.DF=AE,AF=DE=2OE=4,

：4B=3,DE=4,BF=5,

：.AB2+AF2=BF2,

.?.△A4尸為直角三角形，ZBAF=90°,

11

S^ABF=2^xAF=《BFxAE,

：.ABXAF=BFXAE,

即3X4=54E,

.，口_12

.?AE=-g-,

12

：.DF=AE=昔.

【點評】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理的逆定理以及三角形面積

等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵.

19.如圖，在四邊形/BCD中，AB//DC,AB=AD,對角線/C,BD交于■點、O,4c平分/B4D,過點C

作交的延長線于點￡,連接。￡.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形.

(2)若48=5,BD=6,求OE的長.

【考點】菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)4.

【分析】(1)根據題意先證明四邊形是平行四邊形，再由43=/。可得平行四邊形/BCD是菱

形；

(2)根據菱形的性質得出03的長以及//。2=90°,利用勾股定理求出。/的長，再根據直角三角

形斜邊中線定理得出OE=AC,即可解答.

【解答】(1)證明：

：.ZCAB=ZDCA,

；AC為/D4B的平分線，

：.ZCAB=ZDAC,

：.NDCA=NDAC,

：.CD=AD,

；4B=AD,

:?AB=CD,

?:AB〃CD,

???四邊形是平行四邊形，

9：AD=AB,

???平行四邊形是菱形；

(2)解：,??四邊形45C。是菱形，對角線4C,BD交于點O,

11

：.AC.LBD,OA=OC=^ACfOB=OD=^BD,

1

：.OB=^BD=3,

在RtZ\4O5中，ZAOB=90°,

???OA=7AB2-OB2=V52-32=4,

U：CELAB,

：.ZAEC=90°,

在RtZ\ZEC中，ZAEC=90°,。為4C中點，

1

：.OE=^AC=OA=4.

【點評】本題主要考查了菱形的判定和性質、勾股定理、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識,

熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵.

20.如圖，在矩形中，點尸是BC上一點，且CF=23F,CELAF,垂足為點E,/BCE=3G°.

(1)求證：AE=EF+CF；

(2)若4D=6c〃z,點P是40上一動點，以ICTM/S的速度從點/運動到點。，問：點尸運動多少秒四

邊形4FC尸是菱形？請說明理由.

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定.

【專題】矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】(1)見解答過程；

(2)點尸運動4秒，四邊形NFC尸是菱形.

【分析】(1)根據四邊形/BCD是矩形，得出N8=90°,通過已知條件證明△/時名/(ASA),

再進行等量代換即可；

(2)設點尸運動f秒，四邊形/FCP是菱形，根據四邊形//CP是菱形，得出/尸=/F=CF=CP=K

根據題意列出方程解答即可.

【解答】(1)證明：：四邊形438是矩形，

.?.48=90°,

:AFLCE,

：.Z￡=90°,

：/EC尸=30°,

1

；.EF=?CF,

CF=2BF,

；?BF=EF,

又,:ZAFB=ZCFEf

?,.△ABFQdCEF(ASA)f

：.AF=CF,

*：AE=EF+AF,

：.AE=EF+CF；

(2)解：設點。運動f秒，四邊形/FCP是菱形，

???四邊形4"尸是菱形，

JAP=AF=CF=CP=t,

?/CF=2BF,

1

：.BF=^t,

*：AD=6,

：.BC=6,

1

t+t=6,

2

即：f=4,

...點P運動4秒，四邊形/尸。是菱形.

【點評】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，菱形的判定，矩形的性質，熟練掌握相關性質是解

答本題的關鍵.

考點卡片

1.坐標與圖形性質

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩個方面：①到X軸的距離與縱坐標有關，到

y軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數，在由距離求坐標時，需要加上恰當的

符號.

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問

題的基本方法和規律.

3、若坐標系內的四邊形是非規則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題.

2.反比例函數圖象上點的坐標特征

反比例函數（左為常數，kWO）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（x,＞）的橫縱坐標的積是定值左，即刈=怎

②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；

③在〉圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值臥

3.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即底x高.

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

4.三角形的穩定性

當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩定性.這一特性主

要應用在實際生活中.

5.全等三角形的判定與性質

（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關鍵是選擇恰當的判定條件.

（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角

形.

6.角平分線的性質

角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，

有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，V

C在的平分線上，CDLOA,CE±OB：.CD=CE

o

c

7.線段垂直平分線的性質

（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—