第十章二元一次方程組

10.1二元一次方程組的概念

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.認(rèn)識(shí)二元一次方程和二元一次方程組，體會(huì)二元一次方程和二元一次方程組都是反映數(shù)量

關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

2.了解二元一次方程和二元一次方程組的解，會(huì)檢驗(yàn)所給的一對(duì)未知數(shù)的值是否為二元一次

方程或二元一次方程組的解.

3.會(huì)求二元一次方程的正整數(shù)解.

【教學(xué)重點(diǎn)】理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的意義.

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.感知二元一次方程解的不確定性和二元一次方程組解的確定性.

2.求二元一次方程的正整數(shù)解.

【教學(xué)過(guò)程】

活動(dòng)一：舊知回顧，新課導(dǎo)入

［設(shè)計(jì)意圖］

回顧方程知識(shí)，為突破本課時(shí)重難點(diǎn)做準(zhǔn)備.

同學(xué)們，在七年級(jí)上冊(cè)，我們學(xué)習(xí)了一元一次方程，你還記得什么是一元一次方程嗎？“元”

“次”分別表示什么含義？請(qǐng)舉例說(shuō)明.

一般地，如果方程中只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)

都是1,這樣的方程叫作一元一次方程.如：2x+3=5,y+6=8.

用一元一次方程可以解決許多實(shí)際生活問(wèn)題.請(qǐng)大家思考教材P87引言中的問(wèn)題，對(duì)于此類含

有兩個(gè)未知量的問(wèn)題，我們能否根據(jù)題意設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，并列出方程解決問(wèn)題呢？

本節(jié)課我們將對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探究與學(xué)習(xí).

［教學(xué)建議］學(xué)生代表獨(dú)立回答，教師提示并總結(jié)，引出二元一次方程（組）的有關(guān)知識(shí).

活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究

［設(shè)計(jì)意圖］

以實(shí)際問(wèn)題為例，進(jìn)行分析探究，引入二元一次方程（組）的概念.

探究點(diǎn)1認(rèn)識(shí)二元一次方程（組）

某種棉大戶租用6臺(tái)大、小兩種型號(hào)的采棉機(jī)，1h就完成了8hm2棉田的采摘.如果大型采

棉機(jī)1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉機(jī)1h完成1hm2棉田的采摘，那么這個(gè)種棉大戶租

用了大、小型采棉機(jī)各多少臺(tái)？

問(wèn)題1問(wèn)題中包含了哪些必須同時(shí)滿足的相等關(guān)系？

①大型采棉機(jī)臺(tái)數(shù)+小型采棉機(jī)臺(tái)數(shù)=總臺(tái)數(shù)；

②大型采棉機(jī)1h采摘面積+小型采棉機(jī)1h采摘面積=1h采摘總面積.

問(wèn)題2設(shè)這個(gè)種棉大戶租用了x臺(tái)大型采棉機(jī)，y臺(tái)小型采棉機(jī)，你能用方程把這些相等關(guān)

系表示出來(lái)嗎？

這兩個(gè)相等關(guān)系可以分別用方程x+y=6,2x+y=8表示.

問(wèn)題3上面的兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)？它們與一元一次方程有什么不同？

這兩個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，左邊都是整式，所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.

與一元一次方程的不同點(diǎn)：比一元一次方程多一個(gè)次數(shù)為1的未知數(shù)，即有兩個(gè)未知數(shù).

概念引入：

一個(gè)方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,

像這樣的方程叫作二元一次方程.

上面的問(wèn)題中包含兩個(gè)必須同時(shí)滿足的相等關(guān)系，也就是未知數(shù)x,y必須同時(shí)滿足方程x+

y=6和2x+y=8.把這兩個(gè)方程合在一起，寫成x+y=6,2x+y=8,就組成了一個(gè)方程組.

［教學(xué)建議］學(xué)生獨(dú)立思考并完成相應(yīng)的問(wèn)題，教師引導(dǎo)學(xué)生一起得出二元一次方程和二元一

1

次方程組的概念.在識(shí)別二元一次方程（組）時(shí)，應(yīng)提醒學(xué)生注意二元一次方程（組）的三個(gè)特征：①

“二元”，即方程（組）中含有兩個(gè)未知數(shù)；②（方程組中的兩個(gè)）方程的兩邊都是整式；③“一次”,

即方程（組）所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.

概念引入：

一個(gè)方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是

1,一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

1.下列方程中，是二元一次方程的是（D）

A.3x—2y=4zB.6xy+9=0C.lx+4y=6D.4x—y-24

2.下列方程組中，是二元一次方程組的是（A）

［設(shè)計(jì)意圖］

結(jié)合問(wèn)題中未知數(shù)的實(shí)際意義，列舉出所有滿足方程的未知數(shù)的值，引入二元一次方程（組）

的解的概念.

探究點(diǎn)2二元一次方程（組）的解

下面我們繼續(xù)來(lái)探究上個(gè)

探究點(diǎn)中的問(wèn)題.

問(wèn)題1滿足方程x+y=6,且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的x,y的值有哪些？把它們填在表中.

結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義，采棉機(jī)臺(tái)數(shù)均為正整數(shù).

x12345

y54321

2x+y7891011

如果不考慮方程x+y=6與前面實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，那么x=-1,y=7；x=0.1,y=5.9；???

也都是這個(gè)方程的解.

概念引入：

一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解.

問(wèn)題2一個(gè)一元一次方程有幾個(gè)解？一個(gè)二元一次方程呢？

一個(gè)一元一次方程只有一個(gè)解，一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)對(duì)解.

問(wèn)題3結(jié)合在上表中填入的x,y的值，計(jì)算2x+y的值并填在表中.上表中哪對(duì)x,y的值

同時(shí)滿足方程2x+y=8.

x=2,y=4同時(shí)滿足方程2x+y=8.

x=2,y=4既滿足方程x+y=6,又滿足方程2x+y=8.也就是說(shuō)，x=2,y=4是方程x+y

=6與方程2x+y=8的公共解.我們把x=2,y=4叫作二元一次方程組x+y=6,2x+y=8的

解，這個(gè)解通常記作x=2,y=4.

概念引入：

一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫作二元一次方程組的解.

問(wèn)題4請(qǐng)聯(lián)系上面的問(wèn)題，確認(rèn)這個(gè)種棉大戶租用了多少臺(tái)大、小型采棉機(jī).

這個(gè)種棉大戶租用了2臺(tái)大型采棉機(jī)，4臺(tái)小型采棉機(jī).

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

1.教材P90習(xí)題10.1第1題.

2.若x=2,y=5是關(guān)于x,y的方程kx—2y=-2的一個(gè)解，則k的值為4.

［教學(xué)建議］學(xué)生獨(dú)立思考并完成表格，教師引導(dǎo)學(xué)生得出二元一次方程（組）的解的概念，加

深對(duì)該概念的理解.

二元一次方程組的解的特點(diǎn)：

①是一對(duì)數(shù)值，即x=a,y=b.

②同時(shí)滿足方程組中的每一個(gè)方程.

活動(dòng)三：重點(diǎn)突破，提升探究

［設(shè)計(jì)意圖］

以實(shí)際問(wèn)題為例，讓學(xué)生獨(dú)立完成由實(shí)際問(wèn)題建立方程模型，并結(jié)合實(shí)際意義求方程組的解

2

的過(guò)程.例觀察小紅與小明的對(duì)話，列出二元一次方程組，并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，確定成人、

兒童的人數(shù).

解：設(shè)成人的人數(shù)為X,兒童的人數(shù)為y.根據(jù)題意，得x+y=8,5x+3y=34.①②

因?yàn)閤,y均表示人數(shù)，所以x,y都是非負(fù)整數(shù).

在方程①中，滿足條件的x,y的值有

X012345678

y876543210

經(jīng)驗(yàn)證，x=5,y=3也是方程②的解.則二元一次方程組的解是x=5,y=3.

答：他們?nèi)チ?個(gè)成人，3個(gè)兒童.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

教材P89練習(xí).

［教學(xué)建議］學(xué)生分小組討論解答.教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定未知數(shù)的取值.

通常此類問(wèn)題中未知數(shù)是非負(fù)整數(shù)（或正整數(shù)），要具體問(wèn)題具體分析.

活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)

［課堂總結(jié)］師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

1.如何判斷一個(gè)方程（組）是不是二元一次方程（組）?

2.如何判斷一對(duì)數(shù)值是不是二元一次方程（組）的解？

【作業(yè)布置】

1.教材P90習(xí)題10.1第2,3,4,5題.

10.2消元一一解二元一次方程組

10.2.1代入消元法

第1課時(shí)用代入消元法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.了解解二元一次方程組的“消元”思想，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“化未知為已知”，“化復(fù)雜為

簡(jiǎn)單”的化歸思想.

2.了解代入消元法的概念，掌握代入法的基本步驟.

3.會(huì)用代入消元法求簡(jiǎn)單的二元一次方程組的解.

【教學(xué)重點(diǎn)】了解代入法的一般步驟，會(huì)用代入法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組.

【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)代入消元法解方程組的過(guò)程的理解.

【教學(xué)過(guò)程】

活動(dòng)一：回顧舊知，新課導(dǎo)入

［設(shè)計(jì)意圖］

回顧上節(jié)課的內(nèi)容，為引入新課做準(zhǔn)備.

在上節(jié)課中，我們探究了教材P87的問(wèn)題，通過(guò)設(shè)租用的大型采棉機(jī)的臺(tái)數(shù)為x,小型采棉

機(jī)的臺(tái)數(shù)為y,結(jié)合問(wèn)題中的相等關(guān)系，列出了二元一次方程組x+y=6,2x+y=8.①②之后我

們又結(jié)合未知數(shù)的實(shí)際意義，通過(guò)逐一嘗試的方法，找出了方程組的解.

很明顯這種方法較為受限且求解過(guò)程比較煩瑣，那有沒(méi)有一種簡(jiǎn)單的方法解方程組呢？

這節(jié)課我們繼續(xù)研究怎樣解二元一次方程組.

［教學(xué)建議］教師直接列舉不適合列表求公共解的實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究方程組其他解法的

興趣.

活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究

［設(shè)計(jì)意圖］

將解二元一次方程組與解一元一次方程相比較，引入將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的“消元”

思想，總結(jié)出用代入消元法解二元一次方程組的步驟.

探究點(diǎn)用代入法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組

問(wèn)題1對(duì)于教材P87的租用大、小型采棉機(jī)問(wèn)題，你能否列一元一次方程求解？

設(shè)這個(gè)種棉大戶租用了大型采棉機(jī)x臺(tái)，則租用了小型采棉機(jī)（6—x）臺(tái).

3

根據(jù)題意，得2x+(6—意=8.③

解得x=2.

則6—x=4.

這個(gè)種棉大戶租用了大型采棉機(jī)2臺(tái)，小型采棉機(jī)4臺(tái).

問(wèn)題2對(duì)于教材P87的問(wèn)題，采用不同的設(shè)未知數(shù)的方法，由問(wèn)題中的相等關(guān)系，可以分

別列出二元一次方程組和一元一次方程③.你能由所列出的二元一次方程組得到所列出的一元一

次方程③嗎？

方程①可以寫為y=6—x,因?yàn)榉匠挞佗谥械膟都表示租用小型采棉機(jī)的臺(tái)數(shù)，所以可以通

過(guò)等量代換，把方程②中的y換為6—x,即可得到方程③.解方程③，得x=2.把x=2代入y=6

-X,得y=4,從而得到這個(gè)方程組的解.

概念引入：

將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想.

把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一

個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法叫作代入

消元法，簡(jiǎn)稱代入法.

例1(教材P92例1)用代入法解方程組問(wèn)題1選擇哪個(gè)方程進(jìn)行變形會(huì)比較簡(jiǎn)便，為什

么？

選擇方程①進(jìn)行變形會(huì)比較簡(jiǎn)便，因?yàn)榉匠挞僦衳,y的系數(shù)的絕對(duì)值都是1.

問(wèn)題2用含y的式子表示x,寫出解答過(guò)程.

問(wèn)題3問(wèn)題2中的方程③可以代入方程①嗎？為什么？

不能.把方程③代入方程①后，會(huì)得到不含未知數(shù)的恒等式3=3,無(wú)法繼續(xù)求解.方程③由方

程①變形得到，不能代入原方程.

問(wèn)題4問(wèn)題2中的y=—l代入方程①或方程②，能求得x的值嗎？

能.代入方程①，②還需要進(jìn)一步變形才能求得x的值，代入方程③更簡(jiǎn)便.

問(wèn)題5方程①能否用含x的式子表示y來(lái)求解？試試看.能.

解：由①，得y=x—3.③

把③代入②，得3x—8(x—3)=14.解這個(gè)方程，得x=2.

把x=2代入③，得y=—1.所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=-l.

例2(教材P92例2)用代入法解方程組3x—5y=3,①2x—y=16.②

分析：方程②中y的系數(shù)是一1,用含x的式子表示y,再代入方程①，比較簡(jiǎn)便.

解：由②，得y=2x—16.③

把③代入①，得3x—5(2x—16)=3.

解這個(gè)方程，得x=ll.

把x=ll代入③，得y=6.

所以這個(gè)方程組的解是x=n,y=6.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

教材P93練習(xí)第1,2題.

［教學(xué)建議］學(xué)生分組討論合作完成問(wèn)題，感悟探究過(guò)程中所蘊(yùn)含的化歸思想.教師適時(shí)予以提

示或指導(dǎo)，最終引導(dǎo)學(xué)生得出代入消元法的概念.

［教學(xué)建議］教師注意規(guī)范學(xué)生的解題格式，并強(qiáng)調(diào)二元一次方程組的解是一對(duì)，應(yīng)寫成x=a,

y=b的形式.

在用代入法解二元一次方程組時(shí)，若未知數(shù)的系數(shù)比較復(fù)雜，可將求得的解回代入方程組進(jìn)

行檢驗(yàn).

活動(dòng)三：重點(diǎn)突破，提升探究

［設(shè)計(jì)意圖］

將二元一次方程組的解與解二元一次方程組結(jié)合，加深對(duì)概念的理解，強(qiáng)化解方程組的方法

的應(yīng)用.例3已知x=2,y=l是二元一次方程組mx+ny=8,nx—my=l的解，求m,n的值.

解：把x=2,y=l代入原方程組中，

4

得到關(guān)于m,n的二元一次方程組2m+n=8,2n—m=l.①②

由②，得m=2n—1.③

把③代入①，得2(2n—l)+n=8.解這個(gè)方程，得n=2.

把n=2代入③，得m=3.

所以這個(gè)方程組的解為m=3,n=2.

所以m的值為3,n的值為2.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

已知x=2,y=l是二元一次方程組ax+by=7,ax—by=l的解，求a—'b的值.

解：把x=2,y=l代入原方程組中，

得到關(guān)于a,b的二元一次方程組2a+b=7,2a—b=l.

解這個(gè)方程組，得a=2,b=3.

所以a—b=2—3=—1.

［教學(xué)建議］學(xué)生獨(dú)立思考完成，教師提醒學(xué)生，方程組的解必定滿足方程組中每一個(gè)方程，

故將方程組的解回代，即可得到關(guān)于其他字母的方程(組).

活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)

［課堂總結(jié)］師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

1.解二元一次方程組的基本思想是什么？

2.用代入法解二元一次方程組的一般步驟是怎樣的？

3.用代入法解二元一次方程組時(shí)，有哪些技巧？(以變形和代入兩方面為例)

【作業(yè)布置】

1.教材P99習(xí)題10.2第2⑴⑵,4,8題.

第2課時(shí)用代入消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組

【素養(yǎng)目標(biāo)】

會(huì)用代入消元法求稍復(fù)雜的二元一次方程組的解，進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.

【教學(xué)重點(diǎn)】用代入消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組.

【教學(xué)難點(diǎn)】方程組中未知數(shù)的系數(shù)都不為1(或一1)時(shí)，如何用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知

數(shù)從而實(shí)現(xiàn)代入消元的靈活運(yùn)用.

【教學(xué)過(guò)程】

活動(dòng)一：舊知回顧，新課導(dǎo)入

［設(shè)計(jì)意圖］

通過(guò)回憶上節(jié)課所學(xué)，引出稍復(fù)雜的二元一次方程組的形式，為新課進(jìn)行鋪墊.

(1)什么是二元一次方程組？

方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,

一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組._

(2)①y=3x,2x—y=9,②x+5y=8,2x—y=5,③2x+7y=ll,3x—4y=6是二元一次方

程組嗎？①②和③有什么不同？

都是二元一次方程組.①②的兩個(gè)方程中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1或一1,③的兩個(gè)方程中未

知數(shù)的系數(shù)都不為1或一1.

(3)如何用代入法解方程組①②？試著做一做.

解方程組①，得x=—9,y=—27.解方程組②，得x=3,y=l.

像③這樣的方程組也可以用代入法求解嗎？這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

［教學(xué)建議］教師提問(wèn)，學(xué)生代表進(jìn)行回答，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特

征.也可在進(jìn)入正課之前給學(xué)生時(shí)間自行嘗試仿照上節(jié)課的代入法解一解,有助于體會(huì)方程形式上

的特點(diǎn)，并對(duì)于解題難度上的區(qū)別有一個(gè)初步認(rèn)知.

活動(dòng)二：交流合作，探究新知

［設(shè)計(jì)意圖］

通過(guò)例題逐步設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生利用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組.

探究點(diǎn)1用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組

5

例1(教材P93例3)用代入法解方程組2x—5y=—11,①9x+7y=39.②

問(wèn)題1類比上節(jié)課所學(xué)，用代入法求解這種未知數(shù)的系數(shù)都不為1或一1的二元一次方程組

時(shí)，第一步應(yīng)做些什么？

應(yīng)對(duì)某個(gè)方程進(jìn)行變形，把一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，并注意將被表示

的未知數(shù)的系數(shù)化為1.

問(wèn)題2對(duì)于這個(gè)方程組，選擇表示出哪個(gè)方程中的哪個(gè)未知數(shù)會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便？為什么？

由于方程①中的x的系數(shù)的絕對(duì)值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)

便.

問(wèn)題3根據(jù)你在問(wèn)題2中的結(jié)論，寫出解答過(guò)程.

解：由①，得x=52y—H2.③

⑴變形

把③代入②，得9(52y—112)+7y=39.

(2)代入

解這個(gè)方程，得y=3.(3)求解

把y=3代入③，得x=2.(4)回代

所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=3.

(5)寫解

問(wèn)題4解這個(gè)方程組時(shí)，可以先消去y嗎？試試看.

可以.

解：由①，得y=25x+H5.③

把③代入②，得9x+7(25x+H5)=39.

解這個(gè)方程，得x=2.

把x=2代入③，得y=3.

所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=3.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

教材P95練習(xí)第1題.

［教學(xué)建議］這部分采用上節(jié)課的教學(xué)模式，將例題分解成多個(gè)小問(wèn)，學(xué)生分組討論，合作完

成解答，感悟探究過(guò)程中所蘊(yùn)含的化歸思想，教師適時(shí)予以提示或指導(dǎo).由于本節(jié)課涉及的方程組

的系數(shù)較為復(fù)雜，學(xué)生在解答完畢后可將解代回進(jìn)行檢驗(yàn).教師也可對(duì)學(xué)生提問(wèn)不同的變形方式會(huì)

不會(huì)改變方程的解，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方式去解方程，并讓學(xué)生從中自行感悟緣由.

［設(shè)計(jì)意圖］

通過(guò)運(yùn)用代入法解決實(shí)際問(wèn)題，提高解方程組的能力和應(yīng)用意識(shí).

探究點(diǎn)2代入法解二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用

例2(教材P94例4)快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件.某快

遞員星期一的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為120件和45件，報(bào)酬為270元；他星期二的送件數(shù)和攬件數(shù)

分別為90件和25件，報(bào)酬為185元.如果這名快遞員每送一件和每攬一件貨物的報(bào)酬分別相同，

他每送一件和每攬一件的報(bào)酬各是多少元？

問(wèn)題1寫出題中所包含的相等關(guān)系.

相等關(guān)系1：送120件的報(bào)酬+攬45件的報(bào)酬=270元；

相等關(guān)系2：送90件的報(bào)酬+攬25件的報(bào)酬=185元.

問(wèn)題2設(shè)這名快遞員每送一件的報(bào)酬是x元，每攬一件的報(bào)酬是y元，請(qǐng)用含x,y的式子

表示你在問(wèn)題1中得到的相等關(guān)系.

120x+45y=270,90x+25y=185.

問(wèn)題3請(qǐng)根據(jù)你在問(wèn)題2中的設(shè)元，及本節(jié)課學(xué)過(guò)的用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組,

完成本題的解答.

解：根據(jù)問(wèn)題2中的設(shè)元，列得方程組120x+45y=270,①90x+25y=185.②

由①，得x=94—38y.③

把③代入②，得90(94—38y)+25y=185.

6

解這個(gè)方程，得y=2.

把y=2代入③，得x=1.5.所以這個(gè)方程組的解是x=1.5,y=2.

答：這名快遞員每送一件的報(bào)酬是1.5元，每攬一件的報(bào)酬是2元.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

教材P95練習(xí)第2題.

［教學(xué)建議］教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的兩個(gè)相等關(guān)系，從而列出方程組，并獨(dú)立完成解答過(guò)程.

教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)用代入法解二元一次方程組的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟進(jìn)行總結(jié)：①審題，找出題

中的相等關(guān)系；②設(shè)元，設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)；③列式，根據(jù)兩個(gè)相等關(guān)系列出二元一次方程組；④

求解，解方程組；⑤檢驗(yàn)：有些情況下要檢驗(yàn)方程組的解是否符合實(shí)際意義；⑥作答：最后要寫

出實(shí)際問(wèn)題的答案.

活動(dòng)三：變式訓(xùn)練，鞏固提升

［設(shè)計(jì)意圖］

考查構(gòu)造稍復(fù)雜的二元一次方程組并進(jìn)行計(jì)算，強(qiáng)化本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.例3對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,

定義新運(yùn)算x*y=ax+by+l,其中a,b為常數(shù)，等式右邊為通常的加法和乘法運(yùn)算.若3*5=15,

4*7=28,求5*9的值.

解：根據(jù)題意得3a+5b+l=15,4a+7b+l=28,

即3a+5b=14,4a+7b=27.

解這個(gè)方程組，得a=—37,b=25.

所以5*9=5X(-37)+9X25+1=41.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

若|3a+2b+7|+(5a-3b+l)2=0,求a,b的值.

解：根據(jù)題意，得3a+2b+7=0,5a-3b+l=0,

解這個(gè)方程組，得a=—2319,b=-3219.

所以a的值為一2319,b的值為一3219.

［教學(xué)建議］解決此類求值問(wèn)題，通常是根據(jù)式子中隱含的相等關(guān)系構(gòu)造二元一次方程組，然

后解方程組得到未知數(shù)的值，再代入所要求的式子中求值.形式多樣，包括但不限于例題中的新定

義運(yùn)算與對(duì)應(yīng)訓(xùn)練中的利用非負(fù)性列方程組.

活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)

［課堂總結(jié)］師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

1.你能用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組嗎？如何變形方程能使計(jì)算更簡(jiǎn)便？舉例說(shuō)明.

2.你能用代入法解決與二元一次方程組有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題嗎？

【作業(yè)布置】

1.教材P99習(xí)題10.2第22(3)(4),H題.

10.2.2加減消元法

第1課時(shí)用加減消元法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.體驗(yàn)加減消元法，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)加減消元法的概念，理解加減消元法.

2.會(huì)運(yùn)用加減消元法求二元一次方程組的解，掌握用加減消元法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組的

一般步驟.

【教學(xué)重點(diǎn)】掌握用加減法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組.

【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)于運(yùn)用加減消元法，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，從而正確求解二元一次方程

組的理解.

【教學(xué)過(guò)程】

活動(dòng)一：舊知回顧，新課導(dǎo)入

［設(shè)計(jì)意圖］

復(fù)習(xí)等式的性質(zhì)，方便引入加減消元法.

在前面的課時(shí)，我們研究了用代入法解二元一次方程組，這種方法的基本思想是消元，即把

二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

7

除了用代入法消元外，還有沒(méi)有其他的方法消元呢？大家看下面3個(gè)問(wèn)題：

①如果a=b,那么a土c=b±c.

②如果a=b,那么ac=bc.

③如果a=b,c=d,那么a±c=b土d成立嗎？為什么？

以上這些性質(zhì)運(yùn)用在方程上，是否有助于解方程組呢？本節(jié)課我們將對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探討.

［教學(xué)建議］教師帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧等式的性質(zhì)，引出方程的變形、加減法解二元一次方程組

有關(guān)知識(shí).

活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究

［設(shè)計(jì)意圖］

通過(guò)探究的方式，讓學(xué)生初步體會(huì)到用加減消元法解二元一次方程組的思想、方法和步驟.

探究點(diǎn)用加減消元法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組

1.同一未知數(shù)的系數(shù)相等一一兩個(gè)方程相減

（教材P95上方的思考）前面我們用代入法求出了方程組x+y=6,①2x+y=8②的解.除此之

外，還有沒(méi)有別的方法呢？

問(wèn)題1這個(gè)方程組的兩個(gè)方程中，y的系數(shù)有什么關(guān)系？利用這種關(guān)系并結(jié)合“活動(dòng)一”中

的問(wèn)題，你能發(fā)現(xiàn)新的消元方法嗎？

這兩個(gè)方程中未知數(shù)y的系數(shù)相等，我們可以通過(guò)兩個(gè)方程相減，即②一①（或①一②）來(lái)消

去未知數(shù)y.

問(wèn)題2②一①的意義是什么？為什么要②一①？

②一①就是用方程②的左邊減去方程①的左邊,方程②的右邊減去方程①的右邊.解二元一次

方程組需要“消元”，通過(guò)②一①可以消去未知數(shù)y,得到關(guān)于x的一元一次方程.

問(wèn)題3②一①的理論依據(jù)是什么？

等式的性質(zhì).等式兩邊都加（或減）相等的量，結(jié)果仍相等.

問(wèn)題4請(qǐng)用②一①的方式解方程組.

解：②一①，得x=2.

把x=2代入①，得y=4.

所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=4.

問(wèn)題5①一②也能消去未知數(shù)y,求得x嗎？（請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)板演）

能.①一②，得一x=-2,即x=2.把x=2代入①，得y=4.

所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=4.

2.同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)一一兩個(gè)方程相加

（教材P95下方的思考）聯(lián)系前面的探索過(guò)程，想一想怎樣解方程組3x+10y=2.8,15x-10y

=8.①②

問(wèn)題1這個(gè)方程組的兩個(gè)方程中，y的系數(shù)有什么關(guān)系？該如何消元？

兩個(gè)方程中未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，則兩個(gè)方程相加即可消去未知數(shù)y.

問(wèn)題2根據(jù)你的消元思路解方程組.

解：①+②，得18x=10.8,x=0.6.

把x=0.6代入①,得3X0.6+10y=2.8,y=0.1.

所以這個(gè)方程組的解是x=0.6,y=0.1.

概念引入：

當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩

邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而求得二元一次方程組的

解.這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.

例1（教材P96例5）用加減法解方程組3x+y2=0,①2x—y2=15.②

解：①+②，得5x=15,x=3.

把x=3代入①，得3X3+y2=0,y=-18.

所以這個(gè)方程組的解是x=3,y=-18.

問(wèn)題把x=3代入例1中的方程②，可以解得y嗎？

8

可以.把x=3代入②，得2X3—y2=15,y=—18.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

教材P96練習(xí).

［教學(xué)建議］學(xué)生分組討論完成加減法的探究過(guò)程.教師適時(shí)予以提示或指導(dǎo)，最終引導(dǎo)學(xué)生得

出加減消元法的概念，并結(jié)合“活動(dòng)一”說(shuō)明加減法的理論依據(jù)就是等式的性質(zhì).初學(xué)加減法時(shí)，

涉及的方程中未知數(shù)的系數(shù)或者相等，或者互為相反數(shù)，對(duì)于不是這兩種的稍復(fù)雜情形，在下節(jié)

課再進(jìn)行深入學(xué)習(xí).

活動(dòng)三：強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固提升

［設(shè)計(jì)意圖］

設(shè)置利用加減法解方程組求參數(shù)的值或取值范圍的題目，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)以致用的能力.例2已

知x+y=O,且x,y滿足二元一次方程組2x+5y=k,x—4y=15,求k的值.

解：根據(jù)題意，可得x+y=O,x—4y=15.

解這個(gè)方程組，得x=3,y=-3.

把x=3,y=—3代入方程2x+5y=k,得k=2X3+5X(―3)=—9.

例3已知關(guān)于x,y的方程組2x+y=2a+l,①x+2y=aT②的解滿足x—y=4,求a

的值.

解：①一②，得x—y=a+2.

又關(guān)于x,y的方程組2x+y=2a+l,x+2y=a—1的解滿足x—y=4,

所以a+2=4,所以a=2.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

已知關(guān)于x,y的方程組2m—5n=2a—3,①m+3n=5a②的解滿足3m—2n=4,求a的值.

解：①+②，得3m—2n=7a—3.

因?yàn)?m—2n=4,所以7a—3=4,所以a=l.

［教學(xué)建議］教師講解例題，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)于解題思路的把握.在例2中學(xué)生可能采用先解原

方程的方法，但這樣的解題過(guò)程會(huì)比較煩瑣，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生構(gòu)建新的方程組從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程.例3

同樣如此，若把x,y用含a的式子表示出來(lái)再代入會(huì)比較復(fù)雜，可引導(dǎo)學(xué)生觀察，把x-y看成

整體，用加減法得到用參數(shù)表示的相關(guān)形式的式子，即可進(jìn)一步得到參數(shù)值.

活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)

［課堂總結(jié)］師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

1.用加減法解二元一次方程組的一般步驟是什么？

2.如果直接用加減消元法解方程組，未知數(shù)的系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？

【作業(yè)布置】1.教材P99習(xí)題10.2第3(1)(2),5,9題

第2課時(shí)用加減消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.會(huì)用加減消元法求稍復(fù)雜的二元一次方程組的解，進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.

2.能運(yùn)用合適的方法解二元一次方程組，體驗(yàn)先觀察，再選擇合適的方法是做數(shù)學(xué)題的重要

技巧.

【教學(xué)重點(diǎn)】用加減消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組.

【教學(xué)難點(diǎn)】方程組中未知數(shù)的系數(shù)既不相等，也不互為相反數(shù)時(shí)，如何運(yùn)用等式的性質(zhì)對(duì)

方程進(jìn)行適當(dāng)變形，從而實(shí)現(xiàn)加減消元的靈活運(yùn)用.

【教學(xué)過(guò)程】

活動(dòng)一：懸疑設(shè)置，新課導(dǎo)入

［設(shè)計(jì)意圖］

引出稍復(fù)雜的二元一次方程組的形式，為新課中學(xué)習(xí)用加減法求解進(jìn)行鋪墊.

(1)觀察方程：

①x+6y=0,2x—6y=9；②3x+5y=7,3x~4y=-11；③2x+7y=10,4x—5y=6.

①②和③有什么不同？

①②的兩個(gè)方程中都有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，③的兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)

9

不具備這種特征.

(2)如何用加減法解方程組①②？試著做一做.

解方程組①，得x=3,y=—12.解方程組②，得x=—1,y=2.

像③這樣的方程組也可以用加減法求解嗎？這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

［教學(xué)建議］與學(xué)習(xí)用代入法求解稍復(fù)雜的二元一次方程組時(shí)類似，以設(shè)問(wèn)的方法導(dǎo)入新課，

教師提問(wèn)，學(xué)生代表進(jìn)行回答，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特征.

活動(dòng)二：交流合作，探究新知

［設(shè)計(jì)意圖］

通過(guò)例題逐步設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生利用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組.

探究點(diǎn)1用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組

例1(教材P96例6)用加減法解方程組3x—2y=4,①7x+4y=18.②

問(wèn)題1觀察方程組兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)，這個(gè)方程組能否直接加減消元？

這兩個(gè)方程中沒(méi)有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，直接加減這兩個(gè)方程不能消元.

問(wèn)題2怎樣對(duì)方程①②變形，才能使得這兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù),

從而用加減法求解呢？

觀察這兩個(gè)方程中未知數(shù)y的系數(shù)之間的關(guān)系，將①X2可以使兩個(gè)方程中y的系數(shù)互為相

反數(shù).

問(wèn)題3根據(jù)你在問(wèn)題2中的結(jié)論，寫出解答過(guò)程.

解：①X2,得6x—4y=8.③⑴變形

②+③，得13x=26,⑵加減

x=2.⑶求解

把x=2代入①，得3X2—2y=4,y=l.(4)回代

所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=l.

(5)寫解

問(wèn)題4如果用加減法消去x,應(yīng)該怎樣解？解得的結(jié)果一樣嗎？與消去y相比，哪個(gè)計(jì)算更

簡(jiǎn)便？

如果用加減法消去x,需要對(duì)兩個(gè)方程都進(jìn)行變形，使兩個(gè)方程中x的系數(shù)相等，可以①X7,

②X3.

解：①X7,得21x—14y=28.③

②X3,得21x+12y=54.④(1)變形

④一③，得26y=26,(2)加減

y=l.(3)求解

把y=l代入①，得3x—2X1=4,x=2.(4)回代

所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=l.

(5)寫解

解得的結(jié)果一樣.用加減法消去y比用加減法消去x計(jì)算更簡(jiǎn)便.

歸納總結(jié)：解方程組時(shí)，先消去哪個(gè)未知數(shù)都可以，結(jié)果是確定的，不會(huì)因?yàn)橄认ツ膫€(gè)未

知數(shù)而產(chǎn)生變化.一般地，先消去哪個(gè)未知數(shù)簡(jiǎn)便就先消去哪個(gè).

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

教材P98練習(xí)第1題.

［教學(xué)建議］這部分采用上節(jié)課的教學(xué)模式，將例題分解成多個(gè)小問(wèn)，學(xué)生分組討論，合作完

成解答，感悟探究過(guò)程中所蘊(yùn)含的化歸思想，教師適時(shí)予以提示或指導(dǎo)，要使學(xué)生理解加減消元

的本質(zhì)是利用等式的性質(zhì)，將未知數(shù)的系數(shù)化為相等或互為相反數(shù)，從而將方程組演變?yōu)樯瞎?jié)課

所學(xué)的形式.通過(guò)整個(gè)探究過(guò)程，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：消去哪個(gè)未知數(shù)，就找尋兩個(gè)方程中該未知數(shù)

系數(shù)的最小公倍數(shù).

［設(shè)計(jì)意圖］

通過(guò)運(yùn)用加減法解決實(shí)際問(wèn)題，強(qiáng)化解方程組的技巧和應(yīng)用意識(shí).

探究點(diǎn)2加減法解二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用

10

例2（教材P97例7）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：

今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問(wèn)牛、羊各直金幾何？

意思是：假設(shè)5頭牛、2只羊，共值金10兩；2頭牛、5只羊，共值金8兩.那么每頭牛、每

只羊分別值金多少兩？你能解答這個(gè)問(wèn)題嗎？

問(wèn)題1寫出題中所包含的相等關(guān)系.

相等關(guān)系L5頭牛的價(jià)格+2只羊的價(jià)格=10兩金；

相等關(guān)系2：2頭牛的價(jià)格+5只羊的價(jià)格=8兩金.

問(wèn)題2設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，請(qǐng)用含x,y的式子表示你在問(wèn)題1中得到的

相等關(guān)系.

5x+2y=10,2x+5y=8.

問(wèn)題3請(qǐng)根據(jù)你在問(wèn)題2中的設(shè)元，及本節(jié)課學(xué)過(guò)的用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組,

完成本題的解答.

解：根據(jù)問(wèn)題2中的設(shè)元，列得方程組5x+2y=10,①2x+5y=8.②

①X2,得10x+4y=20.③

②X5,得10x+25y=40.④

④一③，得21y=20,y=2021.

把y=2021代入①，得x=3421.

所以這個(gè)方程組的解是x=3421,y=2021.

答:每頭牛和每只羊分別值金3421兩和2021兩.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

教材P98練習(xí)第2題.

［教學(xué)建議］教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的兩個(gè)相等關(guān)系，從而列出方程組，并獨(dú)立完成解答過(guò)程.

注意提醒學(xué)生，在用加減消元法解方程組時(shí)，通常要先將得到的二元一次方程組整理成ax+by=

m,cx+dy=n的形式，再求解.在關(guān)于例題的教學(xué)中，也可讓學(xué)生上臺(tái)板演，自己嘗試用加減法

消去y,并計(jì)算出結(jié)果，看是否一致.

活動(dòng)三：交流新知，靈活運(yùn)用

［設(shè)計(jì)意圖］

強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二元一次方程組解法的認(rèn)識(shí)，能夠選擇合適的方法解方程組.（教材P98思考）（1）

怎樣解下面的方程組？

問(wèn)題1觀察上面的兩個(gè)方程組，你分別選擇用什么方法求解？為什么？

方程組I中方程①中y的系數(shù)是1,選擇用代入法；方程組H中y的系數(shù)互為相反數(shù)，選擇

用加減法.

問(wèn)題2方程組I能直接用加減法求解嗎？若不能，要如何變形才能使用加減法？

不能.如果要消去x,可以②X5—①X2；如果要消去y,可以①X3—②X5.

問(wèn)題3求出方程組的解.

解：（I）由①，得y=1.5—2x.③

把③代入②，得0.8x+0.6（1.5—2x）=1,3,—0.4x=0.4,x=—1.

把x=—l代入③，得y=3.5.

所以這個(gè)方程組的解是x=—1,y=3.5.

（II）①+②，得4x=8,x=2.

把x=2代入①，得2+2y=3,y=0.5.

所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=0.5.

（2）選擇你認(rèn)為簡(jiǎn)便的方法解習(xí)題10.1的第4題（“雞兔同籠”問(wèn)題）.

解：設(shè)籠中有雞x只，兔子y只.根據(jù)題意，得x+y=35,2x+4y=94.①②

①X2,得2x+2y=70.③

②一③，得2y=24,y=12.

把y=12代入①，得x+12=35,x=23.

所以這個(gè)方程組的解是x=23,y=12.

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答：籠中有雞23只，兔子12只.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

1.用合適的方法解下列方程組：

(1)3x—y=2,6x-3y=5；①②(2)2x—5y=-21,4x+3y=23.①②

解：⑴由①，得y=3x—2.③

把③代入②，得6x—3(3x—2)=5,x=13.

把x=13代入③，得y=—1.所以這個(gè)方程組的解是x=13,y=-1.

(2)①X2,得4x—10y=-42.③

②一③，得13y=65,y=5.

把y=5代入②，得4x+15=23,x=2.

所以這個(gè)方程組的解是x=2,y=5.

2.某商場(chǎng)第一次用10000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共180件，其中甲種商品每件進(jìn)價(jià)60元，

乙種商品每件進(jìn)價(jià)50元.該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

解：設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲種商品x件，乙種商品y件.

根據(jù)題意，得x+y=180,60x+50y=10000.

解這個(gè)方程組，得x=100,y=80.

答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲種商品100件，乙種商品80件.

［教學(xué)建議］學(xué)生獨(dú)立思考作答，教師統(tǒng)一答案.加減法和代入法都是通過(guò)消元解方程組，對(duì)一

個(gè)方程組用哪種方法解都可以，但是不同的解法在難度上會(huì)有差異，應(yīng)根據(jù)方程組的具體情況，

選擇適合它的解法.當(dāng)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值不是1,且相同未知數(shù)的系數(shù)不成

整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，一般經(jīng)過(guò)變形，利用加減法會(huì)使過(guò)程更簡(jiǎn)便.

活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)

［課堂總結(jié)］師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

1.你能用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組嗎？你能用加減法解決與二元一次方程組有關(guān)的

實(shí)際問(wèn)題嗎？

2.對(duì)于一個(gè)二元一次方程組，你能選擇最適合它的解法嗎？

【作業(yè)布置】

1.教材P99習(xí)題10.2第3(3)⑷,6,7,10,12題.

10.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組

第1課時(shí)和差倍分問(wèn)題

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.能夠找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程組.

2.學(xué)會(huì)比較估算與精確計(jì)算以及檢驗(yàn)方程組的解是否符合題意并正確作答.

3.在用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，

提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】以方程組為工具，分析、解決含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題.

【教學(xué)難點(diǎn)】確定解題策略，比較估算與精確計(jì)算.

【教學(xué)過(guò)程】

活動(dòng)一：舊知回顧，新課導(dǎo)入

［設(shè)計(jì)意圖］

復(fù)習(xí)二元一次方程組的解法及列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟，引入本節(jié)課內(nèi)容.

結(jié)合之前所學(xué)的知識(shí)，回答下面的問(wèn)題.

(1)解二元一次方程組的基本思想是什么？常見(jiàn)方法有哪些？

解二元一次方程組的基本思想是消元，常見(jiàn)方法有代入消元法和加減消元法.

(2)列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？

一般步驟是審、設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答.即(1)審清題意，找出已知量和未知量；(2)設(shè)未知數(shù)，

并用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)的量；(3)根據(jù)題中的相等關(guān)系列出方程；(4)解方程；(5)檢驗(yàn)所

12

得結(jié)果是否滿足所設(shè)方程且具有實(shí)際意義；（6）根據(jù)提問(wèn)作答.

前面我們結(jié)合實(shí)際問(wèn)題,討論了用方程組表示問(wèn)題中的條件以及如何解方程組.本節(jié)課我們繼

續(xù)探究如何用方程組解決實(shí)際問(wèn)題.

［教學(xué)建議］教師可讓學(xué)生結(jié)合教材P94例4和P97例7,初步探究列二元一次方程組解應(yīng)用

題與列一元一次方程解應(yīng)用題的共性問(wèn)題.

活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究

［設(shè)計(jì)意圖］

以教材探究題為例，探討用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟和方法，引入和差倍分

問(wèn)題.

探究點(diǎn)和差倍分問(wèn)題

例1（教材P101探究1）養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675kg；一周后

又購(gòu)進(jìn)12頭大牛和5頭小牛，這時(shí)1天約用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每頭大牛1天需飼料

18?20kg,每頭小牛1天需飼料7?8kg.你能通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)嗎？

我們分步來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1怎樣判斷李大叔的估計(jì)是否正確？

根據(jù)題中給出的數(shù)量關(guān)系求出每頭大牛和每頭小牛1天各約需飼料用量，再來(lái)判斷李大叔的

估計(jì)是否正確.

問(wèn)題2寫出題中的已知量和未知量.

已知量：購(gòu)進(jìn)前后大牛和小牛的數(shù)量，購(gòu)進(jìn)前后每天飼料的用量.

未知量：大牛1天飼料的消耗量和小牛1天飼料的消耗量.

問(wèn)題3設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料xkg和ykg.寫出題中的相等關(guān)系并用含未

知數(shù)的等式表示.

問(wèn)題4請(qǐng)將下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整.

設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料xkg和ykg.

根據(jù)兩種情況的飼料用量，找出相等關(guān)系，列得方程組解這個(gè)方程組，得這就是說(shuō)，每頭

大牛1天約需飼料20kg,每頭小牛1天約需飼料5kg.

問(wèn)題5飼養(yǎng)員李大叔的估計(jì)正確嗎？

根據(jù)問(wèn)題4的結(jié)果可知，飼養(yǎng)員李大叔對(duì)大牛的食量估計(jì)較準(zhǔn)確，對(duì)小牛的食量估計(jì)偏高.

歸納總結(jié)：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：

審審題，分析題中已知什么、求什么，明確各數(shù)量之間的關(guān)系

設(shè)設(shè)未知數(shù)（分直接設(shè)元和間接設(shè)元），用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)量

列根據(jù)相等關(guān)系列出兩個(gè)方程，組成方程組

解解方程組，求出未知數(shù)的值

驗(yàn)檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是否滿足題意和實(shí)際意義

答根據(jù)問(wèn)題作答（包括單位名稱）

和差倍分問(wèn)題中常見(jiàn)的相等關(guān)系：

較大量=較小量+多余量；總量=一份的量X倍數(shù)；各分量相加=總量.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

教材P101練習(xí)第1,2,3題.

［教學(xué)建議］學(xué)生可以先獨(dú)立分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程組，得出問(wèn)題的解答，再與同

學(xué)交流，教師注意規(guī)范解題過(guò)程.對(duì)于學(xué)生列出的其他正確方程，如12x+5y=265,教師可讓學(xué)

生介紹自己的想法并予以肯定，指出列方程組時(shí)應(yīng)盡量使用原題中的數(shù)據(jù)，如265應(yīng)寫成940—

675；對(duì)于同一問(wèn)題的不同解法，結(jié)果應(yīng)一致，若不一致，則需仔細(xì)檢查過(guò)程是否有維漏.

活動(dòng)三：知識(shí)延伸，舉一反三

［設(shè)計(jì)意圖］

引導(dǎo)學(xué)生用二元一次方程組解決配套問(wèn)題.例2某瓷器廠共有120名工人，每名工人一天能

生產(chǎn)200只茶杯或50只茶壺，8只茶杯和1只茶壺為一套.要使每天生產(chǎn)的茶杯和茶壺配套，應(yīng)

如何安排生產(chǎn)？

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問(wèn)題1寫出題中的已知量和未知量.

已知量：工人總數(shù)，每名工人一天能生產(chǎn)茶杯或茶壺的數(shù)量，組成一套茶具所需茶杯和茶壺

的數(shù)量.

未知量：生產(chǎn)茶杯的工人數(shù)量，生產(chǎn)茶壺的工人數(shù)量.（1）審

問(wèn)題2應(yīng)如何設(shè)元？

設(shè)安排x名工人生產(chǎn)茶杯，y名工人生產(chǎn)茶壺.（2）設(shè)

問(wèn)題3找出題中的相等關(guān)系并用含未知數(shù)的等式表示.

①生產(chǎn)茶杯的工人數(shù)量+生產(chǎn)茶壺的工人數(shù)量=120；x+y=120

②茶杯的數(shù)量：茶壺的數(shù)量=8：1.200x：50y=8：1

（可變形為200x=8X50y）（3）列

問(wèn)題4寫出完整的解題過(guò)程.

解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)茶杯，y名工人生產(chǎn)茶壺.

根據(jù)工人總數(shù)，茶杯、茶壺的生產(chǎn)量與配比的數(shù)量關(guān)系，列方程組x+y=120,200x=8X50y.

解這個(gè)方程組,得x=80,y=40.⑷解⑸驗(yàn)

答：要使每天生產(chǎn)的茶杯和茶壺配套，應(yīng)安排80名工人生產(chǎn)茶杯，40名工人生產(chǎn)茶壺.（6）

答

歸納總結(jié)：配套問(wèn)題中常見(jiàn)的相等關(guān)系：

數(shù)量較少量X相應(yīng)倍數(shù)=數(shù)量較多量；

總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例.

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］

某家具廠接到了一筆定制方桌的訂單，下面是兩位木匠師傅的對(duì)話.

如何分配木料才能完成這筆訂單？這筆訂單需要方桌多少?gòu)垼?/p>

解：設(shè)用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿.

根據(jù)題意，得x+y=5.5,4X50x=300y+100.解這個(gè)方程組，得x=3.5,y=2.

所以50X3.5=175（張）.

答：用3.5m3木料做桌面、2m3木料做桌腿即可完成這筆訂單，這筆訂單需要方桌175張.

［教學(xué)建議］學(xué)生獨(dú)立思考作答，解決配套問(wèn)題的關(guān)鍵就是找出各部件之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)

比例的性質(zhì)將比例式轉(zhuǎn)化為等積式.在用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，審、驗(yàn)這兩個(gè)步驟通常

是在草稿紙上進(jìn)行.

活動(dòng)四：強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)以致用

［設(shè)計(jì)意圖］

進(jìn)一步鞏固用二元一次方程組解應(yīng)用題的思想，強(qiáng)化對(duì)列二元一次方程組解應(yīng)用題的方法和

步驟的掌握.例3為支援抗洪救災(zāi)工作，甲、乙兩運(yùn)輸隊(duì)接受了運(yùn)輸20000箱救災(zāi)物資的任務(wù),

任務(wù)要求在15天內(nèi)（包含15天）完成.已知兩隊(duì)共有18輛汽車，甲隊(duì)每