安徽省亳州市2024-2025學年高三上學期期末質量檢測數學試

卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合人={刃一2<%<3},B={x|y=log2(x+1)},則()

A.{x|-l<x<3}B.{x|x>-l}

C.|x|—2<x<—1|D.{x|-2<x<3}

6-2i

2.的虛部為（）

復數z=71T+=17

A.-6B.-3C.-2D.3

3.四川耙耙柑以果肉飽滿圓潤，晶瑩剔透等特點深受民眾喜愛，某耙耙柑果園的質檢員對

剛采摘下來的耙耙柑采用隨機抽樣的方式對成筐的耙耙柑進行質檢,記錄下了8筐耙耙柑中

殘次品的個數為5,7,6,3,9,4,8,10,則該組樣本數據的第30百分位數為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

4.下列函數中為偶函數的是（）

A.=ln(x-l)+ln(x+l)B.y=|sinx-cosx|

C.y=x-3D.y=(X-2『+(2X+1)2

5.已知拋物線C:9=4x的焦點為F，直線2x-y-4=0與C交于P,。兩點，則△々Q的

面積為（）

A.2B.3C.6D.8

6.已知a>0,且2是關于X的方程尤2+法一8=0的一個根，則6+9的最小值是（）

aa

A.2B.4C.4A/2D.8

:的取值范圍卜石,q,則圓心c（

7.若當動點尸（加,〃）在圓C上運動時,）

A.一定在直線>=-且x上

B.一定在直線>=一%上

3

C.一定在直線y=（道-2卜上D.一定在直線y=（l-6）無上

8.已知四面體PQWN的棱PQ,分別是同一個圓柱上、下底面的直徑，若圓柱的體積

為6兀，則四面體PQWN體積的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

二、多選題

9.關于。彳-：［6的展開式，下列結論正確的是（）

A.展開式共有7項B.每一項中x的指數都是偶數

C.各項系數的和為64D.常數項為540

10.若雙曲線。：〃*-丁=1（加＞0）的漸近線方程為1=±［尤，且C與直線元=2交于4,8兩

點，貝I（）

A.m=2B.|AB|=2

IT

c.C在A,8兩點處的切線傾斜角互補D.C在A,8兩點處的切線夾角為彳

2

11.已知函數/（x）=2sin（0x+e）-1（0＜夕音］的圖象關于點（與,a）中心對稱，〃0）=a+l,

〃x）的最小正周期為T,且2兀＜T＜4兀，貝IJ（）

A./（0）=0

D./（無）在區間（0,2冷內最多存在兩個極值點

三、填空題

12.已知向量￡,方為兩個相互垂直的單位向量，則,%-曰=.

13.已知數列｛4｝的奇數項按原來的順序構成一個以%=3為首項，2為公比的等比數列，

偶數項按原來的順序構成一個以％為首項，3為公差的等差數列.若｛凡｝的前10項和%=148,

試卷第2頁，共4頁

貝Ua2=?

14.已知函數=f+依+》，若關于x的方程*”x))=x有唯一解尤=0,則a+6=.

四、解答題

15.如圖，在平面四邊形ABCD中，AD±AC,AB±BC,AC平分/BCD.

jr

⑴若ZACD=z，CD=2,求8D；

6

Q)若BD=CD,求sin/BCD

16.已知函數%)=lnjr-a(x-1),(2GR.

⑴討論“X)的單調性；

⑵若“X)在區間(1,e)內存在零點，求a的取值范圍.

17.如圖，在六面體ABCDEF中，￡>尸1平面A3C￡>,CE_L平面ABC。，四邊形ABC。為

B

(1)證明：平面AD打〃平面3CE；

(2)求直線AF與平面BEF所成角的正弦值.

18.信息嫡是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X的所有可能取值為1,2,…eN*),

且P(X=i)=Pi>0(z=1,2,.-?,?),fp,=1,定義X的信息燧H(X)=-七pjog?P,.

z=li=\

(1)證明：當且僅當H=1時，H(X)=0；

(2)若〃=3,且必住=1,2),比較“(X)與1的大小；

(3)重復拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果正面朝上則繼續拋，如果反面朝上就立即停止，且

拋20次后即使沒有出現反面朝上也停止，若將停止時拋擲硬幣的次數記為X,求“(X).

19.已知曲線E上任意一點到點川M。)的距離與到直線x=2指的距離之比為1.

(1)求E的方程.

⑵若點尸在圓C:/+(y—1)2=4上，PM,PN為E的兩條切線，M,N是切點.

(i)求點尸的縱坐標的取值范圍；

(ii)求APMN的面積S的最大值.

附：若曲線反+q=1的兩條切線相交于點(%,%),則兩側切點所在直線的方程為

mn

V+3V=1

mn

試卷第4頁，共4頁

《安徽省亳州市2024-2025學年高三上學期期末質量檢測數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案ABADBDCBABCBCD

題號11

答案ACD

1.A

【分析】求出集合3,利用交集的定義可求得集合

【詳解】因為集合3=詞y=log2(x+1))={x|x+l>O)={x|x>-1},A=1x|-2<x<31,

因止匕，Ac5={%卜1<x<31.

故選：A.

2.B

6-2i

【分析】化簡復數2=即可求解.

6-2i6-2i6-2i

z==-l-3i

【詳解】，所以Z二1F的虛部為-3.

(M2i1+1

故選：B

3.A

【分析】把給定的數據組由小到大排列，再利用第30百分位數的定義求出結果.

【詳解】殘次品的個數由小到大排列為：3,4,5,6,7,8,9,10,

由8x30%=2.4,得該組樣本數據的第30百分位數為5.

故選：A.

4.D

【分析】本題考查函數的奇偶性，根據奇偶性的定義進行判定即可.

【詳解】對于A,由x-l>0且x+l>0可得y=ln(x-l)+ln(x+l)的定義域為(1,內)，所以

函數y=ln(x—l)+ln(x+l)為非奇非偶函數，A錯誤；

對于B,函數y=binx-cos,的定義域為R,令/(x)=binx-cosx|,

f(-x)=|sin(-x)-cos(-x)|=|-sinx-cosx|w〃尤)，:.函數ygsinx-cos,不是偶函數，B

錯誤；

答案第1頁，共13頁

對于C函數y=x-3的定義域為(F,O)U(O,M),令〃X)=X-3,則

f(-x)=(-x)-3=-x-3=-/(%),所以函數>為奇函數，C錯誤；

對于D,函數y=(x-2y+(2x+l『的定義域為R,令/(X)=(x-2)~+(2x+l)~=5工2+5,

/(-x)=5(-x)2+5=/(x),

.,?函數y=(x—2)2+(2x+l)2為偶函數，D正確.

故選：D.

5.B

【分析】將直線方程與拋物線方程聯立，解方程可得忸0,然后結合點到直線距離公式可得

答案.

>4'=>（2尤一4）~=4x=>x?-5無+4=0.

【詳解】

2x-y-4=0'7

解得：尤=1或x=4,由圖，P(4,4),2(l,-2),則|尸@=,32+62=3小.

|-2|9

又由題可得尸(1,0),則點尸到PQ距離為d=~^==忑.

則△FPQ的面積為g|尸。|?d=gx3A/5X-^=3.

【分析】由韋達定理得到b=4a-42,得到6+6?=44+4?,由基本不等式求出最小值.

aaa

【詳解】d+6x-8=0中，A=b2+32>0,故方程Y+法-8=0有兩個不等實根,

設/+陵-8=0另一個根為機，

答案第2頁，共13頁

27

-+m=-b

a

由題意得

2

—?m=-8

由一=—8得機=—4a,故4〃=-Z?,即b=4〃—,

aaa

476、2644

故b-i--=4。---1--=4。-1——,

aaaa

因為a>0,由基本不等式得6+9=4a+±22j4a-3=8,

aaxa

4

當且僅當4Q=—,即〃=1時，等號成立.

a

故選：D

7.C

【分析】分析可知，直線y=-J￡、y=為圓C的兩條切線,設圓心。（。力），數形結

=走了的距離都相等，可

合可知，直線OC的斜率為負數，利用圓心C到直線y=-gx、y

3

求得士b的值，由此可得出結論.

a

rj

【詳解】如下圖所示：k=~,

OPm

因為己的取值范圍-6,坐，

m3

-兀］（2兀"

所以，直線OP的傾斜角的取值范圍是0,-U—,71,

L6」I3」

由題意可知，直線y=-6x、y=^x為圓C的兩條切線,

即直線+y=0、x-6y=0為圓。的兩條切線，

答案第3頁，共13頁

b

由圖可知，直線oc的斜率為負數，則一＜0,

a

設圓心C（a,b）,則因+）上屏|,整理可得（耳+6『一,一.『=0,

即a。+26ab-/=0,可得化］-2A/3?--1=0,

\a）a

因為2＜。，解得"百-2,因此，圓心C一定在直線y=（g-2）尤上.

故選：C.

8.B

【分析】先說明點M，N到平面尸。。的距離相等都為d,再應用圓柱體積公式計算，結合不

等關系即可求得三棱錐體積最大值.

【詳解】設圓柱。。的底面圓半徑為「，圓柱的高為〃，點“到平面尸。。的距離為“，

因。是的中點，故N到平面尸。。的距離也為d,

由圓柱。。的體積為兀//?=6兀，可得，〃=6,

+

故Vp-QMN=^M-POQ=gX2dXS^p0Q

=-x—x2rx/?=—drh＜—r2h=4.

3233

當且僅當d=r時取最大值4.

故選：B.

【點睛】思路點睛：解題思路是轉化四面體的體積為兩個三棱錐的體積和，進而結合距離范

圍求解.

9.ABC

【分析】根據二項式展開式的特征即可求解A,根據通項的特征即可求解BD,利用賦值即

可求解C.

【詳解】對于A,根據〃=6,即可得展開式共有7項，故A正確，

答案第4頁，共13頁

對于B，13x-J的展開式的通項為C；(-l)r36-rx6-rx-r=q(-l)r36-rx6-2\r=0,1,2,3,4,5,6,

由于6-2r為偶數，因此每一項中x的指數都是偶數，故B正確，

對于C,令x=l,則系數和為(3=2，=64,故C正確，

對于D,令6-2r=0,故r=3,故常數項為33=-27x20=-540,故D錯誤，

故選：ABC

10.BCD

【分析】選項A,由漸近線方程可得7〃=：；選項B,聯立C與直線x=2,得A8坐標，進

而可得；選項CD,聯立切線方程和雙曲線方程，由△=(),求得在A,8兩點處的切線斜率，

進而可得.

【詳解】由雙曲線的漸近線方程y=±等x,可得故A錯誤；

雙曲線的方程為萬=1,當尤=2時，＞=±1,

故A(2,l),5(2,-1),故|明=2,故B正確；

設雙曲線在點A處的切線方程斜率為k,則切線方程為y=k(x-2)+l,

聯立］_y2=］可得0_2左2)X?+4左(2左_l)x_2(2左_1)2_2=0,、

則A=14k(2k-1)?-4(1-2陰/2(2左-1『-2)=0,得左=1,

故切線方程為：y=x-i,

同理可得雙曲線在點8處的切線斜率為-1,方程為y=-x+l,

故C在A3兩點處的切線傾斜角為:手故CD正確，

44

故選：BCD

11.ACD

答案第5頁，共13頁

【分析】A由三角函數對稱中心性質可判斷選項正誤;B由A分析結合〃0）=。+1可得夕=F，

6

8兀

然后由2兀＜7＜4兀結合周期計算公式可判斷選項正誤；C由B分析可計算了,結合圖

象關于點（午,

中心對稱可判斷選項正誤；D由B分析，^—+-=-+kjt,keZ,可得

862

x關于左的表達式，然后由工￡（。,2兀）可判讀極值點個數.

4mI1八

【詳解】對于A,由/（x）圖象關于中心對稱，可得2sin丁+。=0,

a=-l,貝U/（0）=a+l=0,故A正確;

1兀

對于B,由A分析，2sine—l=0nsin0=—n0=一

26

…（4^71兀）八4^71兀713k

則sin------+—=0=>------F—=左兀=>co------F—,ksZ.

36）3684

2兀1

又/（X）的最小正周期為T，且2兀<7<4兀，貝|2兀<網<4兀=>5<網<1.

113,,1,3?71

則nl展<一^+了“<k<

Zo42Z62

則取左=±1滿足題意，得或5。=-7（，故B錯誤；

OO

對于C,由B分析，/（x）=2sin^|x+^-l^/（x）=2sin^-1x+^-l.

?,A871>1c.（11兀、1c.兀1,（8兀）c.（13兀）1c.兀1c

則/1三）=2$1口［-^_）_］二_251117_］=_2或4后廠201111--—l-l=-2sin--l=-2,

又由題可知"X）圖象關于點［與,-1］對稱，則］手卜-1=271?）=-2,故c正確;

r_L十c5i人5%兀兀78兀8E7r

D,co——r日l寸，1———Fku=^>x=--1------,左￡Z,

8862155

8兀8kli_1.11

由0<%=—+——<2兀=>一一<k<—

155312

則左=0時，“X）在區間（0,2兀）內有一個極值點;

7r_L人7%兀兀78兀8kli7r

co=——時，令----F—=—+E=>x=--------------，keZ,

8862217

由。＜“一包一鮑＜2兀n.”〈心一L

217123

則A=-1或左=-2時，〃x）在區間（0,2兀）內有兩個個極值點；綜上，〃x）在區間（0,2兀）內

最多存在兩個極值點，故D正確.

故選：ACD

答案第6頁，共13頁

【分析】由向量夾角公式可得答案.

/___\a\a-b\

【詳解】由題，cos(a,a-b)=,?,

又0%=0,卜|=W=1,=7+片-2￡-5=2=卜-5卜點

/、aAa-b}]^2/\

則cos(a,￡-6)=^^=*=三，又@,￡一方)40,可，

則(癡_3)=￡

故答案為：—

4

13.5

【分析】由等比數列和等差數列的前〃項和公式可得.

【詳解】由題意可知

3(]—25)

%+/+%+%+"9=3+3X2+3X22+3x嗯+3x2，=----------=93，

1—2

。2+%+%+4+4o=%+(%+3)+(%+3x2)+(%+3x3)+(%+3x4)=5a?+30

由S10=5a2+30+93=148得%=5,

故答案為：5

14.1

【分析】根據判別式A=(a—Ip—4〃=0,結合零點為0即可求解.

【詳解】由于關于X的方程/(〃x))=x有唯一解，

且/⑺=_?+依+》=彳有唯一的實數根，故公=(。-1)2-46=0,

故又零點為尤=0,故/(0)=6=0,

因止匕a=1,

故a+b=l,

故答案為：1

答案第7頁，共13頁

⑵手

【分析】(1)根據條件求AC,BC的長，在△BCD中，由余弦定理可求20.

(2)^ZACD=eU<0<^,CD=BD=a,表示BC,在△38中利用余弦定理結合同

角三角函數基本關系可求cos〃和sin。，由此可得結果.

TT7T

【詳解】(1)vACWZBCD,AZACB=ZACD=~,故N3CO=2ZACO=—,

63

VADLAC,AB^BC,

3

AAC=CDcosZACD=73,BC=ACcosZACB=-,

2

____________________________內

在公BCD中，由余弦定理得BD=VBC2+CD2-IBCCDcosZBCD=—.

2

(2)設/ACD=?0<e<3，則NBCD=2"

設CD=BD=a,貝!JAC=acos0,BC=acos20,

在△3CD中，由余弦定理得cos26=優+“-=lcos2e,

la?acos02

,**cos26=2cos20—19**?-cos20=2cos20—1,

2

?n_&?n_石

??cosu=—，sinu——9

33

sinZBCD=sin20=2sin6cos6=2忘.

3

16.(1)答案見解析

【分析】（1）利用導數分類討論單調性；

（2）結合函數單調性和零點存在定理求。的取值范圍.

【詳解】（1）/（無）=:一。，

若&V0,則尸（尤）＞0,所以“X）在（0,+8）上單調遞增.

若4＞0,令［（尤）=。，得X=L

a

當0＜x＜，時，/,（x）＞0,當x＞,時，f,（x）＜0,

aa

所以/（x）在上單調遞增，在［j,+s］上單調遞減.

綜上所述，當aWO,f（x）在（0,+e）上單調遞增；

答案第8頁，共13頁

當a>0,〃尤)在上單調遞增，在上單調遞減.

(2)當aWO時，/(X)在(0,+8)上單調遞增，

故/(x)有唯一的零點x=l,不滿足題意.

當。>0時，”外在(。,￡|上單調遞增，在(：,+，!上單調遞減，

故〃尤)的極大值為/]4/⑴=。，

;1

\一<e,

要使“X)在區間(Le)內存在零點，須a.

/(e)<0,

fl,

-<a<l,1

即e解得

lne-di(e-l)<0,e

故”的取值范圍是(士,11

17.(1)證明見解析

⑵！

【分析】(1)利用面面平行的判定定理可得答案；

(2)連接AC,BD交于點0,取所的中點G,以。為坐標原點，OB,OC,OG所在直

線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出而坐標、平面時的法向量，再由

線面角的向量求法可得答案.

【詳解】(1)因為。尸工平面A8CD,CEL平面458,

所以DF//CE.

又分u平面ADF,CE不在平面AD尸內，

所以CE〃平面

因為3C〃AD,A￡>u平面ADF,8c不在平面ADF內，所以3c〃平面ADF.

又CEC3c=C,CE,BCu平面BCE，所以平面ADFH平面BCE；

(2)如圖，連接AC,BD交于點0,取8尸的中點G,

因為G、。分別為哥"、BD的中點，所以OG//DF,

又￡)尸1平面A3CD,所以0G_L平面ABC。，

又因為ABCZ)為菱形，所以OBLOC,

故以。為坐標原點，OB,OC,OG所在直線分別為x軸、y軸、z軸

答案第9頁，共13頁

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則電-后0),5(1,0,0),￡(0,73,1),廣(-1,0,2),

所以麗=(-2,0,2),BE=(-1,^,1),AF=(-1,V3,2).

設平面BEF的法向量為m=(x,y,z),

m-BF=0—2%+2z=0

則即r-,取沆=(1,0,1).

m-BE=0—兀++z=0

設直線AF與平面BEF所成的角為。,

I—.I|AF-m|1-1+211

則sin0=1cosAF,m=\——j--=-L=——=—

府憫V8XV24

即直線反與平面圓所成角的正弦值為;.

18.(1)證明見解析

⑵H(X)>1

⑶〃(X)=2一*

【分析】(1)當"=1時，H(X)=-log2l=0,當心2時，由0<己<1可得"(X)>。，由

此可說明結論成立.

(2)根據條件可計算0,P2,幺的值，由此可計算”(X),進而比較大小.

(3)根據題意表示口?=1,2,…,20),利用錯位相減法計算”(X).

【詳解】⑴若"=1,則R=l,所以X(X)=—pJog20=-log21=O.

當此2時，因為0<P,Y1,所以-pJogzPj所以“(X)=-fpJogzPi>0.

Z=1

綜上可知：當且僅當“=1時，H(X)=0.

答案第10頁，共13頁

(2)由P2-P1=R得P2=2”,由P3-02=Pl，得R=3R.

因為PI+02+P3=1，所以6Pl=1,解得R=,，于是。2=<，A=7.

o32

口I"1"I"D"乙"-2"Q

”(X)二一71Og27+71OS2-+-log2-=710^6+-10§23+-=-+-10§23.

oJJ2Zyo3Z3Z

21

因為log?3>l,所以》(x)>]+j>L

(3)由題意知，X="i=l,2,…,19)表示前(7-1)次都正面朝上，第i次反面朝上，X=20表

示前19次都正面朝上，

貝|」月=P(X=l)=g,2=P(X=2)=gx：=J,a=P(X=3)=，xg=J,

09=尸。”六導9擊,%=P(X=2O)=

II19

所以-pjog2Pi=^?log22,二要(1w，w19),-P20log2220=萍.

23181919

所以"(乂)=5+球+百■+…+/+源+源.

、幾01231819rMic1231819

設5=1——---1——7^fJKy-S=-r--\—z-H—r-*---1—TT-H—^7，

222232182192222324219220

曰1cli1119.119.21

兩式相減何/S=]+^+夢+???+源-*=1-萍一更=1-旃，

21

所以S=2--^-,

故"")=5+7=2—馬+鼠=2一』.

19.(1)—+^=1

63

⑵(i)(1,3](ii)4

【分析】(1)設(x,y)是曲線E上任意一點，根據題意得到方程，化簡得到E的方程；

(2)(i)點P在圓上，得到又點尸在橢圓E外，求出圓和橢圓交點坐標，數形

結合得到答案；

(ii)設由題可知直線MV的方程為>=-―-彳+』，設％=-白，b=—,聯

立直線MN和橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由弦長公式得到求出點P到直

線