人教版八年級數學下學期期末模擬試卷02

滿分：120分測試范圍：八下全部內容

一、選擇題。（共10小題，每小題3分，共30分）

1.若二次根式A/TM有意義，則x的取值范圍是（

A.x>3B.x.3C.x<3D.X,3

【分析】二次根式的被開方數X-3..0.

【解答】解：根據題意，得

x—3..0,

解得x..3；

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的意義和性質.概念：式子后（〃.0）叫二次根式.性質：二次根式中的被開方

數必須是非負數，否則二次根式無意義.

2.下列根式是最簡二次根式的（）

A.-73B.￡C.際D.&

【分析】當二次根式滿足：①被開方數不含開的盡方的數或式；②根號內面沒有分母.即為最簡二次根式，

由此即可求解.

【解答】解：A選項：-6，是最簡二次根式，故該選項符合題意；

B選項：4=包,不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

C選項：^/05=.f=—

,不是最簡二次根式，故該選項不符合題意;

\22

O選項：&=20,不是最簡二次根式，故該選項不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義是關鍵.

3.下列計算正確的是（）

A.夜+次=而B.3應-0=20C.2石+如=26D.近

拒2

【分析】根據二次根式的加減法法則以及二次根式的乘除法法則逐項分析即可.

【解答】解：A.3與次=3不是同類二次根式，不能合并，不正確，故不符合題意;

B.3A/2-^2=2A/2,原計算正確，故符合題意;

2布+而=2《=也,原計算不正確，故不符合題意;

C.

V2X-LI,原計算不正確，故不符合題意；

D.=

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的加減法，以及二次根式的乘除法運算，熟練掌握運算法則是解答本題的

關鍵.

4.某射擊隊準備挑選運動員參加射擊比賽，下表是其中一名運動員10次射擊的成績(單位：環)，則該名

運動員射擊成績的平均數是()

成績88.5910

頻數3241

A.8.9B.8.7C.8.3D.8.2

【分析】根據加權平均數公式計算即可.

【解答】解：該名運動員射擊成績的平均數是：：x(8x3+8.5x2+9x4+10xl)=8.7(環)，

故選：B.

【點評】本題考查了加權平均數以及頻數分布表，掌握加權平均數的計算公式是解答本題的關鍵.

5.若點A(-2,%),8(3,%),C(l,%)在一次函數y=-2x+6(6是常數)的圖象上，則丹,必，%的大小關

系是()

A.為B.C.D.%<%<為

【分析】由左=-2<0,利用一次函數的性質，可得出y隨x的增大而減小，再結合-2<1<3,即可得出

【解答】解：?.7=—2<0,

隨x的增大而減小，

又?.?點A(-2,y),B(3,%)，C(L%)在一次函數y=—2x+6S是常數)的圖象上，且—2<1<3,

故選：B.

【點評】本題考查了一次函數的性質，牢記“左>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x的增大而減小”

是解題的關鍵.

6.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=3,AD=5,NABC的平分線交AD于E,交8的延長線于點歹,

則。尸=()

E

'D

BC

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據平行四邊形的性質得到AB//CD,AD//BC,結合角平分線的性質推出

ZAEB=ZABE=ZF=ZDEF,得至UAE=AB=3,即可求出。石=。/=AD—AE=5—3=2.

【解答】解：?.?四邊形是平行四邊形，

:.AB//CD,AD//BC,

:.ZABF=ZF,ZAEB=ZCBE,

???5石平分NABC,

:.ZABE=ZCBEf

.\ZAEB=ZABE=ZF=ZDEF,

AE=AB=3,

:.DF=DE=AD-AE=5-3=2,

故選：C.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質，角平分線的計算，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵.

2

9

7.如圖，直線y=—x+6和>=區+3分別與x軸交于點4(-3,0),點8(2,0),則不等式組§的解集

3

Ax+3>0

B.x<-3C.JTV—3或無>2D.—3<x<2

【分析】把4-3,0),點3(2,0)代入不等式組，依據圖象直接得出答案即可.

7

【解答】解：?.?直線y=+b和y=fcc+3分別與x軸交于點A(—3,0),點5(2,0),

2

—X+Z7<0,,戶一、r

3的解集為無v—3,

kx+3>0

故選：B.

【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式的知識，解題的關鍵是根據兩條直線與X軸的交點坐標及直

線的位置確定不等式組的解集.

8.圖中反映某網約車平臺收費y（元）與所行駛的路程x（千米）的函數關系，根據圖中的信息，當小明通

過該網約車從家到機場共收費64元，若車速始終保持60千米/時不變，不考慮其它因素（紅綠燈、堵車

等），他從家到機場需要（）

A.10分鐘B.15分鐘C.18分鐘D.20分鐘

【分析】根據題意可得當x>3時，y與x的函數關系式，再把y=64代入函數關系式求出x的值，然后根據

網約車的速度可得答案.

【解答】解：根據圖象可知，收費64元，行程已超過3千米，

設當x>3時，y與x的函數關系式為y=履+6,

口H?/口l3k+6=13

根據達思，侍：[10k+b=3^

解得

[b=4

y=3x+4（x>3）,

當y=64時，3x+4=64,

解得x=20,

20-60x60=20（分鐘）.

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數的應用，求出相關函數關系式是解答本題的關鍵.

9.已知一次函數y=fcc+3左-2（左W0,左是常數），則下列結論正確的是（）

A.若點A（2,8）在一次函數y=fcc+3左-2的圖象上，則它的圖象與兩個坐標軸圍成的三角形面積是2

B.若業—2>0,則一次函數、=辰+3左-2圖象上任意兩點E（q,伉）和尸肛，仇）滿足：

（%—%）（乙一4）<0

C.一次函數丫=履+3左-2的圖象不一定經過第三象限

D.若對于一次函數y=tc+7（r#0）和>=爪+3左一2,無論x取任何實數，總有比+7>區+3左一2,則左

的取值范圍是0＜上＜3或不＜0

【分析】4、利用待定系數法求得解析式，即可求得與坐標軸的交點，從而求得圖象與兩個坐標軸圍成的三

角形面積，即可判斷；

8、根據一次函數的性質即可判斷；

C、求得一次函數y=履+3左-2的圖象過定點(-3,-2)即可判斷；

D、由題意可知兩直線平行，當左＞0時，貝U3左—2＜7,當左＜0時，3左一2＜7一定成立，解不等式即可求

得上的取值，即可判斷.

【解答】解：A、?rA(2,8)在一次函數、=履+3左一2的圖象上，

8=2k+3左一2,

.'.k=2,

二.一次函數為y=2x+4,

.?.它的圖象與兩個坐標軸的交點為(-2,0),(0,4),

...圖象與兩個坐標軸圍成的三角形面積是工x2x4=4,故A錯誤，不合題意；

2

B、?.?3左—2＞0,

二.女〉一，

3

二丁隨工的增大而增大，

???(4一%)(4-4)＞。，故5錯誤，不合題意；

C、y-kx+3k—2—k(x+3)—2,

1'次函數y=依+3k—2的圖象過定點(—3,—2),

.?.一次函數＞=履+3左-2的圖象一定經過第三象限，故C錯誤，不合題意；

：對于一次函數y=Zx+7QwO)和y=Ax+3左-2,無論x取任何實數，總有比+7＞區+3人-2,

/.直線y-tx+1與直線y=辰+3左一2平彳亍，

???一次函數＞=履+3左-2的圖象過定點(-3,-2),

二.當左＞0時，3左一2＜7,

解得0＜無＜3,

當左＜0時，3左一2＜7一定成立，

.,"的取值范圍是0＜左＜3或左＜0,故。正確，符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數與不等式的相關知識，是難點和易錯點，解答此題關鍵是熟知一次函數圖象上

點的坐標特征，確定函數與系數之間的關系.

10.如圖，在邊長為10的正方形ABCD對角線上有E、尸兩個動點，=點P是中點，連接

AE、PF,則/場+PR的最小值為（)

A.545B.10A/5C.5A/2D.10

【分析】設CD的中點。，連接尸0，EQ,先求出30=100,證尸。是ACBD的中位線，得PQ//BD,

PQ=：BD=50,再結合已知條件可判定四邊形尸QEF為平行四邊形，進而得求M+PF就是求AE+QE

的最小值，然后根據線段的性質可得AE+EQ為最小即為線段AQ的長，最后運用勾股定理求出AQ即可.

【解答】解：設CD的中點。，連接尸。，EQ,如圖所示：

?.?四邊形ABCD是正方形，且邊長為10,

:.AB=BC=CD=AD=\Q,ZADC=ZDAB=90°,

在RtAABD中，AB=AD^10,

由勾股定理得：BD=7AT>2+AB2=1072,

,點P為8C的中點，點。為DC的中點,

是ACB。的中位線，

PQ//BD,PQ=^BD=5^2,

又：AB=V22EF,

5_AB_10

砂=正=正=5A/2,

:.PQ=EF,

.??四邊形尸。跖為平行四邊形，

:.PF=EQ,

要求鉆+小的最小值，只需求出AE+QE的最小值即可，

根據“兩點之間線段最短”得：AE+EQ..AQ,

.?.當A,E,0在同一條直線上時，AE+EQ為最小,最小值為線段A。的長，

?.?30=10,點。時CD的中點，

/.DQ=5,

在RtAADQ中，DQ=5,AD=10,

由勾股定理得，AQ=4AD1+DQT=575.

故選：A.

【點評】此題主要考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形的中位線定理，線段的性質，勾

股定理等，解答此題的關鍵是熟練掌握正方形的性質，以及平行四邊形的判定和性質，理解三角形的中位線

平行第三邊并且等于第三邊的一半，難點是根據線段的性質確定當當A,E,。在同一條直線上時，AE+EQ

為最小，最小值為線段4。的長.

二、填空題。（共6小題，每小題3分，共18分）

11.已知函數y=（7"-l）x"i是一次函數，則7W=0.

【分析】根據一次函數的定義進行解答即可.

【解答】解：根據一次函數丫=去+6中左20,自變量次數是1得：

m—1^0,

即機wl,且療+1=1,

解得加=0.

故答案為：0.

【點評】本題考查了一次函數的定義，掌握一次函數的定義是解答本題的關鍵.

12.一組數據1,2,4,6,x的中位數和平均數相等，則x的值是-3或7或上.

—4―

【分析】根據中位數、平均數的意義列方程求解即可.

【解答】解：由于數據1,2,4,6,x的中位數可能為2、4、x,且這組數據1,2,4,6,x的中位數和

平均數相等，

所;以1+2+4+6+%2或1+2+4+6+%或1+2+4+6+%

555

解得X=—3或x=7或尤=一，

4

故答案為：-3或7或

4

【點評】本題考查中位數、算術平均數，掌握中位數、算術平均數的計算方法是正確解答的前提.

13.如圖，以直角A4BC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為岳、邑、邑，且岳＜星＜星，若￡=9,

【分析】直接根據勾股定理的幾何意義即可得出結論.

【解答】解：,JAABC是直角三角形，S[=9,$3=25,

/.S2=S3—Sj=25—9=16.

故答案為：16.

【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長

的平方是解題的關鍵.

14.如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC,8D相交于點O,DHLAB于點H,連接O",ZCAD25°,

則ZDHO的度數是_25。_.

【分析】由菱形的性質可得BO=OD,ZDAO25°,ACYBD,可求NABD=65。,

由直角三角形的性質可求解.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是菱形，

:.AD=AB,BO=OD,ZDAO=ZBAO=25°,ACLBD,

:.ZABD=65°,

?;DHLAB,BO=DO,

:.HO=DO,

ZDHO=ZBDH=90°-ZABD=25°,

故答案為25。.

【點評】本題考查菱形的性質，直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問

題，屬于中考常考題型.

15.如圖，含30。角的直角三角形紙片AOB在平面直角坐標系中放置，將該紙片繞著原點O按順時針方向

旋轉60。得到△AOH,連結AY,BB,M,N分別為58的中點，若OB=2,則直線MN與y軸

的交點坐標為_(0,-24)_.

【分析】通過解直角三角形，可求出Q4,AB的長，進而可得出點A的坐標，結合旋轉的性質，可得出點

次的坐標及AO即為等邊三角形，由點〃為線段AA的中點，可求出點M的坐標，過點夕作80,無軸于

點。，利用勾股定理，可求出8D的長度，進而可得出點方的坐標，由點N為線段面的中點，可求出點

N的坐標，利用待定系數法，可求出直線的函數解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征，即可求

出直線與y軸的交點坐標.

【解答】解：在RtAAOB中，ZOAB^30°,ZOBA=90°,OB=2,

.?.04=203=2x2=4,點3的坐標為(2,0),

AB=yjo^-OB2=V42-22=273,

.,.點A的坐標為(2,2?.

由旋轉的性質可知：OV=Q4=4,08=08=2,N/VO8=60。，

.?.點A'的坐標為(4,0),AOBB'為等邊三角形.

?.?點M為線段A4,的中點，

點M的坐標為(3,若).

過點9作80,x軸于點。，如圖所示，

?.?AOB笈為等邊三角形，

:.OD=-OB=-x2=l,

22

B'D=yJOB'2-OD2=A/22-12=A/3,

...點B'的坐標為（1,-A/3）.

?.?點N為線段面的中點，

.?.點N的坐標為.

設直線MN的解析式為y=kx+b（k手0）,

「卜女+b=

將,N（]，-代入y=Ax+b得：＜3#

[2+

解得：卜3廠，

b=-2A/3

直線MN的解析式為y=氐-2班.

當x=0時，^=若*0-2石=-26，

直線與y軸的交點坐標為（0,-2/）.

故答案為：（0,-2后）.

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、含30度角的直角三角形、旋轉、勾股定理以及待定系

數法求一次函數解析式，根據點M,N的坐標，利用待定系數法求出直線MN的解析式是解題的關鍵.

16.如圖，正方形ABCD的邊長為2,點E為對角線AC上一動點（點E不與A、C重合），過點E作

交直線CD于尸，將線段防繞點廠逆時針旋轉90。得到線段GF,連接G4,GB,GC,下列結論：①EB=EF；

②ACLGC；③CE+CG=0CB；④G4+G3的最小值為2百，其中正確的是①②③④.（填寫所有

正確結論的序號）

AD

G

【分析】過后作到1_L6C,EN±CD,可證ABEM二AFEN得BE=EF,故①正確;

可證四邊形班FG是正方形，得NEBG=90。,BE=BG,可證NABE^NCBG,進而得到AAB￡1二ACSG,

所以NBAE=NBCG,得NBC4+NBCG=90。，即NACG=90。，可證②正確；

由②可知，MBEwACBG,所以AE=CG,而CG+CE=M+CE=AC可求，③正確.

由“SAS”可證ABCG二AHCG,可得BG=GH,當點G,點A,點“三點共線時，AG+GH有最小值,

由勾股定理可求A"的長，故④正確，即可求解.

【解答】解：過石作石版_L5c于點作石N_LS于點N,作石于"，連接5G,

???四邊形ABCD是正方形，AC平分NBCD,

:.EM=EN,

-.-ZEMC=ZMCN=ZINC=90°,

,\ZMEN=90°,

?.?EF_LBE,

,ZBEM+ZMEF=NFEN+ZMEF=90。,

:.ZBEM=NFEN,

???ZEMB=ZENF=90。,EM=EN,

:.ABEM=AFEN(ASA),

:.BE=EF,故①正確；

???ZBEF=NEFG=9U。,EF=FG,BE=EF,

...BE=FG,BE//FG,

.?.四邊形班FG是平行四邊形,

???ZBEF=900,BE=EF,

二.四邊形3￡FG是正方形，

二ZEBG=90。,BE=BG,

???ZABC=90°,

ZABE+ZEBC=ZEBC+ZCBG=90°,

,\ZABE=ZCBG,

又?.?AB=BC,BE=BG,

:.AABE二ACBG(SAS),

:.ZBAE=ZBCG=45°f

:.ZBAE^-ZBCA=90o,

:.ZBCA-^ZBCG=90°,即NACG=90。，

.-.AC±GC,故②正確；

由②可知，AABE=ACBG,

:.AE=CG,

CG+CE=AE+CE=AC，

-/ZACB=45°,

AC=y/2BC,

:.CG+CE=^/2BC,故③正確，

如圖，延長DC至“，使CH=3C=2,連接3G,GH,

NBCG=45°,ZBCH=90°,

:.ZBCG=ZGCH=45°,

又,；BC=CH,CG=CG,

ABCG^AHCG(SAS),

:.BG=GH,

:.AG+BG=AG+GH,

當點G,點A,點〃三點共線時，AG+GH有最小值，即AG+3G有最小值為AH的長,

2

AH=4AEr+DH=也+(2+2)2=275,

.?.AG+3G的最小值為2百，故④正確，

故答案為：①②③④.

AD

【點評】本題是三角形綜合題，考查了旋轉的性質，正方形的判定與性質，角平分線的性質，勾股定理，全

等三角形的判定與性質，綜合運用正方形的判定與性質定理，勾股定理等知識是解題的關鍵.

=,解答題（共8小題，共72分）

17.計算：

（1）^/45+^/^25-^/20；

⑵回嚴一3日

【分析】（1）先根據二次根式的性質進行化簡，再根據二次根式的加減法法則進行計算即可；

（2）先根據二次根式的性質進行計算，再根據二次根式的乘法和除法法則進行計算，最后根據二次根式的

減法法則進行計算即可.

【解答】解：（1）屈+-而

=3行+5店-2百

=6A/5；

⑵畫產-3立

三-30

=10^-372

=7&.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，能正確根據二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵.

18.如圖，在平行四邊形A5CD中，點廠是CD的中點，連接面并延長，交AD的延長線于點E,連接CE.

（1）求證：DE=BC-,

（2）當平分"SC時，請你判定四邊形3CED的形狀并加以證明.

【分析】（1）根據平行四邊形的性質及平行線的性質得出NEDF=N3CF,由ASA證ADEE三AUS,根據

全等三角形的性質即可得解；

（2）由全等三角形的性質得EF=M,再證四邊形B回是平行四邊形，根據角平分線定義及平行線的性

質得出NDBF=NDEB,則的=DE,即可判定平行四邊形3CED是菱形.

【解答】（1）證明：?.,四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD//BC,

:.ZEDF=ZBCF,

?.?點/是8的中點，

:.DF=CF,

在ADEE和ACFB中，

ZEDF=ZBCF

DF=CF,

ZDFE=NCFB

:.&DFE=ACFB（ASA）,

DE=BC；

（2）解：四邊形BCED是菱形，理由如下：

由（1）可知，ADFE=ACFB,

:.EF=BF,

?,DF=CF,

.?.四邊形BCED是平行四邊形，

?.?BF平分ZDBC,

:.ZDBF=ZCBF,

?.AD//BC,

；.ZDEB=NCBF,

:.ZDBF:ZDEB,

BD=DE,

.?.平行四邊形及汨）是菱形.

【點評】本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握菱

形的判定，證明三角形全等是解題的關鍵.

19.為了提高學生課外海量閱讀，某中學開展了一系列課外閱讀活動，組織七，八兩個年級全體學生進行課

外閱讀知識競賽，學校從七，八兩個年級中各隨機抽取。名同學的競賽成績，并對他們的競賽成績進行收集、

整理、分析，過程如下：（調查數據用x表示，共分為四個等級：A等：9噫於100,B等:80?x<90,C

等：70,,x<80,。等：60?x<70,其中A等級為優秀，單位：分）

收集數據：

七年級抽取的C等學生人數是A等學生人數的3倍；

八年級抽取的3等學生成績為：81,83,88,85,82,89,88,86,88

抽取七，八年級學生競賽成績的平均數、中位數、眾數、優秀人數如表所示：

頻數

O

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ABCD等級

七年級抽取數據的統計圖八年級抽取數據的扇形統計圖

七年級八年級

平均數8585

中位數86b

眾數8688

優秀人數C5

（1）根據以上信息，解答下列問題：

以上數據中：a=20,b=—,c=—,并補全條形統計圖；

（2）根據以上數據，你認為該校七，八年級中哪個年級學生競賽成績更好？并說明理由（說明一條理由即

可）；

（3）若該校七，八年級共有1600人，估計兩個年級學生的競賽成績被評為優秀的總人數是多少？

【分析】（1）用八年級3等級的人數除以扇形統計圖中3的百分比可得。的值；根據中位數的定義可得匕的

值；由題意可得七年級抽取的A等學生人數是c人，則七年級抽取的C等學生人數是3c人，可列方程為

c+8+3c+4=20,求出c的值即可；根據七年級抽取的A等和C等學生人數補全條形統計圖即可.

（2）結合中位數的意義可得結論.

（3）根據用樣本估計總體，用1600乘以樣本中七、八年級A級的學生人數所占的百分比之和，即可得出答

案.

【解答】解：（1）由題意得，。=9+45%=20.

由八年級抽取數據的扇形統計圖知，A等級的人數為20x里=5（人）,

360

將八年級的競賽成績按照從大大小的順序排列,排在第10和11的是82,89,

."立紇85.5.

2

由題意得，七年級抽取的A等學生人數是。人,則七年級抽取的C等學生人數是3c人,

c+8+3c+4=20，

解得c=2.

故答案為：20；85.5；2.

補全條形統計圖如圖所示.

頻數

ABCD等級

七年級抽取數據的統計圖

（2）我認為七年級學生知識競賽成績更好.

理由：七年級學生知識競賽成績的中位數為86,大于八年級學生知識競賽成績的中位數85.5,

所以七年級學生知識競賽成績更好.

2+5

（3）1600x----=280（人）.

40

，估計兩個年級學生的競賽成績被評為優秀的總人數約280人.

【點評】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、中位數、眾數、加權平均數、用樣本估計總體，能夠讀懂統計

圖，掌握用樣本估計總體、中位數的定義是解答本題的關鍵.

20.某動物園在周年慶來臨之際，推出A、3兩種紀念章.已知每個A種紀念章的進價比每個5種紀念章

的進價多4元；購進6件A種紀念章和購進10件8種紀念章的費用相同，且A種紀念章售價為13元/個,

B種紀念章售價為8元/個.

(1)每個A種紀念章和每個B種紀念章的進價分別是多少元？

(2)根據網上預約的情況，該園計劃用不超過2800元的資金購進A、B兩種紀念章共400個，這400個

紀念章可以全部銷售，選擇哪種進貨方案，該園獲利最大？最大利潤是多少元？

【分析】(1)設每個A種紀念章的進價是x元，每個B種紀念章的進價是y元，根據“每個A種紀念章的進

價比每個8種紀念章的進價多4元；購進6件A種紀念章和購進10件3種紀念章的費用相同”，可列出關

于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

(2)設購進，"個A種紀念章，則購進(400-加)個3種紀念章，利用進貨總價=進貨單價*進貨數量，結合

進貨總價不超過2800元，可列出關于根的一元一次不等式，解之可得出機的取值范圍，設這400個紀念章

全部售出后，該園獲得的總利潤為W元，利用總利潤=每個的銷售利潤x銷售數量(購進數量)，可得出狡

關于機的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題.

【解答】解：(1)設每個A種紀念章的進價是龍元，每個3種紀念章的進價是y元，

根據題意得：尸一二4,

[6x=10y

解得：仁？

答：每個A種紀念章的進價是10元，每個3種紀念章的進價是6元；

(2)設購進機個A種紀念章，則購進(400-個3種紀念章，

根據題意得：10m+6(400-汕”2800,

解得：tn,,100.

設這400個紀念章全部售出后，該園獲得的總利潤為桃元，則川=(13-10)加+(8-6)(400-㈤,

即w—根+800，

W隨"2的增大而增大，

.?.當"7=100時，.取得最大值，最大值=100+800=900,此時400-祖=400-100=300.

答：當購進100個A種紀念品，300個5種紀念品時，該園獲利最大，最大利潤是900元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：

(1)找準等量關系，正確列出二元一次方程組；(2)根據各數量之間的關系，找出W關于加的函數關系式.

21.如圖，在AABC中，D、E分別是AB、AC的中點.BE=2DE,延長DE到點F，使得EF=BE,連

接CF.

(1)求證：四邊形BCFE是菱形；

(2)若CE=4,ZBCF=120°,求菱形3CFE的面積.

【分析】(1)由三角形中位線定理得DE/ABC,且3c=2DE,再證四邊形3aE是平行四邊形，然后由菱

形的判定即可得出結論；

(2)由菱形的性質得"吹=N3CF=120。，ZBCE=ZBEC=60°.再證AEBC是等邊三角形.得

BE=BC=CE=4.過點E作EG_L8C于點G.則BG=LBC=2.然后由勾股定理求出EG的長，即可解

2

決問題.

【解答】(1)證明：?.?￡＞、E分別是AB、AC的中點，

.?.DE是A4BC的中位線，

:.DE//BC,且BC=2DE,

-：BE=2DE,EF=BE,

:.EF=BC,EFIIBC,

：.四邊形BCFE是平行四邊形，

又YBEUFE,

，平行四邊形3CEE是菱形；

(2)解：?.?四邊形3CEE是菱形，

:.ZBEF=ZBCF=120。,

ZBCE=NBEC=1x120°=60°.

2

AEBC是等邊三角形.

:.BE=BC=CE=4.

過點E作EGL3C于點G,

:.BG^-BC=2.

2

EG=《BE2-BG2=V42-22=2百，

S菱形BCFE=BC-EG=4x2#=8#.

【點評】本題考查了菱形判定與性質、平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定理、等邊三角形的判定與

性質以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵.

22.如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC與RD交于點O.

（1）尺規作圖：作NS4Z）的角平分線，交BD于點、F,交3C于點E；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若OC=BE.

①求NE4O的度數；

②求的值.

【分析】（1）利用基本作圖作N&4D的平分線即可；

（2）①先根據矩形的性質得到Q4=O3=OC,ZABC=ZBAD=90°,再證明AABE為等腰直角三角形得到

BE=AB,證明△M3為等邊三角形得到N54C=60。，然后計算NSAC-N&4E即可；

②過尸點作于“點，如圖，設3H=x,利用含30度角的直角三角形三邊的關系得到3F=2x,

HF=后,利用等腰直角三角形的性質得到AH=族=后，然后計算AB戶的值.

【解答】解：（1）如圖，BE為所作;

（2）①?.?四邊形ABCD為矩形,

,\OA=OB=OC,ZABC=ZBAD=90°,

\OC=BE,

OA=OB=BE，

?.?AE平分NBAD,

:.ZBAE=45°,

」.AABE為等腰直角三角形，

BE=AB9

:.OA=OB^AB,

.?.AQ4B為等邊三角形，

:.ZBAC=60°,

.NEAO=NftAC—NE4E=60。—45。=15。；

②過尸點作FW，Afi于H點，如圖，設3"=x,

?.?AO鉆為等邊三角形，

：.ZABF=60°,

BF=2x,HF=>/3x,

-.■ZHAF=45°,

AH=HF=?x,

AB=AH+BH=(y[3+V)x,

AB:BF=(退+l)x:2x=(若+1):2.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵.也考查了角平分線的性質

和矩形的性質.

23.如圖，在平面直角坐標系中，直線/:y=gx+2與x軸交于點8,將直線y=沿y軸向上平移4個

單位與直線/交于點A,與x軸交于點C.

(1)求點A坐標；

(2)點。(0,6),連接相>,BD,求AMD的面積；

(3)點P為線段上一點，點Q為線段AC延長線上一點，且3P=CQ,連接尸。交x軸于點E,設點P

的橫坐標為加，四邊形APEC的面積為S,求S與機的函數關系式.(不需求自變量的取值范圍)

y

【分析】(1)依據平移的規律可得直線y=-工x+4,再根據方程組的解即為交點坐標，即可得到點A的坐

3

標；

(2)利用割補法進行計算，即可得到AABD的面積；

(3)過P作尸產_Lx軸于尸，過。作。G_Lx軸于G,判定ABP產=ACQG(A45),可得M=CG,PF=QG；

再判定APEF=AQEG(A4S),可得FE=GE」FG=9；設尸(加,Lw+2),貝！13尸=帆+6,進而得出

~23

BE=m+15,最后根據四邊形APEC的面積=S,C-SAPBE進行計算即可得出S與旭的函數關系式.

【解答】解：(1)將直線>龍沿y軸向上平移4個單位可得y=-gx+4,

1,

y=--x+4r

解方程組」，可得?一3

1cy=3

y=—x+21

I3

.?.點A的坐標為(3,3)；

.?.點B的坐標為(-6,0),直線I與y軸交于(0,2),

又：點D(0,6),

，SMB0=gx(6-2)x(6+3)=18；

(3)如圖所示，過P作尸尸，x軸于F,過。作。G,無軸于G,

在y=—g%+4中，令y=0,則x=12,

C(12,0),

：.AB=AC=3^,5c=18,

/.ZPBF=ZACB=ZGCQ,

XvZPFB=ZQGC=90°fBP=CQ,

:.ABPF=ACQG(AAS),

:.BF=CG,PF=QG,

,\BC=FG=12-(-6)=18,

又NPFE=NQGE=90。,ZPEF=ZQEG,

:.APEF=AQEG(AAS)f

：.FE=GE=LFG=9,

2

設尸(也;加+2),貝!J3T7=m—(―6)=加+6,

/.JB￡,=m+6+9=m+15,

又?.?A(3,3),C(12,0),

四邊形APEC的面積=S^BC-S^BE

=g*18x3-gx(7w+15)xg〃+2)

17

=——m2"加+12，

62