專題01三角形的證明（易錯必刷41題13種題型專項訓練）

型大裳合

A角平分線的性質A線段垂直平分線的性質

A等腰三角形的性質A等腰三角形的判定

A等腰三角形的判定與性質A等邊三角形的性質

A等邊三角形的判定A等邊三角形的判定與性質

A含30度角的直角三角形

A直角三角形的性質A勾股定理的證明

A勾股定理

A勾股定理的證明

盛型大通關

角平分線的性質（共7小題）

1.如圖，在四邊形ABCZ）中，ZA=90°,AD=3,連接8。，BDLCD,ZADB=ZC.若P是8C邊上一

動點，則DP長的最小值為（）

3D.12

【答案】C

【解答】解：過點。作交8c于點H,如圖所示：

BH

\'BD±CD,

：.ZBDC=90°,

又：NC+NBOC+NZ）2c=180°,

ZADB+ZA+ZABD=180°

ZADB^ZC,ZA=90°,

/ABD=NCBD,

：.BD是ZABC的角平分線，

JL'.'ADIAB,DHLBC,

：.AD^DH,

又：AO=3,

：.DH=3,

又.?.點。是直線BC外一點，

...當點尸在BC上運動時，點P運動到與點H重合時。尸最短，其長度為。8長等于3,

即。尸長的最小值為3.

故選：C.

2.如圖，直線/1,12,/3表示三條相交叉的公路.現在要建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則

可供選擇的地點有（）

A.四處B.三處C.兩處D.一處

【答案】A

【解答】解：滿足條件的有：

(1)三角形兩個內角平分線的交點，共一處；

(2)三角形外角平分線的交點，共三處.

故選：A.

3.如圖，△ABC的三邊A3、AC.BC的長分別為4、6、8,其三條角平分線將△ABC分成三個三角形，則

SAOAB：SAOAC：SAOBC=()

A.2：3：4B.1：1：1C.1：2：3D.4：3：2

【答案】A

【解答】解：過點。作OD_LA8于。，OELACE,OF_LBC于R

是三角形三條角平分線的交點，

：.OD=OE=OF,

\'AB=4,AC=6,BC=8,

.?.SAOAB：S^OAC：S^OBC=2：3：4.

故選：A.

4.在△ABC內一點P到三邊的距離相等，則點P一定是△ABC()

A.三條角平分線的交點

B.三邊垂直平分線的交點

C.三條高的交點

D.三條中線的交點

【答案】A

【解答】解：???點P到AABC的三邊的距離相等，

點P應是AABC三條角平分線的交點.

故選：A.

5.如圖：在△ABC中，是N3AC的平分線，DE1ACE,DFLABF,且FB=CE,則下列結論:

①DE=DF,②AE=AF,③BD=CD,@AD±BC.其中正確的個數有（）

【答案】D

【解答】解：平分/BAC,DE±AC,DFLAB,

：.DE=DF,...①正確；

由勾股定理得：加2_0.2,AE=4皿2_pE2,

"：AD=AD,DF=DE,

：.AE^AF,...②正確；

"：AF=AE,BF=CE,

：.AB=AC,

平分NBAC,

：.BD=DC,AD±BC,

③④都正確；

.?.正確的有4個.

故選：D.

A

6.如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC,AB于點M、N,

再分別以點M、N為圓心，大于工的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點。，若

2

C￡>=3,AB=10,則△AB。的面積是15.

【答案】見試題解答內容

【解答】解：如圖，作于E,

由基本尺規作圖可知，40是△ABC的角平分線，

VZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=3,

：.AABD的面積=_lxABXr）E=JLX10X3=15,

22

故答案為：15.

7.兩個城鎮A、8與兩條公路ME,M尸位置如圖所示，其中ME是東西方向公路.現電信部門需在C處修

建一座信號發射塔，要求發射塔到兩個城鎮A、B的距離必須相等，到兩條公路ME,板的距離也必須

相等，且在的內部，請在圖中，用尺規作圖找出符合條件的點C（不寫已知、求作、作法，只保

留作圖痕跡）

廣

A?/

ME

【答案】圖形見解答內容.

點C即為所求作的點.

二.線段垂直平分線的性質（共2小題）

8.如圖，在△A8C中，AB邊的中垂線QE,分別與AB、AC邊交于點。、E兩點，BC邊的中垂線EG,分

別與BC、AC邊交于點AG兩點，連接BE、8G.若△BEG的周長為16,GE=1.則AC的長為（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

【解答】解：：DE是線段的中垂線，GF是線段BC的中垂線，

：.EB=EA,GB=GC,

△BEG周長為16,

；.EB+GB+EG=16,

：.EA+GC+EG=16,

：.GA+EG+EG+EG+EC=16,

；.AC+2EG=16,

"：EG=l,

：.AC=14,

故選：B.

9.如圖，△ABC中，。是AB的中點，DELAB,ZAC￡+ZBC￡=180°,EF_LAC交AC于尸，AC=12,

BC=8,則AP=10

D.

E

BC

【答案】見試題解答內容

【解答】解：連接AE,BE,過E作EG_LBC于G,

?.,。是A3的中點，DELAB,

...■DE垂直平分AB,

：.AE=BE,

VZACE+ZBCE^180°,NECG+/BCE=18。°,

ZACE=ZECG,

XVEFXAC,EGLBC,

：.EF=EG,ZFEC^ZGEC,

'：CF±EF,CG±EG,

：.CF=CG,

在Rt/XAEF和RtABEG中，

[AE=BE,

IEF=EG，

RtAAEF^RtABEG(HL),

：.AF=BG,

設CF=CG=x,貝!IAF=AC-CF=12-x,BG=BC+CG=S+x,

/.12-x=8+x,

解得x=2,

：.AF=12-2=10.

三.等腰三角形的性質（共6小題）

10.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC,ZB=70°,則/C的度數為（)

【答案】A

【解答】解：中，AB=AD,NB=10°,

:.NB=/ADB=70°,

AZADC=180°-ZADB=U0°,

\'AD=CD,

，NC=（180°-ZADC）+2=（180°-110°）+2=35°,

故選：A.

11.已知等腰三角形的一個外角等于100。，則它的頂角是（）

A.80°B.20°C.80°或20°D.不能確定

【答案】C

【解答】解：①若100°是頂角的外角，則頂角=180°-100°=80°；

②若100°是底角的外角，則底角=180°-100°=80°,那么頂角=180°-2X80°=20°.

故選：C.

12.在等腰△ABC中，AB^AC,中線2。將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形

的底邊長為（）

A.7B.11C.7或11D.7或10

【答案】C

【解答】解：設等腰三角形的底邊長為x,腰長為y,則根據題意，

ZZ

X垮=15X專=12

得。或②{

y+f=12y+y=15

解方程組①得：1x=ll,根據三角形三邊關系定理，此時能組成三角形；

Iy=8

解方程組②得：,根據三角形三邊關系定理此時能組成三角形，

ly=10

即等腰三角形的底邊長是11或7；

故選：c.

13.如圖，一鋼架中，ZA=15°,焊上等長的鋼條來加固鋼架.若AP=PP2,則這樣的鋼條最多只能焊

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解答】解：如圖:

NA=NPP2A=15°

???/尸2Plp3=30°,NPP3P2=30°

???/尸1尸2尸3=120°

???NP3P2尸4=45°

???NP3尸4P2=45°

???NP2P3P4=90°

???/尸4尸3P5=60°

???NP3P5P4=60°

???/尸3尸4尸5=60°

???NP5P4尸6=75°

???/尸4尸6尸5=75°

???NP4尸5尸6=30°

???/尸6尸5尸7=90°,此時就不能在往上焊接了，綜上所述總共可焊上5條.故應選8.

p

p7

Pi5

Pl

&P&P6P6

14.如圖，在等腰△ABC中，AB^AC,點。在8C上，5.AD=AE.

(1)若/A4c=90°,ZBAD=30°,求/即C的度數.

(2)若NBAC=a(a>30°),ZBAD=30°,求/EQC的度數.

(3)猜想NEOC與/氏4。的數量關系.(不必證明)

【答案】見試題解答內容

【解答】(1)解：：NR4C=90°,AB=AC,

：.ZB=ZC=1.(180°-ZBAC)=45°,

2

ZADC=ZB+ZBAD=450+30°=75°,

VZDAC=ZBAC-ZBAD=90°-30°=60°,

"：AD=AE,

：.ZADE=ZAED=1.(180°-Z￡>AC)=60°,

2

；./EDC=NADC-NADE=75°-60°=15°,

答：NEQC的度數是15°.

(2)解：與(1)類似：ZB=ZC=1(180°-ZBAC)=90°-la,

22

ZADC=ZB+ZBAD=900-4+30°=120°-Aa,

22

'：ZDAC=ZBAC-ZBAD=a-3QQ,

ZADE=ZAED^l.(180°-ZDAC)=105°-Aa,

22

ZEDC=ZADC-ZADE=(120°-Aa)-(105°-Aa)=15°,

22

答：/皮＞。的度數是15°.

(3)/EDC與NR4D的數量關系是

2

15.如圖，在△ABC中，AB=AC,。是8C上任意一點，過點D分別向48、AC引垂線，垂足分別為￡、

F,CG是A3邊上的高.

(1)當。點在8C什么位置時，DE=DF?并證明；

(2)線段。E,DF,CG的長度之間存在怎樣的數量關系？并加以證明.

【答案】見試題解答內容

【解答】解：(1)當點。在BC的中點時，DE=DF,理由如下:

?.?。為中點,

：.BD=CD,

'：AB^AC,

：.ZB=ZC,

'：DE1AB,DFLAC,

；./DEB=/DFC=90°,

在ABED和△CFD中

rZB=ZC

-ZDEB=ZDFC-

BD=CD

:.△BEDWACFD(A45),

：.DE=DF.

(2)DE+DF=CG.

證明：如圖，連接AD,貝1JSZ\ABC=S/\ABD+SZ\ACD,

^1.AB-CG=1AB'DE+1AC'DF,

222

'：AB=AC,

：.CG=DE+DF.

四.等腰三角形的判定（共2小題）

16.已知△ABC的三邊長分別為4、4、6,在△ABC所在平面內畫一條直線，將AABC分割成兩個三角形,

使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）條.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解答】解：如圖所示:

當AC=C。，AB=BG,AF=CF,時，都能得到符合題意的等腰三角形（ADAE,AF,AG分

別為分割線）.

故選：B.

17.如圖，己知每個小方格的邊長為1,A,8兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C,使aABC

為等腰三角形，則這樣的頂點C有（）

A.8個B.7個C.6個D.5個

【答案】A

【解答】解：當48為底時，作的垂直平分線，可找出格點C的個數有5個,

當A3為腰時，分別以A、3點為頂點，以A2為半徑作弧，可找出格點C的個數有3個;

，這樣的頂點C有8個.

故選：A.

五.等腰三角形的判定與性質（共3小題）

18.如圖，BP是/ABC的平分線，APLBP于P,連接PC,若△ABC的面積為1CM?,則的面積為

)

A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.不能確定

【答案】B

【解答】解：如圖，延長AP交8c于E,

尸平分NABC,

ZABP=ZEBP,

'AP±BP,

：.ZAPB=ZEPB=9Q°,

:.AABP咨AEBP(ASA),

：.AP=PE,

:&ABP=SAEBP,SAACP=5AECP,

.".SAPBC——S^ABC——X1=0.5(cm2),

22

故選：B.

19.如圖，在△ABC中，AB^AC,A。是高，AM是△ABC外角NCAE的平分線.

（1）用尺規作圖方法，作/AOC的平分線。N；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）設DN與AM交于點尸，判斷△ADF的形狀.（只寫結果）

（2）的形狀是等腰直角三角形,

理由是：\'AB=AC,ADLBC,

：.ZBAD=ZCAD,

尸平分NEAC,

：.ZEAF=ZFAC,

VZE4D=ZMC+ZDAC=AZEAC+AZBAC=AX180°=90°,

222

即△ADF是直角三角形，

"：AB=AC,

：.ZB=ZACB,

'：ZEAC^2ZEAF=ZB+ZACB,

：.ZEAF=ZB,

J.AF//BC,

ZAFD=ZFDC,

/平分/ADC,

ZADF=ZFDC=ZAFD,

：.AD=AF,

即直角三角形ADF是等腰直角三角形.

20.已知在△ABC中，AB=AC,點。是邊AB上一點，ZBCD=ZA.

（1）如圖1,試說明CZ）=C8的理由；

（2）如圖2,過點B作BELAC,垂足為點E,8E與C。相交于點?

①試說明NBCD=2NCBE的理由；

②如果AB。歹是等腰三角形，求/A的度數.

【答案】（1）說明過程見解答；

（2）①說明過程見解答；

②如果△BD尸是等腰三角形，NA的度數為45°或36°?

【解答】解：（1）-：AB^AC,

ZABC=ZACB,

9：ZBDC是△ADC的一個外角，

AZBDC=ZA+ZACD,

VZACB=ZBCD^-ZACD,ZBCD=ZA,

：.ZBDC=ZACB,

：.ZABC=ZBDC.

：.CD=CB；

(2)?VBE±AC,

：.ZBEC=90°,

：.ZCBE+ZACB^90°,

設NC3E=a,則NACB=90°-a,

JZACB=ZABC=/BDC=9U°-a,

：.ZBCD=180°-ZBDC-ZABC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a,

：.ZBCD=2ZCBE；

②;ZBFD是ACBF的一個外角，

???ZBFD=ZCBE+ZBCD=a+2a=3a,

分三種情況：

當尸時，

：.ZBDC=ZBFD=3a,

*：ZACB=ZABC=/BDC=9U°-a,

90°-a=3a,

???a=22.5°,

AZA=ZBCZ)=2a=45°；

當尸時，

：.ZDBE=ZBFD=3a,

???ZDBE=ZABC-/CBE=90°-a-a=90°-2a,

.*.90°-2a=3a,

???a=18°,

AZA=ZBCZ)=2a=36°；

當FB=FD^,

：.ZDBE=ZBDF,

,/NBDF=ZABOZDBF,

，不存在FB=FD,

綜上所述：如果△8。B是等腰三角形，NA的度數為45°或36°?

六.等邊三角形的性質(共2小題)

21.如圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是。，則六邊形的周長是

30a.

【答案】見試題解答內容

【解答】解：因為每個三角形都是等邊的，從其中一個三角形入手，

比如右下角的第二小的三角形，設它的邊長為尤，

則等邊三角形的邊長依次為x,x+a,x+a,x+2a,x+2a,x+3a,

所以六邊形周長是，

2x+2(x+a)+2(x+2a)+(x+3a)=rlx+9a,

而最大的三角形的邊長等于第二小的三角形邊長的2倍，

即x+3a=2x,

故x=3a.

所以周長為7x+9a=30a.

故答案為：30a.

22.如圖，在等邊△ABC中，已知點E在直線A3上(不與點A、B重合)，點。在直線BC上，且成＞=

EC.

(1)若點E為線段AB的中點時，試說明。8=AE的理由；

(2)若△ABC的邊長為2,AE=1,求的長.

備用圖

【答案】見試題解答內容

【解答】解：（1）??.△ABC是等邊三角形，E為A5的中點,

/.ZBCE=30°,BE=AE,

?：ED=EC,

：.ZEDB=ZBCE=30°,

VZABD=nO°,

:?NDEB=3U°,

:?DB=EB,

：.AE^DB；

（2）如圖1,E在線段AB上時，

*：AB=2,AE=1,

???點七是AS的中點，

由（1）知，BD=AE=L

：.CD=BC^BD=3；

如圖2,￡在線段AB的反向延長線上時，

VAE=1,A5=2,

:?BE=3,

「△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=ZBCA=60°,AB=BC=AC=2,

過E作EH//AC交BC的延長線于H,

:?NBEH=/BHE=6U°,

是等邊三角形，

；?BE=EH=BH=3,ZB=ZH=60°,

?：ED=EC,

，/EDC=AECD,

：.ZB+ZBED=ZH+ZHEC,

：.ZBED=ZHEC,

在△①)￡和中，

fBE=HE

-ZBED=ZHEC>

ED=EC

：./\BDE^/\HCE(SAS),

：.BD=HC=BH-BC=3-2=1,

：.CD=BH-BD-HC=3-1-1=1.

綜上所述，CO的長為1或3.

23,下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個

頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊

三角形的有（）

A.①②③④B.①②④C.①③D.②③④

【答案】4

【解答】解：①兩個角為60度，則第三個角也是60度，則其是等邊三角形；

②有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；

③三個外角相等，則三個內角相等，則其是等邊三角形；

④根據等邊三角形的性質，可得該等腰三角形的腰與底邊相等，則三角形三邊相等.

所以都正確.

故選：A.

八.等邊三角形的判定與性質（共1小題）

24.邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，

記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2

個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，

按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（）

A55

-yX(-1)aB.1X(-1)a

c/xg)6aD.x得兒

【答案】A

【解答】解：連接A。、DF、DB.

'：六邊形ABCDEF是正六邊形，

AZABC=ZBAF=ZAFE,AB=AF,ZE=ZC=120°,EF=DE=BC=CD,

：.NEFD=/EDF=/CBD=/BDC=30°,

VZAFE=ZABC=12Q°,

/.ZAFD=ZABD=90°,

在RtAABZ)和RtAFD中

[AF=AB

IAD=AD

Z.RtAABD^RtAAFDqHL),

：.ZBAD=ZM￡>=Ax120°=60°,

2

.\ZE4D+ZAF￡=60°+120°=180°,

：.AD//EF,

?:G、7分別為A尸、DE中點,

：.GI//EF//AD,

：.ZFGI=ZFAD=60°,

?.,六邊形ABCDEF是正六邊形，是等邊三角形，

.\ZEDM=60°=NM,

：.ED=EM,

同理AF=QR

即AF=QF=EF=EM,

?..等邊三角形QKM的邊長是a,

.?.第一個正六邊形ABCDEF的邊長是工z,即等邊三角形QKM的邊長的工，

33

過產作FZ_LG/于Z,過E作EALLG/于N,

貝UFZ//EN,

'：EF//GI,

...四邊形FZNE是平行四邊形，

:.EF=ZN=L,

3

VGF=^-AF=—X1-a—l-a,AFGI—60°（已證），

2236

，NGFZ=30°,

GZ—工GF=-1-a,

212

同理IN=-L-a,

12

；.G/=L+!"+」_a=L,即第二個等邊三角形的邊長是L,與上面求出的第一個正六邊形的邊長的

1231222

方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是lxL；

32

同理第第三個等邊三角形的邊長是工義工a,與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第

22

三個正六邊形的邊長是工XJLXLZ；

322

同理第四個等邊三角形的邊長是!X」xL,第四個正六邊形的邊長是」XJLXJLXL；

2223222

第五個等邊三角形的邊長是』XXxla,第五個正六邊形的邊長是lxlxlxL；

222232222

第六個等邊三角形的邊長是」_1義_kxAa,第六個正六邊形的邊長是＞XxAxAxAxAxAfl,

22222322222

即第六個正六邊形的邊長是專義g/a,

故選：A.

九.直角三角形的性質（共1小題）

25.閱讀理解：如圖1,在AABC的邊AB上取一點P,連接CP,可以把△ABC分成兩個三角形，如果這

兩個三角形都是等腰三角形，我們稱點P是△ABC的邊A8上的完美點.

（1）如圖2,△ABC中，ZACB=90°,試找出邊4B上的完美點P,并說明理由.

（2）如圖3,已知NA=36°,△ABC的頂點2在射線/上，點尸是邊A8上的完美點，請認真分析所

有符合要求的點2,直接寫出相應的的度數.

【答案】（1）見上面過程（2）見上面做的圖.

【解答】解：⑴取A2的中點尸，連接尸C即可如圖①

VZACB=90°,P是A8的中點，

：.CP=^AB,AP=BP=1-AB,

22

：.AP=PB=CP.

AAPC,△PBC是等腰三角形.

.,.點P是邊AB上的完美點.(2)滿足條件的點B如圖所示：②③④⑤⑥

26.如圖，已知乙4。8=30°，點尸在邊0A上，0P=14,點E,尸在邊08上，PE=PF,EF=6.若點。

是邊0B上一動點，則/PZ)E=45°時，。尸的長為4或10.

【答案】見試題解答內容

【解答】解：如圖，過點尸作尸打，。2于點

,:PE=PF,

:.EH=FH=LEF=3,

2

VZAOB=30°,。尸=14,

:.PH=1OP=7,

2

,：ZPDE=45°,

：.ZDPH=45°,

:.PH=DH=7,

：.DF=DH-FH=1-3=4；

當點D運動到點P左側時，

D'F=D'H+FH=7+3=10.

所以OF的長為4或10.

故答案為4或10.

27.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4cm,動點尸、。同時從A、8兩點出發，分別在A8、

8C邊上勻速移動，它們的速度分別為Vp=2c%/s,VQ=lcm/s,當點尸到達點8時，P、。兩點同時停止

運動，設點尸的運動時間為fs.

（1）當f為何值時，APB。為等邊三角形?

（2）當f為何值時，△P8Q為直角三角形？

（2）弋衛或f=L

5

【解答】解：在△ABC中，VZC=90°,ZA=30°,

ZB=60°.

：4+2=2,

.,.0<tW2,BP=4-2t,BQ=t.

（1）當2尸=2。時，△P2。為等邊三角形.

即4-2t=t.

當土奇時，△PB。為等邊三角形；

（2）若△PB。為直角三角形，

①當NBQP=90°時，BP=2BQ,

即4-2t=23

/.t=1.

②當NBPQ=90°時，BQ=2BP,

即t=2（4-20,

?8

?卡

即當t=1或f=l時，△PB。為直角三角形.

一十一.勾股定理（共11小題）

28.如圖所示，AB=BC=CD=DE=1,AB±BC,ACLCD,ADLDE,貝UAE=()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】D

【解答】解：,/AB=BC=CD=DE^l,ABLBC,AC±CD,ADLDE,

：.AC=VAB2+BC2=V12+12=V2；

AD=VAC2+CD2=V(V2)2+l2=V3；

A￡=VAD2+DE2=V(V3)2+l2=2-

故選：D.

29.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方

形G的邊長是6cm,則正方形A,B,C,D,E,F,G的面積之和是（）

A.18cm2B.36cm2C.72cm2D.108cm2

【答案】D

【解答】解：由圖可得，A與8的面積的和是E的面積；C與。的面積的和是產的面積；而E,尸的面

積的和是G的面積.

即A、B、C、D、E、F、G的面積之和為3個G的面積.

的面積是62=36CMJ2,

；.A、B、C、D、E、F、G的面積之和為36X3=108CTW2.

故選：D.

30.在△ABC中，A8=15,AC=13,BC上的高A。長為12,則△ABC的面積為()

A.84B.24C：.24或84D.42或84

【答案】c

A

【解答】解：(1)BDC

△ABC為銳角三角形，高AZ)在△ABC內部.BD=VAB2-AD2=9,C￡）=VAC2-AD2=5

.,△ABC的面積為工X(9+5)X12=84；

2

A

A.

(2)BCD

△ABC為鈍角三角形，高A￡＞在△ABC外部.方法同（1）可得到2。=9,CD=5

.?.△ABC的面積為工義(9-5)X12=24.

2

故選：C.

31.如圖，以RtZXABC的三條邊作三個正三角形,則Si、S2、S3、S4的關系為（）

AB

A.Si+S2+S3=S4E>.S1+S2=S3+S4

C.S1+S3=S2+S4D.不能確定

【答案】C

【解答】解：如圖，設Rtz\A2C的三條邊AB=c,AC=b,BC=a,

AACG,△BCH,AAB尸是等邊三角形，

2=，2

S1=S^ACG-55=VS_/7-S5,S3=S^BCH-Sf)^-Cl-S6,

44

：.Sl+S3=J^-(/+/)-S5-S6,

4

52+54=SAABF-S5-S6=^^-C2-S5-S6,

4

c1=a2+b2,

S1+S3=S2+S4,

32.如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要7米的地毯.

4米

【答案】見試題解答內容

【解答】解：根據勾股定理，另一直角邊=便彳=3,

；.3+4=7,

故應填7.

33.如圖，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=8厘米，點。為A3的中點，如果點M在線段2C上以

2厘米/秒的速度由8點向C點運動，同時，點N在線段CA上由C點向A點運動，若使與ACMN

全等，則點N的運動速度應為2或3厘米/秒.

D

BL~~--------

V

【答案】見試題解答內容

【解答】-：AB=AC,

：.ZB=ZC,

①當8O=CM=6厘米，BM=CN時，ADBM冬叢MCN,

.?.8M=CN=2厘米，f=2=l,

2

???點N運動的速度為2厘米/秒.

②當BD=CN,時，LDBMm/\NCM,

.?.BM=CM=4厘米，f=>l=2,CN=BD=6厘米，

2

；?點N的速度為：旦=3厘米/秒.

2

故點N的速度為2或3厘米/秒.

故答案為：2或3.

34.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美"四邊形ABCD對角線AC、

BD交于點、0.若A￡>=5,BC=12,則人心⑦二口9.

【答案】169.

【解答】解：,??BDLAC,

ZCOB=ZAOB=ZAOD=ZCOD=90°,

在RtACOB和RtAAOB中，根據勾股定理得,

BO^+CO2=CB1,OI^+OA2=AD2,

/.BO^+CO^OD^+OA2=25+144,

'：AB2=BO2+AO2,CD2=OC2+OD2,

.*.AB2+CD2=169；

故答案為：169.

35.如圖，已知在RtZXABC中，ZBAC=90°,BC=4,分別以A8,AC,BC為邊向外作等邊三角形，面

【解答】解：：如圖，分別以Rt^ABC的三邊為邊向外作三個等邊三角形，

；.S3=?C2,S2=近/,51=返/，

444

又?:△ABC是直角三角形，

a2+b2=cz,

/.S1+S2=S3.

；?S1+S2+S3=2S3=2義1_義42=8?.

4

故答案為：873.

36.如圖，已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是AC上的一點，CZ)=3,點P從8點

出發沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動.設點尸的運動時間為f.連接AP.

(1)當f=3秒時，求AP的長度(結果保留根號)；

（2）當AABP為等腰三角形時，求，的值；

（3）過點。作OELAP于點E.在點尸的運動過程中，當f為何值時，能使。E=C。?

【答案】見試題解答內容

【解答】解：（1）根據題意，得BP=2r,PC=16-2t=16-2X3=10,AC=8,

在Rtz^APC中，根據勾股定理，得AP=dAc2+pc2=V^R=2VZL

答：AP的長為2aL

(2)在RtZ\ABC中，AC=8,BC=16,

根據勾股定理，得48=加4+256=?^=8泥

若BA=BP,貝U2t=8炳,解得f=4而；

若AB=AP,則3尸=32,2/=32,解得f=16；

若B4=PB,則(2f)2=(16-2力2+82,解得r=5.

答：當△ABP為等腰三角形時，f的值為4我、16、5.

(3)①點尸在線段BC上時，過點。作。ELA尸于E,如圖1所示:

則NAE￡)=NP￡￡)=90°,

磯)=/ACB=90°,

平分NAPC,

ZEPD=ZCPD,

，ZPED=ZPCD

<ZEPD=ZCPD>

PD=PD

:.4PDE會/\PDCCAAS),

:.ED=CD=3,PE=PC=16-2t,

：.AD^AC-CD=8-3=5,

：.AE=4,

：.AP=AE+PE=4+16-2t=20-It,

在RtZiAPC中,由勾股定理得：82+(16-2r)2=(20-2r)2,

解得：r=5；

②點P在線段8C的延長線上時，過點。作。ELA尸于E,如圖2所示:

同①得：APDE出APDC(A4S),

:.ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：.AD=AC-CD=S-3=5,

：.AE=4,

：.AP=AE+PE^4+2t-16=2/-12,

在RtZkAPC中，由勾股定理得：82+(2r-16)2=(2L12)2,

解得:r=ll；

綜上所述，在點P的運動過程中，當t的值為5或11時，能使。E=CD.

圖2

圖1

37.如圖，△ABC中，ZABC=90°,AC=20,BC=12.

Cl)直接寫出A3的長度16.

(2)設點尸在A3上，若NP4C=NPCA.求AP的長；

(3)設點M在AC上，若△M8C為等腰三角形，直接寫出AM的長.

B

p

【答案】(1)16；

(2)互

2

(3)8或10或絲.

5

【解答】解：(1)'：ZABC=9Q°,AC=20,BC=12,

/MB=VAC2-BC2=V202-122=16,

故答案為：16；

(2)VZB4C=ZPCA,

：.AP^PC,

設AP=PC=x,

：.PB^16-x,

VZB=90°,

：.BP1+BC1=CP1,

(16-x)2+122=X2,

解得：x=25,

2

：.AP=^--,

2

(3)AM的長為8或10或骰.

5

如圖(1),當C2=CM=12時，AM^AC-CM=20-12=8；

如圖(2),當W=CM時，AM=BM=CM=^AC^10；

2

如圖(3),當時，過2作B8_LAC于點孫

則BH=AB?BC=壁,

AC5

CH=VBC2-BH2=J122-(^)2=^

Vbb

:.CM=ICH=TL,

5

J.AM^AC-CM=20-衛=絲，

55

綜上所述，AM的長為8或10或駕.

38.問題再現：

數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀，從而