黃金沖刺大題03立體幾何

1.(2024?黑龍江?二模)如圖，已知正三棱柱ABC-44。的側棱長和底面邊長均為2,M是的中點，N

是A耳的中點，尸是Bg的中點.

(1)證明：肱V〃平面4CP；

(2)求點P到直線MN的距離.

2.(2024?安徽合肥?二模)如圖，在四棱錐尸-MCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，/朋。=60。,加是

側棱PC的中點，側面PAD為正三角形，側面上4。_1_底面ABCD.

(1)求三棱錐/-ABC的體積；

(2)求AM與平面PBC所成角的正弦值.

3.(2023?福建福州?模擬預測)如圖，在三棱柱ABC-A瓦G中，平面相CQJ_平面

ABC,AB—AC-BC-AA1-2,413=底.

AB

(1)設。為AC中點，證明：4。，平面4。8；

(2)求平面AA與與平面ACGA夾角的余弦值.

4.(2024?山西晉中?三模)如圖，在六面體ABCDE中，BC=BD=娓,ECLED,且EC=ED=4i，AB

平行于平面CDE,AE平行于平面BCD,AE1CD.

⑴證明：平面XBE二平面CDE；

(2)若點A到直線CO的距離為2拒，尸為棱AE的中點，求平面尸與平面BCD夾角的余弦值.

5.(2024?遼寧?二模)棱長均為2的斜三棱柱ABC-A4G中，A在平面A8C內的射影。在棱AC的中點處,

尸為棱4與(包含端點)上的動點.

⑴求點尸到平面ABG的距離；

(2)若API平面求直線2G與平面1所成角的正弦值的取值范圍.

6.(2024?重慶?模擬預測)在如圖所示的四棱錐尸-A8CD中，已知AB〃C。，ZBAD=9Q\CD=2AB,APAB

是正三角形，點M在側棱PB上且使得P?！ㄆ矫鍭MC.

⑴證明：PM=2BM；

(2)若側面底面ABCD,CM與底面ABCD所成角的正切值為百，求二面角P-AC-3的余弦值.

7.(2024?安徽?模擬預測)2023年12月19日至20日，中央農村工作會議在北京召

積極發展特色農業，建設蔬菜大棚.如圖所示的七面體

ABG-8EHF是一個放置在地面上的蔬菜大棚鋼架，四邊形是矩形，AB=8m,AD=4m,

ED=CF=lm,且即，CT都垂直于平面ABCZ),GA=GB=5m,HE=HF,平面ABG_L平面4BCD

⑴求點打到平面ABCD的距離；

(2)求平面8尸HG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值.

8.(2024?重慶?模擬預測)如圖，ACDE為菱形，AC=BC=2,NACB=120。，平面ACDEL平面ABC,點

尸在AB上，且詼=2FB,M,N分別在直線CD,A8上.

;D

A----------百巨B

(1)求證：b_L平面ACDE；

(2)把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若/E4c=60。，MN為直線C。，

AB的公垂線，求A舞N的值；

AF

(3)記直線BE與平面ABC所成角為a,若tan(z>Y紅，求平面與平面CFD所成角余弦值的范圍.

7

9.(2024?安徽?二模)將正方形ABCO繞直線A3逆時針旋轉90。，使得C。到E尸的位置，得到如圖所示的

幾何體.

（1）求證：平面ACF_L平面3DE;

（2）點加為/）尸上一點，若二面角C-AM-E的余弦值為g,求/MW.

10.（2024?安徽黃山?二模）如圖，已知為圓臺下底面圓&的直徑，C是圓&上異于42的點，。是圓

臺上底面圓。2上的點，且平面D4c，平面ABC,DA=DC=AC=2,3c=4,E是CO的中點，濟=2麗.

（2）求直線￡）8與平面AE尸所成角的正弦值.

11.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）正四棱臺ABCD-4qGR的下底面邊長為2后，\BX=^AB,M為BC中

點，已知點P滿足衣=。-4）亞+?訪+彳閾，其中幾€（0,1）.

3?

（2）已知平面AMQ與平面ABCQ所成角的余弦值為1?，當2=:時,求直線DP與平面AMQ所成角的正弦值.

12.（2024?遼寧?三模）如圖，在三棱柱ABC-ABC［中，側面ACCH，底面ABC,AC=朋=2,

AB=1,BC=JL點E為線段AC的中點.

G

B

(1)求證：AB1〃平面BEG;

jr

(2)若/AAC=求二面角A-BE-Q的余弦值.

13.(2024?廣東廣州?一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ADCP是等邊三

IT

角形，/DCB=NPCB=1點、M,N分別為。尸和AB的中點.

(1)求證：MN〃平面P3C；

⑵求證：平面PBC1平面ABCD；

(3)求CM與平面RM)所成角的正弦值.

14.(2024?廣東梅州?二模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面上4。，平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,

△R4D為等邊三角形，AD//BC,ADJ.AB,AD=AB=2BC=2.

P

(2)點N在棱PC上運動，求△ADN面積的最小值；

⑶點加為總的中點，在棱PC上找一點。，使得AM〃平面2。。，求黑的值.

15.(2024?廣東廣州?模擬預測)如圖所示，圓臺OR的軸截面AACq為等腰梯形，AC=2AA=2AG=4,8

為底面圓周上異于4c的點，且A3=3C,P是線段BC的中點.

⑴求證：GP//平面4AB.

(2)求平面\AB與平面3cB夾角的余弦值.

16.(2024?廣東深圳?二模)如圖，三棱柱A2C-人與。中，側面8月QC，底面ABC,S.AB=AC,AB=AtC.

(1)證明：平面ABC；

⑵若A4,=BC=2,ZBAC=90°,求平面ABC與平面ABC1夾角的余弦值.

17.(2024?河北保定?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面尸CD內存在一條直線所與A3平行，PA1.

平面ABCD,直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為遮，PA=BC=2如，CD=2AB=4.

2

(1)證明：四邊形ABC。是直角梯形.

(2)若點E滿足而=2而，求二面角尸-EF-B的正弦值.

18.(2024?湖南衡陽?模擬預測)如圖，在圓錐尸。中，P是圓錐的頂點，。是圓錐底面圓的圓心，AC是圓

錐底面圓的直徑，等邊三角形河是圓錐底面圓。的內接三角形，￡是圓錐母線PC的中點，PO=6,AC=4.

p

(1)求證：平面BED_L平面ABD；

(2)設點M在線段尸。上，且31=2,求直線。欣與平面ABE所成角的正弦值.

19.(2024?湖南岳陽?三模)己知四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是邊長為4的菱形，ZZMB=60°,PA=PC,

PB=PD=2屈,M是線段尸C上的點，且定=4碇.

(1)證明：尸C_L平面

(2)點E在直線ZW上，求的與平面ABCD所成角的最大值.

20.(2024?湖南?二模)如圖，直四棱柱ABCD-ABCJA的底面是邊長為2的菱形，ABC=60%

面AG。.

Ci

(1)求四棱柱ABCO-44GA的體積;

(2)設點Q關于平面4G。的對稱點為E，點E和點G關于平面a對稱(E和a未在圖中標出)，求平面

與平面a所成銳二面角的大小.

21.(2024?山東濟南?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABC。為直角梯形，AB//CD,

ZDAB=ZPCB=60°,CD=1,AB=3,PC=273,平面PCS_L平面ABC?,尸為線段8C的中點，E為線段PF

上一點.

⑵當所為何值時，直線2E與平面BW夾角的正弦值為?

22.(2024?山東濰坊?二模)如圖1,在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4,ZABC=6O°,E為CD的中點,

將VADE1沿AE折起,連結BD,CD,且5。=4,如圖2.

圖2

(1)求證：圖2中的平面ADE,平面ABCE；

(2)在圖2中，若點尸在棱3D上，直線AF與平面ABCE所成的角的正弦值為叵，求點尸到平面DEC的

10

距離.

23.(2024?福建?模擬預測)如圖，在三棱錐尸—ABC中，尸A，PB,AB，BC,AB=3,BC=灰，已知二面角

P-AB-C的大小為6,ZPAB=3.

⑴求點P到平面A3c的距離；

(2)當三棱錐P-A5c的體積取得最大值時，求：

(I)二面角尸-AB-C的余弦值；

(II)直線尸C與平面所成角.

24.(2024?浙江杭州?二模)如圖，在多面體A8CDP。中，底面ABCD是平行四邊形,

/。45=60。,5。=27）。=445=4,又為30的中點，PQ//BC.PD±DC,QB±MD.

(1)證明：ZABQ=90°；

(2)若多面體ABCDPQ的體積為1,求平面尸CD與平面QAB夾角的余弦值.

25.(2024?浙江嘉興?二模)在如圖所示的幾何體中，四邊形A3CD為平行四邊形，PAJ_平面ABCRPA〃,

(1)證明：平面PCDJ_平面PAC；

⑵若尸。=2魚，求平面PCQ與平面DCQ夾角的余弦值.

26.(2024?浙江紹興?二模)如圖，在三棱錐尸-A5c中，AB=4,AC=2,NC4B=6O。，BC±AP.

⑴證明：平面ACP_L平面ABC；

(2)若上4=2,PB=4,求二面角P-AB-C的平面角的正切值.

27.(2024?河北滄州?一模)如圖,在正三棱錐A-BCD中，8C=CD=班)=4,點尸滿足AP=AAC，彳eQD,

過點尸作平面a分別與棱AB,BD,CD交于Q,S,7三點，且BCHa.

(1)證明：V2e(0,l),四邊形PQST總是矩形；

(2)若AC=4,求四棱錐C-PQST體積的最大值.

28.(2024?湖北?二模)如圖1.在菱形A8O)中，ZABC=120。，AB=4,AE=AAD,AF=/IAB(O<A<1),

沿EE將即向上折起得到棱錐P-BCDEP.如圖2所示，設二面角P-￡F-3的平面角為凡

圖1

9

⑴當兒為何值時，三棱錐尸-5CD和四棱錐P-&)￡F的體積之比為w