i重難題型?解題技巧攻略

J_________________________________________________________

專題14阿基米德三角形與橢圓、雙曲線焦點三角形內切圓問題

*>-----------題型歸納?定方向----------*>

目錄

題型①阿基米德三角形........................................................................1

題型02橢圓中焦點三角形的內切圓.............................................................15

題型03雙曲線中焦點三角形的內切圓...........................................................23

-----------題型探析,明規律-----------?>

題型01阿基米德三角形

【解題規律?提分快招】

一、阿基米德三角形

1、定義：如圖所示，為拋物線V=2py（p>0）的弦，A（X，x）,8（無2,%），分別過A,8作的拋物線的切

線交于點尸，稱345為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.

2、阿基米德焦點三角形性質（弦AB過焦點F時）

性質1：MFXAB；性質2：MAXMB；性質3：MN〃x軸；性質4：SAABM最小值為p?

對于點A,B:

①拋物線焦點弦與拋物線的交點

②由準線上一點向拋物線引兩條切線所對應的切點

對于點M

③過焦點弦的一個端點所作的切線與準線的交點

④過焦點弦的兩個端點所作兩條切線的交點

滿足以上①③或①④或②③或②④的三個點所組成的三角形即為“底邊過焦點的阿基米德三角形

3、阿基米德三角形一般性質（弦AB不經過焦點F時）

1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

2、若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內定點C（x。，%）,則另一頂點P的軌跡為一條直線.

3、若直線/與拋物線沒有公共點，以/上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點.

4、底邊長為“的阿基米德三角形的面積的最大值為C.

8P

5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點。的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為p2.

6、點P的坐標為］上黃,?亍;

7、底邊AB所在的直線方程為（石+元2）%-2刃-斗工2=。；

8、的面積為S皿」為7.

8P

9、若點尸的坐標為（x0,%）,則底邊的直線方程為無°x-p（y+%）=0.

10、如圖1,若E為拋物線弧AB上的動點，點E處的切線與上4,PB分別交于點C,D,則

\AC\_\CE\_\PD\

\CP\~\ED\~\DB\'

11、若石為拋物線弧AB上的動點，拋物線在點石處的切線與阿基米德三角形△PR的邊B4,PB分別交

q

于點C,D,貝IJ上還=2.

q

Q.PCD

12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的2.

3

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習）A8為拋物線丁=24（0>0）的弦，久久口乃），B（久2,%）分別過人臺作的拋

物線的切線交于點稱一為阿基米德三角形，弦48為阿基米德三角形的底邊.若弦A3過焦點

尸，則下列結論錯誤的是（）

A.xt+x2=2x0

B.底邊A3的直線方程為x（）x—p（y+%）=0；

C.是直角三角形；

D.AMfi面積的最小值為2P2.

【答案】D

【分析】由導數的幾何意義，求得可得A處的切線方程，得出直線的方程為y=立尤-?和

P2P

片工-在，得到人國7加=在-蕓，進而可判定A正確；

p2Pp2P2p

點加（七,%）在直線聞/創/上，進而得到底邊AB的直線方程，可判定B正確；

設直線48：丫=履+5,聯立方程組，根據3A%M8=T，可判定C正確；

3

取AB的中點化簡得到_4沖的面積為s=p[l+左2）5,可判定D不正確.

【詳解】如圖:

r21

依題意設4（元1/1）,3（尤2，%），由方程為2=2〃y，可得y=丁,則丁'二一元,

2Pp

由導數的幾何意義知，直線A"的斜率為上期=,玉，同理直線的斜率為4

PP

1丫21

可得A處的切線方程為：y-%=一再（%-西），即尸?二一%"_玉），

P2Pp

22

化簡可得y=2x-2,所以直線A"的方程為y=Mx-著，

P2PP2P

222

同理可得：直線BM的方程為》=三尤-在，所以五尤-2=±x-等，

p2pp2Pp2P

1丫2丫2

則—（占一%）無_一尸，

p2P2P

因為斗工馬，解得》=七垣，即玉+々=2%,所以A正確；

因點M（無。，%）在直線AM,上，

可得飛?％-0（％+乂）=0,xo-x2-p（yo+y2）=O,

即A（xi，yi）在飛彳-0（、+%）=0上，B（x2,y2）^xox-/?（y+yo）=O±,

所以底邊48的直線方程為ax-p（y+%）=。，所以B正確；

_,p_

設直線A8：y=h+f,聯立方程組'=整理得尤2-2pfcr-p2=0,

~[x2=2py

貝!]A=（_2p）2+4p2=8p2>0且X]+%=2pk,%/=-P2，

因為%屋%?==W=T，所以腸l-M2=0，

PPP

所以AMfi是直角三角形，所以C正確；

取A3的中點H,連接MX,根據拋物線的定義，可得平行，軸，

、

------1------

2P2P?p

22

因為玉+%2=2p攵，再々=一夕2，所以d+君=（玉+電）2-2玉%2=422上2+222,

|石一工2〔二J（玉+%）2-例，％2=2夕川+/,

代入可得5=1廣丁2P2+2pg?=嗎口2Pg=p2（1+再，

2

當左=0時，5min=p,所以D不正確.

故選：D.

【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關的最值問題的兩種解法：

（1）數形結合法：根據待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質求解；

（2）構建函數法：先引入變量，構建以待求量為因變量的函數，再求其最值，常用基本不等式或導數法求

最值（注意：有時需先換元后再求最值）.

2.（2024?陜西西安?二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數學家、天

文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數學之神”的稱號.拋物線上任意兩點A,8處的切線交于點

P,稱三角形以B為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：爐=分的焦點為F,過A,8兩點的直線的方程為

屈-3y+6=0,關于“阿基米德三角形”△下列結論不正確的是（）

32

A.\AB\=—B.PA±PB

C.PF^ABD.點尸的坐標為（君,-2）

【答案】D

【分析】聯立方程可解得卡竽（卜（4后6）,則網夸，根據導數可得幻=一等,凝=5可判斷

PA±PB,利用點斜式可求得兩條切線方程氐+3y+2=0和氐-y-6=0,聯立求?,-2,再求

kPF=-V3,可判斷尸尸_LAB.

【詳解】聯立方程二3?：6=0,消去尤得：3y②一20y+12=0,解得％=2或%=6

x=6y3

即,8（4也,6）,則A正確；

對于/-羋，:],可4后6）,切線斜率分別為的=一3段=百

【3刀3

/.kAkB=-\,即B4_LPB,B正確；

在點A的切線方程為>-；=-咚x+士^,即6x+3y+2=0

同理可得在點B的切線方程為y/3x-y-6=0

[宿+3y+2=0\x=—（46）

聯立方程廠,，解得3，即P三一,-2,D不正確;

[^x-y-6=Q[y=_2I3J

-2-2r-

則3H=-巴g邛

3

kPFkAB=-1,即PF_LAB,C正確；

故選：D.

二、多選題

3.（2024?山東.模擬預測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知

拋物線C：V=8y,阿基米德三角形弦A3過C的焦點r，其中點A在第一象限，則下列說法正確的

是（）

A.點尸的縱坐標為-2B.C的準線方程為x=-2

C.割AF|=8,則48的斜率為&D.鉆面積的最小值為16

【答案】AD

【分析】設A（xi，yi）,B（x2,y2），直線AB：y=^+2,聯立方程組，求得%+%=8左，x,x2=-16,求得A,

B兩點處的切線方程，可求得點尸（必,-2）判斷A；求得準線方程判斷B；由=%+2=8,可求得尸（4點6卜

進而可求得心B=3F，判斷C；|鉆|=842+8,d=^==,進而可得=16（1+/]，可求AS尸的最

小值，判斷D.

【詳解】對于A項，設A（xi，yi）,B（x2,y2）,直線AB：y=^+2,

聯立C:、2=8y,消去得犬_8辰—16=0,A=64爐+64>0,

所以玉+9=8左，XjX2=-16,

由C&=8y,得=則點A處的切線：y片①，

448

同理點8處的切線：尤一:名②，聯立①②，得》=一強，產一2,

4o2

所以，點尸（軌-2）,故A正確；

對于B項，準線方程為產-2,故B錯誤；

對于C項，|A尸|=%+2=8,得以=6,所以尸（4石,6）,加=心產與=4,故C錯誤；

4。33

對于D項，|AB|=%+%+4=M%+X,）+8=8左2+8,點尸到直線的距離為：1=華駕，

A/1+Z

所以陰3=1（8/+8）.^^=16（1+公，，

當左=0時，AB尸的面積有最小值16.故D正確.

故選：AD.

4.（23-24高三上?江蘇南京?階段練習）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米

德三角形.已知三角形SAB為拋物線V=2x的“阿基米德三角形”，線段A8為拋物線的弦，設線段A3中點

為〃，下列命題正確的是（）

A.軸

B.若A3過點（2,0）,則點S在直線了=-2上

C.若AB=4,則ASAB面積的最大值為4

D.若A3過點（g,。］,則54LS8

【答案】BD

【分析】對于A,設A（xi，yjB（X2，y2），得出過點A的切線方程為=同理過點8的切線方程為

y2y=x+x29從而表示出S,M的坐標，由此即可判斷；對于B,設河:無=沖+2,聯立拋物線，結合韋達定

理以及%=*即可判斷；對于C,寫出面積表達式，瓦二2式，故只需先求的最大值；對

2椀8

于D,設AB:x=sy+g,結合韋達定理、向量數量積的坐標表示即可驗算.

【詳解】對于A,設A（Xi，yjB（X2，y2），過點A的切線方程為x=*y-yj+石（切線斜率不為0）,聯立拋

物線方程y?=2x,

化簡并整理得，/-2<y+2ry1-2x1=0,注意到y；=2再，

22

所以方程y-2ty+1tyx-2項=?？勺冃螢閥-Ity+^ty^-yf=0,

而A=4產一8*+4寸=4?-乂）2=0,所以"

所以過點A的切線方程為x=y"y-yj+%,結合寸=2占，可得

過點A的切線方程為X，=X+再，同理可得過點B的切線方程為y2y=x+x2,

聯立4y=》+國，結合才=2為代=2%,解得S（竽,上手］,

［y2y=x+x2I22）

而AB的中點M的坐標為］與三,"左］，這表明S,M的縱坐標相等，所以SM〃x軸或與x軸重合,

故A錯誤；

化簡并整理得y2-2〃y-4=0,顯然A=41+i6>0,

由A選項分析可知點S的橫坐標%=竽=^=一2,故B正確；

對于C,設AB：x=py+g,則愕目=="人+1回一%|=4,

4

所以1一為|=

Ji/+1

2

聯立“：唱“，化簡并整理得/一2勿-24=0,A2=4p+8q>0,

Iy=2%

占+%%+%

由A選項分析可知，SM//x軸，Af的坐標為

2'2

22

%,%

-------1-------回一

△SAB面積S=Jy「川SM|=；回一%|22M%

SAB228

而回一％卜不富44,當且僅當夕=0等號成立，

，P+1

所以S9=BLZMW8,當且僅當〃=0應>。時等號成立，故C錯誤；

OADg

f_j_

對于D,設AB:x=sy+；,聯立x='"+，，化簡并整理得-2sy—l=0,

2"=2x

2

A3=4i+4>0,%+%=2s,%%=-l,

由A選項分析可知4匹％,8會,必

、'%(%一%)

從而SA=，（"%）,SB=%一乂

2)2

所以■=「小——二

（%—%）（1+%％）=0，這表明故D正確.

故選：BD.

【點睛】關鍵點點睛：判斷C選項的關鍵是得出s.=區二M，以及國一%|=7^7<4,由此即可順

SAB84P+1

利得解.

5.（2024?湖北黃岡.模擬預測）拋物線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,

阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線

上.設拋物線尸=4尤，弦過焦點為的中點，。為坐標原點，A5。為其阿基米德三角形，則

()

A.存在點Q,使得QbQ8>0B.任意點Q,都有ABLQP

C.任意點Q,都有QH〃。尸D.ABQ面積的最小值為4

【答案】BCD

【分析】設A6,%）,Bk，乃），設直線A3為x=沖+1,代入拋物線方程，由韋達定理得必+乃=4m,yty2=-4,

2

設過A的切線方程為（y-x）=Mx-不），與拋物線方程>2=4無聯立，利用判別式得上=丁，同理得過8的

切線斜率為工，由此求出。4。2=。，可判斷A；分別求得過點A、B的切線為％y=2（x+%）和

>2

y2y=2（x+x2）,可得。1-1,”產｝進而可證得A3，。尸、QH〃。尸并可ABQ的面積的最小值從而判

斷BCD.

【詳解】設A（x】yi）,B（X2，y2），設直線AB:x=my+1,

聯立］+L得y2_4妝-4=0,貝!J%+為=4九%%=-4-

［y=4x

設過點A的切線為y-乂=%（天一毛），貝！］、；=4再

聯立「「尸，整理可得T+%3。，

y=4xkk

由A=1_￡|等一y；）=0,可得左=￡,

同理可得過點B的切線斜率為—.

%

224

對于A,因為%屋為5=-----二==一1，所以。4。8=0,故A錯誤；

%%-4

2

對于B,可得A處的切線方程分別為：y-M=1（x-X）,???代=4%，

即%丁=2（彳+石）；

同理8處的切線方程分別為：y2y=2（x+x2）

Jyy=2（尤+%）］才=4%

由卜y=2（x+%）"=也’

Xf24141

可得。（一1,2⑴，因為F（l,0）,所以％尸=-%手=一旭,

又因為直線A3的斜率為工，所以ABLQP,故B正確;

m

對于C,因為％=幾=豆產，所以QH〃。/，故C正確；

對于D,\AB\=J1+/+=40+〃/),||=27m2+1,

2222

SABe=||AB|-|eF|=1x4（l+/n）x2Vl+m=4（l+m^l+m

當機=0時，.A3。面積取得最小值為4,故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：設A（X],yi）,B（X2，y2）且%，AB:x=my+l,聯立拋物線應用韋達定理有

%+%=4〃》必=-4,求過A8的切線，進而確定。在準線上且鉆工。尸，利用面積公式求出最小值.

6.（24-25高三上?陜西榆林?期末）若過點C可以作拋物線的兩條切線，切點分別是則稱VABC為“阿

基米德三角形”.已知拋物線E：V=8x的焦點為歹，過下的直線/交E于A5兩點，以4?為頂點的“阿基

米德三角形”為VABC,則（）

JT

A.點C的橫坐標為-2B.ZACB=-

C.\BCf＞\AB\-\BF\D.VABC面積的最小值為16

【答案】ABD

【分析】設出直線/的方程，代入拋物線，寫出韋達定理，利用導數求得切線，聯立求交點，可得A的正

誤；通過兩直線垂直的斜率性質，可得B、C的正誤，利用圓錐曲線中的弦長公式以及兩點之間距離公式，

結合三角形的面積公式，可得D的正誤.

【詳解】對于A,尸（2,0）,設〃沙+2,代入V=8尤，

整理可得丁-8陽-16=0,設A（Xi，%）,B（X2，y2）（不妨設%＞。），

則%+%=8%%%=T6?

由拋物線E：/=8%,整理可得函數產±2血」，則了;土五八，

設過點A的切線斜率為瓜），易知西=卜；，則切線方程為=0尤"_占），即，=『+年，同理

4y

可得：過點8的切線方程為y=—x+券?,

%2

410

y=---XH-----x=-yy2=-2

y}2o1

聯立可得＜■;,解得,即故C(-2,4㈤;

■%1、〃

y=—x----y=](%+%)=4擾

%2

所以點C的橫坐標為-2,故A正確;

對于B,由A可知：直線4C:y=Hx+?,直線BC:y="x+看,

X2%2

由土巴=至=-1,則AC_L3C,即ZAC2=f,故B正確;

M%%%2

—0

對于C,由選項A可知C（-2,樂），則直線CF的斜率尢=1甘=-租,

-2—2

由-1,則鉆_LCF.由選項B可知AC_L3C,

m

BC\BF、

所以BFCBCA,得大=占7，即忸C1「2=BAM,故C錯誤；

DA￡>C

對于D,由C可得：5ABe=；|4即|仃|,

IAB\=Vl+m21x-%I=y]l+m2?M+%J-4yly?=J1+病?4641+64=8（1+療），

\CF\=^（4m-0）2+（-2-2）2=J16〃「+16，

3

則SABC=16（1+療>，當機=0時，SABC取得最小值為16,故D正確；

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯立方程組并消

元得到關于尤或）的一元二次方程，再把要求解的目標代數式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系

式，該關系中含有玉尤2,西+無2或3%，%+%，最后利用韋達定理把關系式轉化為若干變量的方程（或函數），

從而可求定點、定值、最值問題.

三、填空題

7.（24-25高三上?上海?單元測試）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A、8處的兩條切線所圍成的PAB

（尸為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段經過拋

物線的焦點尸時，R45具有以下性質：

①2點必在拋物線的準線上；②叢_LPB；③尸F_LAB.

已知直線/：y=Mx-l）與拋物線V=4x交于48兩點，若|AB|=8,則拋物線的“阿基米德三角形"PAB

的頂點P的坐標為.

【答案】（T2）或T-2）

【分析】設A（4％）,8（%,%）,將直線方程代入拋物線方程化簡利用根與系數的關系，結合弦長|相|=8,

可求出％的值，再由可求出直線%的方程，再由P點必在拋物線的準線上可求出點P的坐標.

【詳解】拋物線V=4尤的焦點尸（1,0）,準線方程為x=-1,

設4（工,乃）,8（%,%）,

y2=4x

由,得左2兀2—(4+2左2)冗+左2=0,

y=k(x-V)

由A=(4+2左2,一4〃?左2=16左2+16>o,

ccI、I4+2k2

所以再+工2=-------2—，％入2=1，

K

所以|A同=石+%+/=，+，+2=8,解得左=1或左=—1,

K

當左=1時，因為P尸_LAB,所以上網=-1,

所以直線尸尸的方程為y=-(x-i),

因為P點必在拋物線的準線x=-1上，所以4=-1,

所以力=一(馬一1)=一(一1一1)=2,所以P(-l,2),

當左=一1時，因為尸所以原尸=1,

所以直線P尸的方程為y=x-i,

因為P點必在拋物線的準線x=-1上，所以馬=-1,

所以為=4T=TT=-2,所以尸(一1,一2),

綜上，皿的頂點P的坐標為(T2)或(--2).

故答案為:(-1,2)或(T,-2)

四、解答題

8.(23-24高三下.重慶.階段練習)過拋物線外一點尸作拋物線的兩條切線，切點分別為A,B,我們稱PAB

為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應的“冏邊形”，且已知“冏邊形”的面

積恰為相應阿基米德三角形面積的三分之二.如圖，點P是圓。：/+(y+5)2=4上的動點，是拋物線

「：無2=20(°>0)的阿基米德三角形，尸是拋物線「的焦點，且1Ppim^=6.

w晉

⑴求拋物線「的方程；

(2)利用題給的結論，求圖中“冏邊形”面積的取值范圍；

⑶設。是“圓邊形”的拋物線弧AB上的任意一動點(異于48兩點)，過。作拋物線的切線/交阿基米德三

角形的兩切線邊外，PB于M,N,證明：

【答案】⑴V=12y

⑵2町回

(3)證明見解析

【分析】(D根據圓的幾何性質可知1尸尸監=1。尸1-廠，據此求出P可得解；

(2)求出弦長|烈|及點尸到直線的距離，可得出_皿面積，由尸點在圓上，可得面積取值范圍，再由“冏

邊形"面積與」R4B面積關系得解；

(3)求出過D點切線方程'聯立尸A依可得知,N橫坐標'據此利用橫坐標可得看=兩'即可得證.

【詳解】(1)由題意得，Q(0,-5),r=2,F(0,gJ,

由IPF京=IQF-r=：+3=6np=6,

所以r：r=12y

(2)設A3:y=fcr+m,A卜七，々七］，

聯立F=12)，^>x2-12/a-12m=0,A=48(3k2+m)>0,

Ij=kx+m、7

設方程的兩根為不々，則玉+兀2=12匕演%2=T2冽,

由無2=12,n**所以My*.(xf)=PAy.x磊，

聯立直線PA可得土乙-五=三尤“-三n無“=土土迤=6左，

60126012°2

代入R4方程中，得力=五.五士迤-a=/=-加，即尸（6人,-機），

p621212

故.E4B的面積k.=JA0/=g4^-403k、m.丹；：蘆=4也（3k2+〃布?

因為尸（6匕—㈤在圓Q上，所以3642+（5—根產=4n左2="1一/且加后⑶刀,

36

于是以2+小=4寸~5）2-—加*2*21

1212

-32+22x3-21-72+22x7-21

顯然此式在me[3,7]上單調遞增，故次2+機e

12'12

3

也即3F+me[3,7],因此$△的=4>/3（3^2+7?7）2G[36,28A/21].

2

由題干知"冏邊形'’面積=1S△皿,所以“冏邊形”面積的取值范圍為

（3）由（2）知，巧=與上，

1Y丫2

設過8的切線＞-%=2退（》-￡），即丫=三％-五,

o612

過8點切線交PAy=±x-E得如=五盧，同理/=互盧,

61222

1七+七

因為|A-=kf=-2=X「xJ

\MP\\xp-XM%+%27+%3X2-X3\

\AM\NP

所以扁=^\AM\-\BN\=\PM\-\PN\.

BN

【點睛】關鍵點點睛：聯立直線與拋物線，根據韋達定理及弦長公式得出|4?|,再由切線相交得出尸點坐

標，求出三角形面積，再由尸點在圓上得出面積的范圍是求解“冏邊形”面積范圍的關鍵，第三問中利用直

線上線段長度之比可化為橫坐標（或縱坐標）之比是解題的關鍵.

題型02橢圓中焦點三角形的內切圓

【解題規律?提分快招】

焦點三角形雙內切圓模型1

22

點M（Xo，y°）為橢圓=+==1上任意一點,點P為△尸耳鳥的內心，點G為△產片片的重心o

ab

性質1、假設焦點AP片居的內切圓半徑為廣，則S=（a+c）r.

性質2、MA=MB=a-c

性質3、MFi-MF2=2xp

性質4、xp=e%o,y,=—XQ=ero,,

a+ca+c

PQ_

性質5、西=e

性質6、二彳

廠/玉)為、

性質7、6(不，可)

——*—*2

性質8MP?MG=4—6zc)

22

性質9、P的軌跡為=+當=l(yH0)

Cbc

(a+c)2

焦點三角形內切圓模型2

22

點P（Xo，為）為橢圓二+斗=1上任意一點，點I為旁切圓圓心，A,B,C為切點。

ab

結論：巧=±〃，j（a_yo_）

1L

3,（a+c）x0）

【典例訓練】

一、單選題

22

1.（23-24高三上?吉林?期末）已知橢圓方程為C：L+匕=1,尸為橢圓上一點，若/阜第=90。，/為，耳神

82

的內切圓，貝"=（）

A.76-72B.20-瓜C.20+痛D.#+0

【答案】B

【分析】由橢圓定義及圓切線性質，結合直角三角形求內切圓半徑.

【詳解】

IP^I+IPgl-Wri

由橢圓定義及圓切線性質知:—ci-c-2*^2—\[6.

2

故選：B

22

2.（23-24高三上.吉林延邊?期中）點P是橢圓版+'=1上一點，耳,F’是橢圓的兩個焦點，且「可巴的

內切圓半徑為1,當點P在第一象限時，尸點的縱坐標為（）

759

A.2B.—C.—D.—

334

【答案】B

【分析】根據橢圓方程求出”,6,c,由橢圓的定義可求出|尸團+|耳閭+「g|=2a+2c,然后利用等面積法可

求出P點的縱坐標.

22

【詳解】由三+匕=1,得片=16,/=7,

167

所以a=4力=J7,c=J16-7=3,

所以|尸耳|+|耳閶+|P閶=2a+2c=8+6=14,

設.「耳耳的內切圓半徑為r,

因為與歸國+內工I+P用）r=:閨國〃

117

所以5x14x1=5x6%,得力=§.

故選：B

22

3.（24-25高三上?北京?期末）若片，F?是橢圓C：=+與=1（a>6>0）的左、右焦點，P為橢圓C上一

ab

點（不是頂點），點/為./月居的內心，若、尸耳心的面積是與月面積的3倍，則橢圓C的離心率為（）

A.-B.1C.交D.B

3223

【答案】B

【分析】設尸片區內切圓半徑為r,根據三角形面積公式，以及三角形內切圓的性質，結合橢圓定義，得

到$兩&=5呼+5小6+5加/，再由題中條件，列出等式，即可求出結果.

【詳解】設刊生內切圓半徑為r,5PFIF2=SIPF<+SIPF2+SIF2FI=1（|Pf；|+|P^|+|^|）r=（a+c）r,

又因為5喀=；優耳|r=cr,又&期尸2=35人貼,所以a+c=3c,即a=2c,

故選：B

22

4.（24-25高三上?福建泉州?期中）己知橢圓C:，+[=l（a＞b＞0）的左、右焦點分別為小心，點尸（為乂）

ab

是c上的一點，尸月工的內切圓圓心為。（9,%），當下=6時，％=1，則橢圓C的離心率為（）

A.3B.73-1C.3D.2-73

23

【答案】C

【分析】根據給定條件，結合橢圓的定義及圓的切線長定理可得1尸￡1=。+1，1尸乙1=。-1,再借助兩點間距

離公式列式求解即得.

【詳解】依題意，|「用+|「乙1=2%設橢圓C的半焦距為c,點

令.「耳耳的內切圓切耳月，尸心,尸￡的切點分別為D,E,F,

\PFl\-\PF2\=\PG\+\GFl\-(\PE\+\EF2\)=\DFl\-\DF2\=(l+c)-(c-l)=2,

(A/3+C)+y：=(a+l)2

聯立解得1尸片1=。+1,口61=。-1,貝!）消去%得：4a=4A瓦?,

(道-c『+y；=(a-l)2

所以橢圓C的離心率e*字

?V2

5.（2024高三下.全國.專題練習）已知片，尸2分別是橢圓C：工+^=1的左、右焦點，尸為第一象限內橢

54

圓。上一點，尸耳外的內心為點/,則直線/與心的斜率之積為（）

A.--B.--C."-3D.4-3

5842

【答案】D

【分析】設P、I的坐標，根據兩點求距離公式求出|「耳由橢圓的定義求出|桃|,根據內切圓的性質求

出點I的坐標，結合兩點表示斜率公式化簡計算即可求解.

【詳解】設尸（飛,為乂飛＞。,%＞。），/（%，歲）1（%＞。，%＞。），

則今+學=1,易知好（—1,0）,

2

故|尸月|=J(x()+1)+，=+2%+1+4-芋■=J-^-+2x0+5=Jf-4^+V51=—^+y/5,

則由橢圓的定義可得1尸閭=有一定.

設A,3,Af分別為「耳尸2的內切圓與邊尸月，P瑞，與耳的切點，

則”a,0）,根據內切圓的性質知|E4|=|「同，|砍|=9周，忸聞=|M局,

因此儼耳|-|「我TMH盟口班卜1此1，

+45=（玉+1）-（1-再），解得x=表.

在-尸耳尸2中，［%閨聞=）（|尸用+戶用+閨用）%，解得％=看丁

因此/（條，7匕］,

IV5A/5+1J

%°為°

k=?+]*君+1=5*=20-4%=,-3

苧+1"1心+1『(焉-5)a+1)?-5)2

7575

故選：D.

22

6.（浙江省臺州市2024-2025學年高三上學期期末質量評估數學試題）已知橢圓E:?+a=1（0<〃〈君）的

左右焦點分別為耳耳，點M伉,為）是橢圓E上第一象限的一點，AMF［F］的內心為N（%,%）,若%=國,

則橢圓E的方程為（）

【答案】D

【分析】先證明焦半徑公式，然后根據內切圓的性質求得|G4|=ex0+c,進一步得|GQ|=ex0,從而占=江。,

由毛=&七得離心率，利用a2=b2+c2求解即可.

22

【詳解】先證明焦半徑公式，對于橢圓方程：1+1=1,

ab

由橢圓上任意點尸（羽丫）及左、右焦點上（-。,0）、8（GO）,

得I尸用=J(x+c)2+y2=+c)2+〃,一2]=『[x2+2cx+e+12)

_P"""2""2_C

=41-z~X+2CX+Q=ClH---X；

Vaa

同理，|Pg|二J(x—c)2+y2=

根據橢圓方程知，—e（0,1）,|x\<a=>a>—\x\^a±—x>0,

aaa9

22

故