重難題型?解題技巧攻略

阿波羅尼斯圓和蒙日圓問題（2大題型）

*>-----------題型歸納?定方向----------*>

目錄

題型01阿波羅尼斯圓..........................................................................1

題型02蒙日圓................................................................................5

?-----------題型探析?明規律-----------<>

題型01阿波羅尼斯圓

【解題規律?提分快招】

一、阿波羅尼斯圓

1.阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點8,設P點在同一平面上且滿足言=4，當4>0且時，尸點的軌跡是個圓，稱之

為阿波羅尼斯圓.（4=1時P點的軌跡是線段的中垂線）

2.阿波羅尼斯圓的證明

pA

設P（x,y），4（-a,0）,5（a,0）.若詬=彳（彳>0且a1）,則點P的軌跡方程是

2\222

A+l2A+l2aA

x---—a+y=,其軌跡是以“，0|為圓心，半徑為尸=的圓.

22-l22-122-1

7

證明：由P/=4尸3及兩點間距離公式，可得（工+.）2+/=萬［@-0）2+必］,

化簡可得（1一下卜2+（1-矛）｝;2+2（1+/12）依+（1-42）。2=0①，

（1）當4=1時，得尤=0,此時動點的軌跡是線段42的垂直平分線;

（2）當義,時，方程①兩邊都除以1一分得/+/+辿=fc+a2=0,化為標準形式即為:

\2

川+1

a???點尸的軌跡方程是以京二道，。為圓心，半徑為廠=20的圓?

22-1

7

【定理】4,3為兩己知點，分別為線段N2的定比為apwl）的內外分點，則以上W為直徑的圓C上

任意點尸到48兩點的距離之比為幾.

證明：以4>1為例.如圖②，設48=2°,——=2,則4M=："，BM=2a—；絲=12*,

JMBNB1+A1+A1+A

AN二/，BN;入。二3.過B作的垂線圓C交于0,尺兩點，由相交弦定理及勾股定理得

澗=MB?BN,Q#=AB?+解,于是=Q="

?22-1v上A2-lVl2-1V22-lQB

同時在到4,2兩點距離之比等于，的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，

圓C上任意一點P到43兩點的距離之比恒為2.同理可證0</<1的情形.

3.阿波羅尼斯圓的相關結論

【結論1】當4>1時，點B在圓C內，點A在圓C外；當0<4<1時，點A在圓C內，點B在圓C外.

【結論2】因NguMTZN,故是圓C的一條切線.若已知圓C及圓C外一點A,可以作出與之對應

的點B,反之亦然.

22

ST4aX4naA

【結論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為兒W=/T，面積為（萬_1）2?

【結論4】過點A作圓C的切線（。為切點），則。M,QN分別為/4。8的內、外角平分線.

【結論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內分和外分所得的兩個分點，如圖所示，〃是的

內分點，N是的外分點，此時必有尸〃平分N4P8,PN平分NZP8的外角.

證明：如圖①，由己知可得卷=黑=事=彳（力>0且％H1），：聯"=黑="又

PBMBNBNBMMb

S'=^PA-PMsinZAPM,S^PA-PMsin/APM

BM=-PB-PMsmZBPM

2PB-PMsinZBPM-

sinZAPM=sinZBPM,ZAPM=ZBPM,PM平分NAPB.由等角的余角相等可得ZBPN=ZDPN,

平分入1尸8的外角.

【結論6］過點3作圓C不與Q?重合的弦EF,則AB平分NEAF.

,FAEA,EBEASEB

證明：如圖③，連結由已知——=——=2，，——=——MBE=——(A>OMA#1),又

EBFBFASMBFFB

AB,AEsin/BAEEBAE

St.X./iDRIFt=2-ABAEsinNBAE7,SIXA.D4r?F=2-AB-AFsinZBAF

AB-AFsinABAFFBAF

sinNBAE=sinZBAF,NBAE=ZBAF,N8平分ZEAF.

sin/BAE=sinZBAF,ZBAE=ZBAF,AB平分AEAF.

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?浙江金華?階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現:

平面內到兩個定點43的距離之比為定值彳（Xwl）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字

命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.己知點尸,。分別是拋物線C：J=8y和￡:X?+/一12〉+32=0上的動

點，若拋物線C的焦點為尸，則2|尸。|+|。川的最小值為（）

A.6B.4癡C.4A/3D.5

2.（24-25高三上?福建福州?期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點A、B的距離之

比為定值2（彳片1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系工S中，/（-2,0）、

P41

8（4,0）,點尸滿足,=設點尸的軌跡為C,則下列說法錯誤的是（）

rJj2

A.軌跡C的方程為（x+4『+y2=i6

B.面積最大值為12

C.若尸（x,y）,則長的最大值為理

D.在C上存在點使得|MO|=2|M4|

3.（24-25高三上?湖南株洲?期末）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：已知平面內兩個定點A,B及動點

PB\

P,若相=彳（彳＞0且義工1）,則點尸的軌跡是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓

（簡稱“阿氏圓”）.在平面直角坐標系中,已知。（0,0）,N（0-l）,直線4：kx-y+k+2=Q,直線公

71

x+@+2k+l=0,若"為4，4的交點,則半的最小值為（）

A,巫R2+五C3-—1

D.V10

33,3

二、多選題

4.（24-25高三上?山東煙臺?期末）阿波羅尼斯是古希臘數學家，他研究發現：如果平面內一個動點到兩個

定點的距離之比為常數且2"）,那么這個點的軌跡為圓，這就是著名的阿氏圓.若點尸到點。（0,0）

與點/（2,0）的距離之比為五，則（）

A.點尸的軌跡方程為（x-4）2+/=8

24

B.點P到直線3x-4y+12=0距離的最小值為y

C.點P到圓，+「=1上的點的最大距離為5+2行

D.若到直線依7-2左=0的距離為尼的點尸至少有3個，則TW上W1

5.（24-25高三上?江蘇連云港?期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾

里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷.他發現平面內到兩個定點的距離之比為定值2（彳#1）的點所

形成的圖形是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓.已知在平面直角坐標系xp中，

/（2,4）,3（2,1）.點/>滿足忘=2,設點尸的軌跡為曲線E,下列結論正確的是（）

A.曲線E的方程為（X-2）2+J?=4

B.過點C（-2,0）的直線/與曲線E有公共點，則直線/的斜率范圍是-

C.曲線E上的點到直線x+y+l=0的最小距離為逑一1

2

D.過點。（-1,-4）作曲線E的一條切線，切點為尸，則川等于亞

三、填空題

6.（24-25高三上?福建廈門?期中）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面

內到兩個定點4B的距離之比為定值X（X#1）的點所形成的圖形是圓.后來,人們將這個圓以他的名字命名，

稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，/（-2,0）,8（4,0），點尸滿足既=5,則點

P的軌跡方程為.

7.（23-24高三上?海南海口?期中）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了

經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如：平面內到

兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩

點和8（2,1）,且該平面內的點尸滿足|尸/|=夜|尸卻，若點尸的軌跡關于直線

mx+ny-2=Q（m>0,n>Q）對稱,則掰與"之間的關系式為.

8.（24-25高三上?江蘇泰州?階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯發現：平面上到兩定點48的距離之比為

常數的點的軌跡是一個圓心在直線48上的圓，該圓被稱為阿氏圓.如圖，在長方體

/8。。一43￡2中，=24。=2/4=12,點￡在棱/臺上，BE=2AE,動點、P滿足BP=CPE,若點P

在平面/BCD內運動，則點P對應的軌跡的面積是；尸為G2的中點，則三棱錐尸尸體

積的最小值為___________.

DiFCi

四、解答題

9.（24-25高三上?河南洛陽?階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距

離之比為常數左體＞0且左/1）的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，

N（l,0）,M（4,0）,動點。滿足耨=2,設動點。的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的軌跡方程；

⑵若直線無7+1=0與曲線C交于48兩點，求WM；

⑶若曲線C與x軸的交點為E,尸，直線/：尤=〃沙-1與曲線C交于G,〃兩點，直線EG與直線口交于點

證明：點。在定直線上.

題型02蒙日圓

【解題規律?提分快招】

二「豪百面

1.蒙日圓的定義

在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半

軸短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1.

圖1(1)圖1(2)

22

證明：設橢圓的方程為三=1(。>6>0),則橢圓兩條互相垂直的切線網，P8交點尸的軌跡是蒙日圓：

ab

2222

x+y=a+b.①當題設中的兩條互相垂直的切線〃，尸8斜率均存在且不為0時，可設

y-y0=k(x-x0),

且％K±b),過P的橢圓的切線方程為歹一為="(芯一%)(左力0),由1/y2得

I靛+爐i

~后一+6一)無？_2ka-(kx°—%)無+q-(kx。—%)-a°b-=0,

由其判另U式值為0,得(另一力)-一7.Xoyok+訴一/=0(x；—/N0),

22

v-b

.；kpA,kpB是這個關于k的一元二次方程的兩個根，："內-kPB=口~2,

x0-a

22

v-h2222

由已知PAVPB,：.kPA-kpB=-1,3~7=一1,，x：+/=/+Z>2,.?.點p的坐標滿足方程x+y=a+b.

x0-a

②當題設中的兩條互相垂直的切線PA,PB有斜率不存在或斜率為o時，可得點P的坐標為(±a,6)或

(a,±b),此時點P也在圓/+也=a?上.

22

綜上所述：橢圓q+4=1(。>6>0)兩條互相垂直的切線以，尸8交點P的軌跡是蒙日圓：x2+y2=a2+b2.

ab

2.蒙日圓的幾何性質

22

【結論1】過圓/+，=/+/上的動點P作橢圓'+方=l(a>b>0)的兩條切線口，尸8,則川口以

「22

二+匕=1

證明：設P點坐標(X。，%),由02b2，得

y-y0=k(x-x0)

122221

^k+Z>）x-2to（Ax0-y0）x+（Ax0-y0）-a^b=0,由其判別式的值為0,

（x；-a?）F_2%0%左+y；-/=0（x：-Q2W0）,

2-b2

:%，左依是這個關于左的一元二次方程的兩個根，「"”人心"v當~T，x1+yl=a2+b2,

xQ-a

y2-b2

%二真/=—1'P4LPB.

22

【結論2】設尸為蒙日圓O：上任一點，過點p作橢圓3+二=1的兩條切線，交橢圓于點

ab

2

/,3,。為原點，貝UQP,的斜率乘積為定值夠.心=-勺h.

a

22

【結論3】設尸為蒙日圓O：/+必=1+〃上任一點，過點尸作橢圓二+q=1的兩條切線，切點分別為

ab

/,3，。為原點，則04,刃的斜率乘積為定值k-k=~,且。兄網的斜率乘積為定值k-k=~

OAPAa0BPBa

（垂徑定理的推廣）.

22

【結論4】過圓/+/?+/上的動點P作橢圓1r+}=1（。>6>0）的兩條切線，0為原點，則尸。平分橢

圓的切點弦.

證明:「點坐標（…），直線。尸斜率心*,由切點弦公式得到檢方程竽+等=1,3一篝,

k-k=--由點差法可知，。尸平分為5,如圖M是中點.

OPABa

22

【結論5】設尸為蒙日圓。：/+/=/+〃上任一點，過點p作橢圓宏+3=1（。>6〉0）的兩條切線，交蒙

日圓O于兩點C,D,則。尸，CZ）的斜率乘積為定值后

a

22

【結論6】設P為蒙日圓/+/=。2+〃上任一點，過點尸作橢圓^+%二吊。〉/,〉。）的兩條切線，切點分別

A4

為4,8,。為原點，則。4,08的斜率乘積為定值：k-k=~.

OPCDa

22

【結論7】設P為蒙日圓/+/=/+〃上任一點，過點p作橢圓二+勺=1(.>6>0)的兩條切線，切點分別

ab

為/，瓦。為原點，則S.OB的最大值為?，S^OB的最小值為在

2a+b

22

【結論8】設P為蒙日圓一+、2=。2+/上任一點，過點尸作橢圓］+==1(.>6>0)的兩條切線，切點分別

44

ah

為4B,則S^PB的最大值為一，的最小值為二J.

a+ba+b

*麗加綜i

一、單選題

1.(24-25高三上?山西太原?階段練習)畫法幾何創始人蒙日發現：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在

一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢

圓C:=+—=l(a>0)的離心率為:，則橢圓c的蒙日圓的方程為()

aa—13

A.x2+y2=19B.x2+y2=17

C.x2+y2=15D.x2+y2=14

2.(24-25高三上?湖北?期中)19世紀法國著名數學家加斯帕爾?蒙日，創立了畫法幾何學，推動了空間幾

何學的獨立發展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同

22

心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓餐+4=1(°>6>0)的蒙日圓方程為x2+y2=/+/.若圓

ab

22

*-4)2+()-〃)2=16與橢圓—+一=1的蒙日圓有且僅有一個公共點，則"的值為()

63

A.±3B.±^33C.±V§4D.±6

3.(2024?廣東?二模)法國數學家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的兩條相互垂直切線的交點

軌跡為圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據此背景，設M為橢圓C:x2+Zl=l的一個外切長方

12

形(M的四條邊所在直線均與橢圓C相切)，若M在第一象限內的一個頂點縱坐標為2,則M的面積為

()

-112114

A.13jr3B.26C.5D.§

4.(24-25高三上?天津濱海新?期中)法國數學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”.他

發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙

日圓.若橢圓「■+A=l(a>0,6>0)的蒙日圓為C:x2+y2=：a2,過C上的動點初作r的兩條切線，分

6ZDN

別與C交于P,。兩點，直線尸。交r于A,B兩點，則下列說法中，正確的個數為()

①橢圓r的離心率為日

②”到r的左焦點的距離的最小值為a一6&

2

@^MPQ面積的最大值為:/

④若動點。在r上，將直線。4,D3的斜率分別記為尤，h，則左芯=-3

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

5.（24-25高三上?江西?期中）己知橢圓C：5+\=l（a>b>0）,我們把圓/+/=/+尸稱為。的蒙日圓,

。為原點，點尸在C上，延長。尸與C的蒙日圓交于點。，則（）

A.|P。的最大值為石可B.若P為。。的中點，則C的離心率的最大值為9

C.過點。不可能作兩條互相垂直的直線都與C相切D.若點（2,1）在C上，則C的蒙日圓面積最小

為97t

6.（23-24高三上?廣東廣州?期中）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾?蒙日發現：與橢圓相切的兩

條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓

fr-

C：y+/=1,片，耳分別為橢圓的左、右焦點，直線/的方程為缶+了-4=0,M為橢圓C的蒙日圓上

一動點，MA,M3分別與橢圓相切于4,5兩點，。為坐標原點，下列說法正確的是（）

A.橢圓C的蒙日圓方程為f+/=4

B.記點/到直線/的距離為d,則周的最小值為0

C.一矩形四條邊與橢圓C相切，則此矩形面積最大值為4G

D.△Z03的面積的最大值為走

2

三、填空題

7.（24-25高三上?廣西柳州?階段練習）在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它

的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸與虛半軸平方差的算術平方根，這個圓叫雙曲線的蒙日圓.過雙曲

線沙：土一/=1的蒙日圓上一點p作少的兩條切線，與該蒙日圓分別交于48兩點，若/尸/8=30。，貝I

3

△P4B的周長為.

8.（24-25高三上?江西上饒?階段練習）加斯帕爾?蒙日是18?19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發現:

橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓''.已

22

知橢圓C:、+匕=1（/>6）,若直線/：4x-3y+30=0上存在點p,過P可作C的兩條互相垂直的切線，則

橢圓離心率的取值范圍是.

9.（23-24高三上?廣東江門?期中）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上任意

兩條互相垂直的切線的交點，必在一個與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”，該圓由法國數學家

加斯帕爾?蒙日（1746-1818）最先發現.若橢圓C:三+r=1的左、右焦點分別為片、%尸為橢圓C上一

動點，過戶和原點作直線/與橢圓C的蒙日圓相交于M,N,則也用..用

四、解答題

10.（24-25高三上?重慶渝中?階段練習）法國著名數學家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任

22

意兩條互相垂直的切線的交點G的軌跡是以橢圓的中心為圓心，^a+b（。為橢圓的長半軸長，6為橢圓

的短半軸長）為半徑的圓，這個圓被稱為蒙日圓.已知橢圓C：y+y2=l,K，月分別為橢圓C的左、右

焦點，橢圓C的蒙日圓為圓E.

⑴求圓E的方程；

⑵已知點A是橢圓C上的任意一點，點。為坐標原點，直線。4與圓E相交于S、T兩點，求證：

\AS\-\AT\=\AF^\AF^.,

⑶過點8（1,0）作互相垂直的直線4、3其中4交圓E于P、。兩點，4交橢圓C于"、N兩點，求四邊

形尸面積的取值范圍.

題型通關?沖高考

一、單選題

1.（24-25高三上?福建廈門?期中）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了

經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩

定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點

和8（2,1）,且該平面內的點P滿足歸/|=拒|尸耳，若點尸的軌跡關于直線加x+即-2=0對稱，則

■|加+〃的值為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（23-24高三上?河南南陽?期中）如圖，加斯帕爾?蒙日是18?19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐

曲線時發現：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點P的軌跡方程為圓，該圓稱為外準圓，也叫

3.（2025高三?全國?專題練習）古希臘數學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線.用垂直

于圓錐的軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面傾斜，可得到橢圓.如圖，現有一個軸截面為等腰RtAPNB

的圓錐尸O,過點4及線段P8的中點M的某平面截圓錐P。，得到一個橢圓，則該橢圓的離心率為（）

4.（24-25高三上?浙江杭州?期中）法國數學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”，他發

現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日

225

圓.若橢圓「*r+方=1（“>6>0）的蒙日圓為。：/+產=#,過c上的動點初作r的兩條切線，分別與c

交于尸，。兩點，直線尸。交：r于A,B兩點，則下列結論錯誤的是（）

B.AMP。面積的最大值為1不

（II-、

C.〃到r的左焦點的距離的最小值為受-?a

D.若動點。在：T上，將直線。N,的斜率分別記為占，&,則左向=-3

二、多選題

5.（24-25高三上?全國?單元測試）加斯帕爾?蒙日是18-19世紀法國著名的數學家，他在研究圓錐曲線時

發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日

22

圓”（如圖所示）.當橢圓方程為三+q=1（“>6>0）時，蒙日圓方程為一+必=/+62.已知長方形G的

ab

22

四邊均與橢圓土+匕=1相切，則下列說法正確的是（）

A.橢圓N的離心率為十

B.若G為正方形，則G的邊長為2后

C.橢圓M的蒙日圓方程為*+廿=7

D.長方形G的面積的最大值為14

6.（24-25高三上?福建福州?期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯（約公元前262?前190）發現：平面內到

兩個定點48的距離之比為定值44/1）的點的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波

羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系xQy中，已知41,0）,5（-2,0）,動點尸滿足曷=不，直線

I:mx—y+m+l=0,貝”（）

A.直線/過定點（-1,1）

B.動點P的軌跡方程為（x-2）2+/=4

C.動點P到直線/的距離的最大值為歷

D.若點。的坐標為（1,1）,則|尸必+2]/訓的最小值為加

7.（2024?江西宜春?三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義:

在平面內，已知兩定點工,8之間的距離為。（非零常數），動點〃到/,3的距離之比為常數2（2>0,

且叱1）,則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓.在平面直角坐標系xQy中，已知/（-4,0）,3（2,0）,點M滿

足|M4|=2|九必則下列說法正確的是（）

A.面積的最大值為12B.應。標的最大值為72

C.若。（8,8）,貝川他4|+2m0]的最小值為10口.當點M不在x軸上時，MO始終平分乙4MB

8.（23-24高三下?廣西?階段練習）法國數學家蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓/=的任

意兩條互相垂直的切線的交點。的軌跡是以原點為圓心，曲獷為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.若矩形

22

G的四邊均與橢圓C:土+二=1相切，則下列說法中正確的是（）

54

A.橢圓C的蒙日圓方程為X2+/=9

B.過直線/：x+2y-3=0上一點p作橢圓C的兩條切線，切點分別為M、N,當NM/W為直角時，直線。尸

的斜率為-14

C.若圓（x-4『+（y-加）"=4與橢圓C的蒙日圓有且僅有一個公共點，則加=±3

D.若G為正方形，則G的邊長為3夜

9.（23-24高三下?重慶?階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯發現：用平面截圓錐，可以得到不同的截口曲

線.如圖，當平面垂直于圓錐的軸時，截口曲線是一個圓.當平面不垂直于圓錐的軸時，若得到“封閉曲線”，

則是橢圓；若平面與圓錐的一條母線平行，得到拋物線（部分）；若平面平行于圓錐的軸，得到雙曲線（部

分）.已知以尸為頂點的圓錐尸。，底面半徑為1,高為G，點A為底面圓周上一定點，圓錐側面上有一動

點T滿足L4=7P,則下列結論正確的是（）

A.點T的軌跡為橢圓

B.點T可能在以。為球心，1為半徑的球外部

C.7P可能與以垂直

D.三棱錐尸-/T。的體積最大值為逅

12

10.（24-25高三上?廣西貴港?階段練習）法國數學家加斯帕爾?蒙日是19世紀著名的幾何學家，被稱為“畫

法幾何”創始人“微分幾何之父”，他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為

圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓氏J+，=l（a>6>0）的蒙日圓為。：/+必=^",過圓。

上的動點又作橢圓￡的兩條切線，交圓C于尸，。兩點，直線PQ交橢圓E于48兩點，則下列結論正確的

是（）

A.橢圓E的離心率為逅

3

B.若點。在橢圓E上，且直線的斜率之和為0,則直線的斜率為乎

C.點”到橢圓E的左焦點的距離的最小值為Q一啦）“

3

D.A&P。面積的最大值為6a2

三、填空題

11.（24