②直線與平面的位置關系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．十、空間角與距離公式（1）異面直線所成角公式：設，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據具體情況判斷相等或互補），其中．（4）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質直接計算．如圖，設兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（5）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．故

必記核心知識點09直線與圓、圓錐曲線一、直線的方程1．直線的傾斜角（1）定義：當直線與軸相交時，取軸作為基準，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．（2）規定：當直線與軸平行或重合時，它的傾斜角為0．（3）范圍：直線傾斜角的取值范圍是．2．斜率公式（1）定義式：直線的傾斜角為，則斜率．（2）坐標式：（在直線上，且，則的斜率．3．直線方程的5種形式名稱方程適用條件點斜式 不含垂直于軸的直線斜截式 不含垂直于軸的直線兩點式 不含直線和直線截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式 平面內所有直線二、兩直線的位置關系1．兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行：①對于兩條不重合的直線，若其斜率分別為，則有．②當直線不重合且斜率都不存在時，．兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況．（2）兩條直線垂直：①如果兩條直線的斜率存在，設為，則有．②當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，．2．兩條直線的交點的求法直線，則與的交點坐標就是方程組的解．3．三種距離公式（1）兩點之間的距離：．（2）點到直線的距離：．應用點到直線的距離公式時，直線方程必須是一般式（3）平行線與間距離：．兩平行線的距離公式中，兩直線方程的一般式中的系數要對應相等常用結論1．過定點的直線系方程：，還可以表示為和．2．平行于直線的直線系方程：．3．垂直于直線的直線系方程：．4．過兩條已知直線交點的直線系方程：（不包括直線）和．5．點關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為．6．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．7．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．8．點關于點的對稱點為．9．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．三、圓的方程1．圓的定義及方程定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）標準方程 圓心：（a，b），半徑：兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況．一般方程圓心：，半徑：2．點與圓的位置關系點與圓的位置關系：（1）若在圓外，則．（2）若在圓上，則．（3）若在圓內，則．常用結論（1）二元二次方程表示圓的充要條件是（2）以為直徑端點的圓的方程為．四、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系1．直線與圓的位置關系（半徑為，圓心到直線的距離為）相離相切相交圖形量化方程觀點 幾何觀點 2．圓與圓的位置關系設兩圓的圓心距為，兩圓的半徑分別為，則位置關系外離外切相交內切內含公共點個數01210的關系 公切線條數43210判斷圓與圓位置關系的注意點對于圓與圓的位置關系，從交點的個數，也就是方程組的解的個數來判斷，有時得不到確切的結論．如當時，需要再根據圖形判斷兩圓是外離，還是內含；當時，還需要判斷兩圓是外切，還是內切．常用結論1．圓的切線方程常用結論（1）過圓上一點的圓的切線方程為．（2）過圓上一點的圓的切線方程為．（3）過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為．2．圓系方程（1）同心圓系方程：，其中是定值，是參數；（2）過直線與圓交點的圓系方程：；（3）過圓和圓交點的圓系方程：（該圓系不含圓，解題時，注意檢驗圓是否滿足題意，以防漏解）．五、橢圓的幾何性質1．橢圓的定義平面內到兩定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓．兩定點叫做橢圓的焦點．集合，其中，且為常數．（1）當時，點的軌跡是橢圓；（2）當時，點的軌跡是線段；（3）當時，點不存在．2．橢圓的標準方程和幾何性質標準方程 圖形性質范圍 對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點 離心率，且的關系離心率表示橢圓的扁平程度．當越接近于1時，越接近于，從而越小，因此橢圓越扁；當越接近于0時，越接近于0，從而越大，因此橢圓越接近圓；當時，，兩焦點重合，圖形就是圓．常用結論1．焦半徑：橢圓上的點與左（下）焦點與右（上）焦點之間的線段的長度叫做橢圓的焦半徑，分別記作．（1）；（2）；（3）焦半徑中以長軸為端點的焦半徑最大和最?。ń拯c與遠日點）．2．焦點三角形：橢圓上的點與兩焦點構成的叫做焦點三角形，的面積為，則在橢圓中（1）當為短軸端點時，最大．（2），當時，即點為短軸端點時，取最大值，最大值為．（3）焦點三角形的周長為．3．焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦中以通徑（垂直于長軸的焦點弦）最短，弦長．4．為橢圓的弦，，弦中點，則（1）弦長；（2）直線的斜率．六、直線與橢圓的位置關系1．點與橢圓的位置關系點與橢圓的位置關系：點在橢圓上；點在橢圓內部；點在橢圓外部．2．直線與橢圓的位置關系直線與橢圓的位置關系：聯立消去得一個關于的一元二次方程．位置關系解的個數的取值相交兩解 相切一解 相離無解 七、雙曲線1．雙曲線的定義平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零0常數的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合，其中為常數且．2．雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程 圖形性質范圍或或對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點頂點坐標：，頂點坐標：，漸近線 離心率的關系實虛軸線段叫做雙曲線的實軸，它的長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長；叫做雙曲線的實半軸長，叫做雙曲線的虛半軸長（1）若將雙曲線的定義中的“差的絕對值等于常數”中的“絕對值”去掉，則點的集合是雙曲線的一支，具體是左支還是右支視情況而定．（2）設雙曲線上的點到兩焦點的距離之差的絕對值為，則，這一條件不能忽略．①若，則點的軌跡是分別以為端點的兩條射線；②若，則點的軌跡不存在；③若，則點的軌跡是線段的垂直平分線．常用結論1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為．2．若是雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則．3．同支的焦點弦中最短的為通徑（過焦點且垂直于長軸的弦），其長為；異支的弦中最短的為實軸，其長為．4．若是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中為．5．若是雙曲線右支上不同于實軸端點的任意一點，分別為雙曲線的左、右焦點，為內切圓的圓心，則圓心的橫坐標為定值．6．等軸雙曲線（1）定義：中心在原點，以坐標軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．（2）性質：；③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．7．共軛雙曲線（1）定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．（2）性質：①它們有共同的漸近線；②它們的四個焦點共圓；③它們的離心率的倒數的平方和等于1．八、拋物線1．拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：（1）在平面內；（2）動點到定點的距離與到定直線的距離相等；（3）定點不在定直線上．（C）其中點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程和幾何性質標準方程 的幾何意義：焦點到準線的距離圖形頂點 對稱軸軸軸焦點 離心率 準線方程 范圍 開口方向向右向左向上向下焦半徑（其中 （1）若定點在定直線上，則動點的軌跡為過點且垂直于的一條直線．（2）四種不同拋物線方程的異同點共同點（1）原點都在拋物線上；（2）焦點都在坐標軸上；（3）準線與焦點所在坐標軸垂直，垂足與焦點關于原點對稱，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的，即不同點（1）焦點在軸上時，方程的右端為，左端為；焦點在軸上時，方程的右端為，左端為；（2）開口方向與軸（或軸）的正半軸相同，即焦點在軸（或軸）的正半軸上，方程的右端取正號；開口方向與軸（或軸）的負半軸相同，即焦點在軸（或軸）的負半軸上，方程的右端取負號．常用結論設是過拋物線焦點的弦，若，則（1）；（2），，弦長（為弦的傾斜角）；（3）；（4）以弦為直徑的圓與準線相切；（5）以或為直徑的圓與軸相切；（6）過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上．九、曲線與方程1．曲線與方程一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線上的點與一個二元方程的實數解建立了如下關系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解．（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．2．求動點軌跡方程的一般步驟（1）建立適當的坐標系，用有序實數對（x，y）表示曲線上任意一點的坐標；（2）寫出適合條件的點的集合．（3）用坐標表示條件，列出方程；（4）化方程為最簡形式；（5）說明化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上．①如果曲線的方程是，那么點在曲線上的充要條件是．“曲線是方程的曲線”是“曲線上的點的坐標都是方程的解”的充分不必要條件．②坐標系建立的不同，同一曲線在不同坐標系中的方程也不同，但它們始終表示同一曲線．有時此過程可根據實際情況省略，直接列出曲線方程．

十、二級結論切線問題1.過圓:上一點的切線方程為.2.過橢圓上一點的切線方程為.3.已知點,拋物線:和直線:.(1)當點在拋物線上時,直線與拋物線相切,其中為切點,為切線.(2)當點在拋物線外時,直線與拋物線相交,其中兩交點與點的連線分別是拋物線的切線,即直線為切點弦所在的直線.(3)當點在拋物線內時,直線與拋物線相離.斜率問題1.在橢圓:中:(特別提醒此題結論適用型橢圓)(1)如圖①所示,若直線與橢圓交于,兩點,過,兩點作橢圓的切線,,有,設其斜率為,則.(2)如圖②所示,若直線與橢圓交于,兩點,為橢圓上異于,的點,若直線,的斜率存在,且分別為,,則.(3)如圖③所示,若直線與橢圓交于,兩點,為弦的中點,設直線的斜率為,則.2.在雙曲線:中,類比上述結論有:(特別提醒此題結論適用型雙曲線)(1).(2).(3).3.在拋物線：中類比1（3）的結論有.特別提醒：圓錐曲線的中點弦問題常用點差法，但是注意使用點差法后要檢驗答案是否符合題意；另外也可以通過聯立+韋達定理求解.在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,曲線上的一定點(非頂點)與曲線上的兩動點,滿足直線與的斜率互為相反數(傾斜角互補),則直線的斜率為定值.定值問題1、在橢圓中：已知橢圓,定點()在橢圓上,設,是橢圓上的兩個動點,直線，的斜率分別為,,且滿足.則直線的斜率2、在雙曲線:中，定點()在雙曲線上,設,是雙曲線上的兩個動點,直線,的斜率分別為，,且滿足.則直線的斜率3、在拋物線：，定點()在拋物線上,設,是拋物線上的兩個動點,直線,的斜率分別為,,且滿足.則直線的斜率.若圓錐曲線中內接直角三角形的直角頂點與圓錐曲線的頂點重合,則斜邊所在直線過定點.(1)對于橢圓()上異于右頂點的兩動點,,以為直徑的圓經過右頂點,則直線過定點.同理,當以為直徑的圓過左頂點時,直線過定點.(2)對于雙曲線上異于右頂點的兩動點,,以為直徑的圓經過右頂點,則直線過定點.同理,對于左頂點,則定點為.(3)對于拋物線上異于頂點的兩動點,,若,則弦所在直線過點.同理,拋物線上異于頂點的兩動點,,若,則直線過定點.

必記核心知識點10統計與成對數據的統計分析一、隨機抽樣1．簡單隨機抽樣（1）定義：設一個總體含有個個體，從中逐個不放回地抽取個個體作為樣本，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．（2）最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法．2．分層抽樣（1）定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．（2）應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．二、用樣本估計總體1．頻率分布直方圖（1）頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數和組距，組距第二步：分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表．（2）頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖（如圖）橫軸表示樣本數據，縱軸表示，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的頻率．2．樣本的數字特征（1）眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數．（2）中位數：把個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數．（3）平均數：把稱為這個數的平均數．（4）標準差與方差：設一組數據的平均數為，則這組數據的標準差和方差分別是 常用結論1．頻率分布直方圖與眾數、中位數與平均數的關系（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數．（2）中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．（3）平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．2．平均數、方差的公式推廣（1）若數據的平均數為，那么的平均數是．（2）數據的方差為．①數據的方差也為；②數據的方差為．三、變量間的相關關系與統計案例1．變量間的相關關系（1）常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數關系，另一類是相關關系；與函數關系不同，相關關系是一種非確定性關系．（2）從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區域內，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點散布在左上角到右下角的區域內，兩個變量的相關關系為負相關．2．兩個變量的線性相關（1）從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．（2）回歸方程為，其中．（3）通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．（4）相關系數：當時，表明兩個變量正相關；當時，表明兩個變量負相關．的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強．的絕對值越接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常大于0．75時，認為兩個變量有很強的線性相關性．3．獨立性檢驗（1）分類變量和列聯表分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．列聯表：①定義：列出的兩個分類變量的頻數表稱為列聯表．②2×2列聯表．一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數列聯表（稱為2×2列聯表）為：總計總計從列表中，依據與的值可直觀得出結論：兩個變量是否有關系．（2）等高條形圖①等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯表數據的頻率特征．②觀察等高條形圖發現與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關系．（3）獨立性檢驗計算隨機變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828

必記核心知識點11計數原理、概率、隨機變量及其分布一、兩個計數原理1.兩個計數原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計數原理有兩類不同方案1，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法種不同的方法分步乘法計數原理需要兩個步驟2，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法種不同的方法（1）每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事．（2）各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的．①每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事．②各步之間是相互依存的，并且既不能重復也不能遺漏．常用結論1．完成一件事可以有類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法……在第類方案中有種不同的方法．那么，完成這件事共有種不同的方法．2．完成一件事需要經過個步驟，缺一不可，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法．．．．．．做第步有種不同的方法．那么，完成這件事共有種不同的方法．二、排列、組合問題1．排列、組合的定義排列的定義從個不同元素中取出個元素按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列組合的定義合成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合2．排列數、組合數的定義、公式、性質排列數組合數定義從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數公式 性質 三、二項式定理1．二項式定理（1）二項式定理：；（2）通項公式：，它表示第項；（3）二項式系數：二項展開式中各項的系數為，，，，．2．二項式系數的性質四、隨機事件的頻率與概率1．頻數、頻率和概率（1）頻數、頻率：在相同的條件下重復次試驗，觀察某一事件是否出現，稱次試驗中事件出現的次數為事件出現的頻數，稱事件出現的比例為事件出現的頻率．（2）概率：對于給定的隨機事件，如果隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率穩定在某個常數上，把這個常數記作，稱為事件的概率．2．事件的關系與運算名稱條件結論符號表示包含關系發生發生事件包含事件（事件包含于事件） 相等關系若且事件與事件相等 并（和）事件發生或發生事件與事件的并事件（或和事件） 交（積）事件發生且發生事件與事件的交事件（或積事件） 互斥事件為不可能事件事件與事件互斥 對立事件為不可能事件．為必然事件事件與事件互為對立事件，3．概率的幾個基本性質（1）概率的取值范圍：．（2）必然事件的概率：．（3）不可能事件的概率：．（4）概率的加法公式：如果事件與事件互斥，則．（5）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則為必然事件，．常用結論探究概率加法公式的推廣（1）當一個事件包含多個結果時，要用到概率加法公式的推廣，即．（2）．注意涉及的各事件要彼此互斥．五、古典概型1．古典概型（1）古典概型的特征：①有限性：在一次試驗中，可能出現的結果是有限的，即只有有限個不同的基本事件；，②等可能性：每個基本事件出現的可能性是相等的．一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性．（2）古典概型的概率計算的基本步驟：①判斷本次試驗的結果是否是等可能的，設出所求的事件為；②分別計算基本事件的總數和所求的事件所包含的基本事件個數；③利用古典概型的概率公式，求出事件的概率．（3）頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同名稱不同點相同點頻率計算公式頻率計算中的均隨隨機試驗的變化而變化，但隨著試驗次數的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計算了一個比值古典概型的概率計算公式二是一個定值，對同一個隨機事件而言，都不會變化六、離散型隨機變量及其分布列1．隨機變量的有關概念（1）隨機變量：隨著試驗結果變化而變化的變量，常用字母表示（2）離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量．2．離散型隨機變量分布列的概念及性質（1）概念：若離散型隨機變量可能取的不同值為取每一個值的概率，以表格的形式表示如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 此表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時也用等式，表示的分布列．（2）分布列的性質：①②．3．常見的離散型隨機變量的分布列（1）兩點分布列 01 若隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱服從兩點分布，并稱為成功概率在含有件次品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則，，其中，且． 01．．．m ．．． 若隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱服從超幾何分布，七、二項分布及正態分布1．條件概率及其性質（1）條件概率的定義：對于任何兩個事件和，在已知事件發生的條件下，事件發生的概率叫做條件概率，用符號來表示，其公式為．（2）條件概率的性質①非負性：；②可加性：如果和是兩個互斥事件，則．2．全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．3．貝葉斯公式（1）一般地，當且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．（2）貝葉斯公式充分體現了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內在聯系．4．相互獨立事件（1）對于事件，若事件的發生與事件的發生互不影響，則稱事件是相互獨立事件（2）若，則與相互獨立．（3）若與相互獨立，則與與與也都相