考前突破05二次函數性質綜合題(2大必考題型)

題型一：純性質綜合題

題型二：交點問題

.精淮理分

題型一：純性質綜合題

【中考母題學方法】

1.(2024?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線丁=依2-2/M。工°).

(1)當。=1時，求拋物線的頂點坐標；

(2)已知和Nd，%)是拋物線上的兩點.若對于無1=3。，3<X2<4,都有％<%，求。的取值范圍.

2.(2024?浙江?中考真題)已知二次函數y=f+bx+c(b,c為常數)的圖象經過點A(-2,5),對稱軸為直

⑴求二次函數的表達式；

⑵若點8(1,7)向上平移2個單位長度，向左平移機(機>0)個單位長度后，恰好落在y=Y+fox+c的圖象

上，求機的值；

O

(3)當-24x4冏時，二次函數y=f+fex+c的最大值與最小值的差為1,求n的取值范圍.

3.（2024?江蘇南通?中考真題）己知函數丁式龍-4廠+^-9？（a,b為常數）.設自變量x取與時，y取得最

小值.

（1）若。=—1,6=3,求毛的值；

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（2）在平面直角坐標系無Qy中，點P（a⑼在雙曲線丫=-一上，且％=—.求點P到y軸的距離；

x2

（3）當/一2a-2匕+3=0,且14/<3時，分析并確定整數a的個數.

4.（2024?安徽?中考真題）已知拋物線丫=-丁+云（b為常數）的頂點橫坐標比拋物線y=—f+2x的頂點

橫坐標大1.

⑴求b的值；

（2）點A（與，M）在拋物線y=-f+2x上，點3（%+"1+〃）在拋物線〉=-爐+樂上.

（回）若/z=3r,且占2。，/>0,求/）的值；

（0）若占=-1,求/）的最大值.

5.（2024山東?中考真題）在平面直角坐標系工帆中，點尸（2,-3）在二次函數〉="2+法-3（。＞0）的圖像上,

記該二次函數圖像的對稱軸為直線x="，.

⑴求m的值；

⑵若點Q（〃?T）在丫=加+版-3的圖像上，將該二次函數的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函

數的圖像.當04x44時，求新的二次函數的最大值與最小值的和；

⑶設丫=加+人尤_3的圖像與x軸交點為（不⑼，（％,0）（不＜%）.若4＜%-再＜6,求。的取值范圍.

6.（2024?山東威海?中考真題）已知拋物線y=f+汝+46＜0）與x軸交點的坐標分別為&,0）,（x,,0）,且

⑴若拋物線乂=/+加+。+10＜0）與無軸交點的坐標分別為（￡,0）,（尤4，°），且退＜%.試判斷下列每組數

據的大小（填寫＜、=或＞）：

①尤1+天2

X]+X4.

x3+x4；②占一馬

（2）若占=1,2＜馬＜3,求6的取值范圍;

⑶當0＜%＜1時，y=封，+"+°。/〈0）、最大值與最小值的差為9求匕的值.

7.（2024?廣東廣州?中考真題）已知拋物線G:y=o？-6辦-。3+24+1（°>0）過點4（不2）和點35,2）,直

線/:y=/x+w過點C（3,l）,交線段A3于點。，記ACQ4的周長為G，ACZ必的周長為G，且G=C2+2.

⑴求拋物線G的對稱軸；

（2）求加的值；

⑶直線/繞點C以每秒3。的速度順時針旋轉f秒后（04f<45）得到直線,當/'〃AB時，直線/'交拋物線G于

E,歹兩點.

①求f的值；

②設△但'的面積為S,若對于任意的。>0,均有S2左成立，求上的最大值及此時拋物線G的解析式.

8.（2024?吉林長春?中考真題）在平面直角坐標系中，點。是坐標原點，拋物線y=V+2無+c（c是常數）

經過點（-2,-2）.點A、B是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為加、-機，點C的橫坐標為-5m，點C

的縱坐標與點A的縱坐標相同，連結AB、AC.

⑴求該拋物線對應的函數表達式；

（2）求證：當〃?取不為零的任意實數時，tanNG4B的值始終為2；

⑶作AC的垂直平分線交直線于點。，以AD為邊、AC為對角線作菱形AZJCE,連結DE.

①當DE與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形43CE的面積；

②當此拋物線在菱形ADCE內部的點的縱坐標>隨x的增大而增大時，直接寫出m的取值范圍.

【中考模擬即學即練】

9.(2025?上海虹口?一模)在平面直角坐標系無Oy中，拋物線y=Y+2加尤+/”+1經過點8(-1,0).

⑴求加的值以及拋物線的對稱軸；

(2)將該拋物線向右平移〃個單位后得到新拋物線，如果新拋物線經過原點，求”的值.

10.(2025?江西景德鎮?模擬預測)拋物線y=2尤2-4x+c的頂點至IJ尤軸的距離為3.

⑴求拋物線的頂點坐標；

(2)若拋物線與x軸有兩個交點，當-lVxW4,求y的取值范圍.

11.(2024,浙江臺州,模擬預測)已知拋物線小y=a(尤-3『-5經過點(2,-4).

⑴求乙的函數表達式及其頂點坐標；

⑵若點和3(〃,%)在拋物線右上，且m=4,%=%.

①求A,2兩點的坐標；

②將拋物線。平移得到拋物線4：y=a(x-3+4-5.當相WxW〃時，拋物線4的函數最大值為p,最小

值為g,若p-q=6,求左的值.

12.（2024?貴州六盤水?二模）已知二次函數圖象的頂點坐標為（1,-4）,且圖象經過點（3,0）,（0,-3）.

⑴求二次函數的表達式

（2）將二次函數的圖象向右平移加＞0）個單位，圖象經過點［1,求根的值;

⑶在由⑵平移后的圖象上，當24尤1時，函數的最小值為-3,求w的值.

13.（2024?貴州貴陽?模擬預測）如圖是二次函數％=3尤2弓的圖象，根據圖象回答下列問題:

⑴二次函數y=N的圖象與％的圖象有什么相同和不同（各寫出兩條）;

（2）若有一個二次函數的圖象與%的圖象形狀相同，且不經過第三、四象限，寫出一個符合條件的二次函數

的表達式.

14.(2025?湖北黃石?一模)如圖1,拋物線y="/+6x+c交無軸于A,C兩點，交y軸于點B,對稱軸為x=2,

若點A的坐標為(TO),03=0C,點。(〃%8)為某個動點.

⑴直接寫出點8,C的坐標；

⑵當點。在拋物線上且在對稱軸右側時，設直線AO的解析式為、=履+〃，依據函數圖象試求不等式

ax2+[b-k)x+c-d<0的解集；

(3)如圖2,過點。作x軸的垂線DE,交拋物線于點E,記￡>￡=〃，求〃關于機的函數解析式.當〃隨機

圖1圖2

15.（2024?貴州遵義?三模）如圖，是小明在自家院子里晾曬衣服的示意圖，他發現此時晾衣繩的形狀可以

近似的看作一條拋物線.經過測量，他發現立柱AB,CD均與地面垂直，且AB=CD=2m,AB.CD之

間的水平距離BD=8m.繩子最低點與地面的距離為1m.

圖（1）圖（2）

⑴按如圖（1）建立的平面直角坐標系，求拋物線的解析式.

（2）由于晾曬的衣服比較多，為了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撐起繩子，如圖（2）

肱V的高度為1.55m,通過調整MN的位置，使左邊拋物線K對應的函數關系式為％=a（x-2）2+左，且最

低點離地面1.4米，求水平距離DN.

⑶在（2）的條件下，小明測得右邊拋物線F?對應的函數關系式為%=0.09（X-5）2+1.19,將圖（2）中與,

F?兩條拋物線組成的新函數圖象整體向右平移相＞0）個單位長度，平移后的函數圖象在5WXW6時，y

的值隨x值的增大而減小，結合函數圖象，直接寫出根的取值范圍.

16.（2024?江蘇鹽城?二模）已知二次函數>尤-獷+上的圖象開口向下，且經過A（-3,加），3（-1,〃）兩

點.

⑴①。0（填">"或"<"）；

②當〃z=w時，求〃的值；

（2）若點C（2,p）和點。（1,0）也在二次函數y=a（x—/?）2+左圖象上，且"掰<0,

①求〃的取值范圍；

②若兩不同點E（-l-2r,e）和/"2"）都在二次函數y=a（x-/7『+后的圖象上，且始終滿足e</，求f的取

值范圍.

題型二：交點問題

【中考母題學方法】

1.（2020?江蘇鹽城?中考真題）若二次函數、=內2+如+。的圖像與x軸有兩個交點

加（和0）川（々,0）（0<xl<x2）,且經過點4（0,2）,過點A的直線/與尤軸交于點C,與該函數的圖像交于點B

（異于點A）.滿足zviav是等腰直角三角形，記AAMN的面積為的面積為邑，且S2=gs「

W

A-

O~M

（1）拋物線的開口方向一（填"上"或"下"）；

（2）求直線/相應的函數表達式；

（3）求該二次函數的表達式.

2.(2021?四川雅安?中考真題)已知二次函數y=f+2bx-3b.

(1)當該二次函數的圖象經過點A(L0)時，求該二次函數的表達式；

(2)在(1)的條件下，二次函數圖象與x軸的另一個交點為點2,與y軸的交點為點C,點尸從點A出發在

線段48上以每秒2個單位長度的速度向點8運動，同時點。從點8出發，在線段8c上以每秒1個單位長

度的速度向點C運動，直到其中一點到達終點時，兩點停止運動，求&BP。面積的最大值；

(3)若對滿足尤21的任意實數無，都使得＞20成立，求實數6的取值范圍.

3.（2020?湖南株洲?中考真題）如圖所示，二次函數y=a?+bx+c（a＞0）的圖像（記為拋物線「）與y軸交

于點C,與x軸分別交于點A、B,點A、B的橫坐標分別記為4，%,且。＜%＜乙.

（1）若〃=。，b=—3,且過點求該二次函數的表達式；

（2）若關于x的一元二次方程/+foc+c=0的判別式A'=4.求證：當g時，二次函數

%=辦2+（b+l）x+c的圖像與X軸沒有交點.

（3）若AB2=CJ2C+6,點p的坐標為（_后,_1）,過點P作直線1垂直于y軸，且拋物線的「頂點在直

C

線I上，連接OP、AP、BP,PA的延長線與拋物線「交于點D,若NOPB=NDAB,求x0的最小值.

4.（2020?江蘇連云港,中考真題）在平面直角坐標系xOv中，把與x軸交點相同的二次函數圖像稱為“共根拋

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物線”.如圖，拋物線匕：丫=5尤2-］尤-2的頂點為。，交無軸于點A、8（點A在點8左側），交y軸于點C.拋

物線4與乙是"共根拋物線”，其頂點為P.

備用圖

（1）若拋物線4經過點Q,T2）,求右對應的函數表達式；

（2）當的值最大時，求點尸的坐標；

（3）設點。是拋物線右上的一個動點，且位于其對稱軸的右側.若VDPQ與VABC相似，求其“共根拋物

線"4的頂點尸的坐標.

【中考模擬即學即練】

5.(2024?浙江杭州?二模)已知二次函數y=/—ax+6在尤=-1和x=5時的函數值相等.

⑴求二次函數y=Y-ax+b圖像的對稱軸；

(2)若二次函數y=--以+b的圖像與x軸只有一個交點，求b的值.

6.(2024?浙江寧波?一模)若二次函數>=尤2+27加+。與x軸只有一個交點，且經過A(a,6)和2(〃+2,6).

(1)用含a的代數式表示m;

(2)若點C(2a+2,32-c)也在該二次函數的圖象上，求該二次函數的解析式.

7.(2025?上海崇明?一模)已知拋物線y=/-2x-3的頂點為P,與V軸相交與點Q.

⑴求點尸、。的坐標；

(2)將該二次函數圖像向上平移，使平移后所得圖像經過坐標原點，與x軸的另一個交點為求sinNOMQ

的值.

8.(2024?云南?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=依2+6依-4m(aW0)與無軸的交點為A、B

(點A在點B的左側)，且AB=2.

⑴求拋物線的對稱軸及相與。的數量關系；

(2)若將此拋物線在點A、8之間的部分與線段A8所圍成的區域(包括邊界)記為C,當在C內的整點(橫、

縱坐標都為整數的點)有且僅有7個時，求出a的取值范圍.

9.（2025?上海靜安?一模）二次函數＞=〃尤2+及+0的部分圖像如圖所示，已知它與x軸的一個交點坐標是

⑴填空：①a與b的數量關系為：b=；②圖像與無軸的另一個交點坐標為

⑵如果該函數圖像經過點（0,-3）,求它的頂點坐標.

10.（2024,福建福州?模擬預測）已知二次函數y=ax2+bx+c（a*0）.

⑴當。=2時,

①若該函數圖像的對稱軸為直線x=l,且過點（。,3）,求該函數的表達式;

②若方程a?+fcv+c=0有兩個相等的實數根，求證：2b+8c3-l；

，…be,已知點（）點

(2)右a=一彳=3“29+2,N?+2當二次函數y=af+6x+c的圖像與線段"N有交點

時，直接寫出。的取值范圍.

11.（2024?貴州安順?一模）如圖，二次函數％=2/+bx+c與x軸有兩個交點，其中一個交點為4-1,0）,

且圖象過點2（1,2）,過A,8兩點作直線AB.

⑴求該二次函