專題18投影與視圖

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（2大模塊知識梳理）

知識模塊一：投影

知識模塊二：視圖

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（8大基礎考點）

考點一；投影與相似綜合

考點二：判斷簡單幾何體/組合體/非實心幾何體的三視圖

考點三：回三視圖

考點四：由三視圖還原幾何體

考點五：已知三視圖求邊長、側面積或表面積、體積

考點六：求小立方塊堆砌圖形的表面積

考點七：由幾何體視圖的面積

考點八：由三視圖，確定小立方體的個數

04辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（3大易錯點）

易錯點1：當物體的影子落在墻壁上或斜坡上時計算錯誤

易錯點2：畫三視圖時，輪廓線的虛實沒有畫對

易錯點3：求幾何體的表面積時，漏掉部分面

?耀思維3勵

平行投影ffil圖2

投影與視圖

主視圖由前向后

分類俯視圖由上向下三視圖

左視圖由左向右

視圖

主視圖

三視圖

俯視圖

知識模塊一：投影

知識點一：投影

投影的定義：一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影.照射光

線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.

形成投影需滿足三個條件：1）光源；2）投影面；3）物體.

知識點二：平行投影

平行投影的定義：太陽光線可以看成平行光線，像這樣由平行光線形成的投影叫做平行投影.

平行投影的特征：

1）等高的物體垂直地面放置時（圖1）,同一時刻同一地點，它們在太陽光下的影子一樣長.

2）等長的物體平行于地面放置時（圖2）,同一時刻同一地點，它們在太陽光下的影子一樣長，并且都等

于物體本身的長度.

3）不等高的物體垂直地面放置時（圖3）,同一時刻同一地點，它們在太陽光下的物高與影長成正比例，

即甲物體的高甲物體的影長

!（—=—）,利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如

乙料體的高乙的體的影f、rEFBC

旗桿的高度等，利用影長計算物高時,要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

口0,

圖1圖2圖3

知識點三：中心投影

中心投影的定義：由同一點發出的光線形成的投影叫做中心投影.（例如：手電筒、路燈、臺燈等）

中心投影的特征:

1）等高的物體垂直地面放置時（圖4）,在燈光下離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的

影子長.

2）等長的物體平行于地面放置時（圖5）,一般情況下離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越

短，但不會比物體本身的長度還短.

上A77"

圖4圖5

知識點四：正投影

正投影：在平行投影中，如果投影線與投影面互相垂直，當就稱為正投影.

平面圖形的正投影記憶口訣：平行形狀不變，傾斜形狀改變，垂直變成線段.（簡稱;平行，形不變，《!斜,

形改變；垂直，成線段.）

知識模塊二：視圖

知識點一：幾何體的三視圖

視圖：當我們從某一方向觀察一個物體時，所看到的圖形叫做物體的一個視圖

三視圖：一個物體在三個投影面內同時進行正投影，

①在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；

②在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；

③在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.

主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

三視圖之間的關系：

1）位置關系：三視圖的位置是有規定的，主視圖要在左邊，它的下方應是俯視圖，左視圖在其右邊，

2）大小關系：三視圖之間的大小是相互聯系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊,

左視圖與俯視圖的寬相等的原則.

主視圖口叩左視圖

昌五二/'

的視圖

知識點二：幾何體三視圖的畫法

畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體

1）確定主視圖的位置，畫出主視圖；

2）在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

3）在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

【注意】幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應畫成虛線，看得見的部分的輪廓線應畫成實

線.

利用三視圖計算幾何體面積的方法：利用三視圖想象出實物形狀，再進一步畫出展開圖，然后計算面積.

者點者法〕

考點一：投影與相似綜合

1.（2024?河北石家莊.三模）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們

小時候常玩的游戲.在一次游戲中，小明距離墻壁4米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米，如圖2所

示.若在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變為原來的一半，則光源與小明的距離應（）

圖1圖2

A.增加0.5米B.增加1米C.增力口2米D.減少1米

【答案】C

【分析】本題考查了中心投影、相似三角形的判定與性質，解題是關鍵是找出相似的三角形，然后根據對

應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解答問題，根據題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質

構建方程求解即可.

【詳解】解：如圖：點。為光源，為小明的手，CD表示小狗手影，貝U4B||CD,作。延長OE交CD

于F,則。F_LCD,

■''Z.OAB=Z.OCD,4OBA=Z.ODC,

OABOCD,

_AB_OE

"CD-OF,

■■■OE=2米，OF=6米，

,AB_OE_2_1

‘'CD-OF-6-3’

令AB=k,則CD=3k,

???在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變為原來的一半，如圖,

o

即=CD'=jfc,AOAB-AOC'D',

.AB__OE^_^_2則竺：_2

"CD'~OF'一九一3'人J6-3’

2

.■.OE'=4米，

二光源與小明的距離應增加4-2=2米，

故選：C.

2.（2024?浙江杭州.三模）如圖，廣場上有一盞高為9m的路燈4。，把燈。看作一個點光源，身高1.5m的

女孩站在離路燈5m的點8處.圖2為示意圖，其中力。14D于點A,CB1AD于點8,點。，C,。在一條

直線上，已知。4=9m,AB=5m,C5=1.5m.

（1）求女孩的影子BD的長.

（2）若女孩以5m為半徑繞著路燈順時針走一圈（回到起點），求人影掃過的圖形的面積.（n取3.14）

【答案】（1）女孩的影子B0的長為1米

（2）1111平方米

【分析】本題考查了相似三角形的應用，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式是解題的關鍵.

（1）根據相似三角形的判定和性質定理得到80的長，即可得出答案.

（2）根據圓的面積公式即可得到結論.

【詳解】（1）解：--BCLAD,AO1AD,

■■BCWAO,

???△BDSAADO,

BC_BD

,?AO=AD,

1.5BD

9BD+5

：.BD=1.米，

答：女孩的影子BD的長為1米；

（2）解：,??女孩以5m為半徑繞著路燈順時針走一圈（回到起點），

二人影掃過的圖形的面積62XTT-52X平方米.

3.（2024?四川自貢?中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測量方法.

圖1（利用影子）圖2（利用鏡子）圖3（利用標桿）

（1）如圖1,小張在測量時發現，自己在操場上的影長EF恰好等于自己的身高DE.此時，小組同學測得旗桿

4B的影長BC為11.3m,據此可得旗桿高度為m；

（2）如圖2,小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C,并通過鏡面觀測到旗桿頂部A.小組同學測得小

李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到鏡面距離EC=2m,鏡面到旗桿的距離CB=16m.求旗桿高度；

（3）小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大.在更新測量工具，優化測量方法后，測量精度明顯

提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度.方法如下：

圖4（找水平線）圖5（定標高線）圖6（測雕塑高）

如圖4,在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持管內水面N兩點始終處于同一水平

線上.

如圖5,在支架上端尸處，用細線系小重物。，標高線PQ始終垂直于水平地面.

如圖6,在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部8處于同一水平線的。，G兩點，并標

記觀測視線D4與標高線交點C,測得標高CG=1.8m,DG=1.5m.將觀測點。后移24m到》處，采用同樣

方法，測得C'G，=1.2m,D'G'-2m.求雕塑高度（結果精確到Im）.

【答案】⑴11.3

（2）旗桿高度為12m；

(3)雕塑高度為29m.

【分析】本題考查平行投影，相似三角形的應用.

(1)根據同一時刻物高與影長對應成比例，進行求解即可；

(2)根據鏡面反射性質，可求出N4CB=NEC。，得出△ACBSADCE,最后根據三角形相似的性質，即可

求出答案；

(3)BG^xm,由題意得：4DGC-4DBA,AD'GCfD'BA,利用相似三角形的性質列出式子，計算

即可求解.

【詳解】⑴解：由題意得DE=EF,由題意得：笠=整，

ADDC

??AB=BC=11.3m,

故答案為：11.3；

(2)解：如圖，由題意得，0E=L5m,EC=2m,BC=16m,

根據鏡面反射可知：乙ACB=乙ECD,

AB1BE,DE1BE,

???/.ABC=乙DEC=90°,

ACBDCE,

AB_CB日口/B_16

??—，KJ—，

DECE1.52

AB=12,

答：旗桿高度為12m；

(3)解：設BG=xm,

由題意得：&DGC"DBA,AD'G'C"XD'BA,

rr

#CG_DGCG_D'G'

ABDG+xABO'Z)+OG+%

nnl.81.51.22

AB1.5+%AB24+1.5+x

1.81.5

.4B_1.5+X

-2，

~AB24+1.5+%

整理得3.6(1.5+x)=1.8(25.5+%),

解得x=22.5,經檢驗符合他

：.AB=1.8x(1.5+22.5)+1.5=28.8-29(m),

答：雕塑高度為29m.

考點二：判斷簡單幾何體/組合體/非實心幾何體的三視圖

4.（2024?山東濰坊?中考真題）某廠家生產的海上浮漂的形狀是中間穿孔的球體，如圖1所示.該浮漂的俯

視圖是圖2,那么它的主視圖是（）

【答案】D

【分析】本題考查了物體的三視圖，根據物體及其俯視圖即可求解，掌握三視圖的畫法是解題的關鍵.

【詳解】解：由圖形可得，它的主視圖如圖所示：

故選：D.

5.（2024山東德州?中考真題）如圖所示幾何體的左視圖為（）

【答案】C

【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖.從左邊看得到的圖形是左視圖.根據從左邊看得到的圖形是左

視圖，可得答案.

【詳解】

解：從幾何體的左面看，是一個帶著圓心的圓，右邊的圓柱底面從左邊看不到，是一個用虛線表示的圓.只

（jv?）

有符合題意.

故選：c.

6.（2023?山東聊城?中考真題）如圖所示幾何體的主視圖是（）

【答案】D

【分析】從正面看到的平面圖形是主視圖，根據主視圖的含義可得答案.

【詳解】解：如圖所示的幾何體的主視圖如下：

故選：D.

【點睛】此題主要考查了三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面,

上面看得到的圖形.

考點三：四二視圖

7.（2024?湖南林E州?二模）畫出下面立體圖形的三視圖.

【答案】見解析

【分析】本題考查實物體的三視圖.觀察實物圖，按照三視圖的要求畫圖即可.

【詳解】畫出的三視圖如下：

左視圖俯視圖

8.（2023?全國?一模）如圖是用10個完全相同的小立方體搭成的幾何體.

（1）已知該幾何體的主視圖如圖所示，請在空白的方格中畫出它的左視圖和俯視圖.

（2）若保持主視圖和俯視圖不變，最多還可以再搭個小立方體.

【答案】（1）見解析

⑵3

【分析】（1）根據物體形狀即可畫出左視圖有三列以及主視圖、俯視圖都有三列，進而畫出圖形;

（2）可在最左側前端放兩個，后面再放一個，即可得出答案.

【詳解】（1）解：畫出圖如圖所示:

正面

（2）解：保持主視圖和俯視圖不變，可在最左側前端放兩個，后面再放一個，最多還可以再搭3塊小正方

體，

故答案為：3.

【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握簡單組合體三視圖的畫法是正確解答的關

鍵.

考點四：由三視圖還原幾何體

9.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體是（）

主視圖左視圖

O

俯視圖

A.球B.棱柱C.圓柱D.圓錐

【答案】D

【分析】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體，結合三視圖與原幾何體的關系即可解決問題

【詳解】解：由所給三視圖可知，該幾何體為圓錐，

故選：D

10.（2024?安徽?中考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，關鍵是熟悉三視圖的定義.

【詳解】解：根據三視圖的形狀，結合三視圖的定義以及幾何體的形狀特征可得該幾何體為D選項.

故選：D.

11.（2023?內蒙古呼和浩特?中考真題）下圖是某幾何體的三視圖，則這個幾何體是（）

D.

【答案】c

【分析】認真觀察三視圖結合選項確定正確的答案即可.

【詳解】解：結合三視圖發現：該幾何體為圓柱和長方體的結合體，

故選：C.

【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是有足夠的空間想象能力，掌握三視圖的定

義

考點五：已知三視圖求邊長、側面積或表面積、體積

12.（2024.浙江金華?模擬預測）如圖是一個直三棱柱的立體圖和左視圖，則左視圖中小的值為（）.

左改得

B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體、勾股數的應用等知識點，根據左視圖的形狀，求得左視圖

的寬成為解題的關鍵.

根據主視圖、俯視圖，根據立體圖上的尺寸標注，求得左視圖為長方形，其長為6,再根據底面運用等面積

法求得長方形的長即可.

【詳解】解：如圖所示，根據俯視圖中三角形的三邊分別為3,4,5,

俐視圖

...俯視圖為直角三角形，且斜邊為5,

.?.斜邊上的高為言=昔=2.4

二左視圖為長方形，其長為6,寬為2.4,即巾=2.4.

故選：A.

13.（2023?山東?中考真題）一個幾何體的三視圖如下，則這個幾何體的表面積是（）

C.48nD.54n

【答案】B

【分析】先根據三視圖還原出幾何體，再利用圓錐的側面積公式和圓柱的側面積公式計算即可.

【詳解】根據三視圖可知，該幾何體上面是底面直徑為6,母線為4的圓錐，下面是底面直徑為6,高為4

的圓柱，該幾何體的表面積為:

1/I\2

S=7rx-x6x4+6irx4+iix(-x6)=12n+24TC+9TI=451T.

故選B.

【點睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖以及圓錐的側面積公式和圓柱的側面積公式，根據三視圖還

原出幾何體是解決問題的關鍵.

14.（2021?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）根據三視圖，求出這個幾何體的側面積（）

A.500?rB.100V37TC.100兀D.200兀

【答案】D

【分析】由已知，得到幾何體是圓柱，由圖形數據，得到底面直徑以及高，計算側面積即可.

【詳解】解：由題意知，幾何體是底面直徑為10、高為20的圓柱，

所以其側面積為兀x10X20=20071.

故選：D.

【點睛】本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的側面積；關鍵是還原幾何體，明確側面積的部分.

15.（2021.云南?中考真題）如圖是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側視圖）.已

知主視圖和左視圖是兩個全等的矩形.若主視圖的相鄰兩邊長分別為2和3,俯視圖是直徑等于2的圓，則

這個幾何體的體積為

左視圖

【答案】3兀

【分析】由三視圖判斷出幾何體的形狀以及相關長度，根據圓柱的體積公式計算即可.

【詳解】解：由三視圖可知：該幾何體是圓柱，

該圓柱的底面直徑為2,高為3,

...這個幾何體的體積為兀x仔）x3=3兀，

故答案為：37r.

【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，圓柱的體積，解題的關鍵是判斷出該幾何體為圓柱.

考點六：求小立方塊堆砌圖形的表面積

16.（2021?貴州黔東南?中考真題）由4個棱長均為1的小正方形組成如圖所示的幾何體，這個幾何體的表

面積為（）

A.18B.15C.12D.6

【答案】A

【分析】幾何體的表面積是幾何體正視圖，左視圖，俯視圖三個圖形中，正方形的個數的和的2倍.

【詳解】解：正視圖中正方形有3個；

左視圖中正方形有3個；

俯視圖中正方形有3個.

則這個幾何體表面正方形的個數是：2x（3+3+3）=18.

則幾何體的表面積為18.

故選：A.

【點睛】本題考查了幾何體的表面積，這個幾何體的表面積為露在外邊的面積和底面積之和.

17.（2025?山東青島?一模）如圖，一個三階魔方由27個邊長為1的正方體組成，把魔方的中間一層轉動

了45。之后，表面積增加了cm2

【答案】108-72V2

【分析】利用截面圖，得出魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積，再利用幾何關系求出多出的一

個小三角形的面積，進而求出答案.

本題主要考查幾何體的表面積.

【詳解】解：轉動了45。之后，此時魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰

直角三角形，

設直角邊為無，則斜邊為魚乃

則有2x+V2x=3,

得到支=3—警

由幾何關系得：陰影部分的面積為

所以增加的面積為S=16sl

/279V2\

=108-72位

故答案為：108-72迎.

18.（2023?山西太原?二模）用6個大小相同的小立方體組成如圖所示的幾何體，該幾何體主視圖，俯視圖,

左視圖的面積分別記作Si，S2,S3,則S1，52，53的大小關系是（）

A.Sr=S2>S3B.Si<S2=S3C.S2>=S3D.S3>>S2

【答案】c

【分析】從正面看，注意“長對正，寬相等、高平齊”，根據所放置的小立方體的個數判斷出主視圖、俯視圖、

左視圖即可.

【詳解】解：設小正方體的棱長為1,從正面看所得到的圖形為三列，正方形的個數分別為1,2,1,S1=4.

從上面看所得到的圖形為三列，正方形的個數分別為2,1,2,52=5.

從左面看所得到的圖形為三列，正方形的個數分別為1,2,1,S3=4.

S2>Si=S3

故選：c

【點睛】考查幾何體的三視圖的知識，從正面看的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看

到的圖象是俯視圖.掌握以上知識是解題的關鍵.

考點七：由幾何體視圖的面積

19.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，若幾何體是由六個棱長為1的正方體組合而成的，則該幾何

體左視圖的面積是（）

本雙方向

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】首先確定該幾何體左視圖的小正方形數量，然后求解面積即可.

【詳解】解：該幾何體左視圖分上下兩層，其中下層有3個小正方形，上層中間有1個正方形，共計4個

小正方形，

???小正方體的棱長為1,

.??該幾何體左視圖的面積為4,

故選：C.

【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖，理解左視圖即為從左邊看到的圖形是解題關鍵.

20.（2024?四川成都?模擬預測）如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小立方塊搭成，從三個不同方向觀

察該幾何體得到的視圖面積相等的是（）

正面

A.主視圖與左視圖B.主視圖與俯視圖

C.俯視圖與左視圖D.主視圖，俯視圖，左視圖

【答案】B

【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，解答本題的關鍵在于熟練掌握三視圖的概念，并能找出正確的

二視圖.

先畫出該幾何體的三視圖，再根據三視圖的面積求解即可.

【詳解】解：這個幾何體的三視圖為：

俯視圖

主視圖與俯視圖的面積相等，

故選B.

21.（2024.江蘇無錫?二模）某三棱柱的三種視圖如圖所示，俯視圖的面積是左視圖面積的1倍，左視圖中矩

形4BCD的邊長4B=3,則主視圖的面積為（）

D.12

【答案】B

【分析】本題考查三視圖邊長關系，熟練掌握“長對正、高平齊、寬相等”，通過三視圖準確得到相應圖形的

邊長是解決問題的關鍵.根據三視圖關系可知，主視圖、俯視圖與左視圖的長相等，由左視圖中矩形ABCD

的邊長2B=3,俯視圖的面積是左視圖面積的￡倍，可知主視圖的寬為=4,由主視圖與左視圖關系可

知，主視圖三角形的高為=3,從而利用三角形面積公式即可得到主視圖的面積為^X4X3=6.

【詳解】解：???主視圖、俯視圖與左視圖的長相等，若左視圖中矩形ABCD的邊長力B=3,俯視圖的面積是

左視圖面積的1倍，

???主視圖的寬為=4,

??,主視圖與左視圖關系知主視圖二角形的IWJ為ZB=3,

???主視圖的面積為:x4X3=6,

故選：B.

考點八：由三視圖，確定小立方體的個數

22.（2024.黑龍江綏化?中考真題）某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，下圖是這個幾何體的三視

圖，那么構成這個幾何體的小正方體的個數是（）

cfflHcm

主視圖左視圖俯視圖

A.5個B.6個C.7個D.8個

【答案】A

【分析】此題主考查了三視圖，由主視圖易得這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層立方體的個數，

由主視圖和左視圖可得第二層立方體的個數，相加即可.

【詳解】解：由三視圖易得最底層有3個正方體，第二層有2個正方體，那么共有3+2=5個正方體組成.

故選：A.

23.（2023?黑龍江牡丹江?中考真題）由若干個完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所

示，則搭成該幾何體所用的小正方體的個數最多是（）

主視圖左視圖

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】根據主視圖和左視圖判斷該幾何體的層數及每層的最多個數，即可得到答案.

【詳解】解：根據主視圖和左視圖判斷該幾何體共有兩層，

下面一層最多有4個小正方體，上面的一層最多有3個小正方體，故該幾何體所用的小正方體的個數最多

是7個，

故選:B.

【點睛】此題考查了幾何體的三視圖，由三視圖判斷小正方體的個數，正確理解三視圖是解題的關鍵.

24.（2023?四川眉山?中考真題）由相同的小正方體搭成的立體圖形的部分視圖如圖所示，則搭成該立體圖

形的小正方體的最少個數為（）

左視圖俯視圖

A.6B.9C.10D.14

【答案】B

【分析】根據俯視圖可得底層最少有6個，再結合左視圖可得第二層最少有2個，即可解答.

【詳解】解：根據俯視圖可得搭成該立體圖形的小正方體第三層最少為6個，

根據左視圖第二層有2個，可得搭成該立體圖形的小正方體第二層最少為2個，

根據左視圖第三層有1個，可得搭成該立體圖形的小正方體第三層最少為1個，

故搭成該立體圖形的小正方體最少為6+2+1=9個，

故選：B.

【點睛】本題考查了由三視圖判斷小立方體的個數，準確地得出每層最少的小正方體個數是解題的關鍵.

25.（2024?浙江?模擬預測）用小立方塊搭一個幾何體，使它從正面和上面看到的形狀如下圖所示，從上面

看到形狀圖中小正方形中的字母表示在該位置上小立方塊的個數，請解答下列問題：

（2）這個幾何體最少由個小立方塊搭成；

（3）請在網格圖中畫出小立方塊最多時幾何體的左視圖.

【答案】（1）3,1,1

⑵9

（3）見解析

【分析】本題考查簡單組合體的三視圖

（1）根據主視圖，俯視圖可直接得出氏c的值；

（2）在各個位置上擺放相應的小正方體，直至最少即可；

（3）在俯視圖上的相應位置標注相應位置所擺放的小立方體的個數，即可畫出數量最多時的左視圖.

【詳解】（1）解：由主視圖和俯視圖可知，b=c=1,a=3,

故答案為：3,1,1；

（2）解：最少時，即a=3,b=c=l,而e所在的“歹!!”最少有一處為2即可，

因此，最少需要3+1+1+1+1+2=9（個）,

故答案為：9；

（3）解：在俯視圖上的相應位置標注相應位置所擺放的小立方體的個數，數量最多時的左視圖如下:

曷溟懸錯'

易錯點1：當物體的影子落在墻壁上或斜坡上時計算錯誤

1.（2023?陜西西安?模擬預測）數學活動課上，小宇、小輝一起測量學校升旗臺上旗桿4B的高度，如圖，

旗桿力B立在水平的升旗臺上，小宇測得旗桿底端8到升旗臺邊沿C的距離為2m,升旗臺的臺階所在的斜坡CD

長為2m,坡角為30。，小輝測得旗桿在太陽光下的影子落在水平地面MN上的部分OE的長為7m,同一時刻，

小宇測得直立于水平地面上長1.8m的標桿的影長為1.2m,請你幫他們求出旗桿AB的高度.（結果保留一位

小數，參考數據：V3?1.732）

【答案】15.1m

【分析】延長交MN于點H,過C做CG1MN于G,根據矩形的性質及含有30。角的直角三角形的性質得到

CG=lm,DG=V3m,最后根據同一時刻物高和影長成正比即可解答.

【詳解】解：延長48交MN于點H,過。做。61”可于6,

二四邊形BHGC是矩形，

：.HG=BC=2m,NCGD=90°,BH=CG,

,:乙CDG=30°,CD=2m,

：.CG=1CD=Im,DG=V3m,

：.HE=HG+GD+DE=2+^/3+7=(9+V3)m,

???同一時刻，物高和影長成正比，

?AH_1.8

>?—,

HE1.2

?AH_1.8

**9+V3-1.2?

?AU27+36

..AH=--------m,

2

15.1(m),

答:旗桿ZB的高度為15.1m.

RC,1-標桿

'、E卜

M〃G

【點睛】本題考查了解直角三角形一坡度坡角的問題，平行投影，掌握同一時刻物高和影長成正比是解題

的關鍵.

2.（2020?四川攀枝花?中考真題）實驗學校某班開展數學“綜合與實踐”測量活動.有兩座垂直于水平地面且

高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100cm.王詩嬤觀測到

高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.己知落在地

面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度i=1:0.75,在不計圓柱厚

度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：

(1)若王詩嬤的身高為150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少cm?

(2)猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內.請直接回答這

個猜想是否正確？

(3)若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm,則高圓柱的高度為多少cm?

【分析】(1)根據同一時刻，物長與影從成正比，構建方程即可解決問題.

(2)根據落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽光為平行光，結合橫截面分析可得；

(3)過點F作FG±CE于點G,設FG=4m,CG=3m,利用勾股定理求出CG和FG,得到BG,過點F作

FHLAB于點H,再根據同一時刻身高與影長的比例，求出AH的長度，即可得到AB.

【詳解】解:(1)設王詩嬤的影長為xcm,

由題意可得：

72X

解得：x=120,

經檢驗：x=120是分式方程的解，

王詩嬤的影子長為120cm；

(2)正確，

因為高圓柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

.??高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內；

(3)如圖，AB為高圓柱，AF為太陽光，ACDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，

過點F作FG±CE于點G,

由題意可得：BC-100,CF=100,

:斜坡坡度i=1:0.75,

,DE_FG_1_4

**CE~CG~0.75-3'

?,?設FG=4m,CG=3m,在△CFG中,

(4m)2+(3m)2=1002,

解得:m=20,

ACG=60,FG=80,

.,.BG=B