專題11四邊形與正多邊形

1.平行四邊形的定義、性質與判定

(1)定義：兩組對邊分別的四邊形叫作平行四邊形.

(2)性質：對邊平行；對邊________；對角相等；對角線互相平分，是_________圖形.

(3)判定方法：①兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③有一組對邊_______且________的四邊形是平行四邊形；

④對角線的四邊形是平行四邊形.

2.矩形的定義、性質與判定

(1)定義：有一個角是_____的叫作矩形.

(2)性質：矩形的對邊______且______；四個角都是；兩條對角線互相______且______.

(3)判定方法：①有三個角都是_______的四邊形是矩形；②對角線的平行四邊形是矩形.

3.菱形的定義、性質與判定

(1)定義：有一組鄰邊_______的平行四邊形叫作菱形,菱形是_______圖形，也是_______圖形，它的對稱軸就

是它的兩條所在直線.

(2)性質：菱形的四條邊都；兩條對角線互相；每條對角線平分.

(3)判定方法：①有一組鄰邊______的平行四邊形是菱形；②對角線的平行四邊形是菱形；③四條邊都

的四邊形是菱形.

4.正方形的定義、性質與判定

(1)定義：有一個角是______且有一組鄰邊_______的平行四邊形是正方形.

⑵性質：除具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質外，還具有對角線與邊夾角為的性質；面積等于

正方形既是_______圖形，也是______圖形，它的對稱軸有.

(3)判定方法：有一組鄰邊_______的矩形是正方形；有一個角是_______的菱形是正方形；對角線______且—

—平分的四邊形是正方形.

5.梯形

一組對邊______另一組對邊_____的四邊形叫作梯形.同一底上的的梯形是等腰梯形；兩對角線

的梯形是等腰梯形；兩腰的梯形是等腰梯形.有一個角是的梯形是直角梯形.連接梯形的兩腰

的連線叫作梯形的中位線；梯形的中位線______于兩底，并且等于的一半.

6.梯形的常見輔助線

(1)平移梯形的使兩腰和同一底上兩底角會聚到一個三角形中.

(2)平移梯形的.

⑶作梯形的.

(4)延長使延長部分等于上底長，再______上底端點和下底的延長終點.

(5)作一的平行線，和下底的延長線相交.

(6)過一腰的作另一腰的和其中一底的延長線相交，和另一底相交.

(7)延長兩腰使之相交.

7.正多邊形

(1)如果多邊形的各邊都各內角都則稱它為正多邊形.(2)正n邊形的內角和等于任意

多邊形的外角和等于.

實戰演練

1.如圖在口ABCD中,一定正確的是()

DC

A.AD=CDB.AC=BD

C.AB=CDD.CD=BC

2.如圖在菱形ABCD中.對角線AC,BD相交于點O,點E為CD的中點.若OE=3,則菱形ABCD的周長為()

A.6B.12C.24D.48

3.大自然中有許多小動物都是“小數學家”，如圖1,蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者

通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.如圖2,一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF,若對角線

AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為()

圖1

A.2mmB.2V2mm

C.2ammD.4mm

4.如圖，在正五邊形ABCDE中以AB為邊向內作正△ABF,則下列結論錯誤的是（）

A.AE=AF

B.ZEAF=ZCBF

C.ZF=ZEAF

D.ZC=ZE

5.如圖，在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O.E,F分別為AC,BD上一點，且OE=OF,連接AF,BE,EF.

若/AFE=25。,則NCBE的度數為()

6.下列多邊形中，內角和最大的是()

7.如圖把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中,NPMN=30°,直角頂點P在正方形

ABCD的對角線BD上.點M,N分別在AB和CD邊上,MN與BD交于點O,且點。為MN的中點則NAMP

的度數為（）

AMB

A.60°B.65°

C.75°D.80°

8.如圖，面積為S的菱形ABCD中點O為對角線的交點,E是線段BC的中點，過點E作EF±BD于點F,

EG，AC于點G,則四邊形EFOG的面積為()

9如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點。，點E是邊AD的中點點F在對角線AC上，且AF二1

AC,連接EF.若AC=10,貝!]EF=.

10如圖,正方形ABCD的邊長為8,點E是CD的中點，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點H、G,則

BG=.

1L如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E在OB上，連接AE,點F為CD的中點，連接OF,若AE=

BE,OE=3,OA=4,則線段OF的長為.

12.如圖，正方形ABCD的邊長為4,對角線AC,BD相交于點0,點E,F分別在BC,CD的延長線上，且CE=2,DF=

1,G為EF的中點，連接OE,交CD于點H,連接GH.則GH的長為.

13.如圖在口ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AB=AD.

(1)求證:AC_LBD;

⑵若點E,F分別為AD,A0的中點，連接.EF,EF=|,力。=2,求BD的長及四邊形ABCD的周長.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD,E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F,連接

AF,ZBDF=90°.

⑴求證:四邊形ABDF是矩形;

⑵若AD=5,DF=3,求四邊形ABCF的面積S.

15.如圖.在口ABCD中對角線AC與BD相交于點O,點E,F分別在BD和DB的延長線上，且DE=BF,連接A

E,CF.

（1）求證:△ADE^ACBF;

（2）連接AF,CE.當BD平分/ABC時,四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理由.

1.如圖，在正方形ABCD中,E為AB邊上一點,BFLCE于點G，若已知下列三角形面積，則可求陰影部分面

AFD

積和的是（）

A.SABAFB.SABCF

C.SABCGD.SAFCGB

2.如圖在^ABC中,NBAC=90。以BC為邊向上作正方形BCDE,以AC為邊作正方形ACFG,點D落在GF

上，連接AE,EG若DG=2,BC=6^!UAEG的面積為（）

A.4B.6

C.5V2D.8

3.如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=4,對角線ACLAB,對角線AC,BD交于點。，點E為BC邊中點

連接0旦口旦則4DOE的面積為（）

C.V52D.2

4.如圖，在菱形ABCD中,AB=4,/B=120。,點E,F分別在邊AD,BC上，點G,H在對角線AC上.若四邊形EGF

H是矩形，且FG〃AB,則EG的長是（）

D

E

AC

A.V3B.1.5

C.2D.2V3

5.問題:如圖，在口ABCD中，點&點F在對角線AC上（不與點A、點C重合）,連接BE,DF.若______，求證:

BE=DF在①AE=CF;②NABE=/CDF;③/BEC=/DFA,這三個條件中選擇其中一個，補充在上面問題中，

并完成問題的解答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC中點過點O作EFLAC分別交邊AB,CD于點E,F.

求證：四邊形AECF是菱形.

7.如圖，在正方形ABCD中,AC,BD相交于點O,點E,F分別在OA,OD±,ZABE=ZDCF.

(1)求證:△ABE^ADCF;

(2)若BC=4V2MF=3,求BE的長.

8.如圖，在等腰三角形ABC中,AB=AC,點D是BC中點點E是AD的中點，過點A作AF〃BC交BE的延

長線于點F,連接CF.

⑴試判斷四邊形ADCF的形狀，并加以證明；

⑵若AB=17,BC=30,求四邊形ADCF的面積.

參考答案

1.(1)平行

⑵相等中心對稱

(3)平行平行相等互相平分

2.(1)直角平行四邊形

⑵相等平行直角平分相等

⑶直角相等

3。)相等中心對稱軸對稱對角線

(2)相等垂直平分每一組對角

(3)相等互相垂直相等

4.⑴直角相等

(2)45°邊長的平方軸對稱中心對稱四條

(3)相等直角相等垂直

5.平行不平行兩底角相等相等相等直角中點平行兩底和

6.⑴腰

(2)對角線

⑶高

(4)下底連接

(5)對角線

(6)中點平行線

7。)相等相等

(2)(n-2)-180°360°

1.C【解析】本題考查平行四邊形的性質.根據平行四邊形對邊相等可得AB=CD,故選C.

2.C【解析】本題考查菱形的性質、三角形中位線定理.因為四邊形ABCD是菱形，所以OA=OC.又E為CD

的中點.所以AD=2OE=6,所以菱形ABCD的周長為4AD=24,故選C.

3.D【解析】本題考查正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質.如圖所示，連接CF,與AD交于點O.V

六邊形ABCDEF是正六邊形,AD*8mm,/.ZAOF=60°,OA=OF=\AD,：.AOF是等邊三角形，；.AF=]AD-4mm

，故選D.

4.C【解析】本題考查正多邊形的性質、多邊形內角和定理...?多邊形ABCDE為正五邊形,，AB=AE,/C=

=4EAB=MBA==：Z\ABF是等邊三角形,.?.AB=AF,/F=/FAB=NFBA=60。.對于A,VAB=AE,AB

=AF,；.AE=AF,故A選項正確:對于B,VZEAB=/CBA,/FAB=/FBA,；./EAF=/CBF,故B選項正確;對于C,

VZF=60o,ZEAF=108°-60o=48°,NFrNEAF,故C選項錯誤;對于D,ZC=ZE成立，故D選項正確，故選C.

5.C【解析】本題考查正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質四邊形A

BCD是正方形,.^./AOB=/AOD=90。,OA=OB,/OBC=45。.^.,OE=OF,△OEF為等腰直角三角形，

ZOEF^ZOFE=45°.VZAFE=25°,ZAFO=ZAFE+ZOFE=70°,ZFAO=20°.在△AOF和△BOE中，

"OA=OB,

AAOF=乙BOE=90AOF=ABOE(SAS),.*.ZEBO=ZFAO=20°,；.ZCBE=/EBO+/OBC=65°,故選C.

.OF=OE,

6.D【解析】本題考查多邊形的內角和.選項A中的圖形是一個三角形，其內角和為180°；選項B中的圖形

是一個四邊形，其內角和為360°；選項C中的圖形是一個五邊形，其內角和為540°；選項D中的圖形是一個六邊

形，其內角和為720°，，內角和最大的是六邊形，故選D.

7.C【解析】本題考查正方形的性質、直角三角形的性質.在RtAPMN中,NMPN=90。.因為。為MN的中點，

所以OP=2MN=0M.因為NPMN=30。,所以NMPO=30。,所以/DPM=150。.在四邊形ADPM中，因為/A=90°,

ZADB=45°,ZDPM=150°,所以NAMP=360"/A-/ADB-NDPM=360O-90。-45°-150°=75。,,故選C.

8.B【解析】本題考查菱形的性質及面積公式、三角形中位線定理四邊形ABCD是菱形,，BD垂直平分A

C,設AC=4a,BD=4b,則S=|X4aX=8ab,VE為BC的中點EF_LOB于點F,EG_LOC于點G,...四邊形EFOG

為矩形,：OC=2a,OB=2b,；.EG=b,OG=a,S=ab,S=則故選B.

BF0GEF0Go

9.f【解析】本題考查矩形的性質、三角形的中位線定理.在矩形ABCD^,60^6=10,.*.OA=OD=5.vAF=\

24

AC=|,.\F是AO的中點.又是AD的中點,；.EF是小AOD的中位線，［EF=\(JD=j.

10.1【解析】本題考查正方形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理.如圖，連接AG,EG,在正方形ABC

D中,/B=NC=9(r,CD=AB=BC=8.因為E是CD的中點，所以CE=^CD=4.因為HG垂直平分AE,所以AG=E

G.設BG=x，在RtAABG中,.AG2=AB2+BG2=64+X2..在RtACEG中，EG2=CE2+CG2=16+(8-x)2,

所以(64+x2=16+(8-久產解得x=l,即BG=1.

11.2V5【解析】本題考查勾股定理、三角形的中位線定理、菱形的性質.在菱形ABCD中,AC_LBD,AB=BC,

OD=OB在RtAAOE中，AE=VOX2+OE2=5,所以BE=AE=5,所以OB=BE+OE=8.在RtAAOB中，AB=

VOX2+OB2=4有，所以BCAB=又因為F為CD的中點，所以OF為ABCD的中位線，所以OF=：BC

=2V5.

12.手【解析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形的中位線定理.如圖，

過點O作OM_LCD,貝!jOM=CE=2,ZOMH=ZECH=90°.又ZOHM=NEHC,「.△OHM四△EHC,；.O

H=EH,即H是OE的中點.連接OF,；G是EF的中點,；.GH是△EFO的中位線.在RtAOMF中,FM=DM+DF

=2+1=3,；.OF=VOM2+FM2=V22+32=V13,GH=曰OF="，即GH的長為手.

作輔助線構造全等三角形和直角三角形是解答本題的關鍵.

13.⑴略(2)4713

(1)根據菱形的判定與性質即可證明；(2)由三角形的中位線定理求得OD,再由菱形的性質求得BD,利用勾股

定理求出AD,即可求解.

解:⑴證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=AD,.”ABCD是菱形，

-,.ACXBD.

(2);?點E,F分別為AD,AO的中點，

AEF是4AOD的中位線，

；.OD=2EF=3.

由⑴可知,四邊形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,AC_LBD,BD=2OD=6.

在RtAAOD中，由勾股定理得

AD=7A。2+=713,

菱形ABCD的周長為4AD=4V13.

14.(1)略(2)18

⑴利用平行四邊形的性質與“AAS”證明△ABE0△DFE,則有AB=DF,結合AB〃DF與/BDF=90唧可證明結論

成立；(2)根據平行四邊形與矩形的性質可得四邊形ABCF的面積是4BDF的面積的3倍，根據矩形的對邊相等與

勾股定理可得BD的長，求出△BDF的面積，進而求出四邊形ABCF的面積.

解：⑴證明：由四邊形ABCD是平行四邊形和已知得AB〃CF.

ZBAE=ZFDE,ZABE=ZDFE.

,/E是AD的中點,AE=DE.

△ABEgADFE(AAS).AB=DF.

：AB〃CF,即AB〃DF,

四邊形ABDF是平行四邊形.

又：/BDF=90。，

四邊形ABDF是矩形.

(2)：四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDF是矩形，

；.AB=CD=DF,即D是CF的中點.

/.△BCD,ABDF,AABF的面積相等.

四邊形ABCF的面積S=3SABDF.

,/AD=5,DF=3,四邊形ABDF是矩形，

BD=AF='AD?—DF2=V25-9=V16=4.

SBDF=|XDFXBD=|x3x4=6.

/.四邊形ABCF的面積S=3SBDF=3X6=18.

15.⑴略⑵菱形，理由略

(1)根據平行四邊形的性質，利用SAS證明△ADE四△CBF;(2)利用△ADE0△CBF.得至I」AE與CF平行且相

等，從而證明四邊形AFCE是平行四邊形，再由角平分線的性質證明對角線互相垂直，從而證明四邊形AFCE是

菱形.

解：⑴證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，,AD=BC,NADB=/CBD.

又?/ZADB+ZADE=180°,

ZCBF+ZCBD=180°,

ZADE=ZCBF.

在4ADE和4CBF中,AD=BC,

ZADE=ZCBF,DE=BF,

AADE^ACBF(SAS).

(2)如圖所示，連接AF,EC,

由(1)得4ADEgZXCBF貝[]AE=CF,ZAED=ZCFB,

；.AE〃CF,

即AF±CE.

，四邊形AFCE是平行四邊形，當BD平分NABC時,NABD=NCBD.

又：AD〃CB,

.\ZADB=ZDBC,

ZADB=ZABD,

即AD=AB=BC,

/.△ABC為等腰三角形.

由等腰三角形三線合一的性質可知ACXEF,

???平行四邊形AFCE是菱形.

壓軸預測

1.D【解析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定及性質.在正方形ABCD中,AB=BC=AD,NBAD=/

ABC=90°.VBF±CE,ZABF+ZBEC=ZABF+ZAFB=90°,BPZBEC=ZAFB,AAABF^ABCE,AF=BE,.*.AE

=DF,SAAEC=SACDF,S陰影=SABC-SBOG.又:°^ABC=^BCF=U正方形ABCD'，8形=‘BCF—

SBCG=SR*,；?.若已知SAFCG,可求出陰影部分的面積和，故選D.

AFD

BC

2.D【解析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的面積公式四邊形BCDE是正

方形，...BC=CD,/BCD=90。.：四邊形ACFG是正方形，

；.CF=AG=AC,ZACF=90°.XZACB+ZACD=ZACD+ZFCD,.\ZACB=ZFCD.在△ABC和△FDC中,

(AC=CF.

J.^ACB=^FCD,AFDC

BC=CD,

；.AB=FD.過點E作EHXBG于點H,貝！jNEBH=NACB,NEHB=NBAC=9(T,BE=BC,.\AABC^AHEB(AA

S),，EH=AB.設AB=a,AC=b,：.a2+b2=BC2=36.???DG=FG-DF=AC-AB,：.b-a=2,：.a2-2ab+b2

=4,.-.36-2a6=4ab=16,SAEG=^AG-EH=|T4C-AB=^ab=|x16=8故選D.

BC

3.B【解析】本題考查平行四邊形的性質四邊形ABCD為平行四邊形，,BC=AD=4在RtABAC中,AB=2,

22

BC=4,則AC=V4-2=2V3,S皿-=AB-AC=^,SBCD=2遮.?點O,E分別為BD,BC的中點，

SBED=]SBCD=V3,SD0E=-SBED—，，故選B.

4.A【解析】本題考查菱形的性質、矩形的性質.如圖，連接BD,交AC于點0,因為四邊形ABCD是菱形,

所以AC_LBD,所以/AOB=90。,因為NABC=12(F,AB=BC,所!以NBA。=1x(180°-120。)=30。，所以OB=

=2,OA=V3OB=2但因為四邊形EGFH是矩形，所以NGFH=90。,因為FG〃AB,所以/FGH=/BAC=30。，

所以GH=2FH=2GE,即OG=GE,因為NGFC=NABC=12()o,NGFH=90。,所以NHFC=NHCF=30。,所以FH=HC,同理可

得GE=AG,所以OA=AG+OG=2GE=2b所以GE=百,故選A.

5.略

根據題意，若選條件①，結合平行四邊形的對邊平行且相等，再由平行線得內錯角相等，結合已知條件即可證

明兩個三角形全等，從而可得結論；若選條件②，結合平行四邊形的對邊平行且相等，再由平行線得內錯角相等，

結合已知條件，即可證明兩個三角形全等，從而可得結論；若選條件③，結合平行四邊形的對邊平行且相等，再由

平行線得內錯角相等，結合已知條件，即可證明兩個三角形全等，從而可得結論.

證明：若選條件①：

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB=CD,AB〃CD,

所以NBAE=NDCF.

又因為AE=CF,

所以△ABE^ACDF(SAS),

所以BE=DF.

若選條件②：

因為四邊形ABCD是平行四邊形,

所以AB=CD,AB〃CD,

所以NBAE=NDCF.

又因為/ABE=/CDF,

所以△ABE0△CDF(ASA),

所以BE=DF.

若選條件③：

因為四邊形ABCD是