專題13特殊平行四邊形

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤?基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：矩形的性質與判定

知識模塊二：菱形的性質與判定

知識模塊三：正方形的性質與判定

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（12大基礎考點）

考點一：根據特殊四邊形的性質求角度

考點二：根據特殊四邊形的性質求線段長

考點三：根據特殊四邊形的性質求周長

考點四：根據特殊四邊形的性質求面積

考點五：根據特殊四邊形的性質求點的坐標

考點六：利用特殊四邊形的性質證明

考點七：特殊四邊形的折疊問題

考點八：證明四邊形是特殊四邊形

考點九：根據特殊四邊形的性質與判定求角度

考點十：根據特殊四邊形的性質與判定求線段長

考點十一：根據特殊四邊形的性質與判定求周長

考點十二：根據特殊四邊形的性質與判定求面積

04破?重點難點：突破重難點，沖刺高分。（6大重難點）

重難點一：與特殊平行四邊形有關的最值問題

重難點二：中點模型

重難點三：十字架模型

重難點四：半角模型

重難點五：一線三垂直模型

重難點六：對角互補模型

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（2大易錯點）

易錯點1：未掌握矩形，菱形，正方形的判定定理

易錯點2：求菱形面積時出錯

思維￥槌

具有的四邊形所有14S

四個角都是直角

對角線相等

既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

有一個角是直角的平行四邊形

角-----------------------------

有三個角是直角的四邊形

判定對角線對角線相等的平行四邊形

運用勾股定理求邊或對角線的長

應用

運用對角線相等證明四個小三角形的面積相等

具有平行四邊形所有蟠

邊四條邊都相等

兩條又捅線互相垂直

對角線

菱形每一條對角線平分一組對角

有一組鄰邊相等的平行四邊形

特殊平行四邊形&邊

四條邊都相等的四邊形

判定

對角線互相垂直的平行四邊形

具有帝亍四娜所有瞳

邊四條邊都相等

角四個角都是直角

相等

對角線互相垂直平分

每條對角線平分一組對角

正方形軸對稱圖形4條對稱軸

對稱性

中心對稱圖形

邊有一組鄰邊相等的矩形

角有一個角是直角的菱形

判定

對角線互相垂直的朝

對角線

對角線相等的美形

盒基森如說、

知識模塊一：矩形

知識點一：矩形的性質

性質符號語言圖示

邊兩組對邊平行且相等?/四邊形ABCD是矩形

，AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//BCAD

角四個角都是直角四邊形ABCD是矩形

???NBAD=NBCD二NABC二NADC=90°

BC

對角線兩條對角線互相平分???四邊形ABCD是矩形

且相等.*.A0=C0=B0=D0

【補充】

1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質；

2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經常會用到等腰三角形的性質解決問題.

3）利用矩形的性質可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.

知識點二：矩形的判定

判定定理符號語言圖示

一個角是直角的平行四在平行四邊形ABCD中，AD

邊形是矩形VZABC=90°,二平行四邊形ABCD是矩o

BC

角形

二個角是直角的四邊形在四邊形ABCD中，D

是矩形VZB=ZA=ZD=90°,

BC

**?四邊形ABCD是矩形

對角線對角線相等的平行四邊在平行四邊形ABCD中，AD

形是矩形：AC=BD,.?.平行四邊形ABCD是矩形

BX

C

知識模塊二：菱形

知識點一：菱形的性質

性質定理符號語言圖示

???四邊形ABCD是菱形

邊四條邊都相等

L

.\AB=CD=AD=BC

四邊形ABCD是菱形，AC_LBD,

對角對角線互相垂直，且每一條——

AC平分/BAD,AC平分/BAD,

線對角線平分一組對角r

AC平分/BAD,AC平分/BAD

【補充】

1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質；

2）菱形的兩條對角線互相垂直，且對角線將菱形分成四個全等的直角三角形.

3）對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.

4）菱形的面積公式：

①菱形的面積=底義高，即

②菱形的面積=兩條對角線長的乘積的一半，即S=’根”.

2

知識點二：菱形的判定

判定定理符號語言圖示

四條邊相等的四邊形是在四邊形ABCD中，

邊菱形.：AB=BC=CD=AD,四邊形ABCD是菱

形

一組鄰邊相等的平行四在平行四邊形ABCD中，c

邊形是菱形.VAB=BC,平行四邊形ABCD是菱形

對角線對角線互相垂直的平行在平行四邊形ABCD中，A

四邊形是菱形.VAC±BD,平行四邊形ABCD是菱形

B

C

知識模塊三：正方形

知識點一：正方形的性質

1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.

2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.

【補充】

1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質.

2）一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.

知識點二：正方形的判定

定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊

形是正方形

判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形

矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形

菱形+一個角是直角有一個角是直角的菱形是正方形

菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形

⑹著點司法

考點一：根據特殊四邊形的性質求角度

1.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）矩形4BCD的對角線4C,BD相交于點0,點F在矩形4BCD邊上，連接0F.若

4ADB=38°,4BOF=30°,貝！JNHOF=.

【答案】46。或106。

【分析】根據題意畫出圖形，分點F在48上和BC上兩種情況討論即可求解.

【詳解】解：：四邊形4BCQ是矩形，

：.0A=0D,

Z-ADO=Z.OAD,

,:乙ADB=38°,

：.Z.ADO=AOAD=38°

：.Z.AOB=乙ADO+/LOAD=76°,

如圖所示，當F點在ZB上時，

■:(BOF=30°,

：.^AOF=AAOB一乙BOF=76°-30°=46°

如圖所示，當點F在上時,

VzBOF=30°,

C.Z.AOF=乙AOB+乙BOF=76°+30°=106°,

故答案為：46。或106。.

【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊對等角，三角形的外角的性質，分類討論是解題的關鍵.

2.（2023.黑龍江大慶.中考真題）將兩個完全相同的菱形按如圖方式放置，若NB4D=戊，乙CBE=6，則夕=

13

45。+三aC.90°--aD.900--a

2222

【答案】D

【分析】由題意可得NFBG=/.DAB=a,由菱形的性質可得4DIIBC,^ABD=4CBD=a+￡,由平行線

的性質可得ACMB+4ABC=180°,進行計算即可得到答案.

【詳解】解：根據題意可得：4FBG=4DAB=a,

???四邊形48CD為菱形，

???AD||BC,/.ABD=乙CBD=a+￡,

???/.DAB+/.ABC=180°,

???乙ABC=乙ABD+乙CBD=a+/?+a+/?=2a+2s

???a+2a+2/?=180°,

:B=90°--a,

"2

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質、平行線的性質，熟練掌握菱形的性質、平行線的性質，是解題的關鍵.

3.（2023?山東?中考真題）如圖，點E是正方形2BCD內的一點，將△力BE繞點8按順時針方向旋轉90。得到

F

【答案】80

【分析】先求得NBEF和NCBE的度數，再利用三角形外角的性質求解即可.

【詳解】解：???四邊形4BCD是正方形，

：.Z.ABC=90°,

'：Z.ABE=55。，

:.乙CBE=90°-55°=35°,

1/△ABE繞點B按順時針方向旋轉90。得到△CBF

J.A.EBF=90°,BE=BF,

."BEF=45°,

C./.EGC="BE+乙BEF=35°+45°=80°,

故答案為：80.

【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，旋轉圖形的性質和三角形外角的性質，利用旋轉圖

形的性質求解是解題的關鍵.

考點二：根據特殊四邊形的性質求線段長

4.（2024.四川巴中.中考真題）如圖，矩形4BCD的對角線4C與BD交于點0,DE14C于點E,延長DE與BC交

于點F.若48=3,BC=4,則點F到BD的距離為.

【答案以

【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，解直角三角形的相關知識，過點尸作FH14B,垂足為X,利

用勾股定理求出4C的長，利用角的余弦值求出DF的長，再利用勾股定理求出FC,從而得出BF,利用三角形

面積求出尸H即可.

【詳解】解：如圖，過點F作FH1DB,垂足為“，

???ABAD=乙BCD=90°,AC=BD,

AB=3,BC=4,

AC=BD=7AB2+BC2=V32+42=5,

S—DC=-DC=|xc-DE,即|x4x3=|x5xDE,

解得：DF=y

12

???cosZ-lEaDcC=—DE=—DC,B口Rn—W=—3

DCDF3DF

解得：

DF=-4,

...FC=y/DF2—DC2=-32=￡

97

BF=BC-FC=4--=-

44f

??.S〉BDF=-BDFH=-BF?DC,即三x5xFH=三x2x3,

△a”22224

解得：尸”=豢

故答案為：fi.

5.（2024.海南?中考真題）如圖，菱形4BCD的邊長為2,乙4BC=120。，邊4B在數軸上，將4C繞點A順時

針旋轉，點C落在數軸上的點E處，若點E表示的數是3,則點A表示的數是（）

【答案】D

【分析】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，勾股定理.作CF14E于點尸，利用菱形的性質，直

角三角形的性質，勾股定理計算即可.

【詳解】解：作于點尸，

:.乙FBC=60°,

,:BC=2,

：.BF=\BC=1,CF=y/BC2-BF2=V3,

：.AF=AB+BF=3,

：.AE=AC=VAF2+CF2=J32+(V3)2=2痔

7點E表示的數是3,

點A表示的數是3-2百，

故選：D.

6.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形A8CD的對角線相，8。相交于點。，點E是04的中點，點廠是。。上

一點.連接EF.若NFE0=45。，則察的值為.

【答案】|

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，正方形的性質，先由正方形的性質得到NO4D=45。,

AD=BC,再證明EFII4。，進而可證明△OEFsAtMD,由相似三角形的性質可得整=蕓=；,即暮="

【詳解】解：???正方形的對角線4C,80相交于點。，

：.^OAD=45°,AD=BC,

???點E是。4的中點，

,OE_1

??0/一2，

,：Z-FEO=45°,

：.EF||AD,

△OEFOAD,

.?.里=絲=工，即處=工，

ADOA2BC2

故答案為：|.

考點三：根據特殊四邊形的性質求周長

7.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，在矩形48CD中，對角線4C與BD相交于點O,NABD=60°,AE1BD,

垂足為點E,尸是。。的中點，連接￡尸，若EF=2w,則矩形4BCD的周長是（）

AD

A.16V3B.8V3+4C.4>/3+8D.8—+8

【答案】D

【分析】根據矩形的性質得出。4=OB,即可求證AAB。為等邊三角形，進而得出點E為。B中點，根據中

位線定理得出BC=2EF=4V3,易得心CBD=30°,求出CD=BC-tanzBCD=4,即可得出矩形的周長.

【詳解】解：???四邊形4BCD是矩形，

/.OA=OB,

'J/.ABD=60°,

.?.△48。為等邊三角形，

,：AE1BD,

.?.點E為。B中點，

\?尸是OC的中點,若EF=2后

：.BC=2EF=4V3,

'：Z.ABD=60°,

:.乙CBD=30°,

CD=BC-tanzBCA=4V3X—=4,

3

矩形4BCD的周長=2（BC+CD'）=2（4^/3+4）=8V3+8,

故選：D.

【點睛】矩形主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，中位線定理，解直角三角形，解題的關鍵

是掌握矩形的對角線相等，等邊三角形三線合一，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，以及

解直角三角形的方法和步驟.

8.（2023?內蒙古?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，AB=4,ZX=120。，順次連接菱形力BCD各邊中點E、

F、G、H,則四邊形EFGH的周長為（）

C.4+4A/3D.6+4V3

【答案】C

【分析】首先利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，再求對角線長度，然后利用三角形

中位線定理求出此平行四邊形邊長即可求出周長.

【詳解】

F、G、“分另ij是邊4B、BC、CD、D4的中點,

22

EF=GH,同理EH=FG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

???四邊形2BCD是菱形，AB=4,乙4=120°,

???對角線AC、BD互相垂直,

???ADWBC,

???LA+/.ABC=180°,

???乙ABC=60°,AB=BC=4,

.?.△ABC是等邊三角形，

???AC=4,

在RtAAOB中，AB=4,OA=|AC=2,

OB=V42-22=2A/3,

BD=4V3,

EF=-AC=2,EH=-BD=2百，

22

四邊形EFGH的周長為（2+2V3）X2=4+4遍.

故選：C.

【點睛】本題考查了中點四邊形的知識，解題的關鍵是靈活運用三角形的中位線定理，菱形的性質及平行四

邊形的判定與性質進行計算.

9.（2024.江蘇連云港.中考真題）如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長

是80cm,則圖中陰影圖形的周長是（）

A.440cmB.320cmC.280cmD.160cm

【答案】A

【分析】本題考查平移的性質，利用平移的性質將陰影部分的周長轉化為邊長是80cm的正方形的周長加上

邊長是80cm的正方形的兩條邊長再減去2x20cm,由此解答即可.

【詳解】解：由圖可得：陰影部分的周長為邊長是80cm的正方形的周長加上邊長是80cm的正方形的兩條邊

長再減去2x20cm,

???陰影圖形的周長是：4x80+2x80-2x20=440cm,

故選：A.

考點四：根據特殊四邊形的性質求面積

10.（2022?湖南邵陽?中考真題）已知矩形的一邊長為6cm,一條對角線的長為10cm,則矩形的面積為

cm2”.

【答案】48

【分析】如圖，先根據勾股定理求出=V102-62=8cm,再由S矩形=48x8C求解即可.

【詳解】解：在矩形中，BC-6cm,AC=10cm,

DC

：.在Rt△ABC中，AB=V102-62=8(cm),

2

'S矩形ABCD="8xBC=8x6=48(cm).

故答案為：48.

【點睛】此題考查了矩形的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟知上述知識.

11.（2024?廣東?中考真題）如圖，菱形力BCD的面積為24,點E是4B的中點，點E是BC上的動點.若△BEF

的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】10

【分析】本題考查了菱形的性質，三角形中線的性質，利用菱形的性質、三角形中線的性質求出S-DE=6,

S&ABF=8,根據和菱形的面積求出第=|，*=2,則可求出4CDF的面積，然后利用S陰影=S菱形一

^l^ADE~^hBEF~-

【詳解】解：連接2尸、BD,

:菱形4BCD的面積為24,點￡是48的中點，ABEF的面積為4,

,,^hADE=5sA4BD=￡X&S菱形ABCD=6，SAABF—2ShBEp=8,

設菱形4BCD中8C邊上的高為h,

則S&ABF=處,即且=迦，

S菱形ABCDBCh24BC

,BF_2

??=）

BC3

?BF_Q

??一z,

CF

.S"BF_：BF仇_BF_

??一1——乙,

S&CDF-CFhCF

??S〉cDF=%

??S陰影=S菱形力Re。-S^AOE-S^BEF~S^CDF=10，

故答案為：10.

12.（2023?湖南?中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學用邊長為4dm的正方形紙

板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成.則圖中陰影部

【分析】根據正方形的性質，以及七巧板的特點，求得。E的長，即可求解.

依題意，OD*AD=2四,OE=30D=也

...圖中陰影部分的面積為0E2=（V2）=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

考點五：根據特殊四邊形的性質求點的坐標

13.(2024?吉林?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-4,0),點C的坐標為(0,2).以。4OC

為邊作矩形04BC,若將矩形。力BC繞點。順時針旋轉90。，得到矩形。小夕C，，則點次的坐標為()

A------|夕

B________C

AOCx

A.(-4,-2)B.(—4,2)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化一旋轉，矩形的性質等等，先根據題意得到。4=4,OC=2,再

由矩形的性質可得AB=OC=2,2LABC=90°,由旋轉的性質可得04=。4=4,A'B'=AB=2,

NO&B'=90°,據此可得答案.

【詳解】解：???點A的坐標為(—4,0),點C的坐標為(0,2),

/.OA=4,OC=2,

???四邊形。ABC是矩形，

：.AB=OC=2,4ABC=90°,

:將矩形。ABC繞點。順時針旋轉90。，得到矩形CM0。，

OA'=。4=4,A'B'=48=2,Z.OA'B'=90°,

：.A'B'軸，

.?.點9的坐標為(2,4),

故選：C.

14.(2024?遼寧?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形20BC的頂點4在x軸負半軸上，頂點B在

直線y=上，若點B的橫坐標是8,為點C的坐標為()

4

C.(-3,6)D.(-4,6)

【答案】B

【分析】過點B作BD_Lx軸，垂足為點￡),先求出8(8,6),由勾股定理求得B。=10,再由菱形的性質得到

BC=8。=10,BC||x軸，最后由平移即可求解.

【詳解】解：過點2作BOlx軸，垂足為點。，

:頂點B在直線y==乂上，點B的橫坐標是8,

D

.?.如=8x-=6,即BD=6,

4

.,.5(8,6),

■:BD1x軸，

由勾股定理得：BO=y/BD2+DO2=10,

?.?四邊形2BCD是菱形，

：.BC=BO=10,BC||x軸，

二將點B向左平移10個單位得到點C,

...點C(—2,6),

故選：B.

【點睛】本題考查了一次函數的圖像，勾股定理，菱形的性質，點的坐標平移，熟練掌握知識點，正確添加

輔助線是解題的關鍵.

15.(2024?河南?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，正方形4BCD的邊4B在無軸上，點A的坐標為(-2,0),

點E在邊CD上.將△BCE沿BE折疊，點C落在點F處.若點尸的坐標為(0,6),則點E的坐標為.

【分析】設正方形4BCD的邊長為a,CD與y軸相交于G,先判斷四邊形40GD是矩形，得出。G=AD=a,

DG=AO,AEGF=90°,根據折疊的性質得出BF=BC=a,CE=FE,在RtABOF中，利用勾股定理構建

關于。的方程，求出。的值，在RtAEGF中，利用勾股定理構建關于CE的方程，求出CE的值，即可求解.

【詳解】解：設正方形4BCD的邊長為a,CD與y軸相交于G,

：.0G=AD=a,DG=AO,NEGF=90°,

???折疊，

：.BF=BC=a,CE=FE,

..,點A的坐標為(一2,0),點尸的坐標為(0,6),

=2,FO=6,

'.BO-AB—AO—a—2,

在RtZiBOF中，BO2+FO2=BF2,

(a-2)2+62=a2,

解得a=10,

：.FG=OG-OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,

在RtAEGF中，GE2+FG2=EF2,

：.(8-CEY+42=CE2,

解得CE=5,

AGE=3,

.?.點E的坐標為(3,10),

故答案為:(3,10).

【點睛】本題考查了正方形的性質，坐標與圖形，矩形的判定與性質，折疊的性質，勾股定理等知識，利用

勾股定理求出正方形的邊長是解題的關鍵.

考點六：利用特殊四邊形的性質證明

16.(2024?山東東營?中考真題)如圖，四邊形ABCD是矩形，直線EF分別交AD,BC,BD于點E,F,O,

下列條件中，不能證明ABOF三ADOE的是()

A.。為矩形A8CD兩條對角線的交點B.EO=FO

C.AE=CFD.EF1BD

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質、平行線的性質、全等三角形的判定，熟練掌握矩形的性質和全等三角形的

判定是解題的關鍵.

由矩形的性質得出4。=BCADWBC,再由平行線的性質得出NOBF=NODE,乙OFB=M)ED,然后由全等

三角形的判定逐一判定即可.

【詳解】解：：四邊形4BCD是矩形，

：.AD=BCADWBC,

:.乙OBF=LODE,乙OFB=LOED,

A、:0為矩形力BCD兩條對角線的交點，

：.0B=OD,

在ABOF和ADOE中，

Z.OFB=Z.OED

Z-OBF=乙ODE,

OB=OD

：.△BOF三△DOE(AAS),

故此選項不符合題意；

B、在ABOF和△QOE中，

Z.OFB=Z.OED

Z.OBF=Z-ODE,

FO=E0

：.△BOF三△DOE(AAS),

故此選項不符合題意；

C、'：AE=CF,

：.BC-CF=AD-AEf

即BF=DE,

在ABOF和△OOE中,

Z.OFB=乙OED

BF=DE，

/OBF=Z.ODE

：.^BOF三△OOE(ASA),

故此選項不符合題意；

D、'：EF1BD,

:.乙BOF=Z.DOE=90°,

兩三角形中缺少對應邊相等，所以不能判定△BOFSADOE,

故此選項符合題意；

故選：D.

17.(2024?山東青島?中考真題)如圖，菱形ABCD中，BC=10,面積為60,對角線AC與8。相交于點O,

過點A作AELBC,交邊BC于點E,連接E0,則E。=.

【答案】V10

【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊的中線，解題的關鍵是利用菱形的性質求出

AC,BD的長度.根據菱形的面積公式結合8C的長度即可得出8。、4C的長度，在Rt△80C中利用勾股定理

即可求出C。的長度，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出結論.

【詳解】解：；四邊形4BCD為菱形，

：.AC1BD,0A=OC,OB=OD,AB=BC=CD=DA=10,

；S菱形80=60,

：.AC-BD=120,

：.B0-OC=30.

\'BO2+CO2=BC2=100,

(BO+OC)2-2B0-CO=100,

：.BO+CO=4V10(負值已舍去)，

：.B0=4V10-OC,

：.BO2+CO2=102,

2

/.(4V10-OC)+CO2=100,

：.CO=V10,CO=3V10(舍去).

'：AE±BC,AO=CO,

：.EO=CO=V10.

故答案為：Vio.

18.(2023?四川綿陽?中考真題)如圖，在邊長為4的正方形A8CD中，點G是BC上的一點，且8G=3GC,

DElAG^-^E,BF||DE,且交4G于點R貝！Jtan/EDF的值為()

【答案】A

【分析】由正方形性質可求出BG的長，進而求出4G的長，證△力DEs^GAB,利用相似三角形對應邊成比

例可求得ZE、DE的長，ffiAXBF=LDAE,得力F=DE,根據線段的和差求得EF的長即可.

【詳解】解：?.?四邊形ZBCD是正方形，AB=4,

???BC=CD=DA=AB=4,乙BAD=Z.ABC=90°,AD||BC,

???Z.DAE=Z.AGB,

???BG=3CG,

BG=3,

二在RtUBG中，AB2+BG2=AG2,

則由勾股定理可得/G=V42+32=5,

vDE1AG,

???^DEA=乙DEF=/.ABC=90°,

???△ADEGAB,

AD-.GA=AE\GB=DE:AB,

即4:5=4E:3=DE:4,

“L12cl16

???AE=—,DE=—,

又BF||DE,

???乙AFB=乙DEF=90°,

又???AB=AD,乙DAE=乙ABF,

=△DAE（ASA）f

4尸=DE=y,

16174

：.EF=AF-AE=

555

y?nlEF1

???tanzEDF=—=一，

DE4

故選：A.

【點睛】本題主要考查正方形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，正

切的定義等知識，靈活運用相似三角形的判定與性質求出線段的長是解答本題的關鍵.

考點七：特殊四邊形的折疊問題

19.（2024?山東淄博?中考真題）如圖所示，在矩形4BCD中，BC=2AB,點、M,N分別在邊BC,AD1..連

接MN,將四邊形CMND沿MN翻折，點C,。分別落在點4,E處.貝肚an/AMN的值是（）

A.2B.V2C.V3D.V5

【答案】A

【分析】連接4C交MN于點R設4B=2m,則BC=2AB=4小,利用勾股定理求得4C=y/AB2+BC2=2V5m,

由折疊得到4M=CM,MN垂直平分4C,則4F=CF=|XC=V5m,由AB?+BM2=AM?代入求得AM=|m,

則MF=—4尸2=匹刊,所以tan乙4MN="=2,于是得到問題的答案.

2MF

【詳解】解：連接4C交MN于點R

E

設4B=2m,貝ijBC=2AB=4m,

?.?四邊形28CD是矩形，

:.乙B=90°,

：.AC=7AB2+BC2=2V5m

:將四邊形CMNO沿MN翻折，點C,。分別落在點A,E處，

.?.點C與點A關于直線MN對稱，

：.AM=CM,MN垂直平分AC,

：.BM=BC—CM=4m-AM,/.AFM=90°,4F=CF=-AC=V5m,

2

'：AB2+BM2=AM2,

(2m)24-(4m—AM)2=AM2

.'.AM=-m,

2

：.MF=y]AM2-AF2=-m

2

.,..--AF\fSm「

??tanZ_4MNr=—=—>=-=2.

MF和

故選：A.

【點睛】此題考查矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解

題的關鍵.

20.(2023?江蘇南京?中考真題)如圖，在菱形紙片4BCD中，點E在邊4B上，將紙片沿CE折疊，點B

落在B'處，CB'1AD,垂足為F若CF=4cm,FB'=1cm,貝UBE=—cm

【答案琦喏

【分析】根據菱形的性質，翻折的性質，和三角形的相似判定和性質解答即可.

【詳解】解：VCF=4cm,FB'=1cm,

：.CB'=CF+FB'=5cm,

由翻折，菱形的性質，得：CB=CD=CBr=5cm,CB||AD,乙B=^D,

,,

：CBLADf

：.CB'1BC,

=90°,

工人BCE=乙B，CE=45°,

'：CD=5,CF=4,ZCFD=90°,

：.FD=3,

過點E作EGJ.8C,

設CG=x,貝（JEG=x,BG=5-x,

Vzj?=ZD,乙BGE=CDFC,

△EGBCFD,

.EG_EB_GB

??CF-DC-DF'

,X_EB_5-x

**4-5-3

解得：x=

：.BE=—,

7

故答案為：y.

【點睛】本題考查了菱形的性質，折疊的性質，勾股定理，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質是解題

的關鍵.

21.（2023?湖北?中考真題）如圖，將邊長為3的正方形4BCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M落在邊力。上

（點M不與點4D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點、P,折痕分別與邊4B,CD交于點E,F,連接BM.

⑴求證：4AMB=乙BMP；

(2)若DP=1,求MD的長.

【答案】(1)證明見解析

12

(2)M￡>=

【分析】(1)由折疊和正方形的性質得到4EMP=NEBC=90。，EM=EB,則NEM8=4EBM,進而證明

乙BMP=乙MBC,再由平行線的f生質證明N4MB=NMBC即可證明NAMB=乙BMP；

(2)如圖，延長MN,BC交于點Q.證明△DMP-ACQP得到QC=2MD,QP=2MP,

設MD=x,貝UQC=2x,BQ=3+2x.由NBMQ=乙MBQ,得到MQ=BQ=3+2x.則MP=|M<?=等.由

勾股定理建立方程/+12=(等解方程即可得到MD=冷.

【詳解】(1)證明：由翻折和正方形的性質可得，乙EMP=4EBC=90°,EM=EB.

:.乙EMB=乙EBM.

:?乙EMP一乙EMB=Z.EBC-乙EBM,BRzBMP=乙MBC,

???四邊形/BCD是正方形，

：.AD\\BC.

：.Z.AMB=Z.MBC.

：.Z.AMB=乙BMP.

(2)解：如圖，延長MN,BC交于點Q.

U：AD\\BC,

：.△DMP八CQP.

又???DP=1,正方形ZBC。邊長為3,

/.CP=2

,MD_MP_DP_1

'?QC-QP-CP-2’

：.QC=2MD,QP=2MP,

設MO=%,貝！JQC=2%,

?9?BQ=3+2%.

■:乙BMP=乙MBC,即NBMQ=ZMBQ,

：.MQ=BQ=3+2x.

：.MP=-MQ.

3<3

在Rt^OMP中，MD2+DP2=MP2,

.../+M=（甯2.

解得：=0（舍），X2=y.

：.MD=—12.

5

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定

理等等，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

考點八：證明四邊形是特殊四邊形

22.（2024.吉林長春?中考真題）如圖，在四邊形48CD中，乙4=AB=90。,。是邊4B的中點，乙4。。=NBOC.求

證：四邊形4BCD是矩形.

【答案】證明見解析.

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題關

鍵.利用SAS可證明△40。=AB0C,得出40=BC,根據乙4=ZB=90。得出4。||BC,即可證明四邊形ABC。

是平行四邊形，進而根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形4BCD是矩形.

【詳解】證明：：。是邊48的中點，

.\0A=0B,

億力=NB=90°

在△力。。和AB0C中，0A=0B,

.Z-AOD=Z.BOC

:.&AODSABOC,

：.AD=BC,

VZ.X=NB=90°,

：.AD||BC,

四邊形4BC0是平行四邊形，

VzX=NB=90°,

四邊形4BCD是矩形.

23.(2024.內蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平行四邊形48CD中，點尸在邊4。上，AB=AF,連接8F,

點。為BF的中點，4。的延長線交邊BC于點E,連接EF

AFD

(1)求證：四邊形ABEF是菱形：

(2)若平行四邊形4BCD的周長為22,CE=1,^BAD=120°,求4E的長.

【答案】(1)見解析

(2)AE=5

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質等知識：

(1)由平行四邊形的T生質得=Z.EBF,/.FAE=NBEA,再證明△2。/三△EOB,得出BE=4尸,

證明出四邊形48EF是平行四邊形，由4B=4/得出四邊形48EF是菱形：

(2)求出菱形48EF的周長為20,得出48=5,再證明△48E是等邊三角形，得出4E=4B=5.

【詳解】(1)證明：?..四邊形48CD是平行四邊形，

：.AD\\BC,^AFWE,

：./.AFB=4EBF,乙FAE=/.BEA,

???。為的中點,

：.B0=F0,

△AOF=△EOB,

：.BE=FA,

'：AF\\BEf

四邊形2BEF是平行四邊形，

又AB=AF,

四邊形4BEF是菱形；

(2)解：'：AD=BC,AF=BE,

：.DF=CE=1,

?.?平行四邊形48CD的周長為22,

菱形力BEF的周長為：22-2=20,

：.AB=20+4=5,

二?四邊形2BEF是菱形，

J./-BAE=-^BAD=-x120°=60°,

22

又AB=AE,

...△4BE是等邊三角形，

'：AE=AB=5.

24.（2023?湖北十堰?中考真題）如圖，回ABCD的對角線47,8。交于點0,分別以點B,C為圓心，長

為半徑畫弧，兩弧交于點P,連接BP,CP.

⑴試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；

（2）請說明當團4BCD的對角線滿足什么條件時，四邊形BPC。是正方形？

【答案】（1）平行四邊形，見解析

（2）力C=BDS.AC1BD

【分析】（1）根據平行四邊形的性質，得到BP=lAC=OC.CP=\BD=OB,根據兩組對邊分別相等的四

邊形是平行四邊形判定即可.

（2）根據對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可.

【詳解】（1）四邊形BPC。是平行四邊形.理由如下：

0XBCD的對角線4C,8。交于點0,