二次函數的圖象與性質重點考點歸納練

2025年中考數學一輪復習備考

一、單選題

1.已知拋物線y=x?+2x+4上有點尸（。,6）,當-2（。<3時，則P點縱坐標6的取值范圍為（）

A.3<Z?<4B.-4<b<4

C.3<Z?<19D.4<&<19

2.已知點A（-3,a）,C（2,c）均在拋物線y=_2（x+iy+左上，則a,b,c的大小關系是

（）

A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

3.關于拋物線y=（x-l）2-2,下列說法錯誤的是（）

A.頂點坐標為（1,-2）B.當x>l時，，隨x的增大而減小

C.開口方向向上D.函數最小值是-2

4.如圖，在正方形AB8中，點8、。的坐標分別是（T-2）、（1,2）,點C在拋物線股-^^+云的

圖像上，則6的值是（）

5.如圖，VABC是等腰直角三角形，ZC=90°,47=3。=2,點0為邊48上一點,過點。作0石工4?,

DF18C,垂足分別為E,尸，點。從點A出發沿AB運動至點瓦設DE=x,DF=y,四邊形CEDE

的面積為S,在運動過程中，下列說法正確的是（）

A.y與尤滿足一次函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最大值

B.y與x滿足一次函數關系，S與尤滿足二次函數關系，且S存在最小值

C.y與x滿足反比例函數關系，S與x滿足二次函數關系，且S存在最大值

D.y與x滿足反比例函數關系，S與尤滿足二次函數關系，且S存在最小值

6.數學課上，夏老師給出關于x的函數y=2爪2一⑷左+i）x-左+1（左（左為實數）.學生們獨立思考后，

把探索發現的與該函數有關的結論（性質）寫到黑板上，夏老師作為活動一員，又補充了一些結論,

并從中選擇了以下四條：

①存在函數，其圖象經過點（1,0）；

②存在函數，該函數的函數值y始終隨x的增大而減小：

③函數圖象有可能經過兩個象限；

④若函數有最大值，則最大值必為正數，若函數有最小值，則最小值必為負數.

上述結論中正確的為（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

2一^

7.二次函數的圖象如圖所示，點4位于坐標原點，4,醍,As,...?A2023在y軸的正半軸上，

2

Bl,B3,…,史023在二次函數產第一象限的圖象上，若△AoB/A],△A1&A2,AA2B3A3,

△A2022B2023A2023都是等邊三角形，則△A2022B2023A2023的周長是（）

C.6063D.6060

8.定義為函數丁=〃/+陵+。的特征數，下面給出的特征數為｛2機,1-辦-1-機｝時，關于函數

的一些結論，其中不正確的是()

Q

A.當m=-3時，函數的最大值為§

B.當機=-3時，函數圖像的頂點到直線y=x-i的距離為逃

3

C.函數圖像恒過兩個定點(1,0)和

D.當根<0時，函數在％<二時，y隨x的增大而增大

9.如圖，一段拋物線：y=-x(x-4)(O<x<4),記為C-它與x軸交于點0,小將C1繞點人順時針

旋轉180。得到G；…如此進行下去，得到一條連續的曲線，若點P(2023,m)在這條曲線上，貝打”的

值為()

A.4B.3D.-3

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,3c=4,點尸在直線上運動，以8尸為直角邊向右作RSP8。,

3

使得NBPQ=90。，BP￡PQ,連接CQ,則CQ長的最小值為（）

C2則5^13

-1313

二、填空題

11.如圖，平行于x軸的直線與兩條拋物線%=a（x-4和%=匕。-13）2（a<6）相交于點A,B,C,

D.若AB=8,BC=3,CD=6,則〃的值為.

12.已知拋物線>=加+云+地>0）過點火一2,0）,2（0,0）,C（-3j）,D（3,%），E、；,力）五點,

則%、%、%的大小關系是.

13.如果一條拋物線>=62+"+4。=0）與工軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點

為頂點的三角形稱為這條拋物線的“特征三角形”.已知拋物線、=爐的“特征三角形”是等腰直角

三角形，那么6的值為.

14.如圖，拋物線>=加+及+。（。70）的頂點在線段AB上移動，與無軸交于C、。兩點，若

A（-2,-3）、3（4,-3）,當四邊形ASDC是矩形時，此時拋物線的解析式是—.

15.已知二次函數＞=2/+云+，的圖像與無軸有且只有一個公共點，且過A(%-2,〃)，3(7〃+4,")兩

點，則n的值為.

三、解答題

16.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=無?-2〃zx+/-〃z+9.

(1)4(4乂)，3(%,%)是拋物線上不重合的兩點，當國+%=2時，％=%，求該拋物線的解析式.

(2)/(%,%)是拋物線上一點，且不+九=%.

①若"2=1,當-IW1時，求w的最小值.

②當2〃L1VXV；W+3時，〃的最小值是5,求機的值.

17.已知二次函數y=/+2x-3的圖象與x軸的交于A,8兩點，與,軸交于點C.

(1)求A,8兩點坐標；

(2)點D在第三象限內的拋物線上，過點。作x軸垂線交AC于點E,求DE的最大值；

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在點N,使以。，N,反。為頂點的四邊形是平行四邊形？若

存在，請求出點N的橫坐標，若不存在，請說明理由.

18.拋物線x=g(x-〃)，左與%=。(工+3)2-1交于點A,分別交y軸于點P,Q,過點A作x軸的平

行線，分別交兩條拋物線于點3,C.己知3(3,3),8c=10.

(1)求q的值.

⑵若點(2,m),(3,〃)及(4,p)都在拋物線％上，判斷辦w,p的大小關系，并說明理由.

(3)求PQ的值.

19.如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=a(x-2y+上經過點A,B,

并與x軸交于另一點C,其頂點為P.

⑴求。，%的值.

(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點N,使AABN為直角三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存

在，請說明理由.

13

20.拋物線>=-萬龍2一5%+2與無軸交于點AB(點A在點3的左側)，與丁軸交于點C,連接AC,

BC.

⑴求點AB,C的坐標;

⑵如圖1,尸是拋物線上的一動點，是否存在點尸，使得2LB=NACO?若存在，求出點P的坐標,

若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,。為線段AC上方拋物線上的一動點(點Q不與點AC重合)，過點。作Q尸〃8C交》軸

于點F,交線段AC于點E,若笑=言，請直接寫出點。的坐標.

BC5

21.如圖,拋物線y=ax2-2辦+c(。<0)經過點A(-l,0),過該拋物線的頂點C作直線CD±x軸于點D,

CD=5,尸在拋物線>=依2_2依+。上，且在對稱軸右側，過點尸作「軸于點E.

圖1圖2

(1)求該拋物線的解析式.

(2)若AC〃。尸，求點尸的坐標.

(3)如圖2,橫坐標為2的點尸也在拋物線、=奴2-2G+C上，點G在線段CD上，且在點尸的下方,

當NEGF=90。時，求點P橫坐標的最大值.

22.如圖1,已知拋物線>=加一4依+c的圖象經過點A(l,0),B(m,0),C(0,-3),過點C作CD〃x軸

交拋物線于點O,點尸是拋物線上的一個動點，連接PO,設點尸的橫坐標為”.

(1)填空：m=Cl—c=

⑵在圖1中，若點尸在x軸上方的拋物線上運動，連接。尸，當四邊形0cop面積最大時，求W的值;

⑶如圖2,若點。在拋物線的對稱軸/上，連接PQ、DQ,是否存在點尸使AP。。為等腰直角三角形?

若存在，直接寫出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

1.C

本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是得到拋物線的頂點式及熟練掌握y與龍的變化關系.根據拋

物線解析式得到頂點坐標，結合函數性質求解即可.

22

解：Vy=x+2x+4=（%+l）+3,

其頂點坐標為

Vl>0,且-2（。<3,

拋物線開口向下，

.?.3<Z?<（3+1）2+3=19.

故選C.

2.A

根據拋物線解析式求得對稱軸為直線x=-l,開口向下，根據點到對稱軸的遠近進行判斷即可求解.

本題考查二次函數的增減性，熟練掌握拋物線的對稱性和增減性是解題的關鍵.

解：*?'y=—+1）+k,

拋物線的對稱軸為直線x=-l,

:拋物線開口向下，而點2在對稱軸上，點C離對稱軸最遠，

:.c<a<b.

故選：A.

3.B

本題考查二次函數的圖象和性質，根據>=。（彳-〃）2+左的圖象和性質進行判斷即可.

解：VJ=(X-1)2-2,

；?拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=l,頂點坐標為。，-2),

.?.當x=i時，函數有最小值為-2,當x>i時，y隨x的增大而增大；

綜上：只有選項B說法錯誤，符合題意；

故選B.

4.D

本題考查正方形的性質，三角形全等的判定和性質，二次函數圖像上點的坐標特征，過點C作MNLx

軸，過點8作于過點。作DNLMN于N,利用三角形全等的即可得出C點坐標，代

入y=-jx2+bx即可得出6的值.確定點C的坐標是解題關鍵.

解：過點。作軸，過點3作于Af,過點￡)作。N_LMN于N,

：.ZBMC=ZCND=90°

???四邊形ABCD是正方形，

：?/BCD=9U。,BC=DC,

：.ZBCM+ZDCN=90°=ZBCM+ZCBM,

:?ZDCN=/CBM,

在△CBM和ADC/V中，

ZBMC=ZCND

<ZCBM=ZDCN,

BC=CD

：.△CBM^APC7V(AAS),

:?BM=CN,CM=DN,

設C（a,b）,

?.?點B、二的坐標分別是(T-2)、(1,2),

{a+l=2—b

[a-l=b+2

a=2

解得:

b=-l

/.C（2,-l）,

:點C在拋物線y=-gY+云的圖像上,

19

.,.-1=——X22+2Z?,

2

2

故選：D.

5.A

本題考查了等腰直角三角形的性質，矩形的判定和性質，一次函數和二次函數的定義，二次函數求最

值.由等腰直角三角形的性質可得NA=NB=45。，再由±BC,DE±AC,推出和△。胴

是等腰直角三角形，四邊形CEDE是矩形，進而可得y與x的關系，再根據矩形的面積公式可得S與

x的關系式，化為頂點式，即可得到最值.

解：???VABC是等腰直角三角形，ZC=90°,

ZA=ZB=45°,

???DF±BC,DE±AC,

.?△血)和八0m是等腰直角三角形，四邊形CEDE是矩形，

:.CF=DE=AE=x,BF=DF=y,

■■AC=BC=2,

:.BF=BC-CF^y=2-x,

與x滿足一次函數關系，

S=CFxDF=x(2-x)=2x-x2=-(x-l)2+l>最大值為b

與無滿足二次函數關系，且S存在最大值.

故選：A.

6.B

此題考查二次函數的性質，一次函數的性質，利用舉特例的方法是解決問題常用方法.①將(1,。)點

代入函數，解出左的值即可作出判斷；②首先考慮，函數為一次函數的情況，從而可判斷為假；③根

據②即可作出判斷；④當人=0時，函數為一次函數，無最大值和最小值，當左片0時，函數為拋物線，

求出頂點的縱坐標表達式，即可作出判斷.

解：①將(1,。)代入可得：2k-(4k+l)-k+l=0,解得：k=0,此選項正確.

②當人=0時，y=-X+1,該函數的函數值y始終隨X的增大而減小；此選項正確；

③當左=0時，y=—X+1,經過3個象限，

當上力0時，A=(4A:+1)2-4X2k(-k+1)=24k2+1>0,

???拋物線必與無軸相交，

...圖象必經過三個象限，此選項錯誤；

④當左=0時，函數無最大、最小值；

左W0時，為=—19，當上>。時，有最小值，最小值為負；當左<0時，有最大值，最大值為正；

此選項正確.

正確的是①②④.

故選：B

7.A

根據等邊三角形的性質可得/A/oH=6O。，然后表示出的解析式，與二次函數解析式聯立求出點

為的坐標，再根據等邊三角形的性質求出AM/,同理表示出4班的解析式，與二次函數解析式聯立

求出點昆的坐標，再根據等邊三角形的性質求出44,同理求出出的坐標，然后求出A2A3,從而得

到等邊三角形的邊長為從1開始的連續自然數，與三角形所在的序數相等，進而求得三角形的周長.

解：???△48/4是等邊三角形,

XAiAoBi=6Q°,

''AoBi的解析式為y=-^-x,

聯立；

y=-x2

I3

\力

解得：2或[尤=：，

1[y=°

I-

：.Bi（烏,

22

等邊AAOB/A/的邊長為gx2=1,

同理，A/比的解析式為y=#x+l,

y=^X+l

聯立3,

y=-x2

I-3

[8

解得rx=’3或2,

y=2_1

：.B2（百，2）,

二等邊△A/B2A2的邊長4A2=2X(2-1)=2,

同理可求出出(士叵，冬)，

22

9

所以，等邊△A283A3的邊長A2A3=2X(--1-2)=3,

2

以此類推，系列等邊三角形的邊長為從1開始的連續自然數，

△A2022&023A2023的邊長為2023,

**?△A2022&023A2023的周長是6069.

故選：A,

8.C

A、把根=-3代入｛2九1-九-l-機｝,求得｛。力,。｝,求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；

B、利用平行線的性質求得直線y=%-1與過頂點平行直線y=%-1的直線與＞軸的交點，求得交點的

長度，進一步即可解決問題；

C、代入%的值，驗證即可解答；

D、根據特征數的特點，直接得出工的值，進一步驗證即可解答.

解：函數y=一+Zzx+c的特征數為｛2祖,1一九一1一根｝

y=2mx21-m),

A、當相=一3時，y=—6/+4x+2=—6、—g)+|,頂點坐標是故當相=一3時，函數的最

Q

大值為1,此結論正確；

B、過頂點平行直線y=尤-1的直線為y=X+：，

所以直線y=x+g與y軸的交點為［。彳］,而直線y=x-l與y軸的交點為

710

所以兩交點的長度為可，

所以頂點到直線y=x-i的距離為3義正=冥1,此結論正確;

323

C、當％=1時,y=2mx1+(l-m)x+(-l-m)=2m+(l-m)+(-l-m)=0,

當時,113

x=_gy=2mx2+=—m-—+=--

即函數圖象恒過兩個定點(l,o)和卜此結論不正確.

D、當機＜0時，丁=2儂2+(1-加卜+(-1-加)是一個開口向下的拋物線,

其對稱軸是：直線尤=『，在對稱軸的右邊y隨X的增大而減小.

4m

因為當機＜o時，?加一即11函11數在時1，y隨1的增大而增大，此結論正確；

4m44m44

故選c.

9.D

根據拋物線與X軸的交點問題得到，圖象G與X軸交點坐標為：(0,0),(4,0),再利用旋轉的性質圖

象孰與x軸交點坐標為:(4,0),(8,0),則拋物線G：y=(x-4)(x-8)(4WxW8),于是可推出拋物線

C506：y=(x—4x505)(x-4x506)(2020WxW2024),由于2023=4x505+3,則有P(2023,間在拋物

線y=(x-4x505)(x-4x506)(2020WxW2024)上，然后根據二次函數圖象上點的坐標特征計算機的

值即可.

:如圖拋物線G：y=-x(^-4)(O<x<4),

???圖象與x軸交點坐標為：(0,0),(4,0),

??,將G繞點A旋轉180。得G，交x軸于點&,

拋物線C2：y=(x-4)(x-8)(4<x<8),

.?.將G繞點4旋轉180。得G，交x軸于點A，

如此進行下去，

拋物線C506：y=-(x-4x505)(^-4x506)(2020<x<2024),

：2023=4x505+3,

/.P(2023,在拋物線y=(x—4x505)(x-4x506)(2020W;tW2024)上,

.?.當x=2023時，y=(2023-4x505)(2023-4x506)=-3,

故選：D.

10.D

過點。作腦VI")于點M,與BC交于點N,證明尸，設無，根據相似三角形

的相似比，用工表示AP,并求得PM,進而根據勾股定理，用尤表示CO?,根據二次函數的性質求

得C。的最小值，最后便可求得C0的最小值.

解：過點。作于點M,與BC交于點N,如圖所示:

?.?/8尸。=90。，

ZAPB+ZMPQ=ZMPQ+ZPQM=90°,

:.ZAPB=ZMQP,

.\Z\APB^/\MQP,

APABBP

設MQ=x,貝!JNQ=3—x,

3

BP=-PQ,

?3_3

-x~MP~2

3

?*.AP=—x,MP=29

2

33

/.CN=DM=AD-MP-AP=4-2——x=2——%,

22

CQ2=QN2+CN2

2

=(3-x『+(2-r

1324

x-----

Z134

13

:＞。，即拋物線開口向上,

7475

當X啜時，CQ2的最小值為

，CQ長的最小值為宿=蔣1

故選：D

11.6

本題考查了二次函數的性質，分別作出兩拋物線的對稱軸交AO于"、N,令直線4)交＞軸于后,

由題意可得硒=13,CM=^(AB+BC)=y,BN=g(BC+CD)=”由EM+CM+BN-BC=EN

求出磯f=6,即可得解.

解：分別作出兩拋物線的對稱軸交AD于M、N,令直線AD交＞軸于E,

:平行于X軸的直線與兩條拋物線x=a（尤-〃）2和丫2=65-13）2（。＜6）相交于點A,B,C,D.

.,.拋物線%=人。-13）2的對稱軸為直線％=13,即EN=13,

*.*AB=8,BC=3,CD=6,

：.CM=^（AB+BC）=—,BN=g（BC+CD）=a，

,:EM+CM+BN—BC=EN,

119

C.EM+—+——3=13,

22

EM=6,

???拋物線%=a（x-h）2的對稱軸為直線x=6,即%=6,

故答案為：6.

12.為＜%＜為

本題考查了二次函數的圖象和性質，由拋物線丁=辦2+陵+4〃＞0）過點A（-2,0）,5（0,0）,可得

[b=2a.

n,即得＞=以2+2〃%，得到拋物線的對稱軸為x=-l,再根據。＞0知拋物線開口向上，拋物

[c=0

線上的點離對稱軸的距離越近函數值越小，據此即可求解，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

解：：拋物線丁=依2+法+。（。＞0）過點4（-2,0）,5（0,0）,

0=4a—2b+c

0=c

.\b=2a

?,〔c=0，

拋物線解析式為y=ax2+lax,

???拋物線的對稱軸為x=-L

丁a>0,

???拋物線開口向上，拋物線上的點離對稱軸的距離越近函數值越小，

：-1一（T）<T-（-3）<3-（-1）,

%<%<%，

故答案為：為<%<%.

13.2或-2

本題考查二次函數與x軸的交點問題、等腰直角三角形的性質、坐標與圖形，根據等腰直角三角形的

性質可得該拋物線的頂點的橫縱坐標相等或互為相反數，進而得到關于b的方程，然后解方程求解即

可.

解：由y=x?+Zzr=[x+g得頂點坐標為

令，=0,由0=x2+bx得為=0,x2=-b,

該拋物線y=丁+云與x軸的兩個交點坐標為（0,0）,（-仇0）,

:拋物線y=爐的“特征三角形”是等腰直角三角形，

?Z?26b2b□J

..---=一或----=一一,且bwOn,

4242

解得Z?=2或b=—2,

即6的值為2或-2,

故答案為：2或-2.

一1228

14.y=-x~——x——

333

本題考查二次函數性質與幾何圖形應用，根據矩形的性質得到。(-2,0),。(4,0),設拋物線解析式為

)=。@+2乂了-4),求得頂點坐標為。,-3),代入求出a即可得到拋物線的解析式.

:四邊形ABDC是矩形，

ACrCD.BDLCD,

又,.,(7、。兩點在x軸，A(—2,-3)、B(4,—3)

軸，軸，軸，

/.C(-2,0),0(4,0),

設拋物線解析式為＞=a(x+2)(x-4),

?：拋物線的對稱軸為直線x=士匹=1,

2

.??頂點坐標為3),

將點。，-3)代入，得-94=-3

?.?1J4--,

3

11?R

???拋物線的解析式為/=?彳+2)(彳_4)=3丁_：尤_￡,

故答案為：y=^-x2~~x~~?

333

15.18

本題考查了拋物線與x軸的交點，根據點A、5的坐標易求該拋物線的對稱軸是直線%=相+1.故設

拋物線解析式為y=2(x-機-直接將A(m-2,〃)代入，通過解方程來求〃的值.

解：；拋物線3=21+小+，過點A（m一2,〃）,B（m+A,n）,

,-上口士/am—2+m+4

??對稱軸是直線x=---------------=m+l,

又,:拋物線y=2爐+法+c與無軸只有一個交點，

頂點為（m+1,0）,

???拋物線解析式為y=2（x-m-l）2,

把A（m-2,〃）代入，得:

n=2(m—2—m—l)2=18,

即〃=18.

故答案為：18.

16.(1)y=x2—2x+9

(2)①7；②2

本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的性質是解答的關鍵.

（1）根據拋物線的對稱性求出機的值即可;

（2）①先求出拋物線解析式，根據二次函數的性質即可解答；②先求出“關于飛的二次函數解析式,

在求出對稱軸，根據二次函數的性質，結合題意分類討論即可.

（1）解：：A（&%）,8（々，%）是拋物線上不重合的兩點，當%+無2=2時，%=%，，

.?.點3（%,%）關于拋物線的對稱軸對稱,

—2mx,+x1

:拋物線的對稱軸為x=---=m=—-----9-=I,

2x12

???拋物線的解析式為：y=f_2x+9；

（2）解：①當機=1時，則拋物線的解析式為：y=x2-2x+9,

為）是拋物線上一點，且不+〃=%，

2

x0-2x0+9=x0+n,即嫣_3x0+9=n,

??."II\+~27^_~n，

Vl>0,

3

???1<；；時，〃隨x的增大而減小,

2

有最小值，最小值為11-|

二％=1時，nj+一;

I4

2

②根據題意：一2go+m-m+9=x0+n9

艮|3幾=/2—（2機+1）/+4一機+9,

（

22-2m+l）1

n=x0-（2m+l）x0+m-m+9的對稱軸為x0=m+—,

―2^12

Vl>0,

，拋物線〃（）（根）根一根的圖象開口向上，且/時,

=%2-2+1/+2+9<m+-1幾隨與的增大而減小,

%>加+；時，〃隨與的增大而增大，勺=加+；時，〃有最小值，

2加一根+3時，n的最小值是5,

1Q

2m-1<—m+3,解得：m<—-

23

當加+萬2/根+3時，則加之5,與題意矛盾，舍去；

13

當加+—V2m—1時，則加之一，

22

3g

此時，-<m<~,

23

當x=2根-1時，函數有最小值，

〃而n=（2zn—I）?—（2m+l）（2m—l）+m2—m+9=5,

解得：機=2或加=3（舍去）；

113

當2根—1<加+一<一機+3時，則根<一,

222

,,3

此時，m<-,

2

當光=小+!時，函數有最小值，

2

%由=［根+-（2m+l）^m+^+m2-m+9=5,

153

解得：m=（舍去）；

82

綜上，加的值為2.

17.（1）A（-3,O）；3（1,0）

9

（2）的最大值為了

4

（3）存在，點N的橫坐標為-；，一1?或'十個

此題考查了二次函數面積問題、二次函數與特殊四邊形問題、二次函數與坐標軸的交點問題等知識,

數形結合和分類討論是關鍵.

（1）解方程￡+2%-3=0得至UM=1,x2=-3,即可得到答案；

（2）求出直線AC的表達式為y=3,設。（私療+26-3）,則求出一3<用<0,

DE=—+—+—,則當根=一彳時，DE的最大值為?；

12）424

（3）分08為平行四邊形的邊和為平行四邊形的對角線兩種情況進行解答即可.

（1）解：令y=0,代入，=/+2工一3得：f+2彳-3=0,

解得西=1,x2=-3,

AA（-3,0）；8。，°）

（2）設直線AC的表達式為了=丘+〃，把A（-3,0）、C（0,-3）代入得:

0=—3k+n,k=-l

。，解得

—3=nn=—3,

直線AC的表達式為y=-x-3,

設。(〃久〃/+2〃z—3),則E(m,—m―3),

:點。位于第三象限,

—3<m<0,DE--m-3-+2m_3)=—m2—3m=—m+|

3Q

???當〃—OE的最大值為“

（3）①當為平行四邊形的邊時，DN//OB.

D,N關于直線x=-l對稱

DN=OB=1

13

.??點N的橫坐標為F或可

②當。3為平行四邊形的對角線時，設點雙卜/+2—3),則點。。一，-產―2f+3),

:點。在拋物線上

-r2-2r+3=(l-r)2+2(l-/i)-3

解得.=葉立，「匕女

1222

丁點。在第三象限

...點N在第一象限

???點N的橫坐標為匕也

2

綜上所述：點N的橫坐標為-!，-;或1±且.

222

18.(1)〃=—

4

(2)m<n<P

13

O)PQ=-

本題考查二次函數的圖像與性質，待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是掌握二次函數相關的

性質.

(1)由3(3,3),BC=10,得C(-7,3),把。(-7,3)代入％=。(尤+3)2-1即可求得°；

(2)利用力求出4(1,3),即可可得拋物線％=3(》-獷+人的對稱軸是直線x=2,利用二次函數的

性質即可得出可得根<〃<P;

(3)利用拋物線解析式求出尸(og；Q,!；從而得出結果.

(1)解：???3(3,3),3c=10,

.-.C(-7,3),

把。(一7,3)代入%=々(％+3)2-1得:3=々(—7+3)?—1,

解得：。=:；

4

(2)解：???〃=!，

4

19

，%=](工+3)--1，

19

令>=3得，3=-(X+3)-1,

解得尤=1或%=—7,

71+3c

/.h------=2,

2

19

???拋物線乂=%)一+k的對稱軸為直線尤=2,

?點(2,〃?),(3,〃)及(4,°)都在拋物線月上，拋物線x=，%-獷+上開口向上,

??.在對稱軸右側，y隨龍的增大而增大,

:.m<n<P；

(3)解：把3(3,3)代入m=：(工一2)2+%,

解得：左=|,

125

Vi=2(x-2),'

9

令x=0,y=-,

?“嗚，

1

在％=](尤+3)9一一1中,

令x=o,y=^

0,*

尸。子瀉

19.(l)a=l,k=-l

⑵拋物線的對稱軸上存在一點N,使AABN為直角三角形；點N的坐標為(2,1)或(2,2)或(2,4)或(2,；)

⑴根據直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點43,得令x=O,令>=0,進行計算得A(l,0),8(0,3),

“(1-2)2+左=0

根據拋物線y=a(x-2)2+左經過點A,,進行計算即可得;

a(0-2)2+k=3

2

(2)設陽2,〃)，根據4(1,0),B(0,3)得知2=10,一6〃+i3,A^=W,分情況討論：①

當AABN是以AB為斜邊的直角三角形時，由勾股定理得，N^+NB-^AB1,②當AABN是以附為斜

邊的直角三角形時，由勾股定理得，AB2+NB2=N尺,③當A/IBN是以A?為斜邊的直角三角形時，

由勾股定理得，AB2+NA2=NB2,進行計算即可得.

(1)解：；直線y=<x+3與x軸、y軸分別交于點A,B,

.??令%=0,則y=3,

令y=0,則一3x+3=O,解得尤=1,

A(1,O),B(O,3),

,拋物線y=。(尤-2)z+左經過點A,B,

.p(l-2)2+^=0

tz(O—2)2+k=3

{a-1

解得，

[k=-11；

(2)拋物線的對稱軸上存在一點N,使AABN為直角三角形，理由如下:

解：設N(2,〃)，

VA(1,O),B(O,3),

/.A52=l2+32=10,

A?2=22+(n-3)2=n2-6n+13,

A^42=(2-l)2+n2=l+n2,

①當AABN是以A3為斜邊的直角三角形時，由勾股定理得，

NA"+NB2=AB2,

1+rr+n2-6n+13=10,

2n2-6n+4=0,

n2~3n+2=0，

(〃-1)(〃-2)=0,

%=l,n2=2,

N(2,l)或N(2,2)；

②當△ABN是以ML為斜邊的直角三角形時，由勾股定理得,

AB12+*NB2=N/^,

10+n2-6n+13=l+n2，

~6n=~24,

〃=4,

???N(2,4)；

③當△ABN是以N3為斜邊的直角三角形時，由勾股定理得,

AB2+NA2=NB2，

10+1+zT2=n2—6n+13,

6n=2,

1

"一］

N(2,g)；

綜上，點N的坐標為(2,1)或(2,2)或(2,4)或(2,；).

20.⑴A(T,0),8(1,0),C(0,2)

⑵P(—3,2)或P(5,-18)

⑶Q（—l,3）或（一3,2）或一2+"

13

（1）當丁二。時，一+2=0,解得：再=-4,x2=1,當％=0時，y=2,由此即可得出答案;

Af)),則85,o),則

(2)求得tanZACO=^=2,作Wx軸于H,設尸.幾+2

13__i~—〃+2..._

PH=-工幾2+2,AH=n-(-4)=n+4,得至！JPH22從而可得rZl=t

2n2v7/DtaAnDZPAB=-----=-----

AH〃+4

--n2-—n+2

22求解即可得出答案；

-------------二Z

〃+4

(3)設點根，根2-求出BC=正，則8￡=等，待定系數法求出直線BC的解析式

為：y=-2x+2,。/所在直線的解析式為y=-2尤川+；〃?+2,AC所在直線的解析式為

x22、

1八-?」m-mm-m+20皿

y=-x+2,求出J,貝！J

z2、2z2\2

Jm+2m5"I'從而得出

13

(1)解：,??拋物線了=-5/-5彳+2與X軸交于點AB(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,

13

:?當y=0時，——X2——x+2=0,

22

解得：為=-4,x2=1,

.,.A（T,0）,8（1,0）,

當x=O時，y=2,

:.C（0,2）;

（2）解：由（1）可得A（T,0）,C（0,2）,

.-.OA=4,OC=2,

Af）

tanZACO=—=2,

oc

如圖，作軸于H,

圖1

設尸卜,_呆_m+2),

則如,0),

PH=--ni2--n+2AH=〃_（T）=〃+4,

22

123―

——n——n+2

22

tanZPAB=——

AH〃+4

要使NB45=NACO,貝!jtanNA4B=tanNACO,

"3〃+2

22

=2

〃+4

13

—n9—〃+2=2〃+8,

整理得：/+7〃+i2=0,

解得：〃=-4或〃=-3,

?.?A（T,0）,

i3

當——n2——n+2=—2n—8,

22

整理得：—2o=o,

解得：〃=-4或〃=5,

.?.P（5,-18）；

當點尸在點A的左下方時，/RW>90。恒成立，而NACO<90。恒成立，故點尸不能在點A的左下方,

綜上所述，P（-3,2）或尸（5,-18）；

（3）解：設點0（根,一；蘇m+2）,

V8（1,0）,C（0,2）,

BC=J（l-0『+（0-2）2=后,

?0=3

'BC5'

QE=1BC=半，

設5C的解析式為：y=kx+b,

（k+b=0

將3（1,0）,C（0,2）代入解析式可得：\=~,

[k=-2

解得：,），

[b=2

「?直線5C的解析式為：y=—2%+2,

?/QF//BC,

設QF所在直線的解析式為y=-2x+bi9

2

將Q1加，一耳根2機+2）代入解析式得：-2m+bx=--m--m+2,

解得：bm2+—m+2,

x22

QF所在直線的解析式為y=療+gm+2,

設AC所在直線的解析式為y=k2x+b2,

2

將A（-4,0）,C（0,2）代入解析式得：l=b,

\-1

解得：k22.

b2=2

AC所在直線的解析式為y=；x+2,

?.?E是。尸與AC的交點，

二.一1%c+2=-c2%177?2H—1相+c2,

222

22

5,口m-m1入m-m+20

解得：x=---------,則y=-%+2=----------------，

5210

m—mm—m+20i

二.E---------，---------------,

510

整理得：m2+4m=±3,

當4+4加=3時，解得：加=一2±近，

?.?-2-旨＜-4,點。在AC上方運動，

:.m=-2+y/7,此時。-2+/

當當+4m=—3時,

解得：加=-1或根=-3,

此時。(-L3)或(-3,2)

綜上所述：0(-1，3)或(―3,2)或1-2+夜,宮=「.

5515

21.⑴丁二——x2+—％+一

424

JG5君-5)

⑵尸V5,^—

(2)

⑶等

64

(1)根據拋物線解析式，得到對稱軸，進而求出點C,再結合A(-1,O),利用待定系數法求解，即可

解題；

r\pPF(SSisApF

(2)利用平行線性質證明Y4CD-VDPE,得至汁籌=金，設2［九-1"?+5'"+結合卷=若

建立等式求出加的值，進而求得點P的坐標；

(3)結合題意求出點尸的坐標，作切，CD于點//,證明VHGFsVDEG,利用相似三角形性質得

至U4=-%2+:%+1=-1打-噂：+吃，再利用二次函數的最值求解，即可解題.

(1)解:vy=ax2-2ax+c(a<0),

拋物線對稱軸為直線尤==1,

2a

-：CD=5,

C(l,5),

拋物線yax2-2ax+c(a<0)經過點A(-l,0),

a+2a+c=0

即

a—2a+c=5'

5

a=——

4

解得

15

~4

，拋物線為y=-%2+}+g

(2)解：???AC//DP,

:.ZCAD=ZPDE,

??.PE，）軸于點瓦

:.ZCDA=ZPED=90°,

.NACD^NDPE,

DEPE

一而一而'

5515

設Pm,_—m2+—mH--

424

有DE=m-l,AD=2,

5515

——2m+-m-\----

m-1424,

25

整理得5療=25,

解得m=±A/5，

,/。是拋物線y=以2一2公+。在第一象限上一動點,

「?m=,

5百-51

即「百

2}

（3）解：?.?點產的橫坐標為2,

即點尸的坐標為

作F